专题02 一次函数的图象与性质重难点题型专训（5个知识点+16大题型+6大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题02 一次函数的图象与性质重难点题型专训 （5个知识点+16大题型+6大拓展训练+自我检测） 题型一 识别一次函数 题型二 正比例函数的定义 题型三 正比例函数的图象与性质 题型四 根据一次函数的定义求参数 题型五 列一次函数解析式并求值 题型六 判断一次函数的图象 题型七 求一次函数解析式 题型八 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型九 已知函数经过的象限求参数范围 题型十 一次函数图象与坐标轴交点问题 题型十一 求一次函数自变量或函数值 题型十二 一次函数的图象问题 题型十三 一次函数的平移问题 题型十四 根据一次函数增减性求参数 题型十五 比较一次函数值的大小 题型十六 一次函数的规律探索问题 拓展训练一 一次函数的图象与性质综合 拓展训练二 一次函数的增减性问题 拓展训练三 一次函数的平移问题 拓展训练四 一次函数的对称问题 拓展训练五 一次函数的旋转问题 拓展训练六 一次函数的最值问题 知识点一：一次函数、正比例函数的定义 1.一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 2.正比例函数：当b＝0时，即y＝kx（k为常数且k≠0），y叫做x的正比例函数. 3.正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 4.一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 5.判断一次函数的方法：式子经过恒等变形后，若满足：（1）等号右边是关于x的整式；（2）自变量x的最高次数是1；（3）一次项系数k≠0这三个条件，则是一次函数，否则就不是一次函数. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）下列函数关系式中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的定义，牢记正比例函数的定义形式是解题的关键．根据正比例函数的定义（，其中为常数且）判断各选项． 【详解】解：正比例函数的形式为（为常数，且）， A、，符合，且， 是正比例函数，选项符合题意； B、，不符合， 不是正比例函数，选项不符合题意； C、，的指数为，不是， 不是正比例函数，选项不符合题意； D、，有常数项， 不是正比例函数，选项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）若函数是关于的正比例函数，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义，函数形式应为（为常数且），因此常数项为零且一次项系数不为零． 【详解】解：函数是关于的正比例函数， 所以且， 解方程， 得，所以或， 又因为，即，所以． 故答案为：3． 知识点二：确定一次函数的表达式 1.待定系数法：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个两个独立条件确定两个关于k、b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x、y的值. 2.用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）； （2）列：将已知条件代入表达式，列出关于k、b的方程（组）； （3）解：解方程（组），求出k、b的值； （4）代：将k、b的值代回所设的函数表达式. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）下列表达式中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正比例函数定义为 （k 为常数，），即 y 与 x 成正比，且无常数项，x 的指数为1，直接判断各选项是否符合此定义． 本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 正比例函数的形式为（）， 选项 A：，符合题意； 选项 B：，不符合题意； 选项 C：，不符合题意； 选项 D：，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）请写出一个函数表达式： ，使得该函数图像关于原点对称，并经过点． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是一次函数的性质，正比例函数的性质，此题属开放性题目，答案不唯一．设一次函数的解析式为，代入求出k的值即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为， ∵该函数图象经过点， ∴， ∴此函数的解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 知识点三：一次函数的图像 1.一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线. 2.正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线. 3.一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点. 4.一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上. 5.通过描点法画出对应一次函数的步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中； （2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：将所描的点用直线连接起来. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点．据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小，故A和D不符合题意． ∵， ∴图象与y轴的负半轴相交，故B符合题意，C不符合题意． 故选B． 2．（2025·江苏南京·二模）如图，点A，B，C，D为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象不可能经过点 ． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，解题关键是掌握一次函数的图象和性质：①当，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限②当时，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．根据一次函数的图象与性质进行解答即可． 【详解】解：一次函数， 一次函数图象经过第一、二、三象限， 点A在第四象限， 一次函数的图象不可能经过点A， 故答案为：A． 知识点四：一次函数的图像与性质 一次函数 y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0） k、b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右上升 从左向右下降 性质 函数值y随自变量x增大而增大 函数值y随自变量x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 1.一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号. 2.|k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）一次函数的图象与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一次函数与y轴的交点坐标． 求一次函数与 y 轴的交点坐标，即令，代入函数解析式计算 y 的值． 【详解】解：∵函数图象与 y 轴的交点，x 坐标为 0， ∴令，代入，得， ∴交点坐标为． 故选 B． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）一次函数的图象过点，且随的增大而减小，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数解析式的求法及增减性的应用，首先利用一次函数的图象过点求出m的值，然后根据y随的增大而减小的性质确定得到具体值． 【详解】一次函数的图象过点， ， 解得：或， 随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 知识点五：一次函数的平移规律 1.正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的. 2.一次函数图像的平移规律 （1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减） （2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）. 3.同一个平面直角坐标系中两直线l1：y＝k1x＋b1（k1≠0），l2：y＝k2x＋b2（k2≠0）的位置关系如下： k1，k2，b1，b2的关系 l1与l2的关系 k1≠k2 l1与l2相交 k1≠k2，b1＝b2 l1与l2相交于y轴上的同一点（0，b1）或（0，b2） k1＝k2，b1≠b2 l1与l2平行 k1＝k2，b1＝b2 l1与l2重合 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，把直线沿轴向下平移后得到直线，如果点是直线上的一点，且，那么直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，直线平移时的值不变，只有的值发生变化．由直线平移时值不变，设直线的函数表达式为，再将代入，得到，结合已知条件，求出的值，即可得答案． 【详解】解：∵直线沿轴向下平移后得到直线， ∴设直线的函数表达式为， ∵点是直线上的一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线的函数表达式为． 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）将一次函数的图象向下平移5个单位长度后，图象经过点，若点，在一次函数的图象上，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数的图象与性质，掌握这些知识是解题的关键；由题意可得函数的图象平移后的函数解析式为，把点M的坐标代入中求得a的值，根据a的值结合一次函数的性质即可比较与的大小． 【详解】解：函数的图象向下平移5个单位长度后的函数解析式为， 即， ∵在的图象上， ∴， 解得：； 即 ∵， ∴函数随自变量的增大而减小； ∵， ∴； 故答案为：． 【经典例题一 识别一次函数】 【例1】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）下列函数：①；②；③；④中，关于x的一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义：形如（，为常数，）的函数叫做一次函数，逐一所给函数是否符合该定义．本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握“一次函数的形式为（，、为常数）”是解题的关键． 【详解】解：函数①，其中，，符合一次函数定义，是一次函数． 函数②，其中，，符合一次函数定义，是一次函数． 函数③，自变量的最高次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，不是一次函数． 函数④，可写成，自变量的次数是，不符合一次函数定义，不是一次函数． 综上，①②是一次函数，共个． 故选： ． 1．（2025八年级·江苏徐州·模拟预测）对于平面直角坐标系中任意两点，，称为M，N两点的直角距离，记作：．如：，，则．若是一定点，是直线上的一动点，称的最小值为P到直线的直角距离，则到直线的直角距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 E．5 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数，新定义，理解直角距离的含义是解题的关键．根据直角距离的定义，点P到直线的直角距离即为P到该直线上所有点的直角距离的最小值．设直线上的点Q坐标为，计算，可知当时，取到最小值0，此时最小，即可得解． 【详解】解：设直线上的点Q坐标为， 则， 当时，取得最小值0，此时直角距离最小为2， 到直线的直角距离为2， 故选：． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）下列函数中，属于一次函数的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①不属于一次函数； ②属于一次函数； ③不属于一次函数； ④属于一次函数； ⑤，当时，属于一次函数； 属于一次函数的有②④． 故答案为：②④ 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列函数中，是一次函数的有 ，是正比例函数的有 ．（请填写序） ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】 ①②④⑥ ②⑥/⑥② 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的概念辨析，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数，即的定义特征． 先对各函数表达式进行化简（若有需要），再根据一次函数形如、正比例函数形如的定义，逐一判断每个函数是否符合条件． 【详解】解：①，符合一次函数的形式，是一次函数，不是正比例函数； ②，符合正比例函数的形式，既是一次函数也是正比例函数； ③，既不是一次函数也不是正比例函数； ④，可化为，符合一次函数定义，是一次函数，不是正比例函数； ⑤，未知数最高次数为2，既不是一次函数也不是正比例函数； ⑥，化简得，符合正比例函数定义，既是一次函数也是正比例函数． 因此，是一次函数的有①②④⑥，是正比例函数的有②⑥． 故答案为：①②④⑥；②⑥． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）分别写出下列函数表达式，并指出哪些属于一次函数，哪些属于正比例函数． (1)面积为10的三角形的底与底边上的高之间的关系； (2)一条边长为8的长方形的周长与它的邻边之间的关系； (3)汽车每小时行驶40km，行驶的路程和时间之间的关系． 【答案】(1)，不是一次函数，不是正比例函数 (2)，是一次函数，不是正比例函数 (3)，是一次函数，也是正比例函数 【分析】（1）根据题意列出关系式，再判断即可； （2）根据题意列出关系式，再判断即可； （3）根据题意列出关系式，再判断即可． 【详解】（1）解：由，可得，不是一次函数，不是正比例函数； （2）由，可得，是一次函数，不是正比例函数； （3），是一次函数，也是正比例函数． 【点睛】本题考查的是函数关系式的确定与判定属于哪一种函数的问题，解决本题的关键是熟记函数的定义，掌握函数解析式的含义，以及一些常见的公式． 【经典例题二 正比例函数的定义】 【例2】（24-25八年级上·江苏南京·期末）下列函数中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的定义，，正比例函数的定义为形如（为常数且）的函数，据此求解即可． 【详解】选项A：，x位于分母，不是正比例函数，不符合定义． 选项B：，x的次数为2，不是正比例函数，不符合定义． 选项C：，含常数项，属于一次函数但非正比例函数． 选项D：，可化简为，符合的形式，k为，是正比例函数． 故选：D． 1．（2025·江苏·模拟预测）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）小王在WPS软件中编辑图片大小时，勾选了“锁定纵横比”选项，即图片长与宽的比始终为定值．下表给出图片的长（cm）和图片的宽（cm）之间的关系，则与之间的关系式为 ． 图片的宽（cm） 3 4.5 6 … 图片的长（cm） 2 4 6 8 … 【答案】 【分析】本题考查了求两个变量间的关系式， 由于锁定纵横比，图片长与宽的比为定值，通过计算表中数据比值，均等于，进而求出与的关系式． 【详解】解：由表中数据：当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则． 故，即． 故答案为． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）正比例函数，若当时，，则它的函数表达式为 ； （2）已知与x成正比例，当时，，则y与x的函数表达式为 ； （3）已知一次函数中，若当时，；当时，，则 ， ． 【答案】 2 【分析】（1）把，代入正比例函数，求出值即可得出函数表达式； （2）设，把代入，求出的值即可求出y与x的函数表达式； （3）把和代入中，解二元一次方程组得出k，b的值即可． 【详解】解：（1）把代入， 得，解得：， 故答案为：①． （2）∵与x成正比例， 设 把代入得，， ∴，， 故答案为：②． （3）把和代入， 得解得， 故答案为：③，④． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，熟练掌握该知识点是关键． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）写出下列各题中y与x之间的表达式，并判断y是否为x的一次函数，是否为x的正比例函数． (1)等边三角形的周长y与边长x之间的关系； (2)汽车行驶前，油箱中有油65L，已知汽车每行驶10km耗油2L，油箱的余油量yL与已行驶的距离xkm之间的关系． 【答案】(1)，是一次函数，也是正比例函数 (2)，是一次函数，不是正比例函数 【分析】结合几何、实际场景的数量关系列函数表达式，再依据一次函数、正比例函数的定义，即可解答． 【详解】（1）解：等边三角形三边相等， ，是一次函数，也是正比例函数． （2）解：每千米耗油， ，是一次函数，不是正比例函数． 【点睛】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，熟练掌握一次函数表达式为，正比例函数是的一次函数是解题的关键． 【经典例题三 正比例函数的图象与性质】 【例3】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）一次函数与正比例函数（m，n是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数和正比例函数图象的综合判断，根据每个选项中图象所过象限，判断出的符号，即可得出结果． 【详解】解：A、一次函数过一，二，三象限，则，故，正比例函数过一，三象限，则，符合题意； B、一次函数过一，二，四象限，则，故，而正比例函数过一，三象限，则，不符合题意； C、一次函数过二，三，四象限，则，故，而正比例函数过二，四象限，则，不符合题意； D、一次函数过一，三，四象限，则，故，而正比例函数过一，三象限，则，不符合题意； 故选A． 1．（2025·江苏镇江·一模）将的正方形网格如图放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上．若直线与正方形有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质．分别确定点A和点C的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得k的取值范围． 【详解】解：由题意得：点A的坐标为，点C的坐标为， ∵当正比例函数经过点A时，，当经过点C时， ， ∴直线与正方形有公共点，k的取值范围是， 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，三个函数图像分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是 ．（用连接） 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，解题的关键是根据正比例函数图像经过的象限判断系数的正负，再通过直线靠近y轴的程度判断系数绝对值的大小，进而比较系数大小． 根据正比例函数的图像特征：图像过第一、三象限时，过第二、四象限时；直线越靠近y轴，|k|越大．先判断、、的正负，再比较负数的绝对值大小，最终确定三者的大小关系． 【详解】解：∵ 正比例函数的图像特征为： 图像过第一、三象限时，；图像过第二、四象限时，； 直线越靠近轴，|k|越大． ∴ 由图像可知：①过第一、三象限，故； ②③过第二、四象限，故，； ②比③更靠近轴，故， 负数比较大小，绝对值大的数更小，故． 综上，． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·月考）物理实验中，同学们分别测量电路中通过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是 ． 【答案】丙 【分析】根据题意，得，故，根据图象，列式比较解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，正确读懂图形，正确处理信息是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 根据图象，得，, 故即； 同理，即； ，即 故丙的电阻最大， 故答案为：丙． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若函数是的正比例函数，且满足（m为常数）． (1)求正比例函数表达式？ (2)当函数值时，求对应自变量的值？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质． （1）根据正比例函数的定义得到，进而代入即可； （2）将代入函数表达式计算即可． 【详解】（1）解：是的正比例函数，且满足． 即， 可得， 将代入得，， 即正比例函数表达式为：； （2）解：将代入函数表达式得，． 【经典例题四 根据一次函数的定义求参数】 【例4】（24-25八年级上·江苏苏州·月考）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， 所以，． 故选：B． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到，结合即可推导参数关系，进而判断选项． 【详解】解：点在函数图象上，代入得： ∵， ∴，即， ∵，即， ∴ ∴，． 故选：A ． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知是关于的一次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是根据一次函数的定义列出关于的方程和不等式． 根据一次函数（、为常数，）的定义，可得且，解方程组和不等式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的一次函数， 的指数 ，且系数 ． 解方程 得 ， ． 又，即 ， ． 故答案为： 3．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）新定义：为一次函数（，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”为的一次函数是正比例函数，则点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了一次函数的定义，判断点所在的象限．根据新定义，关联数对应一次函数的系数，正比例函数要求常数项为零，从而求出m的值，再代入点的坐标进行判断该点所在的象限，即可作答． 【详解】解：∵“关联数”为的一次函数是正比例函数， ∴是正比例函数， ∴， 解得， ∴ 则点坐标为， ∴点在第二象限． 故答案为：二 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数． (1)若它是一次函数，求的值． (2)是否存在使它是正比例函数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，见解析 【分析】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）当函数为一次函数时，的系数，次数； （2）根据函数为正比例函数进行解答即可. 【详解】（1）解：因为是一次函数， 所以， 解得， 所以． （2）不存在． 理由：当是正比例函数时，， 解得， 所以这样的不存在． 【经典例题五 列一次函数解析式并求值】 【例5】（2025·江苏·模拟预测）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征．将点代入一次函数解析式，解方程即可求出b的值． 【详解】解：∵ 一次函数的图象经过点， ∴ 将，代入解析式，得： ， 解得：， 故选：D． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，用一段长为 米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为，另一边的长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，与，与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，正例函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】分别列出与的关系式，与的关系式判断即可； 【详解】解：由题意可得： ， ∴与成一次函数关系；与成二次函数关系； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的表达形式；熟练根据题意列出相对应的函数关系式是解题的关键． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数，解题关键是找准等量关系． 根据题中等量关系列出一次函数解析式． 【详解】解：设张白纸粘合后的总长度为， ∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为， 可得 ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）某工厂生产甲乙两种产品，共有工人200名，每人每天可以生产5件甲产品或3件乙产品，若甲产品每件可获利4元，乙产品每件可获利7元，工厂每天安排x人生产甲产品，其余人生产乙产品，则每日的利润y（元）与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据人数乘以生产件数乘以每件商品利润即可得解． 【详解】解：∵工厂每天安排x人生产甲产品，其余（200-x）人生产乙产品， ∴每日的利润y（元）与x之间的函数关系式y=x×5×4+（200-x）×3×7=4200- x， ∴每日的利润y（元）与x之间的函数关系式为y= 4200- x． 故答案为y=4200- x． 【点睛】本题考查列一次函数解析式，掌握总利润=人数乘以生产件数乘以每件商品利润即可得解． 4．（25-26八年级上·全国·期中）一次函数的图象上有两个不同的点 (1)若，则　； (2)若，，求； (3)若且，记，试求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，一次函数的性质． （1）由题意得到，，根据待定系数法即可求解； （2）由题意得到，，两式相减得，进而化简即可； （3）由题意得到，，从而得到，根据得到，即可解答． 【详解】（1）解： ， 由条件可得， 解得． 故答案为：． （2）解：∵一次函数的图象上有两个不同的点， ∴， 两式相减得， 由条件可知，， ∴． （3）解：∵， ∴一次函数为， ∵该函数图象过点， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴的最大值为． 【经典例题六 判断一次函数的图象】 【例6】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象，解题的关键是根据一次函数的增减性和与坐标轴的交点判断图象的特征． 根据一次函数（、为常数，）的性质以及直线与轴，轴的交点，从而判断函数的图象． 【详解】解：对于函数，它是一次函数，其中，则随的增大而增大，B、C选项错误； 求与轴的交点：当时，，即直线过点， 求与轴的交点：当时，，解得，即直线过点，D选项错误； 故选：A． 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象为（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，根据流程图推导出函数表达式，并根据函数表达式的特征判断对应的图象即可． 【详解】解：根据流程图可得：， ∵，， ∴函数图象过一、二、四象限， 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·课前预习）一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是 ． 【答案】一条直线 【解析】略 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知，一次函数的图象不经过第三象限，且点，在该函数图象上，则 0（用“＞、＜、＝”连接） 【答案】＜ 【分析】由一次函数y＝kx＋b的图象不经过第三象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出k＜0，b＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合1＞−1，即可得出y1＜y2． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴k＜0，b＞0， ∴y随x的增大而减小． 又∵点（1，y1），（−1，y2）在一次函数的图象上，且1＞−1， ∴y1＜y2， ∴ ， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一次函数的性质，牢记“k＜0，b＞0⇔的图象在一、二、四象限”是解题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏·月考）先画图，再回答问题 (1)在同一直角坐标系内作出一次函数，，的图象； (2)点、是否在所画的图象上？在哪一个函数的图象上？ (3)如果在的图象上，求a的值． 【答案】(1)见解析 (2)点在函数图象上，点不在函数图象上，且点在函数的函数图象上 (3) 【分析】本题主要考查了函数的图象以及图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象的特征，是解题的关键． （1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，用两点法即可作出图象； （2）根据函数图象即可判断； （3）把代入即可求解． 【详解】（1）解：函数与坐标轴的交点坐标为，， 函数经过点，， 函数与坐标轴的交点坐标为，， 在平面直角坐标系中描点、连线，如图所示： （2）解：根据图象可知，点在所画的函数的图象上，点不在所画的三个函数的图象上； （3）解：将点代入，得， 解得：． 【经典例题七 求一次函数解析式】 【例7】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知一个函数的函数值与自变量的几组对应值如下表，这个函数的表达式可以是（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 6 9 12 ．．． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求函数表达式，掌握待定系数法确定一次函数表达式的方法是解决问题的关键． 由选项可知，表中数据满足一次函数，设表达式为，任取两个点代入，解二元一次方程组即可得到答案． 【详解】解：设表达式为， 将、代入表达式可得， ， 解得， ∴ 函数表达式为， 故选：D． 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．请根据表格中的数据写出与之间的函数表达式（    ）； 时间：（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，由表格数据可知，每增加个小时，圆柱体容器液面高度增加厘米，据此解答即可求解，看懂表中数据的变化情况是解题的关键． 【详解】解：由表格数据可知，每增加小时，圆柱体容器液面高度增加厘米， ∴， 故选：． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）温度是影响声音传播速度的一个关键因素，在大多数情况下，随着温度的升高，声速会增大，实验发现声音在淡水中的传播速度与温度之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，则与之间的函数关系式为 ． 温度 0 10 20 30 40 … 声速 1380 1430 1480 1530 1580 … 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，通过待定系数法求解函数关系式即可． 【详解】解：设v与t之间的函数关系式为， 将点和代入得： ， 解得：， 故v与t之间的函数关系式为． 3．（2025·江苏徐州·一模）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同． 【答案】 【分析】本题考查了由函数图像获取信息，待定系数法求函数解析式，利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，再求出两直线的交点即可得到答案． 【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为， 根据图象得，， 解得：， ， 设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为， 根据图象得，， 解得：， ， 联立， 解得：， 经过20分钟时，当两仓库快递件数相同， 故答案为：20． 4．（24-25八年级上·江苏·阶段练习）在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数．已知这根弹簧上挂物体时弹簧长度为，挂物体时弹簧长度为； (1)试确定弹簧长度y（厘米）与所挂物体质量x（千克）之间的函数关系式． (2)并求当所挂物体的质量为35千克时弹簧的长度． 【答案】(1) (2)当所挂物体的质量为时弹簧的长度为 【分析】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，由自变量求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键． （1）设y与x的函数关系式为，由待定系数法求出其解即可； （2）把时代入解析式求出y的值即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数表达式为， 把，代入得，， 解得：， ∴y与x的函数表达式为． （2）解：当时，． 答：当所挂物体的质量为时弹簧的长度为． 【经典例题八 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例8】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）已知一次函数的图像经过点，且随的增大而减小，则该函数图像可能是（   ） A．经过第一、二、三象限 B．经过第一、二、四象限 C．经过第一、三、四象限 D．经过第二、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键在于掌握一次函数图像与系数关系；对于一次函数，若，随的增大而减小；若，随的增大而增大；若，函数图像与轴交于正半轴；若，函数图像与轴交于负半轴；由点得，则函数图像与轴交于正半轴；由随的增大而减小得，图像呈下降趋势，根据图像判断出经过的象限即可． 【详解】由点代入 得，则函数图像与轴交于正半轴； 由随的增大而减小得，图像呈下降趋势； ∴一次函数图像经过第一、二、四象限． 故选B． 1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数中各系数的正负与图象的走势是关键． 根据一次函数各系数的正负判定图象经过的象限进行判定即可． 【详解】解：一次函数与， 当时，， ∴一次函数图象经过第一、二、三象限，A，B，C，D均不符合； 当时，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限，C，D选项符合； 当时，， ∴一次函数与的图象必过， ∵， ∴当时，，故只有D选项符合题意； 故选：D ． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象一定不经过点 ．(填“”或“”或“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数解析式可得一次函数图象不经过第一象限，即可求解． 【详解】解：一次函数的，， 一次函数图象不经过第一象限， 一次函数图象不过点． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． ．．． ．．． ．．． ．．． 给出下面四个结论： ①； ②一次函数的图象不经过第三象限； ③关于的方程的解是； ④关于的不等式的解集是； 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．先求出该一次函数解析式为，再根据一次函数的图象和性质，可判断①、②、③，又，随的增大而减小，当时，，即可判断④，即可求解． 【详解】解：根据题意得：当时，，当时，， ∴方程的解为，故③错误； ，解得：， ∴该一次函数解析式为， ∴，随的增大而减小，图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故①错误、②正确； ∵，随的增大而减小，当时，， ∴关于的不等式的解集是，故④正确， 故答案为：②④ 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，左框中的实数x与右框中的实数y满足某个一次函数关系，输入x的值会输出一个y的值． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求m的值； (3)该一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】(1) (2) (3)一 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）计算函数值为9对应的自变量的值即可； （3）根据一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 把，分别代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得，即； （3）解：， 该一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故答案为：一． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值，也考查了一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质． 【经典例题九 已知函数经过的象限求参数范围】 【例9】（25-26八年级上·江苏南京·期中）一次函数与一次函数（，均为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，掌握相关知识是解题关键．分析每个选项中所过象限确定，的正负，然后与的图象对比验证是否一致． 【详解】解：A：函数的图象经过第一、三、四象限，则，，函数的图象经过第二、三、四象限，故选项A符合题意； B∶ 函数的图象经过第一、二、三象限，则，函数的图象需经过第一、三、四象限，故选项B不符合题意； C∶ 函数的图象经过第一、三、四象限，则，函数的图象需经过第二、三、四象限，故选项C不符合题意； D∶ 函数的图象经过第一、二、四象限，则，时，函数的图象需经过第一、二、三象限，故选项D不符合题意． 故选：A． 1．（24-25八年级上·江苏泰州·月考）直线（k，b为常数且k，）和直线（k，b为常数且k，）在同一坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象，先根据直线经过的象限，得出k和b的符号，然后再判断直线的k和b的符号是否与直线一致，据此即可得出答案． 【详解】解：A．直线中，，，中，，不一致，故本选项不符合题意； B．直线中，，，中，，则，一致，故本选项符合题意； C．直线中，，，中，，不一致，故本选项不符合题意； D．直线中，，，中，，不一致，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）已知一次函数的图像不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，依据一次函数的图象不经过第三象限，可得函数表达式中一次项系数小于0，常数项不小于0，进而得到m的取值范围． 【详解】解：由一次函数的图象不经过第三象限， 则经过第二、四象限或第一、二、四象限， ∴有， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）已知一次函数（，是常数，），正比例函数（是常数，），下列四个结论，其中正确的是 （填序号）． ①若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，则； ②若，则一次函数的图象经过第一、二、四象限； ③将一次函数的图象向左平移2个单位长度，则平移后的图象对应的函数解析式为； ④若，当时，总是小于，则． 【答案】①③④ 【分析】根据一次函数平行的条件，平移的性质，图象的分布，一次函数与不等式的关系解答即可． 本题考查了一次函数平行的条件，平移的性质，图象的分布，一次函数与不等式的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，则 本结论正确； ②若，且时，则一次函数的图象经过第一、三、四象限； 故本结论错误； ③将一次函数的图象向左平移2个单位长度，得 整理，得函数解析式为； 故本结论正确； ④若，，， 当时，，， ∴经过定点， 当时，总是小于， ∴， ∴． 故本结论正确， 故答案为：①③④． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知一次函数 (1)若函数图象在轴上的截距为，求的值 (2)若函数图象不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系；时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与y轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交． （1）根据图象在轴上的截距为，列出方程解方程即可； （2）根据图象不在第二象限，，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：函数的图象在轴上的截距为-3， ， 解得； （2）函数的图象不过第二象限， 由①得，， 由②得，， 所以，． 【经典例题十 一次函数图象与坐标轴交点问题】 【例10】（24-25八年级上·江苏徐州·期末）对于函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．值随值的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小；当时，直线与轴的交点在轴的正半轴，当时，直线与轴的交点在轴的负半轴，当时，直线过原点．解决本题的关键是根据一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A选项：当时，， 图象不经过点， 故A选项错误； B选项：函数的比例系数，， 图象经过第一、二、四象限，而非第一、二、三象限， B选项错误； C选项：， 随的增大而减小， 故C选项错误； D选项：当时，可得：， 解得：， 的比例系数， 随着的增大而减小， 当时，， 故D选项正确． 故选：D． 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，直线与两坐标轴交于两点，点是线段上一动点（不与两端点重合）．过点作轴于点，作轴于点，小明认为矩形的周长不变且始终为8，小红认为当点运动到线段的中点时，点到原点的距离最短，且最短距为．关于两人的判断，下面说法正确的是（    ） A．小明与小红都是正确的 B．小明与小红都是错误的 C．小明是正确的，小红是错误的 D．小明是错误的，小红是正确的 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质以及等腰三角形的三线合一，发现图中的等腰三角形以及能发现并利用垂线段最短是解决问题的关键．先由直线的函数表达式可求出两点的坐标，并发现三角形是等腰直角三角形，再根据，分别垂直于轴和轴，可将，分别转化为，，进而解决问题．根据垂线段最短原则，当时，点到原点的距离最短． 【详解】解：由直线与两坐标轴交于两点，得，，． 所以， ∴是等腰直角三角形． ∵点在线段上运动，且轴，轴， ∴和都是等腰直角三角形， 所以，． 故． 即矩形的周长为定值8． 所以小明说法正确． 在中，根据勾股定理得，． 根据垂线段最短原则，当时，点到原点的距离最短， ∵， 所以点为的中点，且此时． 所以小红的说法正确． 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把绕点A旋转，点B落在点C处，则直线的表达式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求解函数解析式，旋转的性质求解，直线与坐标轴的交点问题，根据直线与坐标轴有交点，分别计算出点A，B的坐标，可求出的长，根据旋转的性质，分类讨论，顺时针旋转和逆时针旋转，分别求出点C的坐标，再根据待定系数法求解析式即可求解． 【详解】解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 令，则，令，则， ， 则， ①绕点A顺时针旋转得，如图所示， ，， ， ， 设直线的解析式为，把代入得， ，解得，， ∴直线的解析式为； ②绕点A逆时针旋转得，如图所示， ，， ， ， 设直线的解析式为，把代入得， ，解得，， ∴直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）直线（k、b是常数且）经过两点，其中，下列五个结论：①；②方程的解在和2之间；③；④；⑤不等式的解集为时，，其中正确的结论有 （只需填写序号）． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象与坐标轴的交点，数形结合是解答本题的关键. ①把代入可判断①正确；②数形结合可判断②正确；把代入消去b，结合可判断③错误；④把代入，结合可判断④正确；⑤结合和的图象，可判断⑤正确． 【详解】解：①把代入，得 ，即，故①正确； ②∵直线经过两点，其中，如图， ∴方程的解在和2之间，故②正确； ③把代入，得 ， 消去b得， ， ∵， ∴，故③错误； ④由，得 ，代入，得 ， ∵， ∴，即，故④正确； ⑤如图， ∵不等式的解集为， ∴，的图象在图象的下方， ∴当时，， ∴，故⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求的值； (2)若点是直线上一点，且的面积为2，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入计算，求出的值即可； （2）先求出点的坐标，再结合的面积为2，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得 （2）由（1）知，直线的函数表达式为 将代入，得，所以点的坐标为， 设点的坐标为 的面积为2， ，解得， ①将代入，得， 所以点的坐标为； ②将代入，得， 所以点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【经典例题十一 求一次函数自变量或函数值】 【例11】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）一次函数，当，的最大值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一次函数函数值，一次函数的增减性，掌握系数与增减性的关系是解题关键． 根据解析式可得该函数y随x的增大而减小，则当时取得最大值，求出此时y的值即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴该函数y随x的增大而减小， ∴当时，时取得最大值， 此时， 故选：D． 1．（2025八年级上·全国·专题练习）对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） A．5 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的性质解答是解题的关键．根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：从表中可以看出，自变量每增加1个单位，函数值的前3个都是增加3，只有第4个是增加了4，导致第5个只增加了2． 第4个应是增加了3，即为11． 这样函数值随自变量是均匀增加，因而满足一次函数关系． ∴这个计算有误的函数值是12， 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知一次函数中x和y的部分对应值如表所示： x 0 2 y 6 4 2 那么关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，通过解析式求自变量的取值，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 利用待定系数法求出函数解析式，然后通过解析式求自变量的取值即可． 【详解】解：由表格可知，当；时，代入得， ， 解得， ， ∴时，， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，点P是上一点，设的长为，的面积为S． （1）S与x之间的函数表达式为 ． （2）当的面积为18时，则的长为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查求函数表达式，已知函数值求自变量的值，求出函数表达式是解题的关键． （1）由题意得，由三角形面积公式即可求解； （2）由（1）中所得，解方程即可求解． 【详解】解：（1）， 则， 故答案为：； （2）当时，即， 解得：， ∴， 故答案为：2． 4．（24-25八年级上·江苏泰州·月考）如图，直线：交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点，重合），． (1)求点、的坐标； (2)设的面积为，点的横坐标为，写出与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (3)当的面积为时，点的坐标； (4)的面积能达到1吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3) (4)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及直线与坐标轴的交点问题，已知函数值求自变量的值，函数关系式等知识点． （1）分别令，即可求解直线与坐标轴的交点； （2）由题意得，则由即可建立函数关系式，根据点的运动范围可求解取值范围； （3）将代入函数解析式，求出，即可求解的坐标； （4）将代入函数解析式，求出，与取值范围比较即可． 【详解】（1）解：对于直线， 当， 当，， 解得：， ∴，； （2）解：由题意得， ∴， ∴与之间的函数关系式为：， 的取值范围为：； （3）解：由题意得，当时，， 解得：， ∴； （4）解：不能，理由如下： 当时，， 解得：，不在范围内， 故不能． 【经典例题十二 一次函数的图象问题】 【例12】（25-26八年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，对于函数：①，②，③，④的图象，下列说法正确的是（   ） A．通过点的是①和③ B．交点在轴上的是②和④ C．①和③都与函数的图象平行 D．关于轴对称的是②和③ 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，利用一次函数与坐标轴的交点，两个一次函数的交点，一次函数平行条件k相同，一次函数关于坐标轴对称逐项判断解答即可． 【详解】A、点代入①，通过；②，通过；③，不通过；④，通过，通过的是①②④，该选项错误； B、交点在y轴上需时y值相等，时，①，②，③，④，②和④y值不相等，该选项错误； C、函数的，①，③，均与平行，该选项正确； D、②与③，关于x轴对称需x取相同值时，y值互为相反数，但时均为，不相反，该选项错误； 故选：C． 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，将直线向上平移得到，与轴、轴分别交于点、点，若，则直线的解析式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的平移性质及坐标轴上点的坐标特征，解题的关键是掌握一次函数平移时的规律． 根据直线平移性质设直线的解析式为；由及是与轴交点，确定点坐标为；将点坐标代入解析式求出的值，进而得到的解析式． 【详解】解：∵ 直线由直线向上平移得到， ∴ 设直线的解析式为． ∵ 直线与轴交于点，且， ∴ 点的坐标为． 将代入，得，解得． ∴ 直线的解析式为． 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且点从点出发，向右运动，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】确定，，得，，然后分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时，如图， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②当时，如图， 在中，，， ∴， ∴； ③当时，如图， ∵轴与轴互相垂直，即， ∴， ∴， 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点、、和点、、…分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律的横坐标是，纵坐标是是解题的关键．依据题意，利用一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可得出点，，，，的坐标，即可根据正方形的性质得出，，，，的纵坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律点的横坐标是：，再代入即可得出结论． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， ∵为正方形， ∴点的坐标为， 同理，可知：点的坐标为， 点的坐标为， ∴的横坐标是：，纵坐标是：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知一次函数． (1)在如图的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)直接写出直线与轴、轴的交点，的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)4 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，画一次函数的图象，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，画出函数图象即可； （2）将和分别代入计算即可； （3）结合，两点的面积进行计算即可． 【详解】（1）解：函数的图象，如图所示， ； （2）解：当时，，解得， ∴点坐标为； 当时，， ∴点坐标为； （3）解：∵，， ∴． 【经典例题十三 一次函数的平移问题】 【例13】（2025·江苏淮安·一模）如图，一次函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据平移的规律可知直线的图象经过点，根据两条直线平行，从而可确定一次函数的图象不经过的象限． 【详解】解：直线的图象经过点，将该函数图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象， 直线的图象经过点． ， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，，将直线以每秒2个单位长度向右平移秒，当直线与四边形有公共点时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换及一次函数的性质，根据题意，分别求出平移后的直线经过点B和点D时的函数解析式，进而可得出平移的距离，据此可解决问题． 【详解】解：将代入得， 解得， 所以直线l与x轴的交点坐标为． 令平移后的直线函数解析式为， 当平移后的直线经过点B时，， 解得， 所以此时直线的函数解析式为， 则． 当平移后的直线经过点D时， ， 解得， 所以此时直线的函数解析式为， 令得，， 解得， 所以， 所以当直线l与四边形有公共点时，t的取值范围是：． 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，将函数图象向下平移1个单位长度后，得到直线，则原函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移、求一次函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据一次函数的平移得到直线的表达式为，结合图象，再利用待定系数法求出的值，即可得出答案． 【详解】解：将函数图象向下平移1个单位长度后得到， ∴直线的表达式为， 代入和，得， 解得， ∴原函数表达式为 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，点，，在平面直角坐标系中，将直线向上平移n个单位长度，当平移后的直线与折线只有一个交点时，满足条件的整数n有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征．求得平移后的直线解析式，求得直线过点B、C时的n的值，结合图象即可求得当平移后的直线与折线只有一个交点时，则或，整数n有2，3，5共3个． 【详解】解：将直线向上平移n个单位长度，得到直线， 把代入得，，解得， 把代入得，，解得， 由图象可知，当平移后的直线与折线只有一个交点时， 则或， ∴满足条件的整数n有2，3，5共3个． 故答案为：3． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A， (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)①若点，在该一次函数的图象上，且，则______（用“>”或“<”填空）； ②当时，y的取值范围是______ (3)将一次函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，所得直线与x轴交于点E，若，求m的值． 【答案】(1)见解答图 (2)①>；② (3)m的值为 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键． （1）根据直线与坐标轴的交点即可求得A、B的坐标，根据两点确定一条直线，作出一次函数的图象即可； （2）①根据图象即可判断；②根据图象即可求得； （3）求得平移后的函数解析式，进一步求得E点的坐标，利用即可求得m的值． 【详解】（1）解：已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B， 当时，， ， 当时，解得， ， 函数图象如图． （2）解：①由图象可知，一次函数随x的增大而减小， 点，在该一次函数的图象上，且， ， 故答案为：>； ②由图象可知，当时，y的取值范围是， 故答案为：； （3）解：将一次函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，得到， 令，则求得， ， ， ， ， 的值为 【经典例题十四 根据一次函数增减性求参数】 【例14】 （24-25八年级上·江苏镇江·期末）若一次函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次项的系数决定函数的增减性质，掌握此性质是解题的关键． 根据一次函数的性质可确定一次项系数的符号，从而可确定m的取值范围． 【详解】解：当时，，则y随x的增大而减小， ∴， 解得： 故选：D． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，直线分别与轴，轴交于，直线分别与轴，轴交于，其中，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质，根据一次函数图象与系数的关系逐项分析判断即可． 【详解】解：．由两个函数图象可知，，故，故该选项不符合题意； ．由两个函数图象可知，，故，故该选项不符合题意； ．由可知，则，故该选项符合题意； ．由图象可知，，故，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知一次函数(a为常数,且)，若当时，函数有最大值5，则a的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可分当时和当时，进而分类求解即可． 【详解】解：当时，一次函数的增减性为y随x的增大而增大， ∴当时，一次函数有最大值5，即，解得：； 当时，一次函数的增减性为y随x的增大而减小， ∴当时，一次函数有最大值5，即，解得：； 故答案为2或． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数． （1）若该函数图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，则m的取值范围是 ． （2）当时，函数y有最大值，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解答本题的关键． （1）根据题意得不等式，解不等式即可得到结论； （2）根据题意得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数的图象与y轴的交点位于y轴的正半轴， ∴， 解得：； 故答案为：； （2）在一次函数中， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，函数y有最大值， ∴当时，，代入得，， 解得：． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）已知一次函数． (1)若图象经过原点，求m的值； (2)若y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把原点坐标代入解析式解答即可； （2）根据y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，得，解答即可； （3）当时，确定，判定y随x的增大而增大，结合，当时，y取得最大值，结合解析式解答即可． 本题考查了图象过原点，不等式的解法，一次函数的性质，熟练掌握解不等式组和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把原点坐标代入解析式， 得， 解得． （2）解：y随着x的增大而减小， ， 解得， 图象交y轴于正半轴， ， 解得， 故． （3）解：当时，函数的解析式为， ， y随x的增大而增大， 当时，时，y取得最大值， 故y的最大值为． 【经典例题十五 比较一次函数值的大小】 【例15】（25-26八年级上·江苏南京·期中）若点，都在一次函数的图象上，则与大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由可得中随的增大而增大，然后通过性质即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴中随的增大而增大， 又∵， ∴， 故选：． 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，已知直线经过二，一，四象限，且与两坐标轴交于，两点，若，是该直线上不重合的两点．则下列结论：①；②的面积为；③若时，；④．其中正确的有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图像和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据直线经过的象限可判定①结论错误；求出点、坐标，即可求出的面积，可判定②结论正确；直接观察图像，即可判定③结论正确；将两点坐标代入，进行消元，即可判定④结论错误． 【详解】解：∵直线经过二，一，四象限， ∴，， ∴，故①结论错误； ∵当时，，当时，； ∴点，， ∴，， ∴的面积，故②结论正确； 直接观察图像，当时，，故③结论正确； 将，，代入直线解析式，得 ， ∴， ∴，故④结论错误； ∴正确的有：②③． 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）一次函数的图象经过点，，则 （填“＞”或“＜”或“＝”）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵一次函数的， ∴一次函数y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，，，是直线上不重合的两点．则；③；④；⑤当时，．其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了一次函数的性质，两个一次函数图象交点问题，一次函数与不等式；能熟练利用一次函数的性质，数形结合求解是关键；①由一次函数的性质得，，即可判断；②可得，，，求出，代入后即可判断；③当时， ，，结合图象，即可判断； ④当时， ，，结合图象，即可判断；⑤当时，，，结合图象，即可判断． 【详解】解：①由图象得：，， ， 故此项正确； ②，，，是直线上不重合的两点， ， ， ， ， ， ， ， 故此项不正确； ③当时， ， ， 由图象得：当时，， ， 故此项正确； ④当时， ， ， 由图象得：当时，， ， 故此项正确； ⑤当时， ， ， 由图象得：当时，， ， 故此项错误； 故答案为：①③④． 4．（24-25八年级上·江苏南京·月考）已知与x成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若点、在（1）中函数的图象上，比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质． （1）根据正比例函数的定义，设，然后把已知的对应值代入求出k，从而得到y与x的函数关系式； （2）根据一次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：设， ∵时，， ∴， 解得， ∴， ∴y与x的函数解析式为； （2）解：∵， ∴y随x的增大而减小， 而， ∴． 【经典例题十六 一次函数的规律探索问题】 【例16】（24-25八年级上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，B．以点A为圆心、长为半径画弧交x轴于点，再过点作x轴的垂线交直线于点，以点A为圆心，长为半径画弧交x轴于点．按此做法进行下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意，利用勾股定理求出，，的长，得到各点坐标，找到规律即可解答． 【详解】解：如图， 当时，； 当时，； 可得，， ； ； ； 即，，； ， 可得． 故选：D． 1．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，解析式为的直线a，解析式为的直线b如图所示，直线a交y轴于点A，以为边作第一个等边三角形，过点B作y轴的平行线交直线a于点，以为边作第二个等边三角形顺次这样作下去，第2020个等边三角形的边长为（　　） A． B． C．4038 D．4040 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象中的规律探索，等边三角形性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识并运用数形结合思维分析是解题的关键．依题意，分别求出前面几个等边三角形的边长，得出规律，即可求解． 【详解】解：如图，延长交轴于点， 当时，， ∴， 即第1个等边三角形的边长为； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 即第2个等边三角形的边长为2； 延长交轴于点，同理可得，即第3个等边三角形的边长为； 同理得，即第4个等边三角形的边长为； 可得第2020个等边三角形的边长为， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）正方形按如图所示的方式放置．点…和点…分别在直线和x轴上．则点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的规律探究，点坐标规律探索；当时，求出，得到的坐标为，得到，找出规律的纵坐标为，即可求出． 【详解】解：当时，代入， 得，解得， ∴， ∴， 当时，代入， 得， ∴， ∴， ∵， 又， ∴ ∵为正方形， ∴，， ∴的坐标为， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴的纵坐标为2， 同理， ， ∴的纵坐标为4， 同理可得： 的纵坐标为， …… ∴的纵坐标为， ∴点的纵坐标， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确找出规律是解题的关键．依据题意，观察横坐标变化规律，根据规律求解即可． 【详解】解：，点在直线上， ， 轴， 点的纵坐标为1， 点在直线上， ， ， ，即点的横坐标为， 同理可得，点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 点的横坐标为， 令， ， 点的横坐标为， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质． （1）根据已知条件先求出、的坐标，设直线的解析式为，代入求解即可； （2）根据已知条件先求出、，同理可得出、的坐标； （3）总结（2）中的规律可得出的坐标． 【详解】（1）解：∵正方形、的边长分别为， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点、在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：∵的边长为1， ∴， ， 在直线上， ， ， 同理可得， ∴，； （3）解：由（2）中规律可得：， 故答案为：． 【拓展训练一 一次函数的图象与性质综合】 1．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A． (1)当时，y的取值范围是______； (2)将向下平移n（）个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，坐标与图形变化——轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． （1）依据题意，由，则y随x的增大而增大，结合当时，；当时，，从而可以判断得解； （2）令，先求出点A的坐标，得出点A关于y轴的对称点的坐标，再根据一次函数的平移，设直线的函数表达式，再代入对称点的坐标即可求出n的值． 【详解】（1）解：∵在函数中，， ∴y随x的增大而增大． ∵当时，； 当时，， ∴当时，． 故答案为：． （2）解：对于直线：，令，则． ∴， ∴点关于y轴的对称点为， ∵将l1向下平移n（）个单位长度得到直线， ∴设l2的函数表达式为， ∵直线过点， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）某工厂记录1台炼油机的生产时间与产量的关系如下： 生产时间/时 0 1 2 3 4 5 ．．． 产量/吨 0 4 8 12 16 20 ．．． (1)这台炼油机的产量与生产时间成___________比例关系； (2)根据表中数据，在图中描出这台炼油机的生产时间与对应产量的点，再把这些点依次连接起来； (3)计算这台炼油机要炼70吨油需要多少小时． 【答案】(1)正 (2)见详解 (3)小时 【分析】本题主要考查了正比例函数的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据表中数据，结合正比例关系的性质即可获得答案； （2）结合表中数据，按照描点、连线的步骤作图即可； （3）设这台炼油机的产量与生产时间的关系式为，利用待定系数法求得该函数解析式，然后，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知这台炼油机的产量与生产时间成正比例关系． 故答案为：正； （2）根据表中数据，可得 （3）设这台炼油机的产量与生产时间的关系式为， 将点代入，可得， 解得， ∴这台炼油机的产量与生产时间的关系式为， 令，可得， 解得（小时）， ∴这台炼油机要炼70吨油需要小时． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，，且满足，，，点P从点A出发，沿着折线A→B→C运动，到达点Ｃ后停止运动．设点P运动的路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并写出对应自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，当时，请直接写出x的值． 【答案】(1) (2)图象见解析；性质：该函数在时取得最大值为12（答案不唯一） (3)或 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，梯形的性质，等腰三角形的判定与性质，一次函数的解析式的求解，一次函数的图象与性质，解决本题的关键是分类讨论点P的位置得到表达式． （1）作辅助线构造矩形，并证明为等腰直角三角形，由此可得的长度，分类讨论点P在上与点P在上两种情况，当点P在上时，根据求解即可；当点P在上时，根据三角形面积公式求解即可； （2）先列表，再描点，从而在给定的平面直角坐标系中画出函数图象即可，再根据一次函数的图象得到性质即可； （2）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：过点C作的延长线于点D，如图， ∵，， ∴，即四边形是梯形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，即， ∴， 又， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则， 当点P在上时，， ∵点P运动的路程为x，即，则， ∴， ， ， ∴； 当点P在上时，，如图， ∴，则， ∴； ∴； （2）解：由（1）知，， 列表可得： x 0 2 4 6 9 y 4 8 12 8 2 描点可得图象为： 性质：该函数在时取得最大值为12； （3）解：由图象可知，当时，或． 【拓展训练二 一次函数的增减性问题】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上，求一次函数的解析式． (2)当时，一次函数（k为常数，且）有最大值k，求k的值． (3)若一次函数（k为常数，且）与x轴的交点为，且，设，求P的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． （1）将点代入一次函数解析式得到值，继而得到一次函数解析式； （2）分情况讨论最值①当时，随的增大而增大，②当时，随的增大而减小，继而得到的最大值； （3）画出示意图，先求出的取值范围，再根据求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得：， ∴一次函数解析式为：； （2）解：①当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，即，解得：， ②当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，即，解得：（舍去） 综上所述； （3）解：如图， ∵， ∴当时，，时， ，∴ ∵， ∴； 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)在给定的直角坐标系中画出这个一次函数的图象，并指出当增大时，如何变化． 【答案】(1)一次函数的解析式为． (2)见解析，y随着x的增大而增大． 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的图象，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）设一次函数解析式为，将已知两点坐标代入求出与的值，即可确定出解析式； （2）做出函数图象，根据增减性即可得到结果． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）如图所示，y随着x的增大而增大． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点． (1)求的值和直线的函数表达式； (2)若点在线段上，点在直线上． 求： ①的范围； ②的最大值． 【答案】(1)， (2)； 【分析】（1）待定系数法解答即可； （2）①根据A，B的横坐标，解答即可． ②用含t的代数式表示出，根据一次函数的增减性确定最值即可． 本题考查了待定系数法，一次函数的性质，熟练掌握待定系数法，性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得． 设直线的函数表达式为，把，代入，得 解得 直线的函数表达式为． （2）解：①点在线段上， ． 故的范围； ②解：点在直线上， ， ． ， 随t的增大而减小， 当，的最大值为． 【拓展训练三 一次函数的平移问题】 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，一次函数的图象分别与轴正半轴、轴负半轴相交于点． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数的图象向上平移5个单位长度后可得某正比例函数的图象，求该一次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质，正比例函数的性质，一次函数的平移问题． （1）根据一次函数k与b的特点列不等式组计算即可； （2）先根据正比例函数的特点求出m的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与轴正半轴、轴负半轴相交于点， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵该一次函数的图象向上平移5个单位长度后可得某正比例函数的图象， ∴是正比例函数， ∴， 解得：， ∴． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）已知一次函数的图象如图所示： (1)求该一次函数的表达式； (2)将该一次函数的图象向下平移4个单位长度可得一个新函数，画出新函数的图象，并根据图象直接求，当时新函数y的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答． （1）根据一次函数（k，b是常数，）的图象过，两点，运用待定系数法可以求得该函数的表达式； （2）根据一次函数的平移解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数（k，b是常数，）的图象过，两点， ∴， 解得， 即该一次函数的表达式是； （2）解：把向下平移4个单位后可得：， 图象如图： 当时，；当时，， 所以，当时新函数y的取值范围为． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 【拓展训练四 一次函数的对称问题】 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，以线段为一直角边向直线左侧作等腰直角． (1)求直线的函数表达式； (2)将直线向上平移个单位长度，当直线与线段有交点时，求的取值范围； (3)已知点与点关于对称，若直线上存在一点，使得是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点的坐标，再求得平移后直线的解析式为，根据题意，结合图形即可求解； （3）根据轴对称的特点求得点，分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点，， ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵点，， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， ∵将直线向上平移个单位长度，则平移后直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴的取值范围是； （3）解：∵点与点关于对称，点， ∴点， ∴， 当时，此时是等腰直角三角形， ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为； 当时， 作轴于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为； 同理点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数图象的平移，数形结合是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）探究函数的图象与性质．请将探究过程补充完整： (1)第一步：确定自变量的取值范围．函数的自变量x的取值范围是 ； (2)第二步：列表．下表是x与y的几组对应值 x … 0 1 … y … m 0 n … 表中m＝ ，n＝ ； (3)第三步：在如图的网格中，建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)第四步：根据函数图象得出关于函数的以下结论：①函数有最大值为0；②当时，y随x的增大而减小；③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称．其中正确的是 ．（只填序号） (5)函数的图象可以看作是由函数的图象向 （填“左”或“右”平移 个单位长度，再向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度得到的． 【答案】(1)全体实数 (2)； (3)见解析 (4)①②③ (5)右；5；上；1 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，熟练掌握相关知识点，能从图象获取函数的性质是解题的关键； （1）根据题目中的函数解析式，可知x的取值范围； （2）根据函数解析式可以得到m，n的值； （3）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象； （4）根据函数图象可以判断该函数的性质； （5）根据平移的性质解答即可． 【详解】（1）函数的自变量x的取值范围是全体实数． 故答案为：全体实数． （2）当时，； 当时，； 故答案为：；． （3）画出函数的图象如图： （4）由图知，函数有最大值为0；当时，y随x的增大而减小；图象关于过点且垂直于x轴的直线对称．故正确的是①②③； 故答案为：①②③． （5）函数的图象可以看作是由函数的图象向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的． 故答案为：右；5；上；1． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： 0 1 2 3 4 0 0 则_____，_____； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①观察函数图象，当_____时，的值随的值的增大而增大； ②观察函数图象，当时，的取值范围是_____； ③观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． ④观察函数图象，试判断函数的图象是否是轴对称图形？若是，直接写出对称轴的直线表达式． 【答案】(1)； (2)图见解析 (3)①；②；③存在最小值，最小值是；④是， 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）将自变量的值代入函数，进而求出函数值即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可． 【详解】（1）解：将代入，得：； 将代入，得：； 故，， 故答案为：，； （2）解：描点，连线，画出函数图象如图： （3）解：①由图象可知：时，的值随的值的增大而增大； ②由图象可知，当时，的取值范围是：； ③由图象可知，函数存在最小值，为； ④由图象可知，函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线， 故答案为：①，②． 【拓展训练五 一次函数的旋转问题】 1．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 【答案】(1)见解析 (2)1，0； (3) (4) 【分析】本题考查了怎样在坐标轴上画函数，函数与坐标轴相交点的坐标，三角形面积的计算． （1）分别令，，可求出与x轴、y轴的交点坐标，过两交点作直线即可． （2）直接由（1）即可求解； （3）根据三角形的面积公式解答即可； （4）根据旋转的性质可得旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】（1）解：（1）当时，；当时，，画出图形如下： （2）解：由（1）得：图象与x轴的交点A的坐标为，与y轴交点B的坐标为； 故答案为：1，0； （3）解： （4）解：∵该函数图象绕原点旋转， ∴旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为， 设旋转后的图象的解析式为， ∴，解得：， ∴该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式为． 2．（24-25八年级上·山东滨州·期末）（1）已知正比例函数图象经过点． ①求这个函数的解析式： ②图象上两点,如果，比较的大小， （2）如图， 按逆时针方向旋转一定角度后与重合， ①若请指出旋转中心，并求出旋转角及的度数； ②若点恰好成为的中点，且，请求出的长． 【答案】（1）①；②当时，；（2）①旋转中心是点，旋转角度是，；②． 【分析】本题考查用待定系数法求正比例函数解析式、正比例函数的性质、旋转的性质以及全等三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）①把点代入可得的值，进而可得函数的解析式； ②根据正比例函数的性质，即当时，随的增大而减小进行分析即可； （2）①先根据旋转的性质确定旋转中心和旋转角，再根据已知条件求出旋转角的度数，最后再利用周角定义以及角的和差关系求出即可； ②由旋转性质可知，再根据全等三角形的性质可得，，再结合已知条件即可求出的长，进而求出的长． 【详解】解：（1）①把点代入得，解得， 所以正比例函数解析式为； ②， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，； （2）①∵逆时针旋转一定角度后与重合，为顶点， ∴旋转中心是点， 由旋转的性质可知，， ∴旋转角度是， ； ②由旋转性质得， ，， 点为的中点， , ． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、C，将直线沿x轴翻折得直线点B在y轴上，点，点P是x轴上的一个动点，设点P的横坐标为 (1)求直线的函数表达式； (2)将直线绕点A顺时针方向旋转，交y轴于点M，求直线的函数表达式． (3)以为斜边作等腰直角三角形，是否存在t的值，使点E落在线段或上？直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2) (3)或0或 【分析】（1）先求出，，可得，再利用待定系数法解答即可； （2）过C作于H，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到，设，得到，根据相似三角形的性质得到，再利用待定系数法解答即可； （3）当点E在线段AC上，过E作轴，过D作于G，过P作于H，根据全等三角形的性质得到，，设，求得，解方程得到；当点E在线段BC上，过D作轴于G，同理可证，得到，，设，求得或，即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，， 解得， 当时，， ∴，， ∵将直线沿x轴翻折得直线点B在y轴上， ， 设直线的函数表达式， ， 解得， 直线的函数表达式； （2）解：由旋转的性质得：， 如图，过C作于H， 则是等腰直角三角形， ， ， ， 设， ， ，， ， ， ， 即， 解得：， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为； （3）解：存在t的值，使点E落在线段或上；或0或4；理由如下： 当点E在线段上， 过E作轴，过D作于G，过P作于H，如图1， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， 设， 又，， ， 解得或舍去， ， ， ， 解得； 当点E在线段上， 过D作轴于G，如图2， 同理， ，， 设， ， 或， 当时，，此时， ， ； 当时，，此时， ， ； 综上，或0或 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查一次函数的应用、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，三角形面积的计算，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 【拓展训练六 一次函数的最值问题】 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，经历了结合图象研究函数性质的过程．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，并解决如下问题． (1)当时，_____；当时，_____； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象； (3)已知点在这个函数图象上，求的值； (4)当时，的取值范围为_____； (5)点、是该函数图象上不重合的两点，横坐标分别为、．小明对、之间（含、两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)0；5 (2)图象见详解 (3)或 (4) (5)或 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）分别把，代入函数解析式进行求解即可； （2）根据描点、连线可画出函数图象； （3）由题意可把代入函数解析式进行求解即可； （4）根据（2）中函数图象可进行求解； （5）根据（2）中函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可把代入得：， 把代入得：； 故答案为0；5； （2）解：由可列表如下： x ….. 0 1 3 ….. y ….. 0 3 2 4 ….. 所作函数图象如下： （3）解：∵点在这个函数图象上， ∴当时，则有，即； 当时，则有，解得：； 综上所述：或； （4）解：当时，则有， ∴由（2）中函数图象可知：当时，的取值范围为； 故答案为； （5）解：由（2）中函数图象可知：当点P、Q在之间时，图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化时， ∴或， 解得：或． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为． (1)当时， ①请你在平面直角坐标系中画出函数的图象； ②若点和点在图象G上，则a的值为 ，b的值为 ； (2)当时，函数的最大值记为p，最小值记为q，当时，求的取值范围． 【答案】(1)①见解析；②0，或3 (2) 【分析】（1）①由题意画出函数图象即可；②由图象即可得解； （2）分类讨论，然后根据增减性找到取值范围内最大值和最小值，即可得解． 本题主要考查了一次函数的图象和性质、一次函数最值问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）①函数的图象如图所示； ②根据图象可知，当时，， 当时，或3； 故答案为：0，或3； （2）当时，此时当时，其图象都在的图象上， ， 随x增大而增大， 当时，，当时，， ； 当时，此时， 当时，，当时， ， 综上， 3．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）综合与实践 小颖探究了一个新的函数图象，请你帮助她完成探究. ①列表： … 0 1 2 … … 3 1 3 … 表格中_________，_________； ②在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； ③函数有最大值和最小值吗，如果有分别是多少？ ④观察你所画函数的图象，写出关于该函数的两条性质． ⑤若两点都在该函数图象上，且，则_________． 【答案】①，；②函数图象见解析；③由图象知该函数有最小值为，没有最大值；④当时，随的增大而增大，函数图象是轴对称图形，关于直线对称；（答案不唯一）；⑤． 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，正确的画出函数图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： ①将和代入解析式求出的值即可； ②根据表格，描点，连线，画出函数图象即可； ③根据图象可得答案； ④根据图象写出两条性质，即可； ⑤根据题意可得关于对称，进而即可求解． 【详解】解：①∵， ∴当时，，当时，， ∴； ②画出函数图象如图： ③由图象知该函数有最小值为，没有最大值； ④当时，随的增大而增大，函数图象是轴对称图形，关于直线对称；（答案不唯一）； ⑤，两点都在该函数图象上，且， ∴关于直线对称， ∴． 1．（2025八年级上·全国·专题练习）已知直线始终过定点，直线经过点和点，则直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 先求出点的坐标，然后用待定系数法即可求解． 【详解】解：∵直线始终过定点， 当时，， 即直线始终过点， ∴， 将和代入直线中，有： ， 解得：， ∴直线的表达式为． 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到，结合即可推导参数关系，进而判断选项． 【详解】解：点在函数图象上，代入得： ∵， ∴，即， ∵，即， ∴ ∴，． 故选：A ． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一次函数与（，）的图象如图所示，则下列结论：①对于函数来说，y随x的增大而减小；②；③函数的图象不经过第一象限；④；⑤x的值每增加1，的值增加．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．②③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是关键． 根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：①由图象可知：函数中，随的增大而减小；故①正确； ②由图象可知：， ， ∴，故②正确； ③由图象可知：，故函数的图象不经过第一象限；故③正确； ④由图象可知，两函数图象交点的横坐标为，故，故④正确； ⑤当时，， 当时，， ， ∴的值每增加的值增加，故⑤错误， 故选：A． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，与的函数关系如图所示，图象与轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论：①当时，；②当时，随的增大而增大；③若点在此函数图象上，则符合要求的点有三个；④将函数图象向右平移1个或3个单位长度，经过原点．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②④ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象性质，熟悉掌握函数的图象性质是解题的关键． 根据函数的图象性质结合图象逐一判断即可． 【详解】解：由图象可得：当时，或，故①错误； 由图象可得：当时，随的增大而增大，故②正确 ∵， ∴点在一次函数上，如图： ∴则符合要求的点有三个，故③正确； ∵图象与轴有三个交点，分别为，，， ∴将函数图象向右平移1个或3个单位长度，经过原点，故④正确； 综上，正确的有②③④； 故选：C． 5．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线 与x轴和y轴分别交于A，B两点，E、F分别是的中点，P是x轴上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图象与性质，中点坐标公式，两点间距离公式，先求出A，B两点坐标，得中点F的坐标，求得点E关于x轴的对称点，求出直线的解析式，交x轴于点P，则，当三点在同一条直线上时最小，最小值为，由两点间距离公式求出即可． 【详解】解：对于直线 ， 当时，；当时，， ∴，， 由中点坐标公式得，， 则点Ｅ关于ｘ轴对称的点的坐标为， 连接交ｘ轴于点Ｐ，则， 当三点在同一条直线上时最小，最小值为， ∵ 故选：A． 6．（24-25八年级上·江苏徐州·月考）已知函数，当 时，是的正比例函数． 【答案】3 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如（其中k为常数，且），即常数项为零且一次项系数不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：3． 7．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知函数，当时，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知函数值求解自变量的值，将分别代入中，求出y值即可得出结论． 【详解】解：当时，， 解得：，不符合题意，舍去． 当时，， 解得：，符合题意， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，一次函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点．直接把代入进而得出k的值即可． 【详解】解：将点代入， 得， 解得：， 故答案为：2． 9．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，点，，在平面直角坐标系中，将直线向上平移n个单位长度，当平移后的直线与折线只有一个交点时，满足条件的整数n有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征．求得平移后的直线解析式，求得直线过点B、C时的n的值，结合图象即可求得当平移后的直线与折线只有一个交点时，则或，整数n有2，3，5共3个． 【详解】解：将直线向上平移n个单位长度，得到直线， 把代入得，，解得， 把代入得，，解得， 由图象可知，当平移后的直线与折线只有一个交点时， 则或， ∴满足条件的整数n有2，3，5共3个． 故答案为：3． 10．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．以点O为圆心，以长为半径画弧，交直线于点B1，过点作轴，交直线于点，以点O为圆心．以长为半径画弧，交直线于点，过点作轴，交直线于点，以点O为圆心、以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点O为圆心、以长为半径画弧，交直线于点；…按照如此规律进行下去，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的规律，由，，设，可求得为，同理可得，，找出规律，即可求得的坐标． 【详解】解：∵点在直线上， ∴设的坐标为， ∵，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴的坐标为， 同理可得：的坐标为，的坐标为， 的坐标为，的坐标为， … 的坐标为，的坐标为， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知一次函数（）的图象经过第一、二、三象限． (1)求的取值范围； (2)当时，判断点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该函数图象上 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质． （1）根据一次函数经过第一、二、三象限列出不等式组求解即可； （2）将代入求出函数解析式，进而将代入计算即可． 【详解】（1）解：一次函数（）的图象经过第一、二、三象限，    ； （2）解：当时，一次函数的解析式为． 当时，， 点不在该函数图象上． 12．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，求直线的函数解析式； 【答案】 【分析】本题主要考查了求函数解析式，灵活运用待定系数法求函数解析式成为解题的关键． 直接运用待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：依题意，设直线的解析式为：， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴把点，分别代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）写出下列各题中两变量之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)某小区的物业费是按房屋产权面积每平方米1.5元/月来收取的，该小区业主每个月应缴的物业费y（单位：元）与房屋产权面积x（单位：）之间的关系． (2)汽车离开车站后，再以的平均速度继续行驶了，汽车离开车站的距离y（单位：）与时间x（单位：h）之间的关系． 【答案】(1)，y是x的一次函数，也是x的正比例函数． (2)，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数． 【分析】本题考查一次函数与正比例函数的概念．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． （1）根据每月应缴的物业费=单位面积的物业费×房屋面积即可得出答案； （2）依据汽车离开汽车站所走的路程=原来的距离+小时行驶的距离列出关系式即可． 【详解】（1）解：根据题意有，是的一次函数，也是的正比例函数． （2）解：根据题意有，是的一次函数，但不是的正比例函数． 14．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）课本P152有段文字：把函数的图像分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图像． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图像沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式? 老师给了以下提示：如图，在函数的图像上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图像沿轴向右平移3个单位长度后得到的图像． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图像沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为（    ） A．        B．        C．        D． 【解决问题】 （2）已知一次函数的图像与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【答案】（1）C；（2） 【分析】本题考查图形变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标“左减右加”；纵坐标“上加下减”．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要弄清楚平移前后的解析式有什么关系． （1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； 【详解】解：（1）∵函数的图像沿轴向右平移3个单位长度 ∴ 故选：C. （2）在函数的图像上取两个点，关于x轴对称的点的坐标， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴一次函数的表达式为. 15．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为，用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示． 观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称： 对于函数，当_______时，； (2)当时，函数为 ①在图中画出函数的图象： ②对于函数，当时，的取值范围是________； (3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式． 【答案】(1)y轴，或； (2)①见解析；② (3)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 【分析】（1）根据时，，时，，得到函数的图象关于y轴对称； 根据函数中，，得到，或； （2）①在中，取作射线，即得函数的图象；②根据函数图象关于直线对称，点对称，在范围内，； （3）根据函数图象的平移规律进行解答即可． 【详解】（1）∵中，当时，，当时，， ∴函数的图象关于y轴对称； ∵函数中，， ∴， ∴， 解得，，或， ∴当，或时，； 故答案为：y轴，或； （2）①在中，令，则，令，则，令，则， 过作射线，即得函数的图象； ②由函数图象看出，函数图象关于直线对称，点对称，顶点是， ∴当时，； 故答案为： ； （3）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数即的图象 【点睛】本题主要考查了分段函数．熟练掌握绝对值性质，两点法画一次函数图象，一次函数的图象和性质，函数的对称性，函数的增减性，函数的平移，是解决问题在关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一次函数的图象与性质重难点题型专训 （5个知识点+16大题型+6大拓展训练+自我检测） 题型一 识别一次函数 题型二 正比例函数的定义 题型三 正比例函数的图象与性质 题型四 根据一次函数的定义求参数 题型五 列一次函数解析式并求值 题型六 判断一次函数的图象 题型七 求一次函数解析式 题型八 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型九 已知函数经过的象限求参数范围 题型十 一次函数图象与坐标轴交点问题 题型十一 求一次函数自变量或函数值 题型十二 一次函数的图象问题 题型十三 一次函数的平移问题 题型十四 根据一次函数增减性求参数 题型十五 比较一次函数值的大小 题型十六 一次函数的规律探索问题 拓展训练一 一次函数的图象与性质综合 拓展训练二 一次函数的增减性问题 拓展训练三 一次函数的平移问题 拓展训练四 一次函数的对称问题 拓展训练五 一次函数的旋转问题 拓展训练六 一次函数的最值问题 知识点一：一次函数、正比例函数的定义 1.一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 2.正比例函数：当b＝0时，即y＝kx（k为常数且k≠0），y叫做x的正比例函数. 3.正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 4.一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 5.判断一次函数的方法：式子经过恒等变形后，若满足：（1）等号右边是关于x的整式；（2）自变量x的最高次数是1；（3）一次项系数k≠0这三个条件，则是一次函数，否则就不是一次函数. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）下列函数关系式中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）若函数是关于的正比例函数，则 ． 知识点二：确定一次函数的表达式 1.待定系数法：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个两个独立条件确定两个关于k、b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x、y的值. 2.用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）； （2）列：将已知条件代入表达式，列出关于k、b的方程（组）； （3）解：解方程（组），求出k、b的值； （4）代：将k、b的值代回所设的函数表达式. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）下列表达式中，y是x的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）请写出一个函数表达式： ，使得该函数图像关于原点对称，并经过点． 知识点三：一次函数的图像 1.一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线. 2.正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线. 3.一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点. 4.一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上. 5.通过描点法画出对应一次函数的步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中； （2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：将所描的点用直线连接起来. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）函数的图象为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南京·二模）如图，点A，B，C，D为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象不可能经过点 ． 知识点四：一次函数的图像与性质 一次函数 y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0） k、b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右上升 从左向右下降 性质 函数值y随自变量x增大而增大 函数值y随自变量x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 1.一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号. 2.|k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）一次函数的图象与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）一次函数的图象过点，且随的增大而减小，则 ． 知识点五：一次函数的平移规律 1.正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的. 2.一次函数图像的平移规律 （1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减） （2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）. 3.同一个平面直角坐标系中两直线l1：y＝k1x＋b1（k1≠0），l2：y＝k2x＋b2（k2≠0）的位置关系如下： k1，k2，b1，b2的关系 l1与l2的关系 k1≠k2 l1与l2相交 k1≠k2，b1＝b2 l1与l2相交于y轴上的同一点（0，b1）或（0，b2） k1＝k2，b1≠b2 l1与l2平行 k1＝k2，b1＝b2 l1与l2重合 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，把直线沿轴向下平移后得到直线，如果点是直线上的一点，且，那么直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）将一次函数的图象向下平移5个单位长度后，图象经过点，若点，在一次函数的图象上，则 ．（填“”“”或“”） 【经典例题一 识别一次函数】 【例1】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）下列函数：①；②；③；④中，关于x的一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 1．（2025八年级·江苏徐州·模拟预测）对于平面直角坐标系中任意两点，，称为M，N两点的直角距离，记作：．如：，，则．若是一定点，是直线上的一动点，称的最小值为P到直线的直角距离，则到直线的直角距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 E．5 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）下列函数中，属于一次函数的有 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列函数中，是一次函数的有 ，是正比例函数的有 ．（请填写序） ①；②；③；④；⑤；⑥． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）分别写出下列函数表达式，并指出哪些属于一次函数，哪些属于正比例函数． (1)面积为10的三角形的底与底边上的高之间的关系； (2)一条边长为8的长方形的周长与它的邻边之间的关系； (3)汽车每小时行驶40km，行驶的路程和时间之间的关系． 【经典例题二 正比例函数的定义】 【例2】（24-25八年级上·江苏南京·期末）下列函数中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·江苏·模拟预测）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）小王在WPS软件中编辑图片大小时，勾选了“锁定纵横比”选项，即图片长与宽的比始终为定值．下表给出图片的长（cm）和图片的宽（cm）之间的关系，则与之间的关系式为 ． 图片的宽（cm） 3 4.5 6 … 图片的长（cm） 2 4 6 8 … 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）正比例函数，若当时，，则它的函数表达式为 ； （2）已知与x成正比例，当时，，则y与x的函数表达式为 ； （3）已知一次函数中，若当时，；当时，，则 ， ． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）写出下列各题中y与x之间的表达式，并判断y是否为x的一次函数，是否为x的正比例函数． (1)等边三角形的周长y与边长x之间的关系； (2)汽车行驶前，油箱中有油65L，已知汽车每行驶10km耗油2L，油箱的余油量yL与已行驶的距离xkm之间的关系． 【经典例题三 正比例函数的图象与性质】 【例3】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）一次函数与正比例函数（m，n是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B． C． D． 1．（2025·江苏镇江·一模）将的正方形网格如图放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上．若直线与正方形有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，三个函数图像分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是 ．（用连接） 3．（24-25八年级上·江苏泰州·月考）物理实验中，同学们分别测量电路中通过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是 ． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若函数是的正比例函数，且满足（m为常数）． (1)求正比例函数表达式？ (2)当函数值时，求对应自变量的值？ 【经典例题四 根据一次函数的定义求参数】 【例4】（24-25八年级上·江苏苏州·月考）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知是关于的一次函数，则的值是 ． 3．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）新定义：为一次函数（，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”为的一次函数是正比例函数，则点在第 象限． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知函数． (1)若它是一次函数，求的值． (2)是否存在使它是正比例函数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题五 列一次函数解析式并求值】 【例5】（2025·江苏·模拟预测）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，用一段长为 米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为，另一边的长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，与，与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，正例函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为 ． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）某工厂生产甲乙两种产品，共有工人200名，每人每天可以生产5件甲产品或3件乙产品，若甲产品每件可获利4元，乙产品每件可获利7元，工厂每天安排x人生产甲产品，其余人生产乙产品，则每日的利润y（元）与x之间的函数关系式为 ． 4．（25-26八年级上·全国·期中）一次函数的图象上有两个不同的点 (1)若，则　； (2)若，，求； (3)若且，记，试求的最大值． 【经典例题六 判断一次函数的图象】 【例6】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）函数的图象为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象为（   ） A．B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·课前预习）一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是 ． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知，一次函数的图象不经过第三象限，且点，在该函数图象上，则 0（用“＞、＜、＝”连接） 4．（24-25八年级上·江苏·月考）先画图，再回答问题 (1)在同一直角坐标系内作出一次函数，，的图象； (2)点、是否在所画的图象上？在哪一个函数的图象上？ (3)如果在的图象上，求a的值． 【经典例题七 求一次函数解析式】 【例7】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知一个函数的函数值与自变量的几组对应值如下表，这个函数的表达式可以是（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 3 6 9 12 ．．． A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．请根据表格中的数据写出与之间的函数表达式（    ）； 时间：（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）温度是影响声音传播速度的一个关键因素，在大多数情况下，随着温度的升高，声速会增大，实验发现声音在淡水中的传播速度与温度之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，则与之间的函数关系式为 ． 温度 0 10 20 30 40 … 声速 1380 1430 1480 1530 1580 … 3．（2025·江苏徐州·一模）某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么从开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同． 4．（24-25八年级上·江苏·阶段练习）在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数．已知这根弹簧上挂物体时弹簧长度为，挂物体时弹簧长度为； (1)试确定弹簧长度y（厘米）与所挂物体质量x（千克）之间的函数关系式． (2)并求当所挂物体的质量为35千克时弹簧的长度． 【经典例题八 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例8】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）已知一次函数的图像经过点，且随的增大而减小，则该函数图像可能是（   ） A．经过第一、二、三象限 B．经过第一、二、四象限 C．经过第一、三、四象限 D．经过第二、三、四象限 1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象一定不经过点 ．(填“”或“”或“”或“”) 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． ．．． ．．． ．．． ．．． 给出下面四个结论： ①； ②一次函数的图象不经过第三象限； ③关于的方程的解是； ④关于的不等式的解集是； 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，左框中的实数x与右框中的实数y满足某个一次函数关系，输入x的值会输出一个y的值． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求m的值； (3)该一次函数的图象不经过第______象限． 【经典例题九 已知函数经过的象限求参数范围】 【例9】（25-26八年级上·江苏南京·期中）一次函数与一次函数（，均为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏泰州·月考）直线（k，b为常数且k，）和直线（k，b为常数且k，）在同一坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）已知一次函数的图像不经过第三象限，则m的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）已知一次函数（，是常数，），正比例函数（是常数，），下列四个结论，其中正确的是 （填序号）． ①若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，则； ②若，则一次函数的图象经过第一、二、四象限； ③将一次函数的图象向左平移2个单位长度，则平移后的图象对应的函数解析式为； ④若，当时，总是小于，则． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知一次函数 (1)若函数图象在轴上的截距为，求的值 (2)若函数图象不经过第二象限，求的取值范围． 【经典例题十 一次函数图象与坐标轴交点问题】 【例10】（24-25八年级上·江苏徐州·期末）对于函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象必经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限 C．值随值的增大而增大 D．当时， 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，直线与两坐标轴交于两点，点是线段上一动点（不与两端点重合）．过点作轴于点，作轴于点，小明认为矩形的周长不变且始终为8，小红认为当点运动到线段的中点时，点到原点的距离最短，且最短距为．关于两人的判断，下面说法正确的是（    ） A．小明与小红都是正确的 B．小明与小红都是错误的 C．小明是正确的，小红是错误的 D．小明是错误的，小红是正确的 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把绕点A旋转，点B落在点C处，则直线的表达式为 ． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）直线（k、b是常数且）经过两点，其中，下列五个结论：①；②方程的解在和2之间；③；④；⑤不等式的解集为时，，其中正确的结论有 （只需填写序号）． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求的值； (2)若点是直线上一点，且的面积为2，求点的坐标． 【经典例题十一 求一次函数自变量或函数值】 【例11】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）一次函数，当，的最大值为（   ） A． B． C．1 D．3 1．（2025八年级上·全国·专题练习）对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） A．5 B．8 C．12 D．14 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知一次函数中x和y的部分对应值如表所示： x 0 2 y 6 4 2 那么关于x的方程的解是 ． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，点P是上一点，设的长为，的面积为S． （1）S与x之间的函数表达式为 ． （2）当的面积为18时，则的长为 ． 4．（24-25八年级上·江苏泰州·月考）如图，直线：交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点，重合），． (1)求点、的坐标； (2)设的面积为，点的横坐标为，写出与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (3)当的面积为时，点的坐标； (4)的面积能达到1吗？请说明理由． 【经典例题十二 一次函数的图象问题】 【例12】（25-26八年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，对于函数：①，②，③，④的图象，下列说法正确的是（   ） A．通过点的是①和③ B．交点在轴上的是②和④ C．①和③都与函数的图象平行 D．关于轴对称的是②和③ 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，将直线向上平移得到，与轴、轴分别交于点、点，若，则直线的解析式（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且点从点出发，向右运动，当为等腰三角形时，的长为 ． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点、、和点、、…分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知一次函数． (1)在如图的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)直接写出直线与轴、轴的交点，的坐标； (3)求的面积． 【经典例题十三 一次函数的平移问题】 【例13】（2025·江苏淮安·一模）如图，一次函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，，将直线以每秒2个单位长度向右平移秒，当直线与四边形有公共点时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，将函数图象向下平移1个单位长度后，得到直线，则原函数表达式为 ． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，点，，在平面直角坐标系中，将直线向上平移n个单位长度，当平移后的直线与折线只有一个交点时，满足条件的整数n有 个． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A， (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)①若点，在该一次函数的图象上，且，则______（用“>”或“<”填空）； ②当时，y的取值范围是______ (3)将一次函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，所得直线与x轴交于点E，若，求m的值． 【经典例题十四 根据一次函数增减性求参数】 【例14】 （24-25八年级上·江苏镇江·期末）若一次函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，直线分别与轴，轴交于，直线分别与轴，轴交于，其中，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知一次函数(a为常数,且)，若当时，函数有最大值5，则a的值为 ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数． （1）若该函数图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，则m的取值范围是 ． （2）当时，函数y有最大值，则m的值为 ． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）已知一次函数． (1)若图象经过原点，求m的值； (2)若y随着x的增大而减小，图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； (3)若，当时，求y的最大值． 【经典例题十五 比较一次函数值的大小】 【例15】（25-26八年级上·江苏南京·期中）若点，都在一次函数的图象上，则与大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较大小 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，已知直线经过二，一，四象限，且与两坐标轴交于，两点，若，是该直线上不重合的两点．则下列结论：①；②的面积为；③若时，；④．其中正确的有（   ）个． A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）一次函数的图象经过点，，则 （填“＞”或“＜”或“＝”）． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，，，是直线上不重合的两点．则；③；④；⑤当时，．其中正确的是 ． 4．（24-25八年级上·江苏南京·月考）已知与x成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若点、在（1）中函数的图象上，比较与的大小． 【经典例题十六 一次函数的规律探索问题】 【例16】（24-25八年级上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，B．以点A为圆心、长为半径画弧交x轴于点，再过点作x轴的垂线交直线于点，以点A为圆心，长为半径画弧交x轴于点．按此做法进行下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，解析式为的直线a，解析式为的直线b如图所示，直线a交y轴于点A，以为边作第一个等边三角形，过点B作y轴的平行线交直线a于点，以为边作第二个等边三角形顺次这样作下去，第2020个等边三角形的边长为（　　） A． B． C．4038 D．4040 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）正方形按如图所示的方式放置．点…和点…分别在直线和x轴上．则点的纵坐标是 ． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【拓展训练一 一次函数的图象与性质综合】 1．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A． (1)当时，y的取值范围是______； (2)将向下平移n（）个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）某工厂记录1台炼油机的生产时间与产量的关系如下： 生产时间/时 0 1 2 3 4 5 ．．． 产量/吨 0 4 8 12 16 20 ．．． (1)这台炼油机的产量与生产时间成___________比例关系； (2)根据表中数据，在图中描出这台炼油机的生产时间与对应产量的点，再把这些点依次连接起来； (3)计算这台炼油机要炼70吨油需要多少小时． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在四边形中，，，且满足，，，点P从点A出发，沿着折线A→B→C运动，到达点Ｃ后停止运动．设点P运动的路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并写出对应自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，当时，请直接写出x的值． 【拓展训练二 一次函数的增减性问题】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上，求一次函数的解析式． (2)当时，一次函数（k为常数，且）有最大值k，求k的值． (3)若一次函数（k为常数，且）与x轴的交点为，且，设，求P的取值范围． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)在给定的直角坐标系中画出这个一次函数的图象，并指出当增大时，如何变化． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点． (1)求的值和直线的函数表达式； (2)若点在线段上，点在直线上． 求： ①的范围； ②的最大值． 【拓展训练三 一次函数的平移问题】 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，一次函数的图象分别与轴正半轴、轴负半轴相交于点． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数的图象向上平移5个单位长度后可得某正比例函数的图象，求该一次函数的解析式． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）已知一次函数的图象如图所示： (1)求该一次函数的表达式； (2)将该一次函数的图象向下平移4个单位长度可得一个新函数，画出新函数的图象，并根据图象直接求，当时新函数y的取值范围． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【拓展训练四 一次函数的对称问题】 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，以线段为一直角边向直线左侧作等腰直角． (1)求直线的函数表达式； (2)将直线向上平移个单位长度，当直线与线段有交点时，求的取值范围； (3)已知点与点关于对称，若直线上存在一点，使得是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）探究函数的图象与性质．请将探究过程补充完整： (1)第一步：确定自变量的取值范围．函数的自变量x的取值范围是 ； (2)第二步：列表．下表是x与y的几组对应值 x … 0 1 … y … m 0 n … 表中m＝ ，n＝ ； (3)第三步：在如图的网格中，建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)第四步：根据函数图象得出关于函数的以下结论：①函数有最大值为0；②当时，y随x的增大而减小；③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称．其中正确的是 ．（只填序号） (5)函数的图象可以看作是由函数的图象向 （填“左”或“右”平移 个单位长度，再向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度得到的． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： 0 1 2 3 4 0 0 则_____，_____； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①观察函数图象，当_____时，的值随的值的增大而增大； ②观察函数图象，当时，的取值范围是_____； ③观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． ④观察函数图象，试判断函数的图象是否是轴对称图形？若是，直接写出对称轴的直线表达式． 【拓展训练五 一次函数的旋转问题】 1．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 2．（24-25八年级上·山东滨州·期末）（1）已知正比例函数图象经过点． ①求这个函数的解析式： ②图象上两点,如果，比较的大小， （2）如图， 按逆时针方向旋转一定角度后与重合， ①若请指出旋转中心，并求出旋转角及的度数； ②若点恰好成为的中点，且，请求出的长． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、C，将直线沿x轴翻折得直线点B在y轴上，点，点P是x轴上的一个动点，设点P的横坐标为 (1)求直线的函数表达式； (2)将直线绕点A顺时针方向旋转，交y轴于点M，求直线的函数表达式． (3)以为斜边作等腰直角三角形，是否存在t的值，使点E落在线段或上？直接写出所有满足条件的t的值． 【拓展训练六 一次函数的最值问题】 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，经历了结合图象研究函数性质的过程．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，并解决如下问题． (1)当时，_____；当时，_____； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象； (3)已知点在这个函数图象上，求的值； (4)当时，的取值范围为_____； (5)点、是该函数图象上不重合的两点，横坐标分别为、．小明对、之间（含、两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化时，直接写出的取值范围． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为． (1)当时， ①请你在平面直角坐标系中画出函数的图象； ②若点和点在图象G上，则a的值为 ，b的值为 ； (2)当时，函数的最大值记为p，最小值记为q，当时，求的取值范围． 3．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）综合与实践 小颖探究了一个新的函数图象，请你帮助她完成探究. ①列表： … 0 1 2 … … 3 1 3 … 表格中_________，_________； ②在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； ③函数有最大值和最小值吗，如果有分别是多少？ ④观察你所画函数的图象，写出关于该函数的两条性质． ⑤若两点都在该函数图象上，且，则_________． 1．（2025八年级上·全国·专题练习）已知直线始终过定点，直线经过点和点，则直线的表达式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一次函数与（，）的图象如图所示，则下列结论：①对于函数来说，y随x的增大而减小；②；③函数的图象不经过第一象限；④；⑤x的值每增加1，的值增加．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．②③④⑤ D．①②③⑤ 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，与的函数关系如图所示，图象与轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论：①当时，；②当时，随的增大而增大；③若点在此函数图象上，则符合要求的点有三个；④将函数图象向右平移1个或3个单位长度，经过原点．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②④ C．②③④ D．③④ 5．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线 与x轴和y轴分别交于A，B两点，E、F分别是的中点，P是x轴上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏徐州·月考）已知函数，当 时，是的正比例函数． 7．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）已知函数，当时，则的值是 ． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，一次函数的图象经过点，则 ． 9．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，点，，在平面直角坐标系中，将直线向上平移n个单位长度，当平移后的直线与折线只有一个交点时，满足条件的整数n有 个． 10．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．以点O为圆心，以长为半径画弧，交直线于点B1，过点作轴，交直线于点，以点O为圆心．以长为半径画弧，交直线于点，过点作轴，交直线于点，以点O为圆心、以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点O为圆心、以长为半径画弧，交直线于点；…按照如此规律进行下去，点的坐标为 ． 11．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知一次函数（）的图象经过第一、二、三象限． (1)求的取值范围； (2)当时，判断点是否在该函数图象上． 12．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，求直线的函数解析式； 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）写出下列各题中两变量之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)某小区的物业费是按房屋产权面积每平方米1.5元/月来收取的，该小区业主每个月应缴的物业费y（单位：元）与房屋产权面积x（单位：）之间的关系． (2)汽车离开车站后，再以的平均速度继续行驶了，汽车离开车站的距离y（单位：）与时间x（单位：h）之间的关系． 14．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）课本P152有段文字：把函数的图像分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图像． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图像沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式? 老师给了以下提示：如图，在函数的图像上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图像沿轴向右平移3个单位长度后得到的图像． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图像沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为（    ） A．        B．        C．        D． 【解决问题】 （2）已知一次函数的图像与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 15．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为，用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示． 观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称： 对于函数，当_______时，； (2)当时，函数为 ①在图中画出函数的图象： ②对于函数，当时，的取值范围是________； (3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式． 学科网（北京）股份有限公司 $