第13讲 一次函数的图象与性质-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第13讲 一次函数的图象与性质思维导图 知识点1 正比例函数的图象与性质 一、正比例函数的概念 正比例函数是指形如y=kx（k≠0）的函数，其中k是常数，称为比例系数。正比例函数描述了两个变量之间的直接比例关系，即当一个变量增大时，另一个变量也按相同的比例增大。 二、正比例函数的图像 正比例函数的图像是一条经过原点的直线。这条直线的斜率等于比例系数k。 1. 当k>0时，直线从左下方向右上方延伸，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大。 2. 当k<0时，直线从左上方向右下方延伸，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。 在平面直角坐标系中，可以通过描点法来画出正比例函数的图像。首先选取几个易于计算的点，如（1，k）、（2，2k）等，然后在坐标系中标出这些点，最后用直线连接这些点即可得到正比例函数的图像。 三、正比例函数的性质 1. 增减性：当k>0时，随着x的增大，y也增大；当k<0时，随着x的增大，y减小。 2. 直线性：正比例函数的图像是一条直线，具有线性性质。 3. 过原点：正比例函数的图像总是经过坐标原点（0，0）。 4. 对称性：正比例函数的图像关于原点对称。如果点（x1，y1）在正比例函数的图像上，那么点（-x1，-y1）也在图像上。 知识点2 一次函数的图象与性质 一、一次函数的图象 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线。这条直线的位置由斜率k和截距b共同决定。 1. 当k>0时，直线从左向右上升，即y随x的增大而增大；当k<0时，直线从左向右下降，即y随x的增大而减小。 2. b决定直线与y轴的交点位置。当b>0时，直线与y轴交于正半轴；当b=0时，直线通过原点；当b<0时，直线与y轴交于负半轴。 二、一次函数的性质 1.在一次函数y=kx+b的图象上，任意一点P（x，y）都满足等式y=kx+b。 2.一次函数与y轴的交点坐标为（0，b），与x轴的交点坐标为（-b/k，0）。 3.k和b的值决定了直线经过的象限。例如，当k>0且b>0时，直线经过第一、二、三象限。 三、分段函数 对于某些量，不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，这样的函数叫做分段函数。在解决分段函数问题时，要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题。 教材习题01 已知三个函数的解析式分别为，，． (1)如图，请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象，并标记好函数； (2)仔细观察画出的函数图象，写出3条函数的图象特征． （1）解：列表如下， … … … … … … … … 三个函数的大致图象，如图所示， （2）性质1，三个函数的函数值都随着的增大而增大； 性质2，三个函数的图象都经过； 性质3，三个函数的图象都经过一、三象限， 教材习题02 在同一直角坐标平面内画出下列函数图像． （1）；（2）；（3）；（4）．    解：如图所示，同一直角坐标平面内画出下列函数图像． 教材习题03 已知一次函数． (1)自变量的取值范围是_________； (2)将下面列表表示的部分数值补充完整； …… 0 1 2 …… …… 3 1.5 …… (3)在下图中画出该函数的图象；    (4)该图象与轴的交点坐标是_________． （1）解：一次函数自变量的取值范围是全体实数． 故答案为：全体实数． （2）当时，， 当时，， 当时，， 列表补充完整如下： …… 0 1 2 …… …… 3 2 1.5 2 …… （3）该函数的图象如下：    （4）另，则， 解得：， 故该图象与轴的交点坐标是． 故答案为：． 教材习题04 一次函数的图像经过点和． (1)求这个一次函数表达； (2)若点在该一次函数的图像上，且，求实数m的取值范围． （1）解：∵一次函数的图像经过点和． ∴ 解得： ∴这个一次函数表达为； （2）解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵点在该一次函数的图像上，且， ∴， 解得：． 考点一、判断一次函数图象 1．一次函数与正比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答．根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限即可． 【详解】解：A、正比例函数与一次函数的自变量系数k互为相反数．故该选项不符合题意； B、正比例函数与一次函数的自变量系数互为相反数．故该选项不符合题意； C、正比例函数图象经过第一、三象限，则，那么一次函数应经过二、三、四象限，故该选项不符合题意； D、正比例函数图象经过第二、三象限，则，那么一次函数经过一、二、三象限，故该选项符合题意． 故选：D． 2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象，分和两种情况，讨论出直线经过的象限，再作出选择即可． 【详解】解：当时，的图象过一、二、三象限；的图象过二、四象限； 当时，的图象过二、三、四象限；的图象过一、三象限； 可见，符合条件的只有B． 故选：B． 3．已知一次函数的函数值随的减小而增大，则该函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了判断一次函数的图像，根据函数值随的减小而增大，得出，再根据当是，可得出一次函数与y轴交于正半轴，即可得出答案． 【详解】解：∵已知一次函数的函数值随的减小而增大， ∴， 且当是，， 一次函数与y轴交于正半轴， 故选：C 考点二、正比例函数的图象与性质 1．正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质：当，图象经过第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而增大；当，图象经过第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而减小．利用正比例函数的性质得到，再结合直线为第一、第三象限的角平分线组成的图象，可得，然后在此范围内进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数图象经过第一、第三象限， ∴， 如图，直线为第一、第三象限的角平分线组成的图象， ∴， ∴的值可以为：， ∴选项C符合题意． 故选：C． 2．某正比例函数经过二、四象限，写出一个满足条件的的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正比例函数的性质，对于正比例函数，当时，图象经过一、三象限；当时，图象经过二、四象限；据此即可求解． 【详解】解：∵正比例函数经过二、四象限， ∴， ∴（答案不唯一） 3．定义运算“”为：． (1)计算：； (2)画出函数的图象． 【答案】(1)12； (2)见解析 【分析】本题考查了新定义运算、画正比例函数图象，理解新定义是解此题的关键． （1）根据题干所给定义计算即可得解； （2）由题意可得：当时，与的关系式为；当时，与的关系式为；再画出函数图象即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意可得：当时，与的关系式为； 当时，与的关系式为； 列表如下： … 0 1 2 … … 4 2 0 2 4 … 描点、连线，如图所示． ． 考点三、一次函数的增减性 1．已知一次函数过点，下列结论正确的是（   ） A．随的增大而增大 B．的值为 C．当时， D．图象不经过第三象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，根据一次函数图象上点的坐标特征及函数性质逐项分析判断即可．掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数过点， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为， A．∵一次函数解析式为， ∴随的增大而减小，原结论错误，故此选项不符合题意； B．∵一次函数解析式为， ∴，原结论错误，故此选项不符合题意； C．∵一次函数解析式为， ∴当时，，原结论错误，故此选项不符合题意； D．∵一次函数解析式为， ∴图象不经过第三象限，原结论正确，故此选项符合题意． 故选：D． 2．已知一次函数，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，属于基本题型，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 一次函数，当时，y随x的增大而减小．据此列式解答即可． 【详解】解：∵一次函数，y随x的增大而减小， ∴， ∴． 故答案为： 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于6，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）将点和代入一次函数求解即可得； （2）先求出当时，，再根据函数的增减性求解即可得． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点和， ∴， 解得． （2）解：由（1）可知，， ∴随的增大而增大， 当时，， ∴当时，， 要使得当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于6， 则随的增大而增大，且当时，，即， ∴． 考点四、一次函数的平移 1．在平面直角坐标系中，若要使直线平移后得到直线 ，则应将直线y₁（  ） A．沿y轴向上平移2个单位长度 B．沿y轴向下平移2个单位长度 C．沿x轴向左平移2个单位长度 D．沿x轴向右平移2个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象与平移变换，解题的关键是掌握一次函数图象的平移规律：右加左减，上加下减．利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，即可得出答案． 【详解】解：设将直线向左平移个单位后得到直线， ， 解得：， 故将直线向左平移2个单位后得到直线， 故选：C． 2．将一次函数先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得直线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将一次函数先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得直线的函数表达式是， 即， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，． (1)求直线的解析式； (2)将直线向下平移4个单位后得到直线l，直线l与y轴交于点M，求的面积． 【答案】(1)； (2)6 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，平移的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得，根据的面积，求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式的解析式为， 将点，代入得， 解得， ∴直线的解析式的解析式为； （2）解：记直线与y轴的交点， ∵将直线向下平移4个单位后得到直线l，直线l与y轴交于点M， ∴， ∴的面积． 考点五、一次函数的对称 1．已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称，则的值依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点的计算，点关于坐标轴对称的性质，掌握以上知识的计算是关键． 根据一次函数与坐标轴的交点的计算得到各自的交点坐标，由关于轴对称得到，，由此即可求解． 【详解】解：直线（为常数，且）中，当时，，当时，， ∴该直线与轴的交点为，与轴的交点为， 直线（为常数）中，当时，，当时，， ∴该直线与轴的交点为，与轴的交点为， ∵直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称， ∴，， 解得，， 故选：C ． 2．已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与几何变换问题，求一次函数表达式，首先求出直线与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后根据题意求出一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：，当时，， 当时，， ∴直线与y轴的交点为，与x轴的交点为， 一次函数的图像与直线关于x轴对称， 一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为， 设一次函数的解析式为， 把，代入得，， 解得：， 所以，一次函数的解析式为：． 故答案为：． 3．列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同的角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系． 1 2 1 0 2 画出的图象如下． (1)求a和b的值． (2)______，并在如图所示的平面直角坐标系中画出的图象． (3)设直线与直线和分别交于A，B两点，当点A，B关于轴对称时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，图见详解 (3) 【分析】本题考查的是一次函数与正比例函数的综合，利用待定系数法求出函数解析式是关键； （1）根据表格信息建立方程组求解的值； （2）把代入求出，再由表格画图即可； （3）求出A，B两点纵坐标，再根据点A，B关于轴对称，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即， ，解得： （2）解：当时，， ∴， 画图如下： （3）解：令，则，， 当点A，B关于轴对称时，， 解得：． 考点六、画正比例函数图象 1．画出正比例函数的图象 【答案】见解析 【分析】本题考查了画正比例函数的图像，熟练掌握正比例函数图像的画法是解题关键． 过点，，画出函数图象，即可． 【详解】解：当时，， ∴正比例函数的图象过点， 过点，，画出函数图象，如图， 2．（1）在下图中画出的图象． （2）若点在函数图象上，求这个点的坐标． 【答案】（1）作图见解析；（2） 【分析】本题考查的是画正比例函数的解析式，正比例函数的性质，掌握“利用描点法画函数图象”是解本题的关键． （1）先列表，再描点，连线即可； （2）把代入函数解析式求m，再代入坐标即可． 【详解】解：列表： x 0 1 y 0 2 描点，连线如图 ； （2）解：当点在图象上， 则 解得：， 把代入点的坐标得， 所以这个点的坐标为． 3．已知一个正比例函数和一个一次函数，它们的图象都经过点，且一次函数的图象与y轴相交于． (1)求这两个函数的解析式； (2)在给出的坐标系中画出这两个函数图象． 【答案】(1)正比例函数的解析式为，一次函数解析式为 (2)见解析 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数、一次函数解析式，画函数图象，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）中求出的解析式画出图象即可． 【详解】（1）解：设正比例函数的解析式为， 将代入正比例函数解析式得：， 解得：， ∴正比例函数的解析式为， 设一次函数解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：两个函数的图象如下： ． 考点七、画一次函数图象 1．作出函数的图象，并利用图象回答问题： (1)作出该函数图象； (2)写出图象与x轴的交点A的坐标 ，与y轴的交点B的坐标 ． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了画一次函数的图象、一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）求出当时，；当时，，再画出函数图象即可得解； （2）由函数图象即可得解． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，，解得， 故画出函数图象如图所示： ； （2）解：由图象可得：图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标． 2．已知一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点． (1)直接写出，两点的坐标； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． 【答案】(1)点坐标， 点坐标 (2)见解析 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）令求出y的值，再令求出x的值即可得出A、B两点的坐标； （2）利用两点法画出函数图象即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 解得：， ∴，； （2）解：一次函数的图象如图： 3．一次函数的图象经过点和点． (1)求一次函数的表达式； (2)在所给的坐标系中，画出一次函数的图象． 【答案】(1) (2)画图见解析 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出直线与坐标轴的交点坐标，再利用两点法画直线即可； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，画一次函数图象，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点和点 ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：当时，；当时，， 过点和画直线，如图所示： 考点八、求一次函数解析式 1．已知，当时，；当时，． (1)求出k，b的值； (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）把两组x，y对应的值分别代入函数式中，解二元一次方程组，即可求得结果； （2）求出时的函数值，利用函数的增减性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，解得：， 即； （2）解：由（1）得：， 当时，， ∵一次函数的一次项系数， ∴函数值y随x的增大而减小， ∴当，． 2．（1）若与成正比例，且当时，．求与的函数解析式． （2）已知一次函数的图象与直线平行，且经过点．求该一次函数的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是成正比例的含义，一次函数的平移问题，利用待定系数法求解函数解析式． （1）设，把，代入求解即可； （2）利用一次函数的平移以及待定系数法求解即可． 【详解】解：（1）设， 把，代入得， 解得， 所以， 所以与之间的函数关系式为； （2）由条件可得， 解得， ∴该一次函数的表达式为． 3． 已知一次函数，它的图象经过点和． (1)一次函数的图象经过第___________象限，y随 x的增大而___________． (2)求y 与 x 之间的函数表达式． (3)当时，直接写出自变量 x 的取值范围． 【答案】(1)一、二、三，增大 (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意即可得到结论； （2）根据待定系数法即可得到结论； （3）根据一次函数的性质得到结论． 【详解】（1）解：∵一次函数，它的图象经过点和， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大， 故答案为：一、二、三，增大． （2）解：把点和代入得 ， 解得， ∴y与x之间的函数表达式为； （3）解：当时，，当时，， ∴当时，自变量x的取值范围为． 知识导图记忆 1．将直线向下平移个单位长度后，经过点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，直线上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键． 由题意求得直线平移后的解析式为，把点的坐标代入，即可求解． 【详解】解：将直线向下平移个单位长度后的解析式为， 直线经过点， 得：，解得：． 故选：D． 2．关于一次函数的性质及其图象，下列说法正确的是（   ） A．的值随值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、三、四象限 C．点一定在函数图象上 D．和是图象上两点，则 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴图象过一，二，三象限，的值随值的增大而增大，故A，B选项错误； 当时，， ∴点一定在函数图象上；故C选项正确； ∵和是图象上两点，且， ∴；故D选项错误； 故选C． 3．已知点均在函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据题中一次函数y随着x的增大而减小即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数，， ∴y随着x的增大而减小． ， ， 故选：A． 4．下列关于函数的性质说法正确的是（    ） A．图象不经过第二象限 B．图象与y轴交于点 C．图象与x轴交于点 D．y随x的增大而减小 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系．根据一次函数的性质一一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选项A正确； 该函数图象与x轴、y轴分别交于点，，故选项B，C错误； 该函数y随x的增大而增大，故选项D错误． 故选：A． 5．在同一平面直角坐标系内，直线与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与正比例函数图象综合，根据函数图象分别求出正比例函数比例系数的符号以及一次函数一次项系数和常数项的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：A、由正比例函数图象可知，则，一次函数经过第一、二、四象限，但图中一次函数经过一、三、四象限，故此选项不符合题意； B、由正比例函数图象可知，则，一次函数经过第一、二、四象限，图中一次函数经过一、二、四象限，故此选项符合题意； C、由正比例函数图象可知，则，一次函数经过第一、二、四象限，但图中一次函数经过一、二、三象限，故此选项不符合题意； D、由正比例函数图象可知，则，一次函数经过第一、三、四象限，但图中一次函数经过一、二、三象限，故此选项不符合题意； 故选：B． 6．将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的平移问题，根据一次函数图象平移的规律“上加下减”（对于，向上平移个单位时，解析式变为；向下平移个单位时，解析式变为），对直线进行平移． 【详解】解：直线向上平移个单位长度，根据“上加下减”原则，平移后直线的解析式为， 故答案为：． 7．若点，在直线上，则，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较正比例函数的函数值大小，根据解析式可得y随x增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x增大而增大， ∵点，在直线上，且， ∴， 故答案为：． 8．若一次函数的图象不经过第二象限，则函数的解析式可以为 ． 【答案】（答案不唯一，满足，即可） 【分析】本题主要考查了一次函数图象经过的象限， 根据一次函数的图象不经过第二象限可知，选择符合题意的即可． 【详解】解：因为一次函数的图象不经过第二象限， 所以， 函数解析式为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一，满足即可）． 9．一次函数的图象与y轴正半轴相交，且y随x增大而减小，则k的取值范围是 . 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．利用函数的增减性可以判定其比例系数的符号，利用与y轴正半轴相交可以判断常数项，列出一元一次不等式组，求解从而确定k的取值范围． 【详解】解：根据题意有：， 解得：， 故答案为：． 10．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线、，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，……依次进行下去，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、两直线平行或相交问题以及规律型中数字的变化类．由题意分别求出的坐标，找出或的横坐标的规律，即可求解． 【详解】解：过点作x轴的垂线交交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，……依次进行下去， 与横坐标相同，与纵坐标相同， 当时，， ， ∴当时，， ， 同理得： 的横坐标为：，的横坐标为， ∵， ∴， 的横坐标为：， 故答案为：． 11．用你认为最简单的方法画出下列函数的图象． (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正比例函数的图象． （1）根据函数的图象经过和，画出图象即可； （2）根据函数的图象经过和，画出图象即可． 【详解】（1）解：的图象经过和，其图象为： （2）解：正比例函数的图象经过和，其图象为： 12．用“描点法”画出函数的图象． 【答案】见解析 【分析】确定出函数图象经过的点，然后利用两点确定一条直线作出函数图象即可． 【详解】解：时，；时，， 所以函数图象过点，， 函数图象如图所示．    【点睛】本题考查了一次函数图象，熟悉“两点法”作一次函数图象是解题的关键． 13．如图1，光滑桌面的长为，两端垂直放置挡板和，小球（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计） (1)图中______，______，小球的速度为_____． (2)求图2中直线的函数解析式． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是正确从图中获取相关信息． （1）根据函数图象可知，小球到达时，进而可求出和小球的速度； （2）用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，小球到达时， ∴小球的速度为． ∵撞击挡板后反弹，以原速返回挡板， ∴． 故答案为：，，； （2）解：设直线的函数解析式为， 把，代入， 得：， 解得：， ∴． 14．如图，直线分别交轴和轴于点，，，． (1)求点的坐标； (2)若点在轴的负半轴上，的面积为4，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是关键． （1）由点A的坐标得，在中由勾股定理可求得的长，即可得点B的坐标； （2）由面积求出点C的坐标，再用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴． （2）解：如图，设，则， ∵， ∴， 即， ∴； 设直线解析式为，把B、C两点坐标分别代入得：， 解得：， ∴， 即直线的解析式． 15．如图，直线是由直线经过平移并且经过点而得，它与轴和轴的交点分别为、，若，点为轴上的动点． (1)求直线的解析式及的度数； (2)若，求点的坐标； (3)若点关于直线的对称点，连接，直接写出线段与直线有交点时的取值范围． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 (3)当时，线段与直线有交点 【分析】题目主要考查一次函数的性质，平移，交点问题，轴对称问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据平移的性质得出，将点D代入确定函数解析式；再由函数与坐标轴的交点确定，即可得出角度； （2）过点C作，在点C左侧取一点G，使得，过点G作轴，使得，连接，交y轴于点E，过点D作轴，根据全等三角形的判定和性质得出，，然后利用勾股定理及各线段的长度确定点M的坐标为，利用待定系数法得出直线的解析式为，即可确定点E的坐标，再由对称即可确定另一个点的坐标； （3）当点O关于直线的对称点F恰好落在上时，根据轴对称图形的性质得出，设点，得出，确定点，得出中点，再由待定系数法确定直线的解析式为，结合图形即可求解 【详解】（1）解：∵直线是由直线经过平移并且经过点而得， ∴，将点D代入得：， 解得：， ∴， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）过点C作，在点C左侧取一点G，使得，过点G作轴，使得，连接，交y轴于点E，过点D作轴，如图所示 ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为， 代入得：，解得， ∴， 当时，， ∴， 关于点O的对称点也符合题意， 综上可得：点的坐标为或； （3）如图所示，当点O关于直线的对称点F恰好落在上时，如图所示： ∴， 设点， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点， ∴中点， 设直线的解析式为， 代入得，解得， ∴， 当时，， ∴， ∴当时，线段与直线有交点． 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 一次函数的图象与性质思维导图 知识点1 正比例函数的图象与性质 一、正比例函数的概念 正比例函数是指形如y=kx（k≠0）的函数，其中k是常数，称为比例系数。正比例函数描述了两个变量之间的直接比例关系，即当一个变量增大时，另一个变量也按相同的比例增大。 二、正比例函数的图像 正比例函数的图像是一条经过原点的直线。这条直线的斜率等于比例系数k。 1. 当k>0时，直线从左下方向右上方延伸，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大。 2. 当k<0时，直线从左上方向右下方延伸，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。 在平面直角坐标系中，可以通过描点法来画出正比例函数的图像。首先选取几个易于计算的点，如（1，k）、（2，2k）等，然后在坐标系中标出这些点，最后用直线连接这些点即可得到正比例函数的图像。 三、正比例函数的性质 1. 增减性：当k>0时，随着x的增大，y也增大；当k<0时，随着x的增大，y减小。 2. 直线性：正比例函数的图像是一条直线，具有线性性质。 3. 过原点：正比例函数的图像总是经过坐标原点（0，0）。 4. 对称性：正比例函数的图像关于原点对称。如果点（x1，y1）在正比例函数的图像上，那么点（-x1，-y1）也在图像上。 知识点2 一次函数的图象与性质 一、一次函数的图象 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线。这条直线的位置由斜率k和截距b共同决定。 1. 当k>0时，直线从左向右上升，即y随x的增大而增大；当k<0时，直线从左向右下降，即y随x的增大而减小。 2. b决定直线与y轴的交点位置。当b>0时，直线与y轴交于正半轴；当b=0时，直线通过原点；当b<0时，直线与y轴交于负半轴。 二、一次函数的性质 1.在一次函数y=kx+b的图象上，任意一点P（x，y）都满足等式y=kx+b。 2.一次函数与y轴的交点坐标为（0，b），与x轴的交点坐标为（-b/k，0）。 3.k和b的值决定了直线经过的象限。例如，当k>0且b>0时，直线经过第一、二、三象限。 三、分段函数 对于某些量，不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，这样的函数叫做分段函数。在解决分段函数问题时，要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题。 教材习题01 已知三个函数的解析式分别为，，． (1)如图，请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象，并标记好函数； (2)仔细观察画出的函数图象，写出3条函数的图象特征． 教材习题02 在同一直角坐标平面内画出下列函数图像． （1）；（2）；（3）；（4）．    教材习题03 已知一次函数． (1)自变量的取值范围是_________； (2)将下面列表表示的部分数值补充完整； …… 0 1 2 …… …… 3 1.5 …… (3)在下图中画出该函数的图象；    (4)该图象与轴的交点坐标是_________．    教材习题04 一次函数的图像经过点和． (1)求这个一次函数表达； (2)若点在该一次函数的图像上，且，求实数m的取值范围． 考点一、判断一次函数图象 1．一次函数与正比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．已知一次函数的函数值随的减小而增大，则该函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 考点二、正比例函数的图象与性质 1．正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 2．某正比例函数经过二、四象限，写出一个满足条件的的值 ． 3．定义运算“”为：． (1)计算：； (2)画出函数的图象． 考点三、一次函数的增减性 1．已知一次函数过点，下列结论正确的是（   ） A．随的增大而增大 B．的值为 C．当时， D．图象不经过第三象限 2．已知一次函数，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是 ． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于6，直接写出的取值范围． 考点四、一次函数的平移 1．在平面直角坐标系中，若要使直线平移后得到直线 ，则应将直线y₁（  ） A．沿y轴向上平移2个单位长度 B．沿y轴向下平移2个单位长度 C．沿x轴向左平移2个单位长度 D．沿x轴向右平移2个单位长度 2．将一次函数先向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得直线的函数表达式是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，． (1)求直线的解析式； (2)将直线向下平移4个单位后得到直线l，直线l与y轴交于点M，求的面积． 考点五、一次函数的对称 1．已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称，则的值依次为（   ） A． B． C． D． 2．已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为 ． 3．列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同的角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系． 1 2 1 0 2 画出的图象如下． (1)求a和b的值． (2)______，并在如图所示的平面直角坐标系中画出的图象． (3)设直线与直线和分别交于A，B两点，当点A，B关于轴对称时，直接写出的值． 考点六、画正比例函数图象 1．画出正比例函数的图象 2．（1）在下图中画出的图象． （2）若点在函数图象上，求这个点的坐标． 3．已知一个正比例函数和一个一次函数，它们的图象都经过点，且一次函数的图象与y轴相交于． (1)求这两个函数的解析式； (2)在给出的坐标系中画出这两个函数图象． 考点七、画一次函数图象 1．作出函数的图象，并利用图象回答问题： (1)作出该函数图象； (2)写出图象与x轴的交点A的坐标 ，与y轴的交点B的坐标 ． 2．已知一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点． (1)直接写出，两点的坐标； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． 3．一次函数的图象经过点和点． (1)求一次函数的表达式； (2)在所给的坐标系中，画出一次函数的图象． 考点八、求一次函数解析式 1．已知，当时，；当时，． (1)求出k，b的值； (2)当时，求y的取值范围． 2．（1）若与成正比例，且当时，．求与的函数解析式． （2）已知一次函数的图象与直线平行，且经过点．求该一次函数的解析式． 3． 已知一次函数，它的图象经过点和． (1)一次函数的图象经过第___________象限，y随 x的增大而___________． (2)求y 与 x 之间的函数表达式． (3)当时，直接写出自变量 x 的取值范围． 知识导图记忆 1．将直线向下平移个单位长度后，经过点，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．关于一次函数的性质及其图象，下列说法正确的是（   ） A．的值随值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、三、四象限 C．点一定在函数图象上 D．和是图象上两点，则 3．已知点均在函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 4．下列关于函数的性质说法正确的是（    ） A．图象不经过第二象限 B．图象与y轴交于点 C．图象与x轴交于点 D．y随x的增大而减小 5．在同一平面直角坐标系内，直线与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为 ． 7．若点，在直线上，则，的大小关系是 ． 8．若一次函数的图象不经过第二象限，则函数的解析式可以为 ． 9．一次函数的图象与y轴正半轴相交，且y随x增大而减小，则k的取值范围是 . 10．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线、，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，……依次进行下去，则点的横坐标为 ． 11．用你认为最简单的方法画出下列函数的图象． (1)； (2)． 12．用“描点法”画出函数的图象． 13．如图1，光滑桌面的长为，两端垂直放置挡板和，小球（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计） (1)图中______，______，小球的速度为_____． (2)求图2中直线的函数解析式． 14．如图，直线分别交轴和轴于点，，，． (1)求点的坐标； (2)若点在轴的负半轴上，的面积为4，求直线的解析式． 15．如图，直线是由直线经过平移并且经过点而得，它与轴和轴的交点分别为、，若，点为轴上的动点． (1)求直线的解析式及的度数； (2)若，求点的坐标； (3)若点关于直线的对称点，连接，直接写出线段与直线有交点时的取值范围． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$