期末复习01 有理数及其运算讲义(知识梳理+题型精讲) 2025-2026学年人教版七年级数学上册

该初中数学有理数及其运算复习讲义通过表格系统梳理11个核心知识点，从正负数定义、有理数分类到运算规律，清晰呈现数轴三要素、绝对值性质等重点，用对比表格区分易混概念，构建完整知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，典例结合跟踪训练，如数轴上点移动、绝对值应用等题型，培养运算能力和推理意识。综合题融入实际情境，发展应用意识，基础题巩固知识，难题提升思维，助力教师实施精准教学。

期末复习01 有理数及其运算讲义 1.正负数的定义 2.有理数的定义与分类 3.数轴 4.相反数 5.绝对值 6.有理数加法 7.有理数减法 8.有理数乘法 9.有理数除法 10.有理数的乘方 11.有理数的混合运算 【知识点01】正数与负数 定义：大于0的数叫做正数，正数前面可以加“+”号（通常省略不写）；在正数前面加上“-”号的数叫做负数，负数一定小于0。 注意：0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界点。0的意义不仅表示“没有”，还可以表示特定的基准（如0℃是温度的基准点）。 【知识点02】有理数的定义与分类 定义：整数和分数统称为有理数。 分类：有理数的分类有两种常见方式，需注意分类标准的一致性，不重复、不遗漏。 方式式一：按整数和分数分类 *整数：正整数、0、负整数 *分数：正分数、负分数 方式二：按正数、0、负数分类 *正有理数：正整数、正分数 *0 *负有理数：负整数、负分数 ****注意：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此属于有理数；无限不循环小数（如π）不能化为分数，不属于有理数。 【知识点03】数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 三要素：原点（表示0的点）、正方向（通常规定向右为正方向）、单位长度（选取合适的长度作为单位，确保数轴上点的位置与数的大小对应）。 性质：数轴上的点与有理数一一对应吗？不，数轴上的点与实数一一对应，有理数只是实数的一部分。但所有有理数都可以在数轴上找到对应的点，且数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 应用：利用数轴比较有理数的大小。 【知识点04】相反数 定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。例如：2和-2互为相反数，0的相反数是0。 几何意义：在数轴上，互为相反数的两个数对应的点关于原点对称。 表示方法：数a的相反数记为-a。例如：-5的相反数是-(-5)=5。 【知识点05】绝对值 定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记为|a|。 性质： *正数的绝对值是它本身； *负数的绝对值是它的相反数； *0的绝对值是0。 用符号表示为：|a| = ⎧ a (a＞0)；0 (a=0)；-a (a＜0) ⎭ 重要结论： 任何有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0； 互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a|； 若|a|=|b|，则a=b或a=-b。 【知识点06】有理数的加法 1.加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 互为相反数的两个数相加得0 一个数同0相加，仍得这个数 2. 加法运算律： 交换律：a + b = b + a； 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。 【知识点07】有理数的减法 1. 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a - b = a + (-b)。 注意：减法运算的核心是将减法转化为加法，转化的关键是改变减数的符号。 2. 加减混合运算：可以将所有减法转化为加法，写成省略加号和括号的和的形式，再进行运算。 【知识点08】有理数的乘法 1. 乘法法则 *两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 *任何数同0相乘，都得0。 *几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。 *几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0。 2. 乘法运算律： 交换律：a × b = b × a； 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)； 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c。 【知识点09】有理数的除法 1. 除法法则： *除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a ÷ b = a × （b≠0）； *两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； *0除以任何一个不等于0的数，都得0；0不能作除数（除数为0无意义）。 注意：倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数。 2. 乘除混合运算：将除法转化为乘法，再按照乘法法则进行运算。 【知识点10】有理数的乘方 1. 定义：求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作aⁿ，其中a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 2. 乘方法则： *正数的任何次幂都是正数； *负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； *0的任何正整数次幂都是0； *1的任何次幂都是1，-1的奇次幂是-1，-1的偶次幂是1。 【知识点11】有理数的混合运算 混合运算的顺序： 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算。 有理数运算的常见易错点 *混淆相反数和倒数的概念：相反数是符号相反，倒数是乘积为1； *绝对值运算中，忽略负数的绝对值是其相反数； *乘方运算中，混淆(-a)ⁿ和-aⁿ的意义； *混合运算中，违反运算顺序，先算加减后算乘除； *除数为0的错误（忽略除数不能为0的规定）； *符号错误：在加减乘除运算中，遗漏或错误改变符号。 题型1正负数的定义 【典例】下列各数是负数的是（   ） A． B．0 C．3 D． 【跟踪训练1】下列语句中错误的有（ ）个． 不带“”号的数都是正数；如果是正数，那么一定是负数；不存在既不是正数，也不是负数的数；表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练2】某同学学籍号为201103051， 表示他是2011年入学的3 班5号男生（男生用“1”表示， 女生用“2”表示），那么2024年入学的11班23号女生的学籍号是 ． 题型2.有理数的定义与分类 【典例】在下列各数，，，0，，…(每两个3之间依次增加一个2)，中，有理数有(    ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【跟踪训练1】下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则 ． 【跟踪训练2】下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型3.数轴 【典例】在数轴上，点表示的数是，从点出发，沿数轴向某一方向移动4个单位长度到达点，则点表示的数是 ． 【跟踪训练1】若点A是数轴上表示的点，将点A先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度到达点B，则点B在数轴上表示的数为 ． 【跟踪训练2】正方形在数轴上的位置如图所示，点A、D所对应的数分别为0和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2025次后，数轴上的数2025所对应的点是 ． 题型4.相反数 【典例】下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与0.3 【跟踪训练1】已知 ． 【跟踪训练2】对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如；如果和互为相反数，那么式子的最大值为 ． 题型5.绝对值 【典例】下列说法：①若不是正数，则a为非负数；②若，则；③；④若，则x为正数．其中正确的结论有 (填序号) 【跟踪训练1】若，，且，则 ． 【跟踪训练2】有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（   ）； A．1 B．3 C．5 D．7 题型6.有理数加法 【典例】计算的结果是（   ） A． B．8 C． D．4 【跟踪训练1】若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，小明设计了一个计算程序，并按此程序进行了计算，若开始输入的数为−7，则最后输出的数为 ． 题型7.有理数减法 【典例】如果有理数、满足，那么的值等于 ． 【跟踪训练1】请你将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数重新排列成一列数，然后将相邻的两个数相减（用大数减小数），再把所得的9个差相加得到和M，则M的最大值是 ． 【跟踪训练2】在学习有理数的运算时，老师在黑板上出示了如下等式：，要使等式成立，“□”内的数必须为（　　） A． B．或 C． D．或 题型8.有理数乘法 【典例】在，，，中，任取两个数相乘，所得的积中最大的是（   ） A．15 B．35 C． D．28 【跟踪训练1】现有以下五个结论：可以写成分数的数称为有理数；绝对值等于其本身的有理数是和；每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示；若两个非数互为相反数，则它们相除的商为；几个有理数相乘，负因数个数是奇数时，积是负数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪训练2】甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行，甲的速度是每小时公里，乙的速度是甲速度的，出发小时后两人相距公里，两地的距离为 公里． 题型9.有理数除法 【典例】若a，b是有理数，定义一种新运算*：计算的值为 ． 【跟踪训练1】的最小值是 ，，那么的值为 ． 【跟踪训练2】有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 题型10.有理数乘方 【典例】对于有下列说法：①可以写成的形式；②底数是，指数是4；③计算结果为；④计算结果为，其中错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练1】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m为最大的负整数，n的绝对值为2，则 ． 一.单选题 1．据科学家估计，地球的年龄大约是4600000000年，将数据4600000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．3.6万精确到十分位 B．表示负数 C．数3120000用科学记数法表示为 D．与相等 4．铁观音是中国十大名茶之一，其最佳保存的温度为（），以下几个温度中，不适合储存铁观音的是（   ） A． B． C． D． 5．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（   ） A．2017 B．2018 C．2017或2018 D．2017或2016 6．是一个小于的整数，与，比较，大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 7．若代数式的最小值为m，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动个单位长度，第二次向反方向移动个单位长度，第三次向正方向移动个单位长度，第四次向反方向移动个单位长度，…，按这样的规律，则蜗牛第次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（    ） A． B． C． D． 9．某大学毕业生为自主创业于2021年8月初向银行贷款360000元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2021年9月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为，现因经营状况良好，准备向银行申请提前还款，计划于2026年8月初将剩余贷款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少（    ）（注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成．一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数；另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．1年按12个月计算） A．18300元 B．22450元 C．27450元 D．28300元 10．现有价格相同的6种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或涨价10％，若干天后，这6种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 二.填空题 11．一个数的倒数为﹣2，则这个数的相反数是 ． 12．向东走18米记作米，那么向西走米记作 米． 13．若m和n互为相反数，p和q互为倒数，则的值为 14．已知，且，则 ． 15．在中用数字3替换其中的一个非零数字后，使所得的数最小，则被替换的数字是 ． 16．点在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度，将点沿数轴向右移动5个单位长度到点，若点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 17．一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位长度，第二次向负方向移动2个单位长度，第三次向正方向移动3个单位长度，第四次向负方向移动4个单位长度，…，按这样的规律，则蜗牛第2024次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是 ． 18．若有理数，，满足，则的最小值是 ． 19．在1，2，3，，2022前面任意添加正号和负号，规定这 2022 个数的和要非负，则这2022个数的非负和最小值为 20．有一个有趣“有理数转换器”，如图所示箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器 （1）当输入数字为5时，输出的结果是 ； （2）若输入有理数为n，轴出的结果是5，且知道，则输入的数n是 ．      三,解答题 21．体育课上，七年级（1）班男生进行了引体向上测试．以能做5个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，其中8名男生的成绩（单位：个）如下：，，，0，，，0，． (1)这8名男生中达到标准的有______人； (2)这8名男生平均每人做了多少个引体向上？ 22．有下列有理数：，1，，0，，． (1)在数轴上标出这些数对应的点； (2)按照由小到大的顺序用“”把这些数连接起来：_______． 23．请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 24．如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 25．计算： (1)； (2)． 26．学校附近某奶茶店计划一周卖出3500杯奶茶，每天卖出500杯作为标准，由于各种原因实际每天销售量与计划销售量相比有出入，如表是某周的销售量情况（超产为正减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共卖出 杯； (2)销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出 杯； (3)该奶茶店实行计件工资制，每天卖出一杯奶茶得1元，每天超额卖出一杯奖元，少卖出一杯扣2元，那么该奶茶店工人这一周的工资总额是多少？ 27．慧慧学习了“有理数的乘方”后，她就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念．规定：求若干个相同的有理数（均不为0）的除法运算叫作除方，如，等，类比有理数的乘方，把记作5③，读作“5的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“a的圈n次方”．请你根据慧慧的规定解决下列问题： (1)直接写出计算结果： ， ； (2)将aⓝ的运算结果写成有理数的乘方的幂的形式： ； (3)计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习01 有理数及其运算讲义 1.正负数定义 2.有理数的定义与分类 3.数轴 4.相反数 5.绝对值 6.有理数加法 7.有理数减法 8.有理数乘法 9.有理数除法 10.有理数的乘方 11.有理数的混合运算 【知识点01】正数与负数 定义：大于0的数叫做正数，正数前面可以加“+”号（通常省略不写）；在正数前面加上“-”号的数叫做负数，负数一定小于0。 注意：0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界点。0的意义不仅表示“没有”，还可以表示特定的基准（如0℃是温度的基准点）。 【知识点02】有理数的定义与分类 定义：整数和分数统称为有理数。 分类：有理数的分类有两种常见方式，需注意分类标准的一致性，不重复、不遗漏。 方式式一：按整数和分数分类 *整数：正整数、0、负整数 *分数：正分数、负分数 方式二：按正数、0、负数分类 *正有理数：正整数、正分数 *0 *负有理数：负整数、负分数 ****注意：有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此属于有理数；无限不循环小数（如π）不能化为分数，不属于有理数。 【知识点03】数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 三要素：原点（表示0的点）、正方向（通常规定向右为正方向）、单位长度（选取合适的长度作为单位，确保数轴上点的位置与数的大小对应）。 性质：数轴上的点与有理数一一对应吗？不，数轴上的点与实数一一对应，有理数只是实数的一部分。但所有有理数都可以在数轴上找到对应的点，且数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 应用：利用数轴比较有理数的大小。 【知识点04】相反数 定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。例如：2和-2互为相反数，0的相反数是0。 几何意义：在数轴上，互为相反数的两个数对应的点关于原点对称。 表示方法：数a的相反数记为-a。例如：-5的相反数是-(-5)=5。 【知识点05】绝对值 定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记为|a|。 性质： *正数的绝对值是它本身； *负数的绝对值是它的相反数； *0的绝对值是0。 用符号表示为：|a| = ⎧ a (a＞0)；0 (a=0)；-a (a＜0) ⎭ 重要结论： 任何有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0； 互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a|； 若|a|=|b|，则a=b或a=-b。 【知识点06】有理数的加法 1.加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 互为相反数的两个数相加得0 一个数同0相加，仍得这个数 2. 加法运算律： 交换律：a + b = b + a； 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。 【知识点07】有理数的减法 1. 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a - b = a + (-b)。 注意：减法运算的核心是将减法转化为加法，转化的关键是改变减数的符号。 2. 加减混合运算：可以将所有减法转化为加法，写成省略加号和括号的和的形式，再进行运算。 【知识点08】有理数的乘法 1. 乘法法则 *两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 *任何数同0相乘，都得0。 *几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。 *几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0。 2. 乘法运算律： 交换律：a × b = b × a； 结合律：(a × b) × c = a × (b × c)； 分配律：a × (b + c) = a × b + a × c。 【知识点09】有理数的除法 1. 除法法则： *除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a ÷ b = a × （b≠0）； *两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； *0除以任何一个不等于0的数，都得0；0不能作除数（除数为0无意义）。 注意：倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数。 2. 乘除混合运算：将除法转化为乘法，再按照乘法法则进行运算。 【知识点10】有理数的乘方 1. 定义：求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作aⁿ，其中a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 2. 乘方法则： *正数的任何次幂都是正数； *负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； *0的任何正整数次幂都是0； *1的任何次幂都是1，-1的奇次幂是-1，-1的偶次幂是1。 【知识点11】有理数的混合运算 混合运算的顺序： 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算。 有理数运算的常见易错点 *混淆相反数和倒数的概念：相反数是符号相反，倒数是乘积为1； *绝对值运算中，忽略负数的绝对值是其相反数； *乘方运算中，混淆(-a)ⁿ和-aⁿ的意义； *混合运算中，违反运算顺序，先算加减后算乘除； *除数为0的错误（忽略除数不能为0的规定）； *符号错误：在加减乘除运算中，遗漏或错误改变符号。 题型1正负数的定义 【典例】下列各数是负数的是（   ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查正负数，根据负数是指小于零的数，进行判断即可． 【详解】解：，0，3，中，只有是负数， 故选：A． 【跟踪训练1】下列语句中错误的有（ ）个． 不带“”号的数都是正数；如果是正数，那么一定是负数；不存在既不是正数，也不是负数的数；表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，对各选项分析判断即可解答． 本题主要考查正数与负数的定义，熟练掌握大于0的数是正数、小于0的数是负数是解答本题的关键． 【详解】解答：①0不带“”号但不是正数，故原说法错误； ②如果是正数，那么一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数，故原说法错误； ④表示温度为0度，故原说法错误； 综上，错误的有3个． 故选：C． 【跟踪训练2】某同学学籍号为201103051， 表示他是2011年入学的3 班5号男生（男生用“1”表示， 女生用“2”表示），那么2024年入学的11班23号女生的学籍号是 ． 【答案】202411232 【分析】本题主要考查用数字表示事件，根据题中记录的方法， 掌握各位数字表示的意义，判断即可． 【详解】解：根据题意得：2024年入学的11班23号女生的学籍号是202411232． 故答案为：202411232 题型2.有理数的定义与分类 【典例】在下列各数，，，0，，…(每两个3之间依次增加一个2)，中，有理数有(    ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的概念，解题的关键是依据“有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，包括有限小数、无限循环小数”区分有理数与无理数． 逐一判断各数是否符合有理数的定义，统计其个数． 【详解】解：根据有理数的定义 是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数； 是整数，是有理数； 含（无理数），是无理数； …（每两个3之间依次增加一个2）是无限不循环小数，是无理数； 是有限小数，是有理数． 有理数共5个． 故选：C． 【跟踪训练1】下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则 ． 【答案】 13 【分析】本题考查了正整数、有理数、非正数的概念辨析，解题的关键是准确把握各类数的定义并逐一筛选判断． 先明确正整数是大于0的整数，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，非正数是小于或等于0的数；再对所给数字逐一分析归类，分别确定a、b、c的值，最后计算的结果． 【详解】解： 正整数：、、，共3个，故； 有理数：、、、、、、0，共7个（为无理数，排除），故； 非正数：、、0，共3个，故； 则． 故答案为：． 【跟踪训练2】下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的分类与定义，据有理数定义及其分类解答即可． 【详解】解：①可以写成分数形式的数称为有理数，故①正确； ②有理数不是正数就是负数或，故②不正确； ③非负数就是正数和0，故③正确； ④没有最小的整数，故④不正确． 正确的有①③； 故选：C． 题型3.数轴 【典例】在数轴上，点表示的数是，从点出发，沿数轴向某一方向移动4个单位长度到达点，则点表示的数是 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数， 点A表示的数为，沿数轴移动4个单位长度，方向不确定，可能向右或向左，因此点B表示的数有两种可能． 【详解】解：若向右移动，则点B表示的数为；若向左移动，则点B表示的数为． 所以点B表示的数是1或． 故答案为：1或． 【跟踪训练1】若点A是数轴上表示的点，将点A先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度到达点B，则点B在数轴上表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上点的平移规律，解决此题的关键是清楚：左减右加． 根据点在数轴上移动的规律：左减右加解答即可． 【详解】解：根据题意，此时这个点表示的数是：， 即点B在数轴上表示的数为． 故答案为：． 【跟踪训练2】正方形在数轴上的位置如图所示，点A、D所对应的数分别为0和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2025次后，数轴上的数2025所对应的点是 ． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴及有理数在数轴上的表示，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键．根据题意可得出每4次翻转为一个循环组依次循环，用，根据是否整除，可得出数轴上数2025所对应的点的位置． 【详解】解：由题意可知，字母按照B，C，D，A的循环顺序，在数轴上对应着1，2，3，4…等数字，且翻转的次数与数轴上对应的数字相同， ∵， ∴数轴上数2025所对应的点是点B． 故选：B． 题型4.相反数 【典例】下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与0.3 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），分别计算各选项中两个数的值，并判断是否满足条件即可． 【详解】解：A、，，两者相等，不互为相反数； B、，，两者相等，不互为相反数； C、，，与互为相反数； D、的相反数是，而，故不互为相反数， 故选：C． 【跟踪训练1】已知 ． 【答案】-2 【分析】根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：∵x=-2， ∴-（-x）==-2， 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了符号的化简，解题的关键是熟练掌握相反数的概念． 【跟踪训练2】对于一个数，我们用表示小于的最大整数，例如；如果和互为相反数，那么式子的最大值为 ． 【答案】2 【分析】利用题中的新定义可得：对于任意数a，，由此进行求解即可． 【详解】解：设， ∵和互为相反数， ∴； ∵对于任意数a，， 即， ∴， 即， ∴； 即的最大值为2； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了新定义，相反数，掌握新定义，得出是关键． 题型5.绝对值 【典例】下列说法：①若不是正数，则a为非负数；②若，则；③；④若，则x为正数．其中正确的结论有 (填序号) 【答案】①②③ 【分析】本题考查绝对值的性质；理解绝对值的性质是解题的关键；因此此题可根据绝对值的性质可进行求解． 【详解】解：对于说法①，由不是正数，得，即，所以a为非负数，说法正确； 对于说法②，由，得，又，故，从而，所以，说法正确； 对于说法③，，，故相等，说法正确； 对于说法④，由，得，所以x为非正数，原说法错误； 故答案为①②③． 【跟踪训练1】若，，且，则 ． 【答案】或 【分析】先计算绝对值，比较大小后，确定x，y的值，计算即可． 本题考查了绝对值的计算，有理数大小比较，有理数的加法，熟练掌握绝对值的化简，有理数的加法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴或；或， ∴，或 ，， ∵， ∴是负数或0； ∴或， ∴或， 故答案为或 【跟踪训练2】有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（   ）； A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】此题考查绝对值有关的问题，解题的关键是要有试验观察和分情况讨论的能力． 依据题干给出的定义分情况列式计算即可； 【详解】解：根据题意，依次输入2，3，6， 则； 依次输入2，6，3， 则； 依次输入3，2，6， 则； 依次输入3，6，2， 则； 依次输入6，3，2， 则； 依次输入6，2，3， 则； 综上，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5． 故选：C． 题型6.有理数加法 【典例】计算的结果是（   ） A． B．8 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是掌握同号两数相加的运算法则．根据有理数加法中同号两数相加的法则，计算的结果，再选择对应选项． 【详解】解：， 故选：A． 【跟踪训练1】若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【跟踪训练2】如图，小明设计了一个计算程序，并按此程序进行了计算，若开始输入的数为−7，则最后输出的数为 ． 【答案】 【分析】根据题意列式计算即可． 【详解】解：依题意，输出结果为：， 故答案为： 【点睛】本题考查有理数的加法，掌握有理数的加法法则和加法运算律是解题的关键． 题型7.有理数减法 【典例】如果有理数、满足，那么的值等于 ． 【答案】4 【分析】此题考查了非负数的性质，有理数的加减，解题的关键是熟练掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0． 根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负数，它们的和为零时，每个部分必须为零，从而求出和的值． 【详解】由 ， 根据非负数的性质，得和， 所以，即， ，即， 则， 故答案为：4． 【跟踪训练1】请你将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数重新排列成一列数，然后将相邻的两个数相减（用大数减小数），再把所得的9个差相加得到和M，则M的最大值是 ． 【答案】49 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，通过观察可知，M的结果等于9个大数和减去9个小数和，为使M最大，应将大数与小数交替排列．此种排列下，首尾两数在M的计算中各出现1次，中间8个数各出现2次．为使M最大，出现2次的大数应为，小数为；出现1次的大数为6，小数为5．据此分析计算即可． 【详解】解： ； ； ． 即：M的最大值是49． 故答案为：49． 【跟踪训练2】在学习有理数的运算时，老师在黑板上出示了如下等式：，要使等式成立，“□”内的数必须为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了有理数运算，绝对值，根据，化简得或 ，然后通过运算即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或 ， 若，则， 若 ，则， ∴或， 故选：． 题型8.有理数乘法 【典例】在，，，中，任取两个数相乘，所得的积中最大的是（   ） A．15 B．35 C． D．28 【答案】D 【分析】本题主要考查的是有理数的乘法，以及有理数大小的比较，熟练掌握运算法则是解题的关键；找出两个数字，使得其乘积最大即可． 【详解】解：∵同号相乘得正，异号相乘得负，且正数大于负数， ∴最大积应来自两个同号数相乘； ∴ ； ∴所得积中最大的是28； 故选：D. 【跟踪训练1】现有以下五个结论：可以写成分数的数称为有理数；绝对值等于其本身的有理数是和；每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示；若两个非数互为相反数，则它们相除的商为；几个有理数相乘，负因数个数是奇数时，积是负数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的基本概念和性质，需注意结论的完整性． 结论符合有理数定义；结论忽略其他正有理数；结论是有理数基本性质；结论由相反数定义可得；结论⑤未考虑零的情况． 【详解】整数和分数统称为有理数，故可写成分数的数是有理数，正确； 绝对值等于本身的有理数包括0和所有正有理数，不仅0和1，错误； 每一个有理数都可以在数轴上找到对应的点，但数轴上的点不一定都表示有理数，故二者不是一一对应的关系，正确； 设两非数互为相反数，即与，则或，正确； 几个有理数相乘，若其中有0，则积为0，非负数，故负因数个数为奇数时，积不一定为负数，错误； 正确结论有，共个； 故选． 【跟踪训练2】甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行，甲的速度是每小时公里，乙的速度是甲速度的，出发小时后两人相距公里，两地的距离为 公里． 【答案】或 【分析】本题考查分数运算的应用，根据乙的速度是甲速度的，求出乙的速度，再分两人未相遇相距公里和相遇后相距公里进行求解即可，读懂题意，正确的列出算式是解题的关键． 【详解】解：∵乙的速度是甲的速度的， ∴乙的速度是（公里小时） 两人未相遇相距公里， ∴（公里）； 相遇后相距公里， ∴（公里）； 故答案为：或． 题型9.有理数除法 【典例】若a，b是有理数，定义一种新运算*：计算的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解新运算的规则并代入计算． 根据新运算的定义，将代入公式计算即可． 【详解】解：根据新运算的定义，当时： ， 故答案为：13． 【跟踪训练1】的最小值是 ，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义、有理数的乘法，利用绝对值的意义确定a值和b、c的符号是解答的关键．根据绝对值的意义求得a值，再确定b、c符号，然后再根据绝对值的意义化简求解即可． 【详解】解：根据绝对值的意义， 当时，取得最小值，最小值为， ∴，则， ∵， ∴，， ∴，，，， ∴ ． 故答案为：． 【跟踪训练2】有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上有理数的符号、绝对值及运算性质，解题的关键是从数轴确定、的符号和绝对值大小关系． 先由数轴得且，再逐一分析选项：判断的符号、的符号、的符号、的符号，找出错误的式子． 【详解】解：从数轴可知：，且． 逐一分析选项： 选项A：（因为，正数绝对值大，和为正），正确； 选项B：，是负数，是负数，和为负，即，错误； 选项C：（一正一负相乘为负），正确； 选项D：（一正一负相除为负），正确． 故选：B． 题型10.有理数乘方 【典例】对于有下列说法：①可以写成的形式；②底数是，指数是4；③计算结果为；④计算结果为，其中错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方． 根据有理数的乘方法则逐一判断即可． 【详解】解：①可以写成的形式，原说法正确； ②底数是，指数是4，原说法错误； ③计算结果为，原说法正确； ④计算结果为，原说法错误； 故选：B． 【跟踪训练1】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方的含义，乘法分配律的应用，通过提取 简化表达式，利用负数的奇数次幂为负的性质进一步求解即可． 【详解】解：∵ ， 又∵ （指数2025为奇数）， ∴ 原式． 故选：C 【跟踪训练2】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m为最大的负整数，n的绝对值为2，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为，最大的负整数为，绝对值为2的数为，结合有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：由题意，， ∴原式； 故答案为：2． 一.单选题 1．据科学家估计，地球的年龄大约是4600000000年，将数据4600000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法“”中和的确定规则． 将4600000000写成“”的形式，其中，确定，再数出原数的整数位数，确定，得到科学记数法表示． 【详解】解：， 表示为． 故选C 2．下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），解题的关键是依据三要素逐一验证选项是否符合数轴的定义． 明确数轴的三要素，依次检查各选项是否包含原点、正方向且单位长度均匀，从而选出符合数轴定义的选项． 【详解】解：选项A：缺少正方向（无箭头），不是数轴； 选项B：单位长度不均匀（“”到“0”的距离与“0”到“1”的距离不一致），不是数轴； 选项C：缺少原点（没有标注“0”），不是数轴； 选项D：包含原点（0）、正方向（右箭头）、单位长度均匀，符合数轴的定义． 故选D 3．下列说法正确的是（   ） A．3.6万精确到十分位 B．表示负数 C．数3120000用科学记数法表示为 D．与相等 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度、负数的表示、科学记数法以及乘方的运算．需根据每个选项的定义逐一判断． 【详解】解： 选项A：3.6万，万表示精确到千位，而非十分位，∴ A错误； ∵ 选项B：表示的相反数，当时，但当时， 不一定表示负数， B错误； ∵ 选项C：，符合科学记数法（）的定义，∴ C正确； ∵ 选项D：，而，，∴ D错误． 故选：C． 4．铁观音是中国十大名茶之一，其最佳保存的温度为（），以下几个温度中，不适合储存铁观音的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减运算及范围判断，解题的关键是先求出适合储存的温度范围，再对比选项判断． 先计算、，确定适合的温度范围是到，再逐一对比选项，找出不在此范围内的温度． 【详解】解：保存温度为， 最低温度为， 最高温度为， 适合保存的温度范围为． 选项A：，不在范围内； 选项B：在范围内； 选项C：在范围内； 选项D：在范围内． 故选A 5．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（   ） A．2017 B．2018 C．2017或2018 D．2017或2016 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分类讨论和数形结合的思想方法，注意分类讨论不要遗漏是关键． 分线段的端点与整点重合和线段AB的端点与整点不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度，不重合时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论． 【详解】解：依题意得：当线段起点在整点时， 则1厘米长的线段盖住2个整点，2017厘米长的线段盖住2018个整点， 当线段起点不在整点时，则1厘米长的线段盖住1个整点，2017厘米长的线段盖住2017个整点． 故选C． 6．是一个小于的整数，与，比较，大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较．由于 是小于 的整数，故 为负整数， 为正数， 为负分数且绝对值小于 1．比较三者大小，可得 ． 【详解】解：∵ ， ∴ 为负数，， 又 ∵ ， ∴ ，故，且， ∴ 为介于和之间的负数， ∵ ，， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ，且， ∴ ． 故选：C． 7．若代数式的最小值为m，则m的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用绝对值的几何意义，代数式表示点x到点1、3、5的距离之和，最小值出现在x取中间点3时．本题主要考查绝对值的几何意义的应用，有一定的难度，解答的关键是理解含字母的绝对值表达式的几何意义． 【详解】解：∵ 表示x到1、3、5的距离之和， 当时，距离之和最小， ∴ 最小值 ， 即 ． 8．一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动个单位长度，第二次向反方向移动个单位长度，第三次向正方向移动个单位长度，第四次向反方向移动个单位长度，…，按这样的规律，则蜗牛第次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的平移、有理数的加减混合运算．数轴上点的移动规律是“左减右加”，蜗牛从数轴上表示的点出发，移动规律为：奇数次向正方向移动，移动距离为移动次数；偶数次向反方向移动，移动距离为移动次数．根据向正方向移动的加，向反方向移动的减，列式计算第次（奇数次）移动后的位置． 【详解】解： ． 故选：A． 9．某大学毕业生为自主创业于2021年8月初向银行贷款360000元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2021年9月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为，现因经营状况良好，准备向银行申请提前还款，计划于2026年8月初将剩余贷款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少（    ）（注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成．一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数；另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．1年按12个月计算） A．18300元 B．22450元 C．27450元 D．28300元 【答案】C 【分析】截止2026年8月，两种还款方式最终所还本金相同，且两种还款方式所还利息也相同．所以按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少的部分为：按原计划还款时，自2026年9月起至原计划结束时所还的利息，即共计60个月的利息．根据“等额本金还款法”，算出2026年9月起每个月的利息，然后进行求和就可得后60个月的总利息，从而得出答案． 【详解】∵每月应还本金为， 2026年8月还完后本金还剩， 2026年9月应还利息为：； 2026年10月应还利息为：； 2026年11月应还利息为：；……， 最后一次应还利息为：； ∴后60个月的利息合计为： ． 即该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少27450元． 故选：C． 【点睛】本题考查了题意理解能力、计算能力和实际问题解决能力，能理解题意并准确地进行有理数运算是做出本题的关键． 10．现有价格相同的6种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或涨价10％，若干天后，这6种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设6种商品最初的价格为，则天后商品的价格为，然后分别表示出6中商品的价格，然后根据题意列式计算． 【详解】解：设6种商品最初的价格为，过了n天后，这n天中假设有m天是降价的，剩余的（n－m）天是涨价的，（其中m为自然数，且0≤m≤n）， 则天后商品的价格为， ∴6种商品的价格可以表示为： ①，②，③，④，⑤，⑥，其中m为不超过n的自然数， 设最高价格和最低价格的比值为， 的最小值为， 故选：． 【点睛】本题考查有理数乘方的应用，理解题意能够列出六种商品的价格是解题关键． 二.填空题 11．一个数的倒数为﹣2，则这个数的相反数是 ． 【答案】 【分析】直接利用倒数以及相反数的定义得出答案． 【详解】解：∵一个数的倒数为﹣2， ∴这个数是：﹣， ∴这个数的相反数是：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了倒数和相反数的性质，准确计算是解题的关键． 12．向东走18米记作米，那么向西走米记作 米． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，根据向东为正，那么就是向西为负即可解答，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【详解】解：∵向东走18米记作米， ∴向西走米记作米， 故答案为：． 13．若m和n互为相反数，p和q互为倒数，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了相反数和倒数的定义，解题的关键是利用“互为相反数的两数和为0，互为倒数的两数积为1”的性质代入计算． 根据相反数定义得，根据倒数定义得，将其代入式子计算即可． 【详解】解：根据题意，和互为相反数， ；和互为倒数， ． ． 故答案为：． 14．已知，且，则 ． 【答案】5或9 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加法与减法，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．先根据绝对值的性质可得，，，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 当，时，，符合题意，则； 当，时，，符合题意，则； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 综上，的值为5或9， 故答案为：5或9． 15．在中用数字3替换其中的一个非零数字后，使所得的数最小，则被替换的数字是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数大小比较，通过替换非零数字后比较数值大小，确定最小数对应的被替换数字即可． 【详解】解：在中，非零数字为1和， 当替换时，得， 替换时，得， ， 替换后所得数最小， 故答案为：1． 16．点在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度，将点沿数轴向右移动5个单位长度到点，若点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点间的距离，先根据题意得到A表示的数，再得到点B表示的数，再根据点C到点B的距离为4，利用数轴上两点间的距离公式求出点C的值即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点A在数轴的负半轴上，且距离原点3个单位长度， ∴点A表示的数为， ∵将点A沿数轴向右移动5个单位长度到点， ∴点B表示的数为：， ∵点C到点B的距离为4，设点C表示的数为，则， ∴或， 解得：或， ∴点C表示的数为6或， 故答案为：6或． 17．一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位长度，第二次向负方向移动2个单位长度，第三次向正方向移动3个单位长度，第四次向负方向移动4个单位长度，…，按这样的规律，则蜗牛第2024次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是 ． 【答案】 【详解】本题考查了数轴上点的平移、有理数的运算，理解题意是解题的关键．数轴上点的移动规律是“左减右加”，依据规律列式计算即可． 【分析】解：由题意得，蜗牛第2024次移动后在数轴上的位置所表示的有理数为： ， 故答案为：． 18．若有理数，，满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质．根据绝对值的性质分别得出，，的取值范围，进而得出，，的取值范围进而得出答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 所以可知， 同理可得： ， ， 所以， 所以， ， ， 所以， ， ， 的最小值是：． 故答案为：． 19．在1，2，3，，2022前面任意添加正号和负号，规定这 2022 个数的和要非负，则这2022个数的非负和最小值为 【答案】1 【分析】若n是正整数，则．由于1，2，3，，2022共有2022个数，应用上述结论，每连续4个数的和为0，剩余2个数．可将和2两个数剩下，前面分别添加“”和“”，则可得这2022个数的非负和的最小值． 【详解】若n是正整数，则，由此可得 因此这2022个数的非负和的最小值为1．     故答案为：1 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算，及这个结论是解题的关键． 20．有一个有趣“有理数转换器”，如图所示箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器 （1）当输入数字为5时，输出的结果是 ； （2）若输入有理数为n，轴出的结果是5，且知道，则输入的数n是 ．      【答案】 /0.5 或5或 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）根据程序框图列式计算即可； （2）由题意，根据程序框图，分情况讨论并求得对应的数值后进行判断即可． 【详解】解：（1）当输入数字为5时， ， ， 的相反数是2，是正数， 其倒数为，输出结果， 故答案为：； （2）若输入有理数为n，输出的结果是5， ①当时，其相反数为， 若为正， 则其倒数为5， 那么，，符合题意； 若为非正数， 其绝对值为n，结果为5， 那么，，符合题意； ②当时， 加上，即为， 当时，其相反数为， 若为正， 则其倒数为5， 那么， 解得：，，符合题意； 若为非正数， 其绝对值为，结果为5， 那么，，不符合题意； 当时， 加上，即为， 当时，其相反数为， 若为正， 则其倒数为5， 那么， 解得：，，不符合题意； 若为非正数， 其绝对值为，结果为5， 那么，，不符合题意； 综上，输入的数n是或5或， 故答案为：或5或 三,解答题 21．体育课上，七年级（1）班男生进行了引体向上测试．以能做5个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，其中8名男生的成绩（单位：个）如下：，，，0，，，0，． (1)这8名男生中达到标准的有______人； (2)这8名男生平均每人做了多少个引体向上？ 【答案】(1)5 (2)5个 【分析】本题重点考查了正负数、平均数的概念，理解正负数的意义是解题的关键． （1）以能做个为标准，当个数时，达到标准，统计个数即可完成求解； （2）标准个数加上所给数据的平均数，即为名男生平均每人做的个数． 【详解】（1）解：，，，，个成绩达到标准，故有人达到标准． 答：这名男生中达到标准的有人． （2）解：（个）． 答：这8名男生平均每人做了个引体向上． 22．有下列有理数：，1，，0，，． (1)在数轴上标出这些数对应的点； (2)按照由小到大的顺序用“”把这些数连接起来：_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查有理数与数轴： （1）先化简各数，然后在数轴上表示出各数即可； （2）根据数轴上右边的数总比左边的数大，用“”号进行连接即可． 【详解】（1）解：，，在数轴上表示各数，如图所示： （2）解：由图知，． 23．请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)；绝对值 (2) 【分析】本题主要考查有理数大小比较： （1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可， 【详解】（1）上述方法是先通过找中间量来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； 故答案为：；绝对值； （2）∵， ∴， ∴． 24．如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； 【详解】（1）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； 25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简绝对值，再按从左到右的顺序进行加减运算； （2）先计算乘方，再进行乘除运算，利用乘法分配律简化括号内的乘法，最后进行加减运算． 本题主要考查有理数的混合运算，涉及的知识点是绝对值化简、乘方运算、乘法分配律．解题中用到的方法是运算顺序法，即遵循先乘方、再乘除、最后加减的顺序；以及分配律法，简化括号内的乘法计算．解题关键是准确处理乘方的符号（注意与的区别）．易错点是乘方运算的符号错误，或忽略运算顺序导致计算混乱． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 26．学校附近某奶茶店计划一周卖出3500杯奶茶，每天卖出500杯作为标准，由于各种原因实际每天销售量与计划销售量相比有出入，如表是某周的销售量情况（超产为正减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共卖出 杯； (2)销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出 杯； (3)该奶茶店实行计件工资制，每天卖出一杯奶茶得1元，每天超额卖出一杯奖元，少卖出一杯扣2元，那么该奶茶店工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)1455 (2)111 (3)该奶茶店工人这一周的工资总额是3425元 【分析】根据前三天销售量相加计算即可； 将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可； 根据题意列出算式求解即可得到答案． 本题考查正数和负数，有理数的混合运算，解此题的关键是读懂题意，找出关系，然后列式计算． 【详解】（1）解：杯， 故答案为：1455； （2）解：销售量最多的一天为星期五，最少的一天为星期三， 故销售量最多的一天比销售量最少的一天多卖出杯， 故答案为：111； （3）解： 元， 答：该奶茶店工人这一周的工资总额是3425元． 27．慧慧学习了“有理数的乘方”后，她就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念．规定：求若干个相同的有理数（均不为0）的除法运算叫作除方，如，等，类比有理数的乘方，把记作5③，读作“5的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“a的圈n次方”．请你根据慧慧的规定解决下列问题： (1)直接写出计算结果： ， ； (2)将aⓝ的运算结果写成有理数的乘方的幂的形式： ； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义进行计算即可； （2）根据新定义结合有理数的除法法则和有理数幂的定义，进行求解即可； （3）根据新定义结合有理数的混合运算法则进行计算即可. 【详解】（1）解：；； （2）； （3）原式 . 学科网（北京）股份有限公司 $