专题01 有理数（知识&考点&公式&7高频&2易错&3重难&2模型，期中知识清单）七年级数学上学期新教材人教版

专题01 有理数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(4类)考点清单(5类) 公式清单(5类) 辨析清单(7类) 题型类 高频题型清单(7类) 易错题型清单(2类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(2类) 答题技巧清单 知识点01　从自然数到有理数 1.相反意义的量 两个意义相反、属于同一类的量。 例：上升与下降；收入元与支出元。 2.正数与负数 （1）正数：大于的数，"+"号可省略，如、； （2）负数：小于的数，"−"号不能省略，如； 规定：既不是正数，也不是负数。 3.有理数的概念 整数和分数统称为有理数。 （1）有限小数、无限循环小数可以化为分数，属于有理数； （2）、无限不循环小数不能化成分数，不是有理数。 4.有理数的两种分类 5.常用名词集合 （1）非负数：正数和（）； （2）非正数：负数和（）； （3）非负整数：正整数和（即自然数）； （4）非正整数：负整数和。 知识点02　数轴与相反数 1.数轴 （1）定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴； （2）三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可，单位长度必须统一； （3）性质： ①所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不一定是有理数； ②数轴上，右边的数总比左边的数大。 2.相反数 （1）定义：只有符号不同的两个数互为相反数；的相反数是。 （2）几何意义（除外）：互为相反数的两点在原点两侧，到原点的距离相等。 （3）多重符号化简：奇负偶正——负号个数为奇数结果为负，为偶数结果为正。 （4）代数关系：若、互为相反数，则。 知识点03　绝对值 定义：数轴上表示数的点到原点的距离，叫做数的绝对值，记作。 代数法则： （1）正数的绝对值是它本身：； （2）的绝对值是：； （3）负数的绝对值是它的相反数：。 核心性质： ①非负性：，绝对值不可能为负数； ②，互为相反数两数绝对值相等； ③若，则或； ④若，则。 知识点04　有理数的大小比较 方法1：数轴比较法 数轴上，右边的数大于左边的数。 方法2：符号法则比较 （1）正数，负数；正数大于一切负数； （2）两个正数比较：绝对值大的数更大； （3）两个负数比较大小：绝对值大的反而小。 比较两个负数的步骤：①求出两个负数的绝对值；②比较两个绝对值的大小；③依据"绝对值大的反而小"判断原数大小。 考点01　相反意义的量、正负数与有理数分类 考点内容：相反意义的量；正数、负数、的含义；有理数概念；有限小数、无限循环小数、无限不循环小数的区分；有理数两种分类；非负数、非正数、非负整数、非正整数等集合概念。 常见考法： ①结合生活实例识别相反意义的量，用正负数表示实际情境的数量； ②判断给定数字是否为有理数，区分等无限不循环小数； ③对一组数进行分类，筛选正数、负数、整数、分数； ④辨析非负数、非负整数等概念，选出符合条件的数。 考点02　数轴 考点内容：数轴定义；数轴三要素（原点、正方向、单位长度）；有理数与数轴上点的对应关系；数轴上数的大小规律。 常见考法： ①判断画出的图形是否为数轴，查漏三要素； ②在数轴上描点表示给定有理数； ③根据数轴上点的位置判断数的大小； ④根据数轴上点的位置分析数的正负。 考点03　相反数 考点内容：相反数定义；的相反数；相反数的几何意义；多重符号化简；互为相反数的代数关系。 常见考法： ①求一个数的相反数； ②多重符号化简，利用"奇负偶正"判断结果符号； ③根据互为相反数，进行简单计算求值； ④结合数轴，根据两点位置判断两数是否互为相反数。 考点04　绝对值的概念与性质 考点内容：绝对值的几何定义、代数法则；绝对值非负性；；的结论；的结论。 常见考法： ①求具体数的绝对值； ②已知一个数的绝对值，求这个数； ③利用绝对值的非负性做概念辨析； ④根据，求字母的取值。 考点05　有理数的大小比较 考点内容：数轴比较法；符号法则比较大小；两个负数比较大小的步骤。 常见考法： ①利用数轴比较多个有理数的大小； ②直接比较正数、、负数的大小； ③比较两个负数的大小，按照求绝对值、比绝对值、判原数的步骤解题； ④将一组有理数按从小到大或者从大到小排序。 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 互为相反数的代数关系 如果、互为相反数，那么这两个数相加的结果等于。 2 绝对值代数法则 当，正数的绝对值等于它本身；当，的绝对值是；当，负数的绝对值等于它的相反数。 3 绝对值的非负性 任何有理数的绝对值都是大于或等于的数，绝对值不可能是负数。 4 相反数的绝对值关系 互为相反数的两个数，它们的绝对值大小相等。 5 绝对值相等推导结论 或 若两个数的绝对值相等，则这两个数相等，或者这两个数互为相反数。 辨析01　辨析各类小数与有理数归属，避免判断出错 很多同学容易把所有小数都当成有理数。只有有限小数、无限循环小数能够转化成分数，归属于有理数；像这类无限不循环小数，无法写成分数形式，不属于有理数。另外属于整数、属于有理数，但它不属于正数，也不属于负数，分类时要单独看待。 辨析02　区分"非负数、非正数、非负整数、非正整数"，不要混淆集合范围 非负数是正数+0（）；非正数是负数+0（）；非负整数是正整数+0，也就是自然数，不包含正分数；非正整数是负整数+0，不包含负分数。注意看清题目有没有"整数"两个字，有无"整数"限定，集合范围完全不同。 辨析03　区分数轴上的点与有理数，不要误认为数轴上所有点都是有理数 所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点不一定代表有理数，数轴还可以表示无限不循环小数这类无理数；数轴只是提供数形结合的位置，二者不是一一对等关系。 辨析04　区分相反数的几何意义与代数表达式，不要忽略0的特殊情况 互为相反数（除外）的两个点，分布在原点两侧、到原点距离相等；的相反数是，它在原点上，不存在"原点两侧"。若互为相反数，则，不要记成。 辨析05　区分绝对值的代数含义，不要认为一定是正数 绝对值具有非负性，绝对值结果是正数或者；当时，，不是正数。不要错误理解为"去掉绝对值一定得正数"。 辨析06　区分两个负数比较大小，不要直接用绝对值大小代替原数大小 正数比较，绝对值大的数更大；但两个负数比较大小，绝对值大的反而小。做题不能直接拿绝对值的结果当作原数的大小，必须按照：求绝对值→比较绝对值→判断原数大小三步完成。 辨析07　区分的符号，不要看到负号就判定为负数 不一定是负数：当是正数，是负数；当是负数，是正数；当，。只代表的相反数，和本身取值有关，不能仅凭符号下结论。 【题型一】正数和负数 例1．在0，，1，21这四个数中，是负数的是（     ） A．0 B． C．1 D．21 变式1-1．，，，，，，中，非正整数有______个． 变式1-2．在，2，，0，0.0123中，负数有（     ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1-3．将下列各数填在相应的括号中： ，，0，，，5，． (1)正数：{________________________…}； (2)负数：{________________________…}； (3)非正数：{________________________…}； (4)非负数：{________________________…}． 【题型二】正负数的实际应用 例2．如果温度上升记作，那么温度下降记作________． 变式2-1．2026年6月3日，海口市六年级部分学生进行一分钟跳绳达标测试．参照小学生体测评分标准，男生每分钟跳绳147个为优秀．小亮跳了151个，记作+4；小刚跳了141个，记作__________． 变式2-2．我国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果收入50元，记作元，那么支出100元，记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 变式2-3．如果表示向北走，则向南走表示为______m． 【题型三】有理数的相关概念及分类 例3．把下列各数填在相应的集合中： 15，，，，，，，0，，，，171． 整数集合：{_________…}； 非负数集合：{_________…}； 负分数集合：{_________…}； 正有理数集合：{_________…}． 变式3-1．在、3.14、0、、、、2.010010001…（小数两个1之间依次多一个0）中，有理数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式3-2．下列说法中，正确的个数有（     ） ①正数、负数统称有理数；②0是正整数；③非负有理数即是正有理数；④是负数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式3-3．下图的三个圈分别表示负有理数、整式和正有理数．根据所学知识解决下列问题： (1)2应填 区域，0应填 区域，应填 区域，B区域表示的有理数是 ； (2)请将下列各数填入图中适当的区域内：15，，，，，，，0，，． 【题型四】利用数轴求两点距离 例4．已知点A、B是数轴上的两个点，若点A表示的数为，点B表示的数为6，则的中点C表示的数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式4-1．如图如果点C表示的数是，那么点A表示的数是__________． 变式4-2．某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度．点对齐刻度．点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D．3 变式4-3．数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的小棒，该小棒能盖住16个整点，则这根小棒的长度为_________厘米． 【题型五】有理数的大小比较 例5．下列比较大小正确的是（     ） A． B． C． D． 变式5-1．如图，点表示的有理数是，则，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 变式5-2．比较大小：_____（填“”“”或“”）． 变式5-3．几种液体的凝固温度（标准大气压）如下表，其中凝固温度最低的是（     ） 液体 水银 酒精 水 乙醚 凝固温度/℃ 0 A．水银 B．酒精 C．水 D．乙醚 【题型六】相反数问题 例6．A，B是数轴上两点，线段上的点表示的数中，有互为相反数的是（     ） A． B． C． D． 变式6-1．有下列各组数：①与；②与；③与；④与；⑤与．其中互为相反数的有（     ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 变式6-2．的相反数是（     ） A．8 B． C． D． 变式6-3．若数轴上的M点和N点表示的两个数互为相反数，并且这两点间的距离为7，则这两个点表示的数是______． 【题型七】绝对值问题 例7．已知，则的绝对值为（   ） A． B．1 C．a D． 变式7-1．计算： ___________． 变式7-3．当 ______ 时，式子 有最小值． 【题型一】多重符号化简时负号个数判断错误 （1）化简多重符号遵循"奇负偶正"，只数式子中负号的个数，正号不参与计数； （2）负号个数是奇数，最终结果为负；负号个数是偶数，最终结果为正； （3）注意区分相反数符号与运算减号，不要把数字本身符号重复计数； 特例：，不要对0套用奇负偶正得出负0。 例1．比较大小：_______；_______（填“>”“<”“=”） 变式1-1．___________． 变式1-2．下列各式中成立的是（     ） A． B． C． D． 变式1-3．比较大小：______（填“>”，“<”或“=”）． 【题型二】已知绝对值求代数式的值出现漏解 （1）若，则存在两种情况：或，不能只取其中一种； 时，有两个互为相反数的解和，很容易漏掉负的那一个解； 时只有唯一解，不要多写解； （4）求出字母多组取值后，需要分别代入代数式计算全部结果，不可只算一组。 例2．如果，则______． 变式2-1．已知是整数，且，则的取值个数是（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 变式2-2．如果，那么=_______． 变式2-3．若，则满足条件的整数有_____个． 【题型一】数轴上规律探究问题 例1．正六边形在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数2025所对应的顶点是（     ） A．C B．B C．D D．E 变式1-1．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2021次，蚂蚁最后在数轴上对应的数是（ ） A．1011 B． C．505 D． 变式1-3．如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 【题型二】绝对值的几何意义 例2．同学们都知道，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为在数轴上正数对应的点与负数对应的点之间的距离，试探索： (1) ______；如果，则______． (2)求的最小值，并求此时的取值范围； (3)由以上探索及猜想，计算的最小值． 变式2-1．的最大值是______． 变式2-2．如图，已知四个有理数在一条缺失了原点和刻度的数轴上对应的点分别为． （1）如果m互为相反数，在四个有理数中，绝对值最小的一个是___． （2）如果M与Q之间的距离等于2，沿某点将数轴向左折叠，使点N落在点Q处，点N，Q之间的距离为6，且点N表示的数是2，则点M表示的数是___． 变式2-3．综合与实践： 【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．．例如：数轴上表示．与的两点间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示3和8两点之间的距离是_________；数轴上表示2和的两点之间的距离是_________； 【独立思考】 (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为_________； (3)试用数轴探究：当时m的值为_________． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： (4)利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ 【规律应用】 (5) 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使各工作台的工作人员取配件（只取一次）所走的路程最短？此时最短路程是多少米？ 【题型三】数轴上的动点问题 例3．已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 变式3-1．如图，在数轴上，点，点表示的数分别是，．点以个单位/秒的速度从出发沿数轴向右运动，同时点以个单位/秒的速度从点出发沿数轴在，之间往返运动．当点到达点时，点表示的数是________． 变式3-2．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，点O表示原点． (1)求A，B两点间的距离； (2)点C是线段上的一点，且，求点C表示的数； (3)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．当秒时，求点P，Q表示的数及此时P，Q两点间的距离； (4)当秒时，求点P，Q两点间的距离，并判断此时点Q在点P的哪一侧． 变式3-3．已知有理数、、在数轴上对应的点分别为、、，其中是最小的正整数，且多项式的最高次项的系数为，常数项为． (1)填空： ， ， ． (2)若点、、分别以每秒个、个、个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设时间为秒． ①当点在点的右侧时，求和的长度（用含的代数式表示） ②在运动过程中，是否存在常数、，使得的值在一定时间范围内不随的改变而改变？若存在，求出、的关系；若不存在，请说明理由． 【题型一】数轴上两点间距离计算 解题流程： ①确定数轴上两点所表示的数、；②套用距离公式计算；③距离结果一定是非负数；④若已知距离求点，分左右两种情况列式求解；⑤检验结果，舍去不符合题意的解。 例1．数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．在数轴上A、B两点分别表示的数是2和8，在数轴上，点A右侧有另外一点P，且P到A、B的距离和是10，则点P表示的数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 变式1-2．如图，数轴上点P所表示的数为x，则下列说法正确的是（     ） A．在x和0之间有3个负数 B．与3相比，x离0更近一些 C．在x和之间有5个整数 D．x比大 变式1-3．将长为个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖______个整数点． 【题型二】借助数轴比较有理数大小 解题流程： ①先把含绝对值、相反数的数进行化简；②在数轴上标出各个数对应的点；③依据数轴"右大左小"的规律；④按照从右到左顺序写出数的大小关系；⑤注意负数越靠左数值越小。 例2．在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来： ，0，，2，1.5，． 变式2-1．如图，下列数轴上的点表示的数最小的是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 变式2-2．有理数m，n在数轴上的位置如图所示，则数m，n，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 变式2-3．解答下列各题 (1)如图，数轴上点A，B，C，D分别表示什么数？ (2)画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，0，5，，，3，． 技巧 一句话要点 有理数识别判定法 有限小数、无限循环小数属于有理数；、无限不循环小数不是有理数。 数轴读数大小判断法 有理数都可用数轴上点表示，数轴上右边的数总比左边的数大。 多重符号化简法 奇负偶正，数负号个数，奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正。 绝对值代数计算法 正数绝对值是本身，0的绝对值是0，负数绝对值是它的相反数。 绝对值性质运用法 绝对值具有非负性；若，则或。 符号法则比较有理数大小 正数＞0＞负数；两正数绝对值大的大；两负数绝对值大的反而小。 两个负数大小比较三步法 先求绝对值，再比较绝对值大小，依据"绝对值大的反而小"判断原数。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(5类) 公式清单(5类) 辨析清单(7类) 题型类 高频题型清单(7类) 易错题型清单(2类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(2类) 答题技巧清单 知识点01　从自然数到有理数 1.相反意义的量 两个意义相反、属于同一类的量。 例：上升与下降；收入元与支出元。 2.正数与负数 （1）正数：大于的数，"+"号可省略，如、； （2）负数：小于的数，"−"号不能省略，如； 规定：既不是正数，也不是负数。 3.有理数的概念 整数和分数统称为有理数。 （1）有限小数、无限循环小数可以化为分数，属于有理数； （2）、无限不循环小数不能化成分数，不是有理数。 4.有理数的两种分类 5.常用名词集合 （1）非负数：正数和（）； （2）非正数：负数和（）； （3）非负整数：正整数和（即自然数）； （4）非正整数：负整数和。 知识点02　数轴与相反数 1.数轴 （1）定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴； （2）三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可，单位长度必须统一； （3）性质： ①所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不一定是有理数； ②数轴上，右边的数总比左边的数大。 2.相反数 （1）定义：只有符号不同的两个数互为相反数；的相反数是。 （2）几何意义（除外）：互为相反数的两点在原点两侧，到原点的距离相等。 （3）多重符号化简：奇负偶正——负号个数为奇数结果为负，为偶数结果为正。 （4）代数关系：若、互为相反数，则。 知识点03　绝对值 定义：数轴上表示数的点到原点的距离，叫做数的绝对值，记作。 代数法则： （1）正数的绝对值是它本身：； （2）的绝对值是：； （3）负数的绝对值是它的相反数：。 核心性质： ①非负性：，绝对值不可能为负数； ②，互为相反数两数绝对值相等； ③若，则或； ④若，则。 知识点04　有理数的大小比较 方法1：数轴比较法 数轴上，右边的数大于左边的数。 方法2：符号法则比较 （1）正数，负数；正数大于一切负数； （2）两个正数比较：绝对值大的数更大； （3）两个负数比较大小：绝对值大的反而小。 比较两个负数的步骤：①求出两个负数的绝对值；②比较两个绝对值的大小；③依据"绝对值大的反而小"判断原数大小。 考点01　相反意义的量、正负数与有理数分类 考点内容：相反意义的量；正数、负数、的含义；有理数概念；有限小数、无限循环小数、无限不循环小数的区分；有理数两种分类；非负数、非正数、非负整数、非正整数等集合概念。 常见考法： ①结合生活实例识别相反意义的量，用正负数表示实际情境的数量； ②判断给定数字是否为有理数，区分等无限不循环小数； ③对一组数进行分类，筛选正数、负数、整数、分数； ④辨析非负数、非负整数等概念，选出符合条件的数。 考点02　数轴 考点内容：数轴定义；数轴三要素（原点、正方向、单位长度）；有理数与数轴上点的对应关系；数轴上数的大小规律。 常见考法： ①判断画出的图形是否为数轴，查漏三要素； ②在数轴上描点表示给定有理数； ③根据数轴上点的位置判断数的大小； ④根据数轴上点的位置分析数的正负。 考点03　相反数 考点内容：相反数定义；的相反数；相反数的几何意义；多重符号化简；互为相反数的代数关系。 常见考法： ①求一个数的相反数； ②多重符号化简，利用"奇负偶正"判断结果符号； ③根据互为相反数，进行简单计算求值； ④结合数轴，根据两点位置判断两数是否互为相反数。 考点04　绝对值的概念与性质 考点内容：绝对值的几何定义、代数法则；绝对值非负性；；的结论；的结论。 常见考法： ①求具体数的绝对值； ②已知一个数的绝对值，求这个数； ③利用绝对值的非负性做概念辨析； ④根据，求字母的取值。 考点05　有理数的大小比较 考点内容：数轴比较法；符号法则比较大小；两个负数比较大小的步骤。 常见考法： ①利用数轴比较多个有理数的大小； ②直接比较正数、、负数的大小； ③比较两个负数的大小，按照求绝对值、比绝对值、判原数的步骤解题； ④将一组有理数按从小到大或者从大到小排序。 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 互为相反数的代数关系 如果、互为相反数，那么这两个数相加的结果等于。 2 绝对值代数法则 当，正数的绝对值等于它本身；当，的绝对值是；当，负数的绝对值等于它的相反数。 3 绝对值的非负性 任何有理数的绝对值都是大于或等于的数，绝对值不可能是负数。 4 相反数的绝对值关系 互为相反数的两个数，它们的绝对值大小相等。 5 绝对值相等推导结论 或 若两个数的绝对值相等，则这两个数相等，或者这两个数互为相反数。 辨析01　辨析各类小数与有理数归属，避免判断出错 很多同学容易把所有小数都当成有理数。只有有限小数、无限循环小数能够转化成分数，归属于有理数；像这类无限不循环小数，无法写成分数形式，不属于有理数。另外属于整数、属于有理数，但它不属于正数，也不属于负数，分类时要单独看待。 辨析02　区分"非负数、非正数、非负整数、非正整数"，不要混淆集合范围 非负数是正数+0（）；非正数是负数+0（）；非负整数是正整数+0，也就是自然数，不包含正分数；非正整数是负整数+0，不包含负分数。注意看清题目有没有"整数"两个字，有无"整数"限定，集合范围完全不同。 辨析03　区分数轴上的点与有理数，不要误认为数轴上所有点都是有理数 所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点不一定代表有理数，数轴还可以表示无限不循环小数这类无理数；数轴只是提供数形结合的位置，二者不是一一对等关系。 辨析04　区分相反数的几何意义与代数表达式，不要忽略0的特殊情况 互为相反数（除外）的两个点，分布在原点两侧、到原点距离相等；的相反数是，它在原点上，不存在"原点两侧"。若互为相反数，则，不要记成。 辨析05　区分绝对值的代数含义，不要认为一定是正数 绝对值具有非负性，绝对值结果是正数或者；当时，，不是正数。不要错误理解为"去掉绝对值一定得正数"。 辨析06　区分两个负数比较大小，不要直接用绝对值大小代替原数大小 正数比较，绝对值大的数更大；但两个负数比较大小，绝对值大的反而小。做题不能直接拿绝对值的结果当作原数的大小，必须按照：求绝对值→比较绝对值→判断原数大小三步完成。 辨析07　区分的符号，不要看到负号就判定为负数 不一定是负数：当是正数，是负数；当是负数，是正数；当，。只代表的相反数，和本身取值有关，不能仅凭符号下结论。 【题型一】正数和负数 例1．在0，，1，21这四个数中，是负数的是（     ） A．0 B． C．1 D．21 【答案】B 【详解】解：∵负数是小于的数， 又∵， ∴是负数． 变式1-1．，，，，，，中，非正整数有______个． 【答案】 【详解】解：非正整数指小于等于的整数，包含和所有负整数，对给出的数逐个判断： 是负小数，不是整数，不符合要求； 是正小数，不符合要求； 是非正整数，符合要求； 是负小数，不是整数，不符合要求； 是负分数，不是整数，不符合要求； 是正分数，不符合要求； 是无限小数，不是整数，不符合要求； 因此符合要求的非正整数只有个． 变式1-2．在，2，，0，0.0123中，负数有（     ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：和是负数，故有2个． 变式1-3．将下列各数填在相应的括号中： ，，0，，，5，． (1)正数：{________________________…}； (2)负数：{________________________…}； (3)非正数：{________________________…}； (4)非负数：{________________________…}． 【答案】(1)，，5 (2)，， (3)，0，， (4)，0，，5 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 【题型二】正负数的实际应用 例2．如果温度上升记作，那么温度下降记作________． 【答案】 【详解】解：如果温度上升，记作， 温度下降记作． 变式2-1．2026年6月3日，海口市六年级部分学生进行一分钟跳绳达标测试．参照小学生体测评分标准，男生每分钟跳绳147个为优秀．小亮跳了151个，记作+4；小刚跳了141个，记作__________． 【答案】 【详解】解：∵规定以147个为标准，超出部分记为正，不足部分记为负， ∴计算小刚的跳绳数与标准的差：， ∴小刚跳141个记作． 变式2-2．我国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果收入50元，记作元，那么支出100元，记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【详解】解：∵收入元记作元，即收入记为正， ∴支出记为负， ∴支出元记作元． 变式2-3．如果表示向北走，则向南走表示为______m． 【答案】 【详解】解：∵表示向北走，即规定向北为正方向， ∴向南为负方向，可得向南走表示为． 【题型三】有理数的相关概念及分类 例3．把下列各数填在相应的集合中： 15，，，，，，，0，，，，171． 整数集合：{_________…}； 非负数集合：{_________…}； 负分数集合：{_________…}； 正有理数集合：{_________…}． 【答案】解：整数集合：；非负数集合：；负分数集合：；正有理数集合： 【详解】略 变式3-1．在、3.14、0、、、、2.010010001…（小数两个1之间依次多一个0）中，有理数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：有理数有，，，，，共个． 变式3-2．下列说法中，正确的个数有（     ） ①正数、负数统称有理数；②0是正整数；③非负有理数即是正有理数；④是负数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【详解】解：①有理数包括正有理数､0､负有理数，正数､负数中含无理数，故①错误； ②0既不是正数也不是负数，不是正整数，故②错误； ③非负有理数包含0和正有理数，故③错误； ④当时，不是负数，故④错误； 正确说法共0个． 变式3-3．下图的三个圈分别表示负有理数、整式和正有理数．根据所学知识解决下列问题： (1)2应填 区域，0应填 区域，应填 区域，B区域表示的有理数是 ； (2)请将下列各数填入图中适当的区域内：15，，，，，，，0，，． 【答案】(1)，，，负整数 (2)A：，；B：，；C：；D：；E：，，， 【分析】 【详解】（1）解：2既是整数，也是正有理数，故应填区域，0是整数，故应填区域，是负有理数，故应填区域，B区域表示的有理数是负整数； （2）解：A：，； B：，； C：； D：； E：，，，． 【题型四】利用数轴求两点距离 例4．已知点A、B是数轴上的两个点，若点A表示的数为，点B表示的数为6，则的中点C表示的数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵点A表示的数为，点B表示的数为6，C是的中点， ∴中点C表示的数为． 变式4-1．如图如果点C表示的数是，那么点A表示的数是__________． 【答案】 【详解】解：观察数轴可知，点在原点右侧3个单位长度处，点在原点左侧2个单位长度处， 点表示的数是， 数轴上每个单位长度表示的数为， 点在原点左侧2个单位长度处， 点表示的数是． 变式4-2．某同学将刻度尺按如图所示放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度．点对齐刻度．点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】解：∵点对应数，点对应数， ∴数轴上 ∵刻度尺上对齐，对齐， ∴刻度尺上 ∴数轴上个单位长度对应刻度尺 ∵刻度尺上， ∴数轴上 ∴ 变式4-3．数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的小棒，该小棒能盖住16个整点，则这根小棒的长度为_________厘米． 【答案】15或16 【详解】解：∵长度为厘米（为正整数）的小棒， 端点不与整点重合时，盖住个整点， 端点与整点重合时，盖住个整点， ∴已知小棒盖住16个整点， 第一种情况：端点不与整点重合，可得，即小棒长度为16厘米， 第二种情况：端点与整点重合，可得，解得，即小棒长度为15厘米， 因此这根小棒的长度为15厘米或16厘米． 【题型五】有理数的大小比较 例5．下列比较大小正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项：∵，，， ∴，错误． 选项：∵， ∴，正确． 选项：∵，，， ∴，错误． 选项：∵，， ∴，错误． 变式5-1．如图，点表示的有理数是，则，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知：， 所以， ∴． 故选A． 变式5-2．比较大小：_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：由，， ∵， ∴． 变式5-3．几种液体的凝固温度（标准大气压）如下表，其中凝固温度最低的是（     ） 液体 水银 酒精 水 乙醚 凝固温度/℃ 0 A．水银 B．酒精 C．水 D．乙醚 【答案】D 【详解】解：∵，，，又∵， ∴， ∴凝固温度最低的是乙醚. 【题型六】相反数问题 例6．A，B是数轴上两点，线段上的点表示的数中，有互为相反数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据互为相反数的两个数到原点的距离相等，并且在原点的两侧，可知只有A答案正确． 变式6-1．有下列各组数：①与；②与；③与；④与；⑤与．其中互为相反数的有（     ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【详解】解：①与相等，不是相反数； ②与互为相反数； ③与互为相反数； ④与相等，不是相反数； ⑤与互为相反数； 其中互为相反数的有3组． 变式6-2．的相反数是（     ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，其相反数为． 变式6-3．若数轴上的M点和N点表示的两个数互为相反数，并且这两点间的距离为7，则这两个点表示的数是______． 【答案】和 【详解】解：∵数轴上点和点表示的两个数互为相反数， ∴和分别位于原点两侧，到原点的距离相等， ∵这两点间的距离为， ∴每个点到原点的距离为， ∴这两个点表示的数是和． 【题型七】绝对值问题 例7．已知，则的绝对值为（   ） A． B．1 C．a D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 变式7-1．计算： ___________． 【答案】/ 【详解】根据 ，所以 ，然后根据负数的绝对值等于它的相反数，． 变式7-2．当 ______ 时，式子 有最小值． 【答案】2027 【详解】解：∵ ∴ 当时，式子有最小值 此时 解得． 【题型一】多重符号化简时负号个数判断错误 易错警示 （1）化简多重符号遵循"奇负偶正"，只数式子中负号的个数，正号不参与计数； （2）负号个数是奇数，最终结果为负；负号个数是偶数，最终结果为正； （3）注意区分相反数符号与运算减号，不要把数字本身符号重复计数； 特例：，不要对0套用奇负偶正得出负0。 例1．比较大小：_______；_______（填“>”“<”“=”） 【答案】 【详解】解：比较和： ∵，，且， ∴； 比较和： ∵，，且， ∴． 变式1-1．___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴原式化简为， ∵， ∴， ∴原式化简为，去括号得最终结果为. 变式1-2．下列各式中成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：，错误． B选项：，，，错误． C选项：，正确． D选项：，错误． 变式1-3．比较大小：______（填“>”，“<”或“=”）． 【答案】 【详解】解：，， ． 【题型二】已知绝对值求代数式的值出现漏解 易错警示 （1）若，则存在两种情况：或，不能只取其中一种； 时，有两个互为相反数的解和，很容易漏掉负的那一个解； 时只有唯一解，不要多写解； （4）求出字母多组取值后，需要分别代入代数式计算全部结果，不可只算一组。 例2．如果，则______． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴ 原等式可化为 ∵绝对值等于的数有和， ∴． 变式2-1．已知是整数，且，则的取值个数是（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【详解】解：由得， ∵是整数， ∴满足条件的为，共7个. 变式2-2．如果，那么=_______． 【答案】 【详解】解：根据绝对值的定义可知，若一个数的绝对值是正数，满足条件的数有两个，且互为相反数， ， 或 ，即 ． 变式2-3．若，则满足条件的整数有_____个． 【答案】8 【详解】解：表示数的点和表示数的点之间的距离为， 且根据绝对值的几何意义可得，当时，， ∴整数的取值范围为， ∴满足条件的整数有，，，，，，，，共个． 【题型一】数轴上规律探究问题 例1．正六边形在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数2025所对应的顶点是（     ） A．C B．B C．D D．E 【答案】A 【详解】解：由题意，可知，点从1开始，每翻转6次一个循环， ∵， ∴数轴上数所对应的点是. 变式1-1．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2021次，蚂蚁最后在数轴上对应的数是（ ） A．1011 B． C．505 D． 【答案】A 【详解】解：蚂蚁第一次到达的位置为1， 蚂蚁第二次到达的位置为， 蚂蚁第三次到达的位置为2， 蚂蚁第四次到达的位置为， …… 依此类推，第次到达n，第次到达，（其中n为正整数）， ∵ 故第2021次到达1011． 变式1-2．如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 【答案】 【详解】解：由题意可得， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为． ∴点与点O的距离是：． 故答案为：． 【题型二】绝对值的几何意义 例2．同学们都知道，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为在数轴上正数对应的点与负数对应的点之间的距离，试探索： (1) ______；如果，则______． (2)求的最小值，并求此时的取值范围； (3)由以上探索及猜想，计算的最小值． 【答案】(1)3，3或； (2)当时，的值有最小值，最小值为2； (3)最小值为． 【分析】 【详解】（1）解：， ， 或， 或， 故答案为：，或； （2）解：理解为：在数轴上表示到与的距离之和， 当在与之间的线段上（即）时，有最小值，最小值为，此时的取值范围为：； （3）解：由已知条件可知，表示到的距离，原式代表到，2，3，，2018共2018个点的距离之和， 当时，式子取得最小值． 取， 此时， ． 即最小值为． 变式2-1．的最大值是______． 【答案】3 【详解】解：设表示数的点为点A，表示数2的点为点B，表示数x的点为点P， 则，，． 当点P在点A左边时，如图， ∴ 当点P在线段上时，如图， ∴ ． ； 当点P在点B右边时，如图， ∴ ． 综上，， ∴的最大值是3． 变式2-2．如图，已知四个有理数在一条缺失了原点和刻度的数轴上对应的点分别为． （1）如果m互为相反数，在四个有理数中，绝对值最小的一个是___． （2）如果M与Q之间的距离等于2，沿某点将数轴向左折叠，使点N落在点Q处，点N，Q之间的距离为6，且点N表示的数是2，则点M表示的数是___． 【答案】 【分析】 【详解】解：依题意得 （1）与p互为相反数， ，且． ∴绝对值最小的是点Q表示的数q． （2）点N，Q之间的距离为6，且点N表示的数是2， 点Q表示的数是． 点M与Q之间的距离等于2， 点M表示的数是． 变式2-3．综合与实践： 【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．．例如：数轴上表示．与的两点间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示3和8两点之间的距离是_________；数轴上表示2和的两点之间的距离是_________； 【独立思考】 (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为_________； (3)试用数轴探究：当时m的值为_________． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： (4)利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ 【规律应用】 (5)工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使各工作台的工作人员取配件（只取一次）所走的路程最短？此时最短路程是多少米？ 【答案】(1)5，3 (2) (3)或4 (4)的最小值为3，x可取的整数值为2，3，4，5 (5)配件箱放在中间的工作台E上所走的路程最短，最短路程是40米 【分析】 【详解】（1）解：数轴上表示3和8的两点之间的距离是；数轴上表示2和的两点之间的距离是； （2）解：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为； （3）解：表示m到1的距离等于3， 由数轴得，当m在1左边时，；当m在1右边时，； （4）解：表示x到2的距离和x到5的距离之和， 由数轴可得，当时，x到2的距离和x到5的距离之和大于2和5之间的距离3， 当时，x到2的距离和x到5的距离之和等于2和5之间的距离3， 当时，x到2的距离和x到5的距离之和大于2和5之间的距离3， ∴的最小值为3， 此时x可取的整数值为2，3，4，5； （5）解：设9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I分别为数轴上的点， 根据题意得，当配件箱放在中间的工作台E上时，能使工作台上的工作人员取配件（只取一次）所走的路程最短 ∴最短路程为（米）． 【题型三】数轴上的动点问题 例3．已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 【答案】A 【详解】解： P、Q相向而行相遇所用时间为（秒）． 点P从出发向右运动走过的路程为， 故相遇时点P表示的数为． 变式3-1．如图，在数轴上，点，点表示的数分别是，．点以个单位/秒的速度从出发沿数轴向右运动，同时点以个单位/秒的速度从点出发沿数轴在，之间往返运动．当点到达点时，点表示的数是________． 【答案】1 【详解】解：∵点A，点B表示的数分别是，10， ∴， ∴点P到达点B所用时间是秒， ∴Q所运动的路程为， ∴Q运动到A后，又返回B，向B运动了个单位， ∴Q表示的数是． 变式3-2．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，点O表示原点． (1)求A，B两点间的距离； (2)点C是线段上的一点，且，求点C表示的数； (3)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．当秒时，求点P，Q表示的数及此时P，Q两点间的距离； (4)当秒时，求点P，Q两点间的距离，并判断此时点Q在点P的哪一侧． 【答案】(1)20 (2)点C表示的数是2 (3)P表示，Q表示3， (4)，点Q在点P的左侧 【分析】 【详解】（1）解：． （2）解：∵点C在线段上，且在点A的右侧，， ∴点C表示的数为． （3）解：当时，点P表示的数为； 点Q表示的数为； ∴． （4）解：当时，点P表示的数为； 点Q表示的数为； ∴， 此时点Q在点P的左侧． 变式3-3．已知有理数、、在数轴上对应的点分别为、、，其中是最小的正整数，且多项式的最高次项的系数为，常数项为． (1)填空： ， ， ． (2)若点、、分别以每秒个、个、个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设时间为秒． ①当点在点的右侧时，求和的长度（用含的代数式表示） ②在运动过程中，是否存在常数、，使得的值在一定时间范围内不随的改变而改变？若存在，求出、的关系；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)①，；②存在，或． 【分析】 【详解】（1）解：是最小的正整数， ， 多项式的最高次项的系数为，常数项为， ，， 故答案为：，，； （2）解：①由（1）可知，点、、表示的数分别为，，， 若点、、分别以每秒个、个、个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， 设时间为秒，则此时点、、表示的数分别为，，， 点一直在点右侧， ， 点在点的右侧， ； ②存在，、的关系为或． 由题意可知，点一直在点右侧，则， 当点在点的右侧时，， ， 的值在一定时间范围内不随的改变而改变， ； 当点在点的左侧时，， ， 的值在一定时间范围内不随的改变而改变 ， 综上可知，、的关系为或． 【题型一】数轴上两点间距离计算 解题流程： ①确定数轴上两点所表示的数、；②套用距离公式计算；③距离结果一定是非负数；④若已知距离求点，分左右两种情况列式求解；⑤检验结果，舍去不符合题意的解。 例1．数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵数轴上点A表示，点C表示， ∴，即对应数轴上9个单位长度． ∵刻度尺上对应长度为， ∴数轴1个单位长度对应刻度尺长度为：， ∵原点到点A的距离为个单位长度， ∴原点对应的刻度为：． 变式1-1．在数轴上A、B两点分别表示的数是2和8，在数轴上，点A右侧有另外一点P，且P到A、B的距离和是10，则点P表示的数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【详解】解：设点表示的数为， ∵点在点右侧， ∴， ①当点在、之间，即时， 由数轴上点的位置关系可得，，， ∵， ∴该情况不符合题意； ②当点在点右侧，即时， 可得，， ∴， 解得，符合题意； 综上，点表示的数为. 变式1-2．如图，数轴上点P所表示的数为x，则下列说法正确的是（     ） A．在x和0之间有3个负数 B．与3相比，x离0更近一些 C．在x和之间有5个整数 D．x比大 【答案】C 【详解】解：A、在x和0之间有无数个负数，原说法不正确，该选项不符合题意； B、与3相比，x离0更远一些，原说法不正确，该选项不符合题意； C、在x和之间有5个整数，原说法正确，该选项符合题意； D、x比小，原说法不正确，该选项不符合题意． 变式1-3．将长为个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖______个整数点． 【答案】 【详解】解：当木条左端从整数点开始放置，长为个单位长度时，右端点刚好落在整数点位置， 从左端整数点到右端整数点，一共包含的整数点数量为： ， 故最多能覆盖个整数点． 【题型二】借助数轴比较有理数大小 解题流程： ①先把含绝对值、相反数的数进行化简；②在数轴上标出各个数对应的点；③依据数轴"右大左小"的规律；④按照从右到左顺序写出数的大小关系；⑤注意负数越靠左数值越小。 例2．在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来： ，0，，2，1.5，． 【答案】 如图， 【详解】略 变式2-1．如图，下列数轴上的点表示的数最小的是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【详解】解：由数轴可知，数轴上的点表示的数最小的是点． 变式2-2．有理数m，n在数轴上的位置如图所示，则数m，n，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由数轴可得， ∴． 变式2-3．解答下列各题 (1)如图，数轴上点A，B，C，D分别表示什么数？ (2)画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，0，5，，，3，． 【答案】(1)点表示，点表示，点表示，点表示 (2)数轴表示如下： 从小到大排列结果为， 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 技巧 一句话要点 有理数识别判定法 有限小数、无限循环小数属于有理数；、无限不循环小数不是有理数。 数轴读数大小判断法 有理数都可用数轴上点表示，数轴上右边的数总比左边的数大。 多重符号化简法 奇负偶正，数负号个数，奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正。 绝对值代数计算法 正数绝对值是本身，0的绝对值是0，负数绝对值是它的相反数。 绝对值性质运用法 绝对值具有非负性；若，则或。 符号法则比较有理数大小 正数＞0＞负数；两正数绝对值大的大；两负数绝对值大的反而小。 两个负数大小比较三步法 先求绝对值，再比较绝对值大小，依据"绝对值大的反而小"判断原数。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $