第二章 有理数的运算--有理数运算规律问题 重点题型归纳 专项练（2） 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第2章 有理数的运算--有理数运算规律问题 重点题型归纳 专项练（2） 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）七年级上册 一、末尾数字规律问题 1．观察下列算式： ；……，则的末尾数字是（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 2．阅读材料，解决问题： 由，，，，，，，，…不难发现3的正整数次幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，为3．请你仿照材料，探索出的个位数字是（　　） A． B． C． D． 3．观察下列算式发现规律：，，，，，，…，用你所发现的规律写出：的个位数字是______． 4．阅读材料，解决问题： 由， 不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到： 因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分别求出的个位数字及的个位数字． (2)的个位数字为________． 二、进制转化 5．【综合与实践】根据材料，解答下列问题． 问题背景 进位制是人们为了计算方便而约定的，约定逢十进一就是十进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数． 查阅资料一 十进制，即“逢十进一”，使用十个数字记数，基数为10（基数10常省略不写）．例如，十进制数3925表示3个千，9个百，2个十，5个一的和，可得式子：（规定：当时，），可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．二进制，即“逢二进一”，各数位上的数字只有0和1，基数为2．例如，二进制数10100简记为（角标2为基数，除十进制外，基数不能省略），可利用上述方法将k进制的数转化为十进制数，例如2进制的数转化为十进制数：． 查阅资料二 例1：根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除十进制数，直到商0为止，然后逆序取商及余数，得到二进制数．例如：   可得：，所以20转换为二进制数为 例2：将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为 上述方法可以推广为把十进制数转换为进制的算法（除取余法） 查阅资料三 二进制的加法运算法则与十进制的加法运算法则相同，不同的是十进制是满十进一，而二进制是满二进一．例如计算，列竖式如下： 这里的相加，逢2要进位．进位得到，再进位得到，再进位得到． 所以． (1)把二进制数转为十进制数为______；把七进制数转为十进制数为______． (2)把十进制数38转为二进制数，写出过程． (3)计算． 6．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一．例：． 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数字来表示数，满二进一．例：把二进制数10010转换为十进制数为． 其他进制也有类似的算法…… (1)【发现1】类比十进制加减法计算（结果保留二进制）．例如； 写出______． (2)【发现2】现有三进制数，二进制数，试比较a与b的大小关系，说明理由． (3)【迁移应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子自出生后的天数． 三、等式规律问题 7．求的值， 解法：令，则， 因此，所以． 仿照以上推理，计算的结果为______． 8．为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理，计算______________． 9．阅读材料： 求的值． 解：设，将等式两边同时乘2， 得， 将下式减去上式，得， 即， 即． 仿照此法计算： (1)； (2)． 四、幻方问题 10．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（    ） A．或10 B．或 C．或2 D．或4 11．小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 _____________．（写出一个符合题意的数即可） 12．材料阅读，传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个奇怪的图案．这个图案被后人称为“洛书”，即现在的三阶幻方．三阶幻方即为九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和． (1)图是一个“幻方”，则 ； ； ； (2)小明要将，，，，，，，，这个数填入如图所示的“幻方”中，他经过研究，发现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的倍，并且图中的中心数是上述个数的平均数．  ①中心数 ；  ②请你帮小明将图所示的“幻方”的空白方格填满． 13．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； (2)如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将，，0，1，4这五个数字填入表格（数字不重复使用），补全这个新的三阶幻方； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点的“〇”中的数的和都相等．则　　　　（注：） 五、数阵规律 14．有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到．以此类推，得出下列说法中，正确的有（   ）个 ①，，，；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 15．我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，则的值是______． 16．已知一列数将这列数排成下列形式： 第1行1 第2行，3 第3行 第4行 第5行 ．．． 按照上述规律排下去，那么第行从左边数第5个数等于___________，前个数的和为___________． 17．观察一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7…，将这列数排成下列形式： （1）在上表中，第12行第6个数是 ； （2）在上表中，“2021”是其中的第 行，第 个数； （3）将上表中第i行的最后一个数记为ai，如第1行的最后一个数记为a1，即a1=1，第2行的最后一个数记为a2，即a2=3，如此下去，a3=-6，a4=-10，......，第n行的最后一个数记为xn，则用含n的式子表示|an|为 ； （4）在（3）的条件下，计算． 六、图形规律 18．根据规律，“？”处应填___________． 19．以下图形中的圆点按照一定规律摆放．第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，…，以此类推，计算前个图形中圆点个数的倒数之和，即的值为________． 20．用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，依此规律，第7个图案中有_______个正三角形，则第个图案中正三角形的个数为_______（用含的代数式表示）． 七、新定义运算 21．我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有.如：，，；，，. (1)则_________，_________；_________； (2)若，则_________； (3)计算． 22．研究新定义的运算“⊕”，并解答下列问题． 【观察运算】 ①；；；； ②；；；； ③；；；； 【归纳法则】 (1)归纳“⊕”运算的运算法则； 【应用法则】 (2)计算：； 【拓展延伸】 (3)探究交换律（为有理数）是否成立，并说明理由． 23．对于任意的两个有理数a、b，定义． (1)计算的结果； (2)计算的结果． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 10 14 答案 A D A B 1．A 观察可以发现末位数字每4个数是一个周期，末位分别为2，4，8，6．把2021除以4余数为1，所以的末位数字与的末尾数字相同是2，然后再加3即可解答． 解：由 ；可以发现他们的末尾数字是4个数一个循环2、4、8、6、… ∵2021÷4＝505…1， ∴的与的末尾数字相同是2， ∴的末尾数字． 故选：A． 2．D 此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算．分别找出，，的个位数字，然后个位数字相加所得个位数字就是的个位数字． 解：∵， ∴7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为7； ∵， ∴8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现．因为， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为8； ∵， ∴2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ∴的个位数字与相同，是2， ∵， ∴的个位数字是7． 故选：D． 3．7 此题主要考查了数字的变化类规律，尾数特征，观察出结果个位数字的特点是解本题的关键．通过观察7的幂的个位数字，发现其以7，9，3，1为周期循环，周期为4，计算2025除以4的余数，根据余数确定个位数字． 解：∵，，，，，，…， ∴个位数字的变化是以7，9，3，1为周期，即周期为4， ∵， ∴的个位数字为7， 故答案为：7． 4．(1)的个位数字为3，的个位数为2. (2)7. 此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算． （1），，，，，， 7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为3． ，，，，，， 8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为2． （2）与（1）同理可得，2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为2， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为7， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为8， ， 的个位数字是. 【点睛】本题主要考查了数字变化的规律及尾数特征，能通过计算发现，，，的正整数幂的个位数字变化规律是解题的关键． 5．(1)， (2)， 解：，余0 ，余1 ，余1 ，余0 ，余0 ，余1 ∴逆序取余数得 (3) 本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是正确理解进制的转化方法． （1）根据二进制、七进制化十进制的方法求解即可； （2）用2连续去除十进制数，直到商0为止，然后逆序取余数即可求解； （3）根据二进制的加法运算法则：满二进一求解即可． （1）解：； ， 故答案为：，； （2）略 （3）解：由二进制是满二进一，得 6．(1) (2) (3)孩子自出生后的天数为天 本题考查的是新定义运算的含义，含乘方的有理数的混合运算，理解新定义是关键． （1）根据二进制转十进制的方法列式计算即可； （2）三进制数转换为十进制列式为，二进制数，转换为十进制列式为，再计算比较即可； （3）根据“结绳计数”的含义列式为：，再计算即可． （1）解：由题意可得， ， 故答案为：； （2）解：三进制数转换为十进制列式为； 二进制数转换为十进制列式为， ∴， 故答案为：； （3）解：根据“结绳计数”的含义列式为：（天）， 即孩子自出生后的天数为天． 7． 本题考查了有理数的乘方运算． 仿照给定解法，设和为S，乘以7后相减，利用错位相减法求解即可． 解：设， 则， 两式相减得， 即， ∴． 故答案为：． 8． 本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题意，利用错位相消法解题． 仿照题干中的方法，设和为S，乘以5后相减，消去中间项，即可得到结果． 解：设， 则， 两式相减得：， 即， 所以， 故答案为：． 9．(1) (2) 此题考查的是有理数的混合运算； （1）仿照阅读材料中的方法求出所求即可； （2）仿照阅读材料中的方法求出所求即可． （1）解：设， 两边乘以3得：， 将下式减去上式，得 即， 即； （2）设， 两边乘以得：， 将下式减去上式得： 解得：， 即． 10．A 本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则，能够根据所给的条件推理出b、d的可能取值是解题的关键．根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4，再由已经填写的数，确定或，从而求出d的值，即可求解． 解：∵， ∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴或， 当时，，此时， 当时，，此时． ∴的值为或10． 故选：A． 11．0（答案不唯一） 根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 解：根据题意可知， ，满足题意． 12．(1)1，，5 (2)①2； ②填方格如图： ． 本题考查了有理数的混合运算，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口． （1）根据“幻和”的定义可一次求出，，；再求出所有数字之和即可得出其“幻和”之间的倍数关系； （2）①求，，，0，2，4，6，8，10这9个数的平均数即可； ②平均每个方格的值为2和“幻和”的定义即可求得每个数． （1）解：斜对角线上的三个数字之和为， 该方格的“幻和”为9， ，，， 故答案为：1，，5； （2）解：①， 中间数的值为2； ②由①可知，平均每个方格的值为2， 则3个方格之和为6， 幻和为6． 13．(1) 补充完整的三阶幻方如图所示： (2) 补充完整的新的三阶幻方如图所示： (3)或11 本题考查了有理数的加减法，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）由题意求出每行、列和对角线上的数字之和，然后依次求出三阶幻方内的其他数字即可； （2）由题意求出新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和，然后依次求出三阶幻方内的其他数字即可； （3）根据题意求出每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和，再求出m、n的值，进而即可求出的值． （1）解：由题意可知：每行、列和对角线上的数字之和都相等， 和对角线上的数字之和， 第三行第三列上的数字为， 第一行第二列上的数字为， 第一行第一列上的数字为， 第二行第一列上的数字为， 第二行第三列上的数字为， （2）解：根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：， 第一行第一列上的数字为， 第二行第二列上的数字为， 第二行第三列上的数字为， 第三行第一列上的数字为， 第三行第三列上的数字为 （3）解：根据题意得：每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和为： ， ，，， 解得：，，或， 或11． 14．B 本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是求出前面的几个数，发现其存在的规律． 根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解． 解：①根据题意得， ， ， 故①正确； ②， ∴是经过506次操作所得， ， ∴操作结果的序列以3为周期循环， ∵， ∴的值为循环中的第3个数， ∴， 故②错误； ③， ， …… 则每3次操作，相应的数会重复出现， ∵ ， ∵， ∴ ， 故③错误； 综上，正确选项为：①， 故选：B． 15． 本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，能根据题意得出是解题的关键，根据题意，依次写出，发现规律即可解决问题． 解：由题知，， ， ， ， …， ， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 16． 本题考查数字的变化类规律，通过观察数的排列规律，探索出每行数的个数的规律是解题的关键．通过观察可得第行有个数，求出前9行45个数，从而可求第10行从左边数第5个数．通过观察可得每一个奇数和它后面相邻的数之和为，据此解答即可． 解：第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，， 第行有个数， 前9行有个数， 第10行从左边数第5个数为， ， ， 故答案为：①，②． 17．（1）-72；（2）64，5；（3）；（4） （1）根据题意可得，第行有个数，然后求出前十一行数的总个数，将其加可得该数的绝对值，再结合原数列中奇数为正偶数为负即可得出结论； （2）结合（1）中前行数的总个数，因为，进一步可得结论； （3）根据第n行的最后一个数的绝对值等于前行数的总个数可得结论； （4）根据（3）中的结论将得出题中相应字母的数值，然后根据=将原式变形整理可得结果． 解：（1）前行数的总个数＝， ， ∵原数列中奇数为正偶数为负， ∴第12行第6个数是， 故答案为：-72； （2）根据题意：前行数的总个数为：， ∵，， ∴“2021”是其中的第行，第个数， 故答案为：64；5； （3）∵第n行的最后一个数的绝对值等于前行数的总个数， ∴1+2+3+......+n，即； （4） =． 【点睛】本题考查了数字的排列规律，分析数据，总结、归纳数据发现规律，理由规律解决问题时关键，也考查了有理数的混合运算． 18． 观察前三个方框里的四个数字，发现第一行的两个数的和与第二行第一个数的积等于第二行的第二个数，据此解答． 解：方框1： 方框2： 方框3： 规律：第一行的两个数的和与第二行第一个数的积等于第二行的第二个数． “？”处应填． 19． 本题考查了图形规律、数字规律，根据图示找出规律，结合分数的计算方法是关键； 根据图形找到规律，利用有理数的运算法则计算即可． 解：第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为，…， 以此类推， ∴， ∴ ， 故答案为：． 20． 本题考查规律探索，有理数的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）分析可知规律是每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，根据此规律计算第7个图形中的三角形个数即可； （2）把找到的规律用代数式表示出来即可． 解：第一个图案正三角形个数为； 第二个图案正三角形个数为； 第三个图案正三角形个数为； ； 第7个图案正三角形个数为； 第个图案正三角形个数为． 故答案为：，． 21．(1)14；； (2) (3) （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，求出的值，进而求出的值，再根据新定义，进行求解即可； （3）根据新定义和有理数的运算法则进行求解即可． （1）解：由题意，得：， ， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ． 22．(1)解：“⊕”运算的运算法则如下： 同号两数进行“⊕”运算，结果为两数的差的绝对值； 异号两数进行“⊕”运算，结果为两数差的绝对值的相反数； 一个数与0进行运算“⊕”运算或0与一个数进行运算“⊕”运算，结果为原数； (2)4 (3)解：交换律（，为有理数）成立，理由如下： 若a，b同号，，， ； 若a，b异号，，， ； 若，，，， ； 若，，，， ； 若，，，， ， 综上，交换律（，为有理数）成立． （1）依据给出的算式归纳即可； （2）利用（1）中归纳的法则解答即可； （3）利用（1）中归纳的法则解答即可． 本题主要考查了有理数的混合运算． （1）略； （2）解： ； （3）略． 23．(1) (2) （1）根据新定义可得，再根据绝对值的性质，及有理数的加减法法则计算； （2）由新定义可得，再计算可得答案． （1）解：； （2）解：． 学科网（北京）股份有限公司 $