专题 5.1 投影与视图（全章复习讲义 ）- 2025-2026学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 5.1 投影与视图（全章复习讲义） 目录 一、专题核心定位 1 【核心目标】 1 【学情适配】 2 【中考对接】 2 二、 知识体系图谱 2 三、 专题核心内容 2 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 2 【模块1】知识精讲 2 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 3 题型 1：投影的概念与分类识别（基础必练） 3 题型 2：三视图的识别与画法（同步必练） 4 题型 3：由三视图还原几何体（同步必练） 5 模块 3：高频模型：方法精讲 6 模块 4：易错题型专项突破（△重点警示） 6 易错类型 1：中心投影、平行投影、正投影混淆 7 易错类型 2：三视图的方位与尺寸判断错误 7 易错类型 3：由三视图求几何体体积与表面积时漏算或多算 8 第二部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 9 模块 5：中考高频题型分类突破 9 题型 1：投影的实际应用（★中考必考题） 9 题型 2：三视图的画法与识别（★中考必考题） 11 题型 3：由三视图求几何体的相关量（★中考必考题） 12 题型 4：投影与视图结合几何计算（★中考常考题） 13 题型 5：视图与展开图的综合应用（★中考应用性考点） 14 四、专题配套资源 15 分层作业设计： 15 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 15 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 19 反思：错题归因手册： 24 一、专题核心定位 【核心目标】 夯实投影与视图的概念本质，掌握投影的分类与性质、三视图的画法与识别、由三视图还原几何体的核心方法，能熟练运用投影与视图知识解决实际测量、几何计算、展开图综合等问题，建立“空间图形与平面图形转化”的几何思维，为后续立体几何学习奠定基础。 【适用场景】 北师大版九上同步培优、期中、期末复习、中考一轮基础巩固； 【学情适配】 基础薄弱生：掌握投影与视图的核心概念与基础题型，实现 “能识别、能画图、能简单还原”； 中等生：熟练运用投影性质、三视图规则，突破尺寸计算、图形还原等易错题型； 优等生：掌握投影与视图和几何计算、展开图的综合技巧，解决压轴创新题型； 【中考对接】 标注高频考点（★）、核心题型（▲）、易错点（△），明确投影与视图在中考中“空间想象工具性作用”，如由三视图求体积或表面积、投影解决实际测量问题，对接近年中考命题趋势。 2、 知识体系图谱 3、 专题核心内容 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 【模块1】知识精讲 1. 概念辨析（△重点突破） （1）投影的概念（★常考基础考点） 投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 平行投影：投影线互相平行的投影（如太阳光下的投影）；正投影是特殊的平行投影，投影线垂直于投影面。 中心投影：投影线交于一点的投影（如灯光下的投影）。 （2）三视图的概念与性质（★中考基础考点） 1 三视图包括主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）； 2 三视图画法规则：长对正（主、俯视图长相等且对齐）、高平齐（主、左视图高相等且对齐）、宽相等（左、俯视图宽相等且对应）； 3 三视图的尺寸：反映几何体的长、宽、高，与观察方位一致。 （3）由三视图还原几何体（★中考基础考点）： ① 步骤：先由俯视图确定几何体的底面形状，再由主视图、左视图确定几何体的高度和层数； ② 关键：结合 “长对正、高平齐、宽相等” 核对各部分尺寸，避免漏看、错看层数。 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 题型 1：投影的概念与分类识别（基础必练） 【例题1】（25-26九年级上·陕西西安·月考）下列投影是平行投影的是（　　） A．孙敬“悬梁”在灯下读书的影子 B．朱买臣“负薪”在日光下读书的影子 C．车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子 D．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子 【变式1】（25-26九年级上·河北保定·期中）如图是我国北方一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，按时间先后顺序排列正确的是（　　）. A．③④①② B．②①④③ C．③①④② D．②④①③ 【变式2】（25-26九年级上·广东深圳·期中）下列投影现象属于中心投影的是（   ） A．陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在日光下的影子 B．苏轼“把酒问青天”时，酒杯在月光下的影子 C．王维“大漠孤烟直”时，归雁在落日下的影子 D．匡衡“凿壁偷光”时，书卷在灯光下的影子 题型 2：三视图的识别与画法（同步必练） 【例题2】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图所示的几何体，其左视图是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广西梧州·一模）如图是6个相同的正方形搭成的几何体，将标有①②③④⑤的五个正方体随机拿掉1个，比较前后两个几何体，左视图不改变的概率是（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽淮北·一模）如图所示为一个工件的示意图，该工件的左视图为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·河北保定·期中）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．类似的，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（   ） A． B． C． D． 题型 3：由三视图还原几何体（同步必练） 【例题3】（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的三视图所对应的几何体是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·河南周口·期末）若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 ． 【变式2】（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，则货架上的方便面至少有 盒． 【变式3】（2024·广东·模拟预测）从正面、左面、上面观察一个几何体得到的形状图如图所示，则这个几何体是（    ） ‍ A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．长方体 模块 3：高频模型：方法精讲 模型 适用场景 解题方法 投影类型判断 平行投影、中心投影、识别影子变化规律 1. 看投影线：平行线判断平行投影，交于一点判断中心投影；2. 平行投影：影子方向与长度随时间变化有规律；中心投影：影子随点光源位置变化 三视图画法 画几何体的三视图． 1. 确定观察方位：正面、左面、上面；2. 遵循 “长对正、高平齐、宽相等”；3. 实线画看得见的轮廓，虚线画看不见的轮廓． 由三视图还原几何体 已知三视图，还原立体图形或求小正方体个数． 1. 俯视图定 “底面布局”，主视图定 “上下层数”，左视图定 “左右层数”；2. 标注每层小正方体个数，求和得总数． 三视图求几何体体积或表面积 已知三视图尺寸，求几何体的体积或表面积． 1. 先还原几何体（如长方体、圆柱、圆锥、组合体）；2. 代入对应公式计算，组合体需拆分与合并计算，注意漏算与多算部分． 模块 4：易错题型专项突破（△重点警示） 易错类型 1：中心投影、平行投影、正投影混淆 【例题6】（25-26九年级上·陕西西安·月考）下列投影是平行投影的是（　　） A．孙敬“悬梁”在灯下读书的影子 B．朱买臣“负薪”在日光下读书的影子 C．车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子 D．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子 【变式1】（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）下列光线形成的投影不是中心投影的是（   ） A．台灯的光线 B．太阳光线 C．蜡烛的光线 D．路灯的光线 【变式2】（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）下列投影中，不是中心投影的是（   ） A．路灯下行人的影子 B．舞台上演员的影子 C．台灯下书本的影子 D．太阳光下旗杆的影子 【变式3】（24-25九年级下·全国·期末）下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 【变式4】（2025·辽宁·模拟预测）下列关于物体投影与视图的说法不正确的是（   ） A．生活中，由灯泡发出的光线形成的投影叫做正投影 B．正三棱柱（如图）的俯视图为等边三角形 C．日晷是我国古时重要的计时用具，其原理为平行投影 D．三视图在历史上有非常重大的应用，蒙日的《画法几何》与埃及金字塔均用到了视图原理 易错类型 2：三视图的方位与尺寸判断错误 【例题7】（2023·河北石家庄·模拟预测）三棱柱的三视图如图，中，，，，则的长为（    ）    A．6cm B． C． D．4cm 【变式1】（2025·广东深圳·模拟预测）一个几何体的三视图如图，若其俯视图为正方形，则这个几何体的侧面积是（　　） A．32 B．16 C． D．8 【变式2】（2025·广东东莞·一模）如图①，一个三阶魔方由27个棱长为2的正方体组成．如图②，把魔方的中间一层转动了．如图③，是魔方转动后的俯视图，则图中线段的长度为 ． 易错类型 3：由三视图求几何体体积与表面积时漏算或多算 【例题8】（2023·安徽安庆·一模）如图所示是三棱柱的三视图，在中，，，，则的长为 【变式1】（25-26七年级上·上海闵行·期中）某玩具厂生产配件，需要分别从棱长为a的正方体木块中，挖去一个棱长为的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为，那么这三者的大小关系是 （请用“<”连接）． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）如图是某几何体的三视图． （1）写出这个几何体的名称； （2）根据有关数据计算几何体的表面积和体积． 第二部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 模块 5：中考高频题型分类突破 题型 1：投影的实际应用（★中考必考题） 【例题10】（2025·山西长治·二模）某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【变式1】（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【变式2】（2025·江西九江·模拟预测）如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆，垂直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上． （1）请在图中画出路灯灯泡P的位置； （2）哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请你根据以上信息： ①求与四边形的面积比． ②求灯泡P距离地面的高度． 【变式3】（2025·广东揭阳·三模）综合与实践  主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点离地面高度为4米，，之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为（点，的对应点分别为，）．如图（2），点的正上方有一路灯，夜晚在路灯的照射下木棍在地面上的投影为（点，的对应点分别为，）． 操作与探究： （1）分别在图（1）、图（2）中画出木棍在地面上的投影和；（用直尺作图，线条用实线） （2）在（1）的条件下，测得米，为验证木棍，投影线，，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明； （3）在（1）的条件下，发现图（2）中木棍，投影线，，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯距地面的高度． 题型 2：三视图的画法与识别（★中考必考题） 【例题11】（2025·安徽淮北·一模）如图所示为一个工件的示意图，该工件的左视图为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·广东深圳·二模）如图，几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图1是由9个大小相同的小正方体组成的几何体． （1）在图2和图3中分别画出图1所示几何体的主视图和俯视图； （2）若从图1所示几何体中拿走n块小正方体后，左视图没有发生变化，则n的最大值是_______． 题型 3：由三视图求几何体的相关量（★中考必考题） 【例题12】（2025·宁夏银川·三模）用若干个大小相同的小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最少由个小立方体搭成，则的值为（   ） A．8 B．9 C． D． 【变式1】（2025·陕西汉中·模拟预测）一个立体图形由若干个完全相同的小正方体构成，其俯视图和左视图如图所示，则构成该立体图形最少需要这样的小正方体（    ）个． A．9 B．10 C．12 D．15 【变式2】（23-24六年级上·山东泰安·期末）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成．从左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，这个几何体最多可由 个小正方体搭成． 题型 4：投影与视图结合几何计算（★中考常考题） 【例题13】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，是公园的一圆形桌面的主视图，表示该桌面在路灯下的影子；则表示一个圆形凳子的主视图． （1）请你在图中标出路灯O的位置，并画出的影子（不用写作法，保留画图痕迹，光线用虚线表示，影子用实线表示）； （2）若桌面直径和桌面与地面的距离均为，测得影子长为，求路灯O到地面的距离． 【变式】甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图（1），测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm. 乙组：如图（2），测得学校旗杆的影长为900cm. 丙组：如图（3），测得校园景灯（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长HQ 为90cm，灯杆被阳光照射到的部分PG长40cm，未被照射到的部分KP长24cm． （1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度； （2）请根据甲、丙两组得到的信息，求： ①灯罩底面半径MK的长；　②灯罩的主视图面积． 题型 5：视图与展开图的综合应用（★中考应用性考点） 【例题14】（25-26七年级上·山西太原·月考）问题情境：李老师给同学们布置了一项综合实践任务，利用所学知识为班级制作一些纸盒，用来收纳讲台上的粉笔等物品． （1）同学们就如何制作纸盒展开激烈的讨论，其中小华、小君、小霞分别给出了三种设计方案．你觉得图案____________（填序号）经过折叠能围成正方体纸盒； （2）小颖所在的综合实践小组得到了10个边长都为的正方体纸盒，将它们摆成如图所示的几何体．请在方格中分别画出它的主视图、左视图、俯视图： （3）这个几何体的表面积（含底面）是____________； （4）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图都不变，那么最多可以再添加____________个小正方体． 【变式1】把边长为1厘米的8个相同正方体如图摆放． （1）画出该几何体的主视图、左视图、俯视图； （2）求该几何体的表面积（含底面）； （3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那么最多可以再添加 　　个小正方体． （4）如果从这个几何体上取出一个小正方体，在表面标上整数、、、、、，然后将其剪开展开成平面图形如图所示放置，已知正方体相对面上两个数之积为8，若是最大的负整数，的相反数等于2，表示四棱柱的顶点数，求的值． 【变式2】综合与实践 如图①所示的几何体是由边长为1的8个相同小正方体摆放而成．   （1）关于这个几何体的三视图，下列说法正确的是（    ） 主视图与左视图相同                         主视图与俯视图相同 左视图与俯视图相同                          三种视图都相同 （2）这个几何体的表面积（含底面）是_____________; （3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图都不变，那么最多可以再添加_________个小正方体． （4）如果从这个几何体上取出一个小正方体，如图②所示，在它的每一个面上都写着一个代数式，且相对的面上的两个代数式的值互为相反数，将其剪开展开成平面图形如图③所示放置，求的值． 四、专题配套资源 分层作业设计： 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（24-25九年级下·湖南长沙·期末）下列光源所形成的投影不是中心投影的是（    ） A．手电筒 B．蜡烛 C．太阳 D．台灯 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列投影一定不会改变的形状和大小的是（   ） A．中心投影 B．平行投影 C．当平行于投影面时的正投影 D．当平行于投影面时的中心投影 3．（25-26九年级上·广东揭阳·月考）如图是一个长方体从中间去掉一个圆柱得到的几何体，则该几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示，几何体的俯视图是（ ） A．　　　B．　　　　C． 　　　　　D． 5．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）如图为国产歼15“飞鲨”战斗机的三视图，若想通过测量了解该战斗机的翼展长度（指机翼左右翼尖之间的长度），可以选择以下哪些视图进行测量（    ）    A．主视图或左视图 B．主视图或俯视图 C．左视图或俯视图 D．主视图或左视图或俯视图 6．（2024·河北邯郸·二模）用两块相同的长方体（图1），沿虚线进行裁切，分别得到图2的两个几何体，比较这两个几何体的三视图，下列说法正确的是（    ） A．只有俯视图不同 B．只有左视图不同 C．只有主视图不同 D．三个视图都不相同 二、填空题 7．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中左视图相同的是 ． 8．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，小明利用影长测量学校旗杆的高度，先测出小明身高，他的影长，再测出旗杆落到地面上的影长，则旗杆的高度为 ． 9．（20-21七年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体，从上面、左面、正面看会得到三个图形，其中看到的图形面积最小的是 （填正面、左面、正面之一）．    10．（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）如图是10个棱长为a的正方体摆放成的图形，则这个图形的表面积为 11．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有 碗． 12．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图是一个底面为正方形的长方体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个长方体的体积为 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． （1）在图中画出光源的位置（用点P表示）； （2）此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； （3）在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 14．（24-25九年级上·四川成都·月考）小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图所示，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度，已知小明的身高为2，，（点，，在同一直线上），请你帮小明求出楼高． 15．（25-26九年级上·陕西西安·期中）数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数） 16．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，是由个大小相同的小正方体搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1． （1）请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图； （2）用同样大小的小正方体搭一个新的几何体，使得从左面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要_______个小立方块． 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）一枚圆形硬币放在太阳光下，它在平整的地面上的投影不可能是（   ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．正方形 2．（2025·河南洛阳·一模）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（2022·福建泉州·模拟预测）如图是由5个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（    ）    A．　　B．  　　　C．   　D．   4．（2021·陕西西安·模拟预测）如图，是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（    ） A．三个视图都是 B．主视图 C．左视图 D．俯视图 5．（2021·黑龙江·一模）由五个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体最多的个数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图是由7个棱长均为1的正方体组成的几何体，则它的左视图和俯视图的面积之和为 ． 8．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为 ． 9．（25-26六年级上·山东淄博·月考）用棱长为的几个小正方体木块搭成图中的几何体，则该几何体的表面积是 ． 　　 10．（24-25九年级下·辽宁铁岭·月考）一个形状为正六棱柱的礼盒，其主视图与左视图及其相关尺寸如图所示，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为 厘米． 11．（23-24七年级上·四川达州·期中）一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最少需要个，最多需要个，则    12．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，小明家的客厅有一张高0.8米（即米）的圆桌，圆桌的直径为1米，点处有一盏灯，圆桌在此灯光下的影子最外侧两点分别为、，以所在直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，已知图中所有的点均在同一平面内，轴，米，点的坐标为，则点的坐标是 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段表示站在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点表示照明灯． （1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；（不写作法，请保留作图痕迹，并写出结论） （2）如果灯杆高，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度．（请写出完整的求解过程） 14．（25-26七年级上·重庆·期中）如图1是由小正方体搭成的几何体 （1）图中已画出从正面看到的形状图，请你利用图2中的网格画出这个几何体从左面看和从上面看到的形状图： （2）若正方体棱长为1，求该几何体的表面积（包括底面）． （3）如果在这个几何体上再添加一些小立方块，并保持从正面看的图和从上面看的图不变，最多可以再添加___________块小立方块． 15．（25-26七年级上·重庆·期中）在立体几何中，我们常常需要通过不同方向观察到的平面图形来表达立体图形，请根据已知条件解决以下问题： （1）如图①所示是从三个不同的方向看到的一个“粮仓”的形状图，求这个“粮仓”的体积．（结果保留） （2）由几个相同的棱长为1的小立方块搭成的几何体从上面看的形状图如图②，方格中的数字表示该位置的小立方块的个数． ①请分别画出该几何体从正面看和从左面看得到的形状图； ②根据从三个不同的方向看到的形状图，求这个几何体的表面积．（包括底面积） 16．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）9月30日是中国烈士纪念日，在苍郁静谧的惠山北麓，无锡市革命烈士陵园改造及环境提升工程已顺利完工，以全新面貌重新对外开放．纪念塔是整个陵园的核心和最高点，由塔身和塔座两部分构成，塔身正面镌刻着“为国牺牲人民英雄纪念塔”，此次改造工程包含了对烈士纪念塔塔座的扩建．某校数学研究性学习小组开展测量纪念塔高度的活动．经测量，纪念塔塔座高度为，如图，即，由于塔顶A和塔底中心B均无法到达，经研究，设计并实施了如下测量活动： 太阳光下，塔身的顶端A的影子落在点E处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端D的影子落在点F处，若此时站在点H处的观测者从点G处看到标杆顶D、塔顶A在同一条直线上，塔身底部点C在观测者的水平视线上．已知在同一平面内，点F，H，E，B在同一水平线上，，，． 根据以上信息，解决下列问题． （1）求该时刻下，纪念塔塔高与其影长的数量关系； （2）求纪念塔塔高． 反思：错题归因手册： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.1 投影与视图（全章复习讲义） 目录 一、专题核心定位 2 【核心目标】 2 【学情适配】 2 【中考对接】 2 二、 知识体系图谱 2 三、 专题核心内容 3 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 3 【模块1】知识精讲 3 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 4 题型 1：投影的概念与分类识别（基础必练） 4 题型 2：三视图的识别与画法（同步必练） 5 题型 3：由三视图还原几何体（同步必练） 7 模块 3：高频模型：方法精讲 10 模块 4：易错题型专项突破（△重点警示） 10 易错类型 1：中心投影、平行投影、正投影混淆 10 易错类型 2：三视图的方位与尺寸判断错误 12 易错类型 3：由三视图求几何体体积与表面积时漏算或多算 14 第二部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 16 模块 5：中考高频题型分类突破 17 题型 1：投影的实际应用（★中考必考题） 17 题型 2：三视图的画法与识别（★中考必考题） 24 题型 3：由三视图求几何体的相关量（★中考必考题） 26 题型 4：投影与视图结合几何计算（★中考常考题） 28 题型 5：视图与展开图的综合应用（★中考应用性考点） 30 四、专题配套资源 33 分层作业设计： 33 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 33 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 43 反思：错题归因手册： 56 一、专题核心定位 【核心目标】 夯实投影与视图的概念本质，掌握投影的分类与性质、三视图的画法与识别、由三视图还原几何体的核心方法，能熟练运用投影与视图知识解决实际测量、几何计算、展开图综合等问题，建立“空间图形与平面图形转化”的几何思维，为后续立体几何学习奠定基础。 【适用场景】 北师大版九上同步培优、期中、期末复习、中考一轮基础巩固； 【学情适配】 基础薄弱生：掌握投影与视图的核心概念与基础题型，实现 “能识别、能画图、能简单还原”； 中等生：熟练运用投影性质、三视图规则，突破尺寸计算、图形还原等易错题型； 优等生：掌握投影与视图和几何计算、展开图的综合技巧，解决压轴创新题型； 【中考对接】 标注高频考点（★）、核心题型（▲）、易错点（△），明确投影与视图在中考中“空间想象工具性作用”，如由三视图求体积或表面积、投影解决实际测量问题，对接近年中考命题趋势。 2、 知识体系图谱 3、 专题核心内容 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 【模块1】知识精讲 1. 概念辨析（△重点突破） （1）投影的概念（★常考基础考点） 投影：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 平行投影：投影线互相平行的投影（如太阳光下的投影）；正投影是特殊的平行投影，投影线垂直于投影面。 中心投影：投影线交于一点的投影（如灯光下的投影）。 （2）三视图的概念与性质（★中考基础考点） 1 三视图包括主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）； 2 三视图画法规则：长对正（主、俯视图长相等且对齐）、高平齐（主、左视图高相等且对齐）、宽相等（左、俯视图宽相等且对应）； 3 三视图的尺寸：反映几何体的长、宽、高，与观察方位一致。 （3）由三视图还原几何体（★中考基础考点）： ① 步骤：先由俯视图确定几何体的底面形状，再由主视图、左视图确定几何体的高度和层数； ② 关键：结合 “长对正、高平齐、宽相等” 核对各部分尺寸，避免漏看、错看层数。 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 题型 1：投影的概念与分类识别（基础必练） 【例题1】（25-26九年级上·陕西西安·月考）下列投影是平行投影的是（　　） A．孙敬“悬梁”在灯下读书的影子 B．朱买臣“负薪”在日光下读书的影子 C．车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子 D．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子 【答案】B 【分析】本题考查平行投影与中心投影的区分．平行投影的光源为平行光线（如日光），而中心投影的光源为点光源（如灯光、萤火虫光）． 根据平行投影的定义判断即可． 解：A．灯是点光源，光线发散，形成中心投影； B．太阳光近似平行光线，形成平行投影； C．萤火虫为点光源，光线发散，形成中心投影； D．灯光为点光源，光线发散，形成中心投影； 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·河北保定·期中）如图是我国北方一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，按时间先后顺序排列正确的是（　　）. A．③④①② B．②①④③ C．③①④② D．②④①③ 【答案】A 【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．太阳从东边升起，西边落下，则建筑物的影子先向西，再向北偏西、北偏东，最后向东，于是根据此变换规律可对各选项进行判断． 解：按时间先后顺序排列为③④①②． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·广东深圳·期中）下列投影现象属于中心投影的是（   ） A．陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在日光下的影子 B．苏轼“把酒问青天”时，酒杯在月光下的影子 C．王维“大漠孤烟直”时，归雁在落日下的影子 D．匡衡“凿壁偷光”时，书卷在灯光下的影子 【答案】D 【分析】本题考查投影，中心投影的光线从一点（投影中心）发出，平行投影的光线互相平行．根据选项描述的光源类型判断是否为中心投影即可．区分中心投影和平行投影的关键是看光源：点光源产生中心投影，平行光源产生平行投影． 解：∵ 日光、月光、落日阳光均为平行光，其投影为平行投影； ∵ 灯光为点光源，其投影为中心投影； ∴ 选项D中灯光下的影子属于中心投影． 故选：D． 题型 2：三视图的识别与画法（同步必练） 【例题2】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图所示的几何体，其左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握主视图、左视图、俯视图分别是从物体的正面、左面、上面看得到的图形成为解题的关键． 根据左视图即从左边观察得到的图形即可解答． 解：从左边看，可得如图所示几何体的左视图是： ． 故选：D． 【变式1】（2025·广西梧州·一模）如图是6个相同的正方形搭成的几何体，将标有①②③④⑤的五个正方体随机拿掉1个，比较前后两个几何体，左视图不改变的概率是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图、概率的定义等知识点，掌握从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图成为解题的关键． 根据三视图的定义以及概率的定义即可解答． 解：去掉①的小正方体，左视图改变；去掉②～⑤的小正方体中的一个，左视图不变，则左视图不发生改变的概率是． 故选：D． 【变式2】（2025·安徽淮北·一模）如图所示为一个工件的示意图，该工件的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三视图，掌握三视图中看不见的线条用虚线表示成为解题的关键． 根据左视图就是从几何体左侧看到的图形是解题的关键． 解：该工件的左视图为： 故选C． 【变式3】（25-26七年级上·河北保定·期中）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．类似的，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图的相关知识． 观察哪个几何体的三视图中有正方形，三角形及长方形即可． 解：A、三视图分别为正方形，三角形及长方形，故本选项符合题意； B、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，故本选项不符合题意； C、三视图分别为长方形，长方形及圆，故本选项不符合题意； D、三视图分别为长方形，长方形及梯形，故本选项不符合题意； 故选：A． 题型 3：由三视图还原几何体（同步必练） 【例题3】（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的三视图所对应的几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对照给出的俯视图，用排除法找出正确的答案． 解：根据俯视图是一个长方形的轮廓，内部有一个比较大的圆可知，B，C，D均不正确，只有A符合题意； 故选：A． 【点拨】本题考查了三视图，掌握三视图的画法是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级上·河南周口·期末）若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 ． 【答案】圆锥 【分析】本题主要考查了根据三视图还原几何体，解题的关键是熟练掌握各个几何体的三视图．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．结合图形即可解答． 解：由三视图可知：这个几何体是圆锥. 故答案为：圆锥． 【变式2】（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，则货架上的方便面至少有 盒． 【答案】 【分析】本题考查三视图，掌握三视图是从三个方向观察物体是解题的关键； 根据题中的主视图、左视图、俯视图，分别得出第一层有盒，第二层最少有盒，第三层最少有盒，进而即可得出答案． 解：根据题意得第一层有盒，第二层最少有盒，第三层最少有盒，所以至少共有盒． 故答案为：． 【变式3】（2024·广东·模拟预测）从正面、左面、上面观察一个几何体得到的形状图如图所示，则这个几何体是（    ） ‍ A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．长方体 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图识别及常见几何体（三棱锥、三棱柱、圆柱、长方体）的三视图特征，解题的关键是熟记各选项几何体的正视图、左视图、俯视图形状，再与题目给出的三视图逐一对比匹配． 先明确题目给出的三视图特征：正视图为中间有虚线的正方形（虚线表示看不见的棱），左视图为正方形，俯视图为等边三角形；再分别回忆各选项几何体的三视图，排除与已知三视图不匹配的选项，保留完全匹配的选项即可确定答案． 解：A、三棱锥的三视图均为三角形（或由三角形组成的图形），不存在正方形，此选项不符合题意； B、三棱柱（底面为等边三角形，侧棱与底面边长相等且垂直底面）的正视图为中间有虚线（表示看不见的侧棱）的正方形，左视图为正方形，俯视图为等边三角形，与题目给出的三视图完全匹配，此选项符合题意； C、圆柱的俯视图为圆形，而非等边三角形，与题目给出的俯视图特征不符，此选项不符合题意； D、长方体的俯视图为矩形，而非等边三角形，与题目给出的俯视图特征不符，此选项不符合题意； 故选：B． 模块 3：高频模型：方法精讲 模型 适用场景 解题方法 投影类型判断 平行投影、中心投影、识别影子变化规律 1. 看投影线：平行线判断平行投影，交于一点判断中心投影；2. 平行投影：影子方向与长度随时间变化有规律；中心投影：影子随点光源位置变化 三视图画法 画几何体的三视图． 1. 确定观察方位：正面、左面、上面；2. 遵循 “长对正、高平齐、宽相等”；3. 实线画看得见的轮廓，虚线画看不见的轮廓． 由三视图还原几何体 已知三视图，还原立体图形或求小正方体个数． 1. 俯视图定 “底面布局”，主视图定 “上下层数”，左视图定 “左右层数”；2. 标注每层小正方体个数，求和得总数． 三视图求几何体体积或表面积 已知三视图尺寸，求几何体的体积或表面积． 1. 先还原几何体（如长方体、圆柱、圆锥、组合体）；2. 代入对应公式计算，组合体需拆分与合并计算，注意漏算与多算部分． 模块 4：易错题型专项突破（△重点警示） 易错类型 1：中心投影、平行投影、正投影混淆 【例题6】（25-26九年级上·陕西西安·月考）下列投影是平行投影的是（　　） A．孙敬“悬梁”在灯下读书的影子 B．朱买臣“负薪”在日光下读书的影子 C．车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子 D．匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子 【答案】B 【分析】本题考查平行投影与中心投影的区分．平行投影的光源为平行光线（如日光），而中心投影的光源为点光源（如灯光、萤火虫光）． 根据平行投影的定义判断即可． 解：A．灯是点光源，光线发散，形成中心投影； B．太阳光近似平行光线，形成平行投影； C．萤火虫为点光源，光线发散，形成中心投影； D．灯光为点光源，光线发散，形成中心投影； 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）下列光线形成的投影不是中心投影的是（   ） A．台灯的光线 B．太阳光线 C．蜡烛的光线 D．路灯的光线 【答案】B 【分析】本题考查中心投影与平行投影的区分．中心投影的光源为点光源，光线呈发散状；平行投影的光源视为无限远处，光线平行．据此判断即可． 解：中心投影由点光源（如台灯、蜡烛、路灯）发出的发散光线形成，各选项中的台灯（A）、蜡烛（C）、路灯（D）均为点光源，属于中心投影．而太阳距离地球极远，其光线可视为平行光线，形成的投影为平行投影，而非中心投影． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）下列投影中，不是中心投影的是（   ） A．路灯下行人的影子 B．舞台上演员的影子 C．台灯下书本的影子 D．太阳光下旗杆的影子 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心投影、平行投影的性质，解决本题的关键是理解平行投影的形成光源为太阳光．根据中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光，找到是太阳光的光源即可． 解：A. 路灯下行人的影子为中心投影，故此选项不合题意；     B. 舞台上演员的影子为中心投影，故此选项不合题意； C. 台灯下书本的影子为中心投影，故此选项不合题意； D. 太阳光下旗杆的影子为平行投影，符合题意； 故选：D． 【变式3】（24-25九年级下·全国·期末）下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 【答案】B 【分析】本题考查正投影，根据正投影的定义，逐一进行判断即可． 解：A、如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体不一定是球，比如圆柱体的正投影可能是圆，原说法错误，不符合题意； B、不同物体的正投影可以相同，比如圆柱体和球（底面圆的半径和球的半径相同）的正投影都可以是圆，原说法正确，符合题意； C、圆锥的正投影可能是等腰三角形，也可能是圆，原说法错误，不符合题意； D、圆纸片的正投影可能是圆，也可能是椭圆，原说法错误，不符合题意； 故选B． 【变式4】（2025·辽宁·模拟预测）下列关于物体投影与视图的说法不正确的是（   ） A．生活中，由灯泡发出的光线形成的投影叫做正投影 B．正三棱柱（如图）的俯视图为等边三角形 C．日晷是我国古时重要的计时用具，其原理为平行投影 D．三视图在历史上有非常重大的应用，蒙日的《画法几何》与埃及金字塔均用到了视图原理 【答案】A 【分析】本题主要考查投影，熟练掌握投影与视图是解题的关键．根据投影和视图的定义进行判断即可． 解：生活中，由灯泡发出的光线形成的投影不叫做正投影，故选项A错误，符合题意； 正三棱柱（如图）的俯视图为等边三角形，故选项B正确，不符合题意； 日晷是我国古时重要的计时用具，其原理为平行投影，故选项C正确，不符合题意； 三视图在历史上有非常重大的应用，蒙日的《画法几何》与埃及金字塔均用到了视图原理，故选项D正确，不符合题意； 故选A． 易错类型 2：三视图的方位与尺寸判断错误 【例题7】（2023·河北石家庄·模拟预测）三棱柱的三视图如图，中，，，，则的长为（    ）    A．6cm B． C． D．4cm 【答案】A 【分析】过点E作于点Q，根据三视图的意义，得到，用勾股定理计算即可． 解：过点E作于点Q， 根据三视图的意义，得到，    ∵，， ∴． 故选A． 【点拨】本题考查了几何体的三视图计算，正确理解三视图的意义是解题的关键． 【变式1】（2025·广东深圳·模拟预测）一个几何体的三视图如图，若其俯视图为正方形，则这个几何体的侧面积是（　　） A．32 B．16 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了根据三视图求面积、正方形的性质；观察该几何体及其三视图可知，该几何体为底面是正方形的长方体，且正方形的对角线长为2，该长方体的高为3，进而求得侧面积，即可求解． 解：观察该几何体及其三视图发现，该几何体的底面是正方形，且对角线长为2，该长方体的高为3， ∴正方形的边长为， 故其侧面积为． 故选：C． 【变式2】（2025·广东东莞·一模）如图①，一个三阶魔方由27个棱长为2的正方体组成．如图②，把魔方的中间一层转动了．如图③，是魔方转动后的俯视图，则图中线段的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了俯视图，勾股定理，等腰直角三角形性质，解题的关键在于根据题意得出为等腰直角三角形．根据题意得到为等腰直角三角形， 设，进而得到，再结合建立等式求解，即可解题． 解：由题意得， 即为等腰直角三角形，且， 设，则， ， 解得， 则图中线段的长度为， 故答案为：． 易错类型 3：由三视图求几何体体积与表面积时漏算或多算 【例题8】（2023·安徽安庆·一模）如图所示是三棱柱的三视图，在中，，，，则的长为 【答案】5 【分析】过E作交于点，根据，，即可得到，根据左视图即可得到； 解：过E作交于点， ∵，，， ∴， 由左视图可得， ， 故答案为5； 【点拨】本题考查正确理解几何体的三视图，直角三角形所对直角边等于斜边一半，解题的关键是正确理解三视图． 【变式1】（25-26七年级上·上海闵行·期中）某玩具厂生产配件，需要分别从棱长为a的正方体木块中，挖去一个棱长为的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为，那么这三者的大小关系是 （请用“<”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了正方体的表面积，整式加减的应用，能表示出所求几何体的表面积是解题的关键．；由正方体的表面积得，分别进行整式加减运算后，进行比较大小，即可求解； 解：由题意得， ， ， ， ， 故答案为： 【变式2】（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）如图是某几何体的三视图． （1）写出这个几何体的名称； （2）根据有关数据计算几何体的表面积和体积． 【答案】（1）三棱柱；（2）它的表面积为，它的体积为． 【分析】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的面积，体积等相关知识，考查学生的空间想象能力． （1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这是一个三棱柱； （2）根据直三棱柱的表面积以及体积公式计算即可． 解：（1）解：这个几何体为三棱柱． （2）解：它的表面积为：； 它的体积为：． 所以，它的表面积为：，它的体积为：． 第二部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 模块 5：中考高频题型分类突破 题型 1：投影的实际应用（★中考必考题） 【例题10】（2025·山西长治·二模）某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】路灯的高度约为7.7米． 【分析】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用．由题意可知，推出，求得，求得，再由相似三角形的对应边成比例即可得出答案． 解：设米， 由题意得， 米， ， ， ， 米，米，米， ∴（米）， 米， ， ， ， ， ， 解得． 答：路灯的高度约为7.7米． 【变式1】（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】（1）；（2）旗杆高度为；（3）雕塑高度为． 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 解：（1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 【变式2】（2025·江西九江·模拟预测）如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆，垂直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上． （1）请在图中画出路灯灯泡P的位置； （2）哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请你根据以上信息： ①求与四边形的面积比． ②求灯泡P距离地面的高度． 【答案】（1）作图见分析；（2）①；②米 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据熟练掌握中心投影的定义，相似三角形判定与性质解题关键． （1）连接、并延长，相交于点，则点即是灯泡的位置； （2）①先证明四边形是矩形，得出，，证明，得出相似比，再利用相似三角形的性质即可求解； ②过作，则即是灯泡距离地面的高度，利用，得出，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 解：（1）解：如图所示，连接、并延长，相交于点， 则点即是灯泡的位置； （2）解：①∵，， ∴， ∵米， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵（米）， ∴相似比为， ∴， ∴； ②如图，过作，则即是灯泡距离地面的高度， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（米）， 答：灯泡距离地面的高度是米． 【变式3】（2025·广东揭阳·三模）综合与实践  主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点离地面高度为4米，，之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为（点，的对应点分别为，）．如图（2），点的正上方有一路灯，夜晚在路灯的照射下木棍在地面上的投影为（点，的对应点分别为，）． 操作与探究： （1）分别在图（1）、图（2）中画出木棍在地面上的投影和；（用直尺作图，线条用实线） （2）在（1）的条件下，测得米，为验证木棍，投影线，，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明； （3）在（1）的条件下，发现图（2）中木棍，投影线，，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯距地面的高度． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）路灯距地面高度为米 【分析】（1）分别根据平行投影和中心投影作图即可； （2）过点作交于点，证明四边形为平行四边形可得，即可证明； （3）由题意可知，，三点在同一直线上，且，过点作于点，于点，可知四边形是矩形，根据轴对称图形得到米，证明，进而求出，求出的长即可. 解：（1）解：如图，线段与线段为所求作图形； （2）证明：如图，过点作交于点． 则， 依题意 四边形为平行四边形． 米， 又米， ， ，即 （3）解：如图，路灯在点正上方． ，，三点在同一直线上，且， 过点作于点，于点， 则四边形是矩形． 米，米 米，米． 四边形是轴对称图形， （米）． ， 米 （米） 答：路灯距地面高度为米. 【点拨】本题考查了投影作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 题型 2：三视图的画法与识别（★中考必考题） 【例题11】（2025·安徽淮北·一模）如图所示为一个工件的示意图，该工件的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三视图，掌握三视图中看不见的线条用虚线表示成为解题的关键． 根据左视图就是从几何体左侧看到的图形是解题的关键． 解：该工件的左视图为： 故选C． 【变式1】（2023·广东深圳·二模）如图，几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图即可解答． 解：从正面看图形为 故选：A． 【点拨】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看得到的图形是主视图成为解题的关键． 【变式2】（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图1是由9个大小相同的小正方体组成的几何体． （1）在图2和图3中分别画出图1所示几何体的主视图和俯视图； （2）若从图1所示几何体中拿走n块小正方体后，左视图没有发生变化，则n的最大值是_______． 【答案】（1）见分析；（2）5 【分析】此题主要考查简单组合体的三视图；．解题的关键是熟知三视图的定义． （1）根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案 （2）根据题意可以拿走第二列和第三列以及第4列中的1个，根据俯视图画出能拿走的小正方体，即可求解． 解：（1）解：如图所示： （2）解：如图所示， ， 故答案为：． 题型 3：由三视图求几何体的相关量（★中考必考题） 【例题12】（2025·宁夏银川·三模）用若干个大小相同的小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最少由个小立方体搭成，则的值为（   ） A．8 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了小立方体堆砌而成的几何体的三视图，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据主视图和俯视图可确定中间一列为右边一列的小立方块数量，最少情形下左边一列底层有3个小立方块，上面一层有1个小立方块，然后即可求解． 解： 解：根据主视图和俯视图可确定中间一列为右边一列的小立方块数量，最少情形下左边一列底层有3个小立方块，上面一层有1个小立方块，如图所示是最少的一种情形下每个位置的小立方块数， ∴， 故选：B． 【变式1】（2025·陕西汉中·模拟预测）一个立体图形由若干个完全相同的小正方体构成，其俯视图和左视图如图所示，则构成该立体图形最少需要这样的小正方体（    ）个． A．9 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了立体图形的三视图，通过分析主视图、俯视图、左视图，确定立体图形中小正方体的排列和数量，最终计算出小正方体的总量． 通过俯视图可确定小正方体整体排列的情况，通过左视图可知最左边一列最多有1排小正方体，中间1列最多有3排小正方体，最右边1列最多有2排小正方体，通过计算即可得解． 解：由图可得有以下情况： 最少有12个， 故答案选． 【变式2】（23-24六年级上·山东泰安·期末）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成．从左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，这个几何体最多可由 个小正方体搭成． 【答案】 【分析】本题考查了学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 解：由俯视图易得最底层有4个小正方体，由左视图可得第二层最多有3个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体最多为个， 故答案为：． 题型 4：投影与视图结合几何计算（★中考常考题） 【例题13】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，是公园的一圆形桌面的主视图，表示该桌面在路灯下的影子；则表示一个圆形凳子的主视图． （1）请你在图中标出路灯O的位置，并画出的影子（不用写作法，保留画图痕迹，光线用虚线表示，影子用实线表示）； （2）若桌面直径和桌面与地面的距离均为，测得影子长为，求路灯O到地面的距离． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的实际运用，中心投影的知识，解决本题的关键是作出相应的辅助线． （1）延长，它们的交点即为路灯O的位置，然后再连接，并延长交地面与P、Q点，则为的影子； （2）作交于E，如图，，证明，利用相似比计算出即可得到路灯O与地面的距离． 解：（1）解：点O如图所示； 如图所示； （2）解：作于点F，交于点E， 则． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 答：路灯O到地面的距离为． 【变式】甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图（1），测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm. 乙组：如图（2），测得学校旗杆的影长为900cm. 丙组：如图（3），测得校园景灯（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长HQ 为90cm，灯杆被阳光照射到的部分PG长40cm，未被照射到的部分KP长24cm． （1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度； （2）请根据甲、丙两组得到的信息，求： ①灯罩底面半径MK的长； ②灯罩的主视图面积． 【答案】解：（1）在同一时刻在阳光下对校园中，学校旗杆与旗杆的影长构成直角三角形 和,且∽，所以，DE="1200" cm……3分 （2）①由（1）可知∽∽，得出GH=30cm,MK=18cm…..5分 ②≌,由KP长24cm，得出，∽,所以,所以72 cm……..7分 灯罩的主视图面积为：18×2×72=2592……8分 解：（1）根据同一时刻时在阳光下的物高与影长成比例可求出DE的长；（2）①根据条件可证Rt△PGH∽Rt△PKM∽Rt△ABC，然后利用相似三角形的对应边成比例可求出MK的长；②根据条件可证Rt△PKM≌Rt△LK′N，Rt△ABC∽Rt△LGQ，然后利用相似三角形的性质可求出KK’的长． 试题解析：（1）因为同一时刻时在阳光下的物高与影长成比例，所以所以解得DE=1200cm=12m；（2）①根据条件可得Rt△PGH∽Rt△PKM∽Rt△ABC，所以所以解得GH=30cm，MK=18cm，②Rt△PKM≌Rt△LK′N，由KP长24cm，得出LK′=24cm，Rt△ABC∽Rt△LGQ，所以所以KK'=72cm． 考点：相似三角形的判定与性质． 题型 5：视图与展开图的综合应用（★中考应用性考点） 【例题14】（25-26七年级上·山西太原·月考）问题情境：李老师给同学们布置了一项综合实践任务，利用所学知识为班级制作一些纸盒，用来收纳讲台上的粉笔等物品． （1）同学们就如何制作纸盒展开激烈的讨论，其中小华、小君、小霞分别给出了三种设计方案．你觉得图案____________（填序号）经过折叠能围成正方体纸盒； （2）小颖所在的综合实践小组得到了10个边长都为的正方体纸盒，将它们摆成如图所示的几何体．请在方格中分别画出它的主视图、左视图、俯视图： （3）这个几何体的表面积（含底面）是____________； （4）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图都不变，那么最多可以再添加____________个小正方体． 【答案】（1）②③；（2）见分析；（3）；（4）4 【分析】此题考查了正方体的展开图、三视图等知识，熟练掌握三视图是关键． （1）根据正方体展开图的特征进行分析即可； （2）根据从正面、左面和上面看到的平面图形即可解答； （3）根据小正方体的排列方式进行解答即可； （4）根据保持这个几何体的左视图和俯视图都不变进行适当的添加即可． 解：（1）解：根据正方体的展开图，可知：图案②③经过折叠能围成正方体纸盒， 故答案为：②③； （2）如图即为所求： （3）这个几何体的表面积（含底面）是， 故答案为： （4）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图都不变，那么最多可以再添加4个小正方体． 故答案为：4 【变式1】把边长为1厘米的8个相同正方体如图摆放． （1）画出该几何体的主视图、左视图、俯视图； （2）求该几何体的表面积（含底面）； （3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那么最多可以再添加 　　个小正方体． （4）如果从这个几何体上取出一个小正方体，在表面标上整数、、、、、，然后将其剪开展开成平面图形如图所示放置，已知正方体相对面上两个数之积为8，若是最大的负整数，的相反数等于2，表示四棱柱的顶点数，求的值． 【答案】（1）图见分析；（2）34；（3）4；（4）84 【分析】（1）根据三视图的画法画出对应的三视图即可； （2）先求得三视图的面积的2倍，再加上挡住的面的面积即可； （3）根据三视图和要求，可在相应位置增加小立方体，使主视图和俯视图不变，直到最多即可； （4）根据正方体的展开图特点，分别求出对应面上的数，再代值求解即可． 解：（1）解：三视图如图所示： （2）解：这个几何体的表面积； （3）解：如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那么最多可以再添加4个小正方体． 故答案为：4； （4）解：由题意，，，，，，， ∴． 【点拨】本题考查画三视图、几何体的表面积、正方体的展开图等知识，解答的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考内容． 【变式2】综合与实践 如图①所示的几何体是由边长为1的8个相同小正方体摆放而成．   （1）关于这个几何体的三视图，下列说法正确的是（    ） 主视图与左视图相同                         主视图与俯视图相同 左视图与俯视图相同                          三种视图都相同 （2）这个几何体的表面积（含底面）是_____________; （3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图都不变，那么最多可以再添加_________个小正方体． （4）如果从这个几何体上取出一个小正方体，如图②所示，在它的每一个面上都写着一个代数式，且相对的面上的两个代数式的值互为相反数，将其剪开展开成平面图形如图③所示放置，求的值． 【答案】（1）A；（2）34；（3）4；（4）16 【分析】（1）根据三视图判断即可； （2）根据几何体表面积是可以看得到的小正方形的面积，由此求解即可； （3）根据左视图和俯视图都不变求解即可 （4）根据条件求出a，b，x的值即可． 解：（1）解：主视图：从左边数第一列有3个正方形，第二列有1个正方形，第三列有1个正方形， 俯视图：从左边数第一列有3个正方形，第二列有1个正方形，第三列有2个正方形， 左视图：从左边数第一列有3个正方形，第二列有1个正方形，第三列有1个正方形， 故选：A． （2）解：几何体表面积是可以看得到的小正方形的面积， 由图可得：几何体的表面积（含底面）是34； （3）解：要保持这个几何体的左视图和俯视图都不变， 只能在从左边数第2列的小正方体上放2个正方体和在第三列里面的正方体上放2个正方体， ∴最多可以再添加4个正方体； （4）解：正方体表面展开图，想对面之间一定相隔一个正方形， a与是相对面，b与1是相对面，与是相对面， ∵相对的面上的两个代数式的值互为相反数， ∴， ∴． 【点拨】本题考查简单组合体的三视图，提升空间想象力是关键． 四、专题配套资源 分层作业设计： 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（24-25九年级下·湖南长沙·期末）下列光源所形成的投影不是中心投影的是（    ） A．手电筒 B．蜡烛 C．太阳 D．台灯 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影的定义，解题的关键是理解中心投影的形成光源是灯光．利用中心投影和平行投影的定义判断即可． 解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光， 在各选项中只有C选项得到的投影为平行投影． 故选：C． 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列投影一定不会改变的形状和大小的是（   ） A．中心投影 B．平行投影 C．当平行于投影面时的正投影 D．当平行于投影面时的中心投影 【答案】C 【分析】此题主要考查了投影，关键是掌握中心投影、平行投影、正投影的区别．根据正投影、平行投影、中心投影的定义即可得答案． 解：一定不会改变的形状和大小的是当平行投影面时的正投影， 故选：C 3．（25-26九年级上·广东揭阳·月考）如图是一个长方体从中间去掉一个圆柱得到的几何体，则该几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单几何体的三视图， 判断这个几何体的俯视图即可． 解：这个几何体的俯视图为： 故选：C． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示，几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三视图．根据几何体，俯视图为矩形中间有一条实线，找出对应选项即可． 解：由几何体可知，俯视图为矩形中间有一条实线， 只有选项B符合题意， 故选：B． 5．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）如图为国产歼15“飞鲨”战斗机的三视图，若想通过测量了解该战斗机的翼展长度（指机翼左右翼尖之间的长度），可以选择以下哪些视图进行测量（    ）    A．主视图或左视图 B．主视图或俯视图 C．左视图或俯视图 D．主视图或左视图或俯视图 【答案】B 【分析】根据题意，能测量该战斗机的翼展长度的是主视图或俯视图，据此即可求解． 解：能测量该战斗机的翼展长度的是主视图或俯视图， 故选：B． 【点拨】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 6．（2024·河北邯郸·二模）用两块相同的长方体（图1），沿虚线进行裁切，分别得到图2的两个几何体，比较这两个几何体的三视图，下列说法正确的是（    ） A．只有俯视图不同 B．只有左视图不同 C．只有主视图不同 D．三个视图都不相同 【答案】B 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，正确掌握三视图的观察角度是解题的关键．根据三视图的定义进行判断即可． 解：两个几何体的三视图，如图所示： 所以，只有左视图不相同， 故选：B． 二、填空题 7．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中左视图相同的是 ． 【答案】甲和乙 【分析】根据三个俯视图分别判断出几何体的左视图，即可得答案． 解：由已知条件可知，甲的左视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2； 乙的左视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2； 丙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，1． ∴左视图相同的是：甲和乙． 故答案为：甲和乙． 【点拨】本题考查几何体的三视图画法．解题的关键是掌握由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 8．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，小明利用影长测量学校旗杆的高度，先测出小明身高，他的影长，再测出旗杆落到地面上的影长，则旗杆的高度为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长的比值一定可得，据此代值计算即可． 解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：8． 9．（20-21七年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体，从上面、左面、正面看会得到三个图形，其中看到的图形面积最小的是 （填正面、左面、正面之一）．    【答案】左面 【分析】分别找出从上面、左面、正面看所得到的小正方形的个数，可得答案． 解：主视图有5个小正方形，俯视图有5个小正方形，左视图有3个小正方形，因此看到的图形面积最小的是左面， 故答案：左面． 【点拨】本题考查了三视图的知识，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 10．（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）如图是10个棱长为a的正方体摆放成的图形，则这个图形的表面积为 【答案】 【分析】本题考查了几何体的表面积，认识立体图形，熟练掌握这个组合体的三种视图是解题的关键． 根据这个组合体的三种视图解答即可求得． 解：每个小正方体的1个面的面积为， 正面有6个正方形，面积为：， 上面有6个正方形，面积为：， 左面有6个正方形，面积为：， ∴整个几何体的表面积为：， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有 碗． 【答案】 【分析】本题考查由三视图还原立体图形，由空间想象能力，按照“俯视图打地基、主视图疯狂盖、左视图拆违建”的顺口溜辅助就能更容易得到答案，熟记物体三视图是解决问题的关键． 解：由三视图可知，第一层必须是碗；第二层最少是碗；第三次最少是碗； 货架上的红烧牛肉方便面至少有碗， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图是一个底面为正方形的长方体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个长方体的体积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查三视图，由三视图可得该长方体的底面正方形的对角线长为，高为，根据长方体的体积公式计算即可． 解：该长方体的底面正方形的面积为， 长方体的体积为． 故答案为：4． 三、解答题 13．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． （1）在图中画出光源的位置（用点P表示）； （2）此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； （3）在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 【答案】（1）见分析；（2）中心投影；（3）见分析 【分析】本题考查了中心投影，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据在同一时刻同一光源下立柱形成的影子为与，连接并延长交于点P，即为所求； （2）因为所有光线均从同一个点P发出，呈发散状，且不同立柱的影子方向不平行，符合中心投影的特征，即可解答； （3）连接并延长交地面于点M，则为所求． 解：（1）解：如图，点P为光源的位置，点P即为所求： （2）解：此光源下形成的投影是中心投影． 故答案为：中心投影； （3）解：如图所示，线段为立柱在此光源下所形成的影子，则为所求． 14．（24-25九年级上·四川成都·月考）小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图所示，小明边移动边观察，发现站到点处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度，已知小明的身高为2，，（点，，在同一直线上），请你帮小明求出楼高． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，交于点，根据题意可得：，，，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 解：过点作，垂足为，交于点， 由题意得：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴楼高为． 15．（25-26九年级上·陕西西安·期中）数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数） 【答案】该古塔的高度为 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，平行投影，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证明即可求解． 解：由题意得，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 答：该古塔的高度为． 16．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，是由个大小相同的小正方体搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1． （1）请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图； （2）用同样大小的小正方体搭一个新的几何体，使得从左面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要_______个小立方块． 【答案】（1）画图见分析；（2）9 【分析】本题考查了作图——从三个方向看以及应用，解题的关键是运用空间想象能力画出从三个方向看的几何体的形状． （1）根据立体图形分别画出从三个不同方向看到的形状图即可； （2）在从上面看的图的相应位置上标出该位置所放置的小立方体的个数，从而得出最少需要的小立方体的个数． 解：（1）解：如图所示，即为所求作； （2）解：用同样大小的小正方体搭一个新的几何体，使得从左面、上面看到的该几何体的形状图与方格中所画一致，最少如图所示， ∴共个小正方体． 故答案为：9． 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）一枚圆形硬币放在太阳光下，它在平整的地面上的投影不可能是（   ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行投影的应用，解题的关键是熟练掌握平行投影的概念． 同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，根据圆形物体在阳光下的投影，可知在地面上所形成的影子的形状不可能是哪种图形． 解：当硬币与光线平行时，投影是线段；当硬币面与光线垂直时，投影是圆；其余都是椭圆， 故选：D． 2．（2025·河南洛阳·一模）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了平行投影，作于点，如图，则四边形为矩形，，，利用“在同一时刻物高与影长的比相等得到” ，求出从而可得到的长． 解：作于点，如图， 则四边形为矩形，，， 根据题意得， 即， 解得， 所以． 故选：A． 3．（2022·福建泉州·模拟预测）如图是由5个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（    ）    A． B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据题意，从正面看，一共3列，左边有1个小正方形，中间有2个（前后各1个），右边有2个小正方形，据此分析判断即可． 解：根据题意可知，主视图有3列，左边有1个小正方形，中间有2个（前后各1个），右边有2个小正方形，所以选项A符合题意． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，解题关键是理解并掌握简单组合体的三视图． 4．（2021·陕西西安·模拟预测）如图，是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（    ） A．三个视图都是 B．主视图 C．左视图 D．俯视图 【答案】D 【分析】先根据图形画出三视图，然后再根据中心对称图形的性质进行判断即可； 解：根据原图画出三视图如图所示：    ∵ 中心对称图形是旋转180°之后能与自身完全重合的图形， ∴ 俯视图为中心对称图形， 故选：D． 【点拨】本题考查了三视图以及中心对称图形的辨别，正确掌握知识点是解题的关键． 5．（2021·黑龙江·一模）由五个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图.根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案． 解：从上方观察这个由五个相同正方体搭成的几何体，底层有个正方体,其俯视图呈现的形状是： 第一行有个正方形，第二行最右边有个正方形，与选项A的图形一致． 故选：A． 6．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体最多的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了小立方体堆砌而成的几何体的三视图，正确记忆相关知识点是解题关键．结合主视图（从正面看的图形）和俯视图（从上面看的图形），分析每一列、每一行小立方体的可能层数，从而确定小立方体的最多个数． 解：第列（主视图最高层） 俯视图中第列有个位置（第行），每个位置最多叠层， 因此第列最多有个小立方体； 第列（主视图最高层） 俯视图中第列有个位置（第行）每个位置最多叠层， 因此第列最多有个小立方体； 第列（主视图最高层俯视图中第列有个位置（第行），最多叠层， 因此第列最多有个小立方体； ∴总个数将三列的最多个数相加：． 故选：C． 二、填空题 7．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图是由7个棱长均为1的正方体组成的几何体，则它的左视图和俯视图的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体的左视图及俯视图，根据左视图及俯视图的定义得到该几何体的左视图和俯视图，问题随之得解． 解：该几何体的左视图为： 左视图的面积为， 该几何体的俯视图为： 俯视图的面积为， 则它的左视图和俯视图的面积之和为． 故答案为：． 8．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为 ． 【答案】80 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，证明，推出，构建方程求出EF即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：80． 9．（25-26六年级上·山东淄博·月考）用棱长为的几个小正方体木块搭成图中的几何体，则该几何体的表面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的三视图，几何体的表面积就是几何体的三视图的面积之和的倍，分别求出几何体的主视图、左视图、俯视图中小正方形的个数，根据小正方形的边长即可求出几何体的表面积． 解：由几何体可知，从几何体的正面可以看到个边长为的正方形， 从几何体的左面可以看到个边长为的正方形， 从几何体的上面可以看到个边长为的正方形， 小正方形的边长为， 每个小正方形的面积为， 几何体的表面积是． 故答案为：． 10．（24-25九年级下·辽宁铁岭·月考）一个形状为正六棱柱的礼盒，其主视图与左视图及其相关尺寸如图所示，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了正六边形的性质、立体图形的三视图和学生的空间想象能力，勾股定理，利用正六边形的性质求得底面对边之间的距离，然后所有棱长相加即可．注意知道正六边形两个顶点间的最大距离求对边之间的距离需构造直角三角形求解． 解：根据题意，作出实际图形的上底， 如图，将俯视图画出，连接，过点作，由题意可得， 因为正六边形每个内角为， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， 则胶带的长至少． 故答案为：． 11．（23-24七年级上·四川达州·期中）一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最少需要个，最多需要个，则    【答案】 【分析】本题考查了由两种视图判定该堆砌图形的小正方体的个数，结合主视图（正面看到的形状图）和俯视图（上面看到的形状图），分析每个位置小正方体的层数是解题的关键． 结合两种视图分别在俯视图上标注某个位置上放置的小正方体的个数，从而可得答案． 解：如图，（最小的情况的放置方式不唯一） 最多有：（个）， 最少有：（个）， ∴． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，小明家的客厅有一张高0.8米（即米）的圆桌，圆桌的直径为1米，点处有一盏灯，圆桌在此灯光下的影子最外侧两点分别为、，以所在直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，已知图中所有的点均在同一平面内，轴，米，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的实际应用，由题意可推出；得出，进而得到 ，结合即可求解． 解：由题意得：轴， ∴ ∴， ， 即： 故答案为： 三、解答题 13．（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段表示站在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点表示照明灯． （1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；（不写作法，请保留作图痕迹，并写出结论） （2）如果灯杆高，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度．（请写出完整的求解过程） 【答案】（1）见分析；（2）小亮影子的长度为 【分析】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段． （1）直接连接点光源和物体顶端形成的直线与地面的交点即是影子的顶端； （2）根据中心投影的特点可知，利用相似比即可求解． 解：（1）解：连接并延长交地面于点C，线段就是小亮在照明灯（P）照射下的影子； （2）解：在和中， ， ， ， ， ， 小亮影子的长度为． 14．（25-26七年级上·重庆·期中）如图1是由小正方体搭成的几何体 （1）图中已画出从正面看到的形状图，请你利用图2中的网格画出这个几何体从左面看和从上面看到的形状图： （2）若正方体棱长为1，求该几何体的表面积（包括底面）． （3）如果在这个几何体上再添加一些小立方块，并保持从正面看的图和从上面看的图不变，最多可以再添加___________块小立方块． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）1 【分析】本题考查从不同方向看几何体，理解视图的定义，掌握从不同方向看几何体是正确解答的前提． （1）根据组合体不同角度看到的图形，画出这个组合体从不同角度看到的图形即可； （2）判断出表面正方形的个数可得结论； （3）根据从正面看的图和从上面看的图可得答案． 解：（1）解：如图所示： （2）解：这个几何体的表面积为； （3）解：如果在这个几何体上再添加一些小立方块，并保持从正面看的图和从上面看的图不变，最多可以再添加1个小立方块． 故答案为：1． 15．（25-26七年级上·重庆·期中）在立体几何中，我们常常需要通过不同方向观察到的平面图形来表达立体图形，请根据已知条件解决以下问题： （1）如图①所示是从三个不同的方向看到的一个“粮仓”的形状图，求这个“粮仓”的体积．（结果保留） （2）由几个相同的棱长为1的小立方块搭成的几何体从上面看的形状图如图②，方格中的数字表示该位置的小立方块的个数． ①请分别画出该几何体从正面看和从左面看得到的形状图； ②根据从三个不同的方向看到的形状图，求这个几何体的表面积．（包括底面积） 【答案】（1）；（2）①见分析；② 【分析】本题考查从不同方向看几何体．求圆锥和圆柱的体积． （1）根据从不同方向看几何体可知，这个几何体的上部分是一个圆锥，下部分是一个圆柱，据此求解即可． （2）①由已知条件可知，从正面看有2列，每列小正方数形数目分别为2，3，从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，1．据此可画出图形； ②上面共有3个小正方形，下面共有3个小正方形；左面共有4个小正方形，右面共有4个正方形；前面共有5个小正方形，后面共有5个正方形，继而得出表面积． 解：（1）解：由题意得这个几何体的上部分是一个高为，底面圆直径为6的圆锥，下部分是一个底面圆直径为6，高为4的圆柱， ∴这个几何体的体积为； （2）解：①如图所示： ②由题意可得：上面共有3个小正方形，下面共有3个小正方形；左面共有4个小正方形，右面共有4个正方形；前面共有5个小正方形，后面共有5个正方形， 故可得表面积为：． 16．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）9月30日是中国烈士纪念日，在苍郁静谧的惠山北麓，无锡市革命烈士陵园改造及环境提升工程已顺利完工，以全新面貌重新对外开放．纪念塔是整个陵园的核心和最高点，由塔身和塔座两部分构成，塔身正面镌刻着“为国牺牲人民英雄纪念塔”，此次改造工程包含了对烈士纪念塔塔座的扩建．某校数学研究性学习小组开展测量纪念塔高度的活动．经测量，纪念塔塔座高度为，如图，即，由于塔顶A和塔底中心B均无法到达，经研究，设计并实施了如下测量活动： 太阳光下，塔身的顶端A的影子落在点E处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端D的影子落在点F处，若此时站在点H处的观测者从点G处看到标杆顶D、塔顶A在同一条直线上，塔身底部点C在观测者的水平视线上．已知在同一平面内，点F，H，E，B在同一水平线上，，，． 根据以上信息，解决下列问题． （1）求该时刻下，纪念塔塔高与其影长的数量关系； （2）求纪念塔塔高． 【答案】（1）；（2）18米 【分析】本题考查了相似三角形的应用及矩形的性质和判定，解题的关键是通过平行光线构建相似三角形，结合相似三角形性质建立等量关系． （1）根据太阳光下，同一时刻，物体长度和其影长的比值相等得出，结合题干数据即可求解． （2）如图，令与的交点为，则四边形和是矩形，得出，，，设， 则，，表示出，证明，则，列出方程求解即可． 解：（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 即， ． （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ∴，， ∴， 设， 则 ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 米， 答：纪念碑的高度为18米． 反思：错题归因手册： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $