辽宁省沈阳市东北育才学校2026届高三上学期三模数学试题

东北育才高中高三年级第三次模拟考试 数学科试卷 答题时间：120分钟 满分：150 一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则（ ） A. 5 B. C. D. 1 2. 如果，那么直线一定经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 坐标原点 3. 已知集合，，，则的真子集共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 4. 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“重差术”，即通过立表测量影长来计算远处目标的高度和距离的方法.测量时使用的标杆高度为h（称为“表高”），太阳天顶距为（太阳光线与垂直于地面方向的夹角，且）.根据三角学知识，标杆在地面上的影长与表高满足关系：.假设对同一表高进行两次测量，第一次测量时太阳天顶距为，影长为表高的2倍，第二次测量时太阳天顶距为，且满足，则第二次测量时影长是表高的（ ） A. 1倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 5. 已知函数，分别为的图象两条相邻对称轴上的动点，向量，，为得到函数的图象，需要将的图象（　　） A. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 C. 先向右平移个单位长度，再向下平移3个单位长度 D. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 6. 公元前300年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体.公元前200年，阿基米德把这5种正多面体进行截角操作（即切掉每个顶点），发现了5种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，但各个面却不完全相同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足球截面体的棱数为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 180 7. 如图，某机器狗位于点处，它可以向上、下、左、右四个方向自由移动，每次移动一个单位.现机器狗从点出发移动4次，则在机器狗仍回到点的条件下，它向右移动了2次的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若对任意的，且当时，都有，则m的最小值是（ ） A. e B. C. 3 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点是与的交点.下列选项中正确的有( ) A. B. C. 直线与所成的角的余弦值 D. 平面与平面不垂直 10. 在数列中，若对，都有（为常数），则称数列为“等差比数列”，为公差比，设数列的前项和是，则下列说法一定正确的是（ ） A. 等差数列是等差比数列 B. 若等比数列是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同 C. 若数列是等差比数列，则数列是等比数列 D. 若数列是等比数列，则数列等差比数列 11. 如图所示，中，，，，在边上，在边上，且为的角平分线，，则（ ） A. B. 的面积为 C. D. 若点在的外接圆上，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两点，，如果在直线上存在点，使得，则的取值范围是______. 13. 已知，，则__________. 14. 已知函数，当时，恒成立，则实数a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. （3）若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 16. 如图，四边形的对角线相交于点. （1）求证：； （2）已知. ①求四边形的面积； ②若与面积相等，求证：. 17. 如图所示，已知四棱锥中，底面是平行四边形，侧面为直角三角形，是的中点，是直线上的动点，过直线的平面与侧棱，分别交于，且，其中，. （1）求证：； （2）求异面直线与所成的角； （3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 18. 对于任意两个正数，记区间上曲线下的曲边梯形面积为，并规定，，记，其中． （1）若时，求证：； （2）若时，求证：； （3）若，直线与曲线交于，两点，求证：（其中为自然常数）． 19. 定义一类集合：对于集合，若都满足，则称为“单位有界集”；在集合中定义一种运算：若，，定义.现对单位有界集进行如下操作：第一步，从中任取两个元素、，将中除了、以外的元素构成的集合记为，令；第二步，若集合还是单位有界集，则继续任取两个元素，将中除了以外的元素构成的集合记为，令；依次类推…… （1）对于任意的单位有界集，判断是否仍然为单位有界集．若是，请证明；若不是，请举出反例； （2）证明：若，则； （3）当时，对集合进行步上述操作，当只有一个元素时停止，求所有满足条件的． 东北育才高中高三年级第三次模拟考试 数学科试卷 答题时间：120分钟 满分：150 一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）或 （3）S的最小值为16，此时直线l的方程为． 【16题答案】 【答案】（1）由余弦定理得 在中，① 在中，② 在中，③ 在中，④ 由③+④-①-②得： . 故 （2）①；②由若与面积相等，因为为公共底边， 故两个三角形上的高相等，即，所以. 设. 在中得：，即 在中得：.两式相加得：，两式相减得：， 所以，故. 故，所以. 又，所以， 由勾股定理得：. 【17题答案】 【答案】（1）证明：由题意可知四边形是平行四边形，所以， 即有平面， 又由平面，平面平面，所以， 即得. （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1）因为，且， 当时可知， 所以， ，所以成立； （2）解法一：要证，即证， 如图可知，为与，以及轴所围成的曲边梯形的面积． 若直线与曲线交于点， 过做的切线，分别交，于，， 过做轴的平行线分别交，于，，则， 易知曲面梯形的面积大于， 所以， 所以，，得证． 解法二：因为时，，所以要证， 即证：， 即证：，即证：， 设，，则不等式可化为， 要证，作差得， 即证：在恒成立， 构造函数：， 则，再设，则， 因为，所以恒成立， 所以在为增函数，所以， 所以在恒成立，可得在为增函数， 所以，所以在恒成立， 所以不等式成立，得证； （3）因为，所以， 令，故， 所以在为减函数，在为增函数，， 故直线与曲线交于，，所以， 且，，即有：①，②， ①＋②得： ①－②得： 由第（2）问知：， 所以， 所以，即， 所以成立． 【19题答案】 【答案】（1）是，证明如下： 从中任取两个元素、，，， 要证明是单位有界集，只需证明， 因为，其中， 所以，即； 因为，其中， 所以，即，所以仍然为单位有界集. （2）证明：因为， ， 所以. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 高三年级第三次模拟考试数学科答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 ▣▣ (正面制上，切勿贴出盛线方框 正确填涂 ■ 缺考标记 客观题18为单选题；911为多选题) 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][c][D] 9[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 1 ■ 囚囚■ 第1页共6页 逆9并连z巢 ■囚囚 SI 16. D 60 C ■ 第3页共6页 ■ 17. D Q y M P I I 囚■ㄖ 第4页共6页 9并s嵬 囚■囚 8I ▣ 19. ■ 第6页共6页