精品解析：新疆阿克苏市第三高级中学2024-2025学年高一下学期期末数学试题

新疆阿克苏市第三高级中学2024-2025学年高一下学期期末数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：石鹏 审题人： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 样本数据16，21，18，28，14，20，22，24的第75百分位数为（ ） A. 16 B. 17 C. 23 D. 24 2. 已知平面向量，.若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知圆锥底面半径为2，其母线与下底面所成角为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 某中职学校高一年级共有1000人，其中计算机专业有400人，旅游专业320人，汽车与维修专业280人，用分层抽样的方法从中抽取100人，则计算机专业抽取的人数为（ ） A. 32 B. 40 C. 28 D. 10 5. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，，，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在△ABC中，若a＝2bsinA，则B等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 在复平面内对应的点为 11. 已知事件，且，则（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. 若事件与事件互斥，则 C. 若事件与事件互斥，则 D. 若，则事件与事件相互独立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数（，i为虚数单位）是纯虚数，则_____． 13. 已知向量，，且，则________． 14. 在中，，，，则________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求； （2）求向量与的夹角的余弦值. 16. 在中，． （1）求的值； （2）若，且的面积，求的值． 17. 如图，在边长为的正方体中，为中点， （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 18. 某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本数据的第62百分位数； （3）若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 19. 同时掷两个质地均匀且完全相同的骰子． （1）求向上点数之和是5的概率； （2）求向上点数之和是3的倍数的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆阿克苏市第三高级中学2024-2025学年高一下学期期末数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：石鹏 审题人： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 样本数据16，21，18，28，14，20，22，24的第75百分位数为（ ） A. 16 B. 17 C. 23 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】将样本数据从小到大排列为：14，16，18，20，21，22，24，28， 又，所以第百分位数为. 故选：C 2. 已知平面向量，.若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示求解. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：A 3. 已知圆锥底面半径为2，其母线与下底面所成角为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算出母线长，再利用圆锥的侧面积转化为扇形面积即可得到答案． 【详解】易得圆锥的母线长为，底面周长是，所以该圆锥的侧面积为扇形面积， 弧长为，半径为，则侧面积为. 故选：B. 4. 某中职学校高一年级共有1000人，其中计算机专业有400人，旅游专业320人，汽车与维修专业280人，用分层抽样的方法从中抽取100人，则计算机专业抽取的人数为（ ） A. 32 B. 40 C. 28 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得抽样比，即可根据已知数据求得结果. 【详解】根据题意，抽样比为， 故从计算机专业抽取的人数为. 故选：B. 5. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量公式计算即可. 【详解】因为， 所以，， 则在上的投影向量的坐标为. 故选：A. 6. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用几何法确定异面直线夹角. 【详解】由正方体可知，且四边形为正方形， 所以异面直线与所成的角的平面角为， 故选：B. 7. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行，面面平行和面面垂直的判定定理，判断选项的正误. 【详解】若，则或，故A不正确； 若，则或与相交，故B不正确； 若，则或与相交，故C不正确； 若，则由面面垂直的判定定理可知，故D正确. 故选：D. 8. 甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，，，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式结合独立事件概率公式计算求解. 【详解】记甲、乙、丙获得一等奖分别为事件，，，则，，， 则，，， 则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为 . 故选:C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在△ABC中，若a＝2bsinA，则B等于（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】直接利用正弦定理进行边换角即可求解. 【详解】依题意， 因为a＝2bsinA， 由正弦定理，得sinA＝2sinBsinA， 所以sinA·(2sinB－)＝0， 因为0<A<，0<B<，所以sinA≠0， 所以2sinB－＝0，解得sinB＝， 所以B＝或. 故选：AC. 10. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 在复平面内对应的点为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出虚部判断A；求出模判断B；利用复数除法计算判断C；求出复数对应的点判断D. 【详解】对于A，的虚部为，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，在复平面内对应的点为，D正确. 故选：BCD 11. 已知事件，且，则（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. 若事件与事件互斥，则 C. 若事件与事件互斥，则 D. 若，则事件与事件相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】根据对立事件的定义、互斥事件概率公式、相互独立事件的性质及概率公式计算判断作答. 【详解】由于对立事件的概率和为1，但，A错误； 若事件与事件互斥，则，B正确； 若事件与事件互斥，则不可能同时发生，即，C错误； 因为，所以事件与事件相互独立， 则事件与事件相互独立，D正确． 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数（，i为虚数单位）是纯虚数，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合复数的定义，列出方程组，即可求解. 【详解】由复数是纯虚数，可得，解得． 故答案为：. 13. 已知向量，，且，则________． 【答案】##-0.6 【解析】 【分析】由向量共线关系得出方程，求得，再由余弦二倍角公式，进而化为齐次式即可求解. 【详解】因为，，且，所以，所以， 所以. 故答案为：. 14. 在中，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，再利用诱导公式可得出的值. 【详解】在中，，由余弦定理得， 而，则，所以. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求； （2）求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出，然后再根据模长公式即可求解； （2）根据夹角公式即可求解. 【小问1详解】 ， 所以 . 【小问2详解】 . 16. 在中，． （1）求的值； （2）若，且的面积，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知及余弦定理求； （2）由正弦边角关系可得，再由三角形面积公式列方程求得，即可得. 【小问1详解】 因为，所以． 【小问2详解】 因为，由正弦定理得，所以， 因为的面积为，又， 即，所以，则. 17. 如图，在边长为的正方体中，为中点， （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证. （2）利用锥体的体积公式计算得解. 【小问1详解】 在边长为的正方体中，设，交于点，连结， 是中点，而为中点，则， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 在边长为的正方体中，平面， 所以三棱锥的体积为． 18. 某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本数据的第62百分位数； （3）若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 【答案】（1）0.030； （2）79分； （3），. 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1列式即可求解； （2）由频率分布直方图求第62百分位数的计算公式即可求解； （3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由，解得； 【小问2详解】 因为，， 所以样本数据的第62百分位数在内，可得， 所以样本数据的第62百分位数为分； 【小问3详解】 样本数据落在的个数为，落在的个数为， ，总方差. 19. 同时掷两个质地均匀且完全相同的骰子． （1）求向上点数之和是5的概率； （2）求向上点数之和是3的倍数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）由题掷两个质地均匀且完全相同的骰子，为古典概型.通过列表可得：共有36个基本事件，再求出相应事件所包含的基本事件个数，结合古典概型的公式可得结果． 【小问1详解】 所有情况列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） 6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 共36种不同的情况，向上点数之和是5包含了4个基本事件，所以 P= 【小问2详解】 （2）由（1）知向上点数之和是3的倍数包含了12个基本事件 所以 P= 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $