精品解析：甘肃省武威市凉州区武威十七中、四中2025-2026学年九年级上学期11月月考数学试题

2025-2026学年第一学期九年级第三次阶段性评价试卷 数学 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列图形中，是中心对称图形是（    ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 用配方法解方程，将方程变为形式，则m值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 4. 某公司10月份的利润为100万元，要使12月份的利润为144万元，则平均每月增长的百分率是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的图像上有点A，B、C，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形中，点为对角线上一点，．且，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，使，则的度数为（） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，是的直径，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点为的内心，，，，则的面积是（    ） A. B. C. D. 9. 如图，正六边形内接于，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是抛物线图象一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于两点，下列结论：①；②；③；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，有，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ②④⑤ 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 已知为一元二次方程的根，那么的值是___________． 12. 若、是一元二次方程的两个根，则_____． 13. 若二次函数的图象过点，则的值为__________． 14. 二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，那么的解集是______． 15. 如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得，点B的对应点D落在边上．连接，连接并延长交于点F，则的长为______． 16. 平面直角坐标系中，若点，关于原点对称，则_____． 17. 如图，是的直径，的弦，弦，的平分线交于，则长是______． 18. 如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 _________________ ． 三、解答题（共66分） 19. 解方程： （1） （2）； 20. 如图三个顶点坐标分别是，，按要求完成以下各题： （1）画出关于原点成中心对称，写出点的坐标； （2）在轴上找一点，使的值最小，请在图中标出点并写出坐标． 21. 若某种头盔每个进价为元，调查发现，当售价是每个元时，平均月销售量是个，而当售价每上涨元时，平均每月少售出个，要想这种头盔销售利润平均每月达到元，且尽可能让顾客得到实惠，每个头盔的定价应为多少元？ 22. 已知抛物线． （1）将化成的形式； （2）若不同两点均在抛物线上，求的值． 23. 如图，将三角板（，）绕点逆时针旋转一定角度得到，使得点恰好落在边上．求证：是等腰三角形． 24. 如图，点O为平行四边形的对称中心，经过点O的直线交边于点M，交的延长线于点E，交边于点N，交的延长线于点F． （1）若，求的长； （2）连接，证明四边形是平行四边形 25. 如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 26. 如图，是的直径，，是的弦，，延长到D，连接，． （1）求证：是的切线； （2）以为边的圆内接正多边形的周长等于 ． 27. 如图①，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且的面积为3时，求点D的坐标； （3）G是二次函数图象对称轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点G的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级第三次阶段性评价试卷 数学 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的识别是解题的关键；因此此题可根据“一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选A． 2. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，由于是方程的一个根，将其代入方程即可求出m的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ 将代入方程得：， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 3. 用配方法解方程，将方程变为的形式，则m值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的配方法是解题的关键． 通过配方法将方程转化为完全平方形式，直接比较得出m的值． 【详解】解：∵， ∴ 移项得． 配方：， 即． ∴ 比较 ，得：； 故选B． 4. 某公司10月份的利润为100万元，要使12月份的利润为144万元，则平均每月增长的百分率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，关键是正确列出方程并求解． 设平均每月增长的百分率为，根据从10月到12月共两个月增长，列出方程求解． 【详解】解：设平均每月增长的百分率为， ， ， 则， 解得或（舍去）， 因此，平均每月增长的百分率是， 故选：B． 5. 二次函数的图像上有点A，B、C，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，通过求二次函数的对称轴，比较各点与对称轴的距离，由于抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大． 【详解】解：∵ 二次函数 的二次项系数 ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为 ． ∵点A，B、C，到对称轴的距离分别为： ，，． ∴ 距离越大，函数值越大， ∴ ． 故选： B． 6. 如图，正方形中，点为对角线上一点，．且，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，使，则的度数为（） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟记性质并求出的度数是解题的关键，根据旋转的性质可得,然后利用“边边边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得,然后分点在的下方和点在的上方，两种情况讨论即可得解． 【详解】解：如图， 线段绕点逆时针旋转得到线段, , 四边形是正方形， , , , 在和中， , , , 为正方形的对角线， , 当点在的下方时，, 当点在的上方时，, 综上所述，的度数为或， 故选：C. 7. 如图，是的直径，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧、圆心角的关系，先求出，然后根据弧、圆心角的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 8. 如图，点为的内心，，，，则的面积是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义． 过点作的延长线于点，根据点为的内心，，可得，所以，利用含角的直角三角形可得的长，进而可得的面积． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点， 点为的内心， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 9. 如图，正六边形内接于，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质，由正六边形内接于，则，从而证明是等边三角形，然后根据等边三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形内接于， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：． 10. 如图是抛物线图象一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于两点，下列结论：①；②；③；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，有，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ②④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解答的关键在于掌握并灵活应用二次函数的图象和性质，注重数形结合的思想．①根据对称轴，确定a，b的关系，然后判定即可；②根据图象确定a、b、c的符号，即可判定；③根据抛物线与x轴的另外一个点的坐标为，然后判定即可；④根据对称性判断即可；⑤由图象可得，当时，抛物线总在直线的上面，则． 【详解】解：①∵抛物线的顶点坐标，即对称轴为直线， ∴，则，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线对称轴是直线，， ∴抛物线与x轴的另一个交点是，故④错误； 把代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 由图象得：当时，；故⑤正确． 综上分析可得，正确的有：①③⑤． 故选：C． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 已知为一元二次方程的根，那么的值是___________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，代数式求值，利用一元二次方程根的定义，将代入方程得到，再将所求表达式变形为，代入计算即可． 【详解】解：∵为一元二次方程的根， ∴， 即， ∴． 故答案为：17． 12. 若、是一元二次方程的两个根，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后代入所求表达式计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，根据根与系数的关系，可得： ， 则． 故答案为：． 13. 若二次函数的图象过点，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，将点代入二次函数解析式，得到关于k的方程，解方程即可求出k的值. 【详解】解：∵二次函数的图象过点， ∴， 解得； 故答案为： 14. 二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，那么的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．由题意知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，根据抛物线的对称性可得当时，它的图象位于轴的下方，当时，它的图象位于 x 轴的上方，进而可得二次函数的图象与轴的交点坐标为和，即可得答案． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵当时，它的图象位于轴的下方；当时，它的图象位于轴的上方， ∴当时，它的图象位于轴的下方，当时，它的图象位于轴的上方， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为和， ∴的解集是． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得，点B的对应点D落在边上．连接，连接并延长交于点F，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题关键，先求出，由旋转得出，，，求出，证明即可求出结论． 【详解】解：在中，，，， ， ∵将绕点A逆时针旋转得， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案：． 16. 平面直角坐标系中，若点，关于原点对称，则_____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数，据此求出m，n的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵点，关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：0． 17. 如图，是的直径，的弦，弦，的平分线交于，则长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和推论，勾股定理．连接，利用圆周角定理结合勾股定理求得的长，再证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵的平分线交于， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 18. 如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 _________________ ． 【答案】1## 【解析】 【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确确定点的轨迹． 如图，取的中点K，以为直径作，则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．由正方形外接圆的半径可得的长，进而根据勾股定理求出的长，根据即可解决问题． 【详解】如图，取的中点K，以为直径作，连接 ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）． ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴当B,Q,K在一条直线上时，有最小值， 此时， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 解方程： （1） （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用公式法解方程． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解： ， ， ， ∴ 20. 如图三个顶点坐标分别是，，按要求完成以下各题： （1）画出关于原点成中心对称的，写出点的坐标； （2）在轴上找一点，使的值最小，请在图中标出点并写出坐标． 【答案】（1）图见解析， （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图-中心对称变换，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． （1）根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所求． 【小问1详解】 如图所示，即为所求，， 【小问2详解】 如图，点P即为所求， 21. 若某种头盔每个进价为元，调查发现，当售价是每个元时，平均月销售量是个，而当售价每上涨元时，平均每月少售出个，要想这种头盔的销售利润平均每月达到元，且尽可能让顾客得到实惠，每个头盔的定价应为多少元？ 【答案】每个头盔的定价应为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 设头盔售价的上涨了元，根据当售价每上涨元时，平均每月少售出个，可得销量为，由利润=（售价-进价）×销量，列出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值，再根据尽可能让顾客得到实惠，即可确定的值． 【详解】解：设头盔售价的上涨了元， 依题意得：， 解得，． ∵尽可能让顾客得到优惠， ∴． ∴． 答：该品牌头盔每个售价定为元． 22. 已知抛物线． （1）将化成的形式； （2）若不同两点均在抛物线上，求的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了将函数解析式化成顶点式、二次函数与一元二次方程、根与系数关系等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）利用配方法将抛物线的解析式化成顶点式即可； （2）令得到关于x的方程，然后根据根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：，即． 【小问2详解】 解：令，则， ∵不同两点均在抛物线上， ∴m、n是方程的根，即m、n是方程的根， ∴． 23. 如图，将三角板（，）绕点逆时针旋转一定角度得到，使得点恰好落在边上．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐角互余，根据已知可得，即可得出是等边三角形，则，进而得出，根据等角对等边，即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵绕点逆时针旋转一定角度得到， ∴， ∴是等边三角形，则， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 24. 如图，点O为平行四边形的对称中心，经过点O的直线交边于点M，交的延长线于点E，交边于点N，交的延长线于点F． （1）若，求的长； （2）连接，证明四边形是平行四边形 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出根据中心对称的性质得出； （2）先由得出，再利用“角角边”定理证明，得出，再结合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明四边形为平行四边形． 【小问1详解】 解： ， ， 点O为平行四边形的对称中心． ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵． ∴四边形为平行四边形． 25. 如图，点、、、都在圆上，是直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）由垂径定理，结合线段垂直平分线的性质，即可证得结论； （2）由直径所对的圆周角为直角，可得，由垂径定理可得，根据勾股定理可得，从而可得，，根据勾股定理可得，从而可得． 【小问1详解】 证明：∵点、、在上，于点， ∴， ∴垂直平分， ∴． 【小问2详解】 解：∵点在圆上，是的直径， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，线段垂直平分线的性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理． 26. 如图，是的直径，，是的弦，，延长到D，连接，． （1）求证：是的切线； （2）以为边圆内接正多边形的周长等于 ． 【答案】（1）见解析 （2）18 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，圆内接正六边形的性质，掌握切线的判定方法是正确解答的前提． （1）根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理计算出即可； （2）得出以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，再求出的长即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴以为边的圆内接正六边形的周长为． 故答案为：18． 27. 如图①，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且的面积为3时，求点D的坐标； （3）G是二次函数图象对称轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点G的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）的坐标为或 （3）点G的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据三角形面积公式列式计算即可求解； （3）先求得抛物线的对称轴为直线，设点G的坐标为，利用勾股定理求得，分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过作轴交于，如图： 由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； 【小问3详解】 解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点G是直线上的一点， ∴设点G的坐标为， 令，则， 解得或， ∴，∵， ∴，， ∴， 当即时， ∴， 解得， ∴点G的坐标为； 当即时， ∴， 解得或， ∴点G的坐标为或； 设直线解析式为， 将点C坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点G在直线上，点B、C、G不能构成三角形，故舍去， 当即时， ∴，解得， ∴点G的坐标为或； 综上，点G的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、等腰三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $