精品解析：安徽省合肥市庐江县2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2025-2026学年度第一学期期中综合素质调研 九年级数学（人教版）试题 一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程中，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程是一元二次方程，符合题意； C、方程中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 2. 如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．旋转前后两个图形全等，据此解答即可． 【详解】解：将绕着点顺时针旋转后，得到， 则， ∴． 故选：D． 3. 用配方法将方程转化为的形式，则的值为（ ） A. 2027 B. C. 2023 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出、的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 与 比较，得，， ∴ ． 故选：B． 4. 二次函数的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据，可得函数图象开口向下，结合函数对称轴为直线，可得当时，y随x的增大而增大，据此求解． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 函数图象开口向下， 又函数对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大． 故若y随x的增大而增大，则x的取值范围是． 故选：A． 5. 将抛物线进行平移后，其顶点在坐标轴上，则这个平移的过程可能是（ ） A. 向上平移4个单位长度 B. 向下平移3个单位长度 C. 向左平移3个单位长度 D. 向右平移4个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，原抛物线的顶点为，平移后顶点需在坐标轴（x轴或y轴）上，通过计算各选项平移后的顶点坐标，判断是否满足条件即可． 【详解】解：∵ 抛物线 的顶点为． 选项A：向上平移4个单位，新顶点坐标为，不在坐标轴上； 选项B：向下平移3个单位，新顶点坐标为，在x轴上； 选项C：向左平移3个单位，新顶点坐标为，不在坐标轴上； 选项D：向右平移4个单位，新顶点坐标为，不在坐标轴上． ∴ 只有选项B使顶点在坐标轴上，故这个平移的过程可能是向下平移3个单位． 故选：B． 6. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据是关于的一元二次方程，可知，根据一元二次方程有实数根，可得不等式，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 又有实数根， ， 解得：， 的取值范围为且． 7. 如图1，已知是中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足，设弦，，y关于x的函数图象如图2所示，当时，求的长（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，垂径定理，勾股定理，连接，作，则，证明，得到，进而得到，根据函数图象得到圆的半径为1，设，得到，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：连接，作，则：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由图象可知，当时，，此时为直径， ∴圆的直径为， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理，得， ∴， ∴； 故选D． 8. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方田注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记数的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的几何解法，将方程变形为两数乘积等于常数的形式，构造大正方形，使其面积等于四个矩形面积与中间小正方形的面积之和，据此分析各选项即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：方程，即的拼图如图所示： ， 中间小正方形的边长为，其面积为，四个矩形的面积为，大正方形的面积为：， 结合大正方形的面积等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，可得，因此， 故选：C． 9. 如图，是的直径，点，在上，，，，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于E，作交的延长线于F，连接，证明是等腰直角三角形，即可推出，再利用勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于E，作交的延长线于F，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵是等腰直角三角形， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题 10. 剪两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上．旋转其中一个正方形，重叠部分所形成的图形如何变化？三位同学经过研究后得到以下结论，你的意见是（ ） 小天：重叠图形的形状在变化，所以面积也在发生变化． 小亮：我选择几个特殊位置试一试，发现重叠图形的面积始终是这个正方形的四分之一． 小丽：通过割补，我发现重叠图形可以变成一个正方形，所以重叠部分的面积不变． A. 小天对 B. 小亮对 C. 小丽对 D. 小亮和小丽都对 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的形状、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，过点作，，利用可证，根据全等三角形的性质可得，从而可知小亮和小丽的说法正确． 【详解】解：如下图所示，过点作，， ， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ， ， 两个图形都是正方形， ， ， ， 点是正方形的中心， ， 在和中，， ， ， 重叠部分的面积没有发生变化， 故小天的说法错误； 点是正方形的中心， ， 重叠部分的面积是原正方形面积的， 故小亮的说法正确； 把割下来补到的位置，可以得到正方形， 故小丽的说法正确； 综上所述，小亮和小丽的说法都对，小天的说法错误． 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分） 11. 由下表估算一元二次方程的一个根的范围_______． 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 13 14.41 15.84 17.29 18.76 【答案】 【解析】 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似解，观察表格中的数据确定16所在范围是解题的关键． 观察表格的值，确定与16最接近时x的范围即可求解． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程的一个根的范围为， 故答案为：． 12. 已知一个等腰直角三角形的一腰长为，则它的外接圆的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外接圆，圆周角定理，勾股定理，由，可得为的直径，由勾股定理得，则的半径为，然后用圆周长公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，为外接圆， ∵， ∴为的直径， ∵， ∴， ∴的半径为， ∴它的外接圆的周长为， 故答案为：． 13. 如图，抛物线与直线相交于点，，当时，自变量的取值范围为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式（组），结合图象可得出答案． 【详解】解：由图象可得，当时，抛物线的函数图像在直线的函数图像的上方，所以自变量的取值范围为或． 故答案为：或． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线对称轴为直线，且经过点，交轴于点． （1）该抛物线的解析式为________； （2）为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、三角形面积公式，解题的关键是准确求出二次函数的解析式和直线的解析式． 利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； 根据抛物线的解析式求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标是，则点的坐标为，根据三角形的面积公式可得：，根据抛物线的性质可知有最大值，最大值为． 【详解】解：（1）抛物线对称轴为直线， ， 解得：， 抛物线的解析为， 把点代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析为； （2）如下图所示，过点作轴交直线于点， 当时， 可得：， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点、的坐标代入， 可得：，解得：， 直线的解析式是， 设点的坐标是，则点的坐标为， ， 点到的距离是，点到的距离是， ， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，最大值为， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共两个小题，每小题8分，共16分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解一元二次方程是解答本题的关键． 用公式法解即可． 【详解】解：， ，，，， ， ，． 16. 在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题： （1）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的； （2）若抛物线经过和两点，试判断点是否在该抛物线上． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）点不在该抛物线上 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，待定系数法求解二次函数解析式，以及函数图象上点的坐标特征． （1）将点分别绕点顺时针旋转得到，再顺次连接即可； （2）先由待定系数法求解解析式，再把点是代入解析式判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，点，， ∵抛物线经过和两点， ∴ 解得， ∴解析式为， ∵， ∴， ∴点不在该抛物线上． 四、解答题（本大题共两个小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，是的两条弦，与相交于点，． （1）求证：； （2）连接，作直线，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴都在的垂直平分线上， ∴． 【解析】 【分析】（）利用弧、弦、圆心角的关系得出，即得，即可求证； （）由得，即得，即得到，得到，进而由得到都在的垂直平分线上，即可求证； 本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，垂直平分线的判定等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为． （1）请用尺规作图，作出圆弧所在圆的圆心O，并计算圆的半径； （2）当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，水面离拱顶只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施． 【答案】（1）如图， 拱桥所在的圆的半径 （2） 不需要采取紧急措施 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，延长与的垂直平分线相交于点O，点O即为所求的圆弧所在圆的圆心，连接，由垂径定理可知，再在中，由勾股定理得出方程，即可求出半径； （2）求出，再由勾股定理可得，则，即可得出结论． 【小问1详解】 解：点O即为所求的圆弧所在圆的圆心，连接， 设半径为，则， 由垂径定理可知， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理可得，， 即， 解得， ∴拱桥所在的圆的半径； 【小问2详解】 解：∵， ∴ 在中，由勾股定理可得， ， ∴， ∴不需要采取紧急措施． 【点睛】本题考查了作图—垂直平分线、垂径定理和勾股定理的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 五、解答题（本大题共两个小题，每小题10分，共20分） 19. 定义：若，满足：，（为常数）且，则称点为“好点”． （1）若是“好点”，求的值； （2）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，求的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标的特征以及新定义问题，正确理解新定义是解决本题的关键． （1）根据“好点”定义可得：，进而计算求解即可； （2）由已知可得：，进而求出直线的解析式，所以抛物线与直线的交点就是好点，再计算即可． 【小问1详解】 解：由“好点”定义可得：， ， 整理得：， 或， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， ， ， ， ∴直线上的点都是好点， 当时，．当时，， 如图，直线解析式为， 抛物线与直线的交点就是好点， 当抛物线过点时，， 解得：， 当抛物线与有且只有一个交点时， 有， 整理得：， ， 解得：， 当时，，解得：， 代入得，解得：， ∵， ∴． ∴的取值范围为：且． 故答案为：且． 20. 根据素材回答问题： 素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，且与的距离为10米，与的距离为8米． 素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计． 任务1 小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）． 任务2 若按如图3设计方案，点C，D，H三点共线，点G在上，当花圃的面积（不包含水池的面积）为时，求的长． 任务3 学习小组在探究的过程中还发现按如图3设计方案，当的长是____________，围成的花圃（不包含水池）的最大面积是____________． 【答案】任务1：花圃的面积为208；任务2：；任务3：当的长是，围成的花圃（不包含水池）的最大面积是 【解析】 【分析】任务1：根据矩形面积公式和正方形面积公式求解即可； 任务2：由图3，设，则，由题意可得花圃面积，求解即可； 任务3：设花圃面积为y，由（2）得，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：任务1：如图2， 由题意可知，则， 矩形面积为， ()， 答：花圃的面积为208； 任务2：由图3，延长交于点， 设， ， ， ， 由题意可得花圃面积， 即， 解得：或（舍去，不符合题意）， ； 任务3：设花圃面积为y， 由（2）得，即， ， 当，即时，有最大值为273， 此时， 答：当的长是，围成的花圃（不包含水池）的最大面积是． 【点睛】本题主要考查了矩形面积公式、一元二次方程的实际应用、二次函数的应用等知识，正确的求出函数解析式是解题的关键． 六、（本题12分） 21. 如图1，，是的两条弦，M是弧中点，于点D，点E为上一点，且，连接、、、． （1）求证：； （2）求证：； （3）【探究应用】如图2，已知等边内接于，，D为上一点，，连接，过点A作于点E，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 为的中点， ， 在和中， ， ∴； （2） 证明：∵， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由圆周角定理可得，再由M是弧中点得出，最后利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可得证； （3）在上截取，连接，证明得出，再证明得出，解直角三角形可得，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2，在上截取，连接， 由题意可得：，， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 则的周长是． 七、（本题12分） 22. 二次函数图象的顶点在原点O，且过；在y轴上．直线与y轴交于点H． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； （3）当时，求P点的坐标． 【答案】（1） （2） 证明：设， ， ， 过点作轴的垂线与直线交于点， ，且点在直线上， ， ； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟悉基本知识，数形结合． （1）根据题意可设函数的解析式为，将点代入函数解析式，求出的值，继而可求得二次函数的解析式； （2）过点作轴于点，利用勾股定理求出，表示出，可得； （3）首先可得，设点的坐标为；推导出是等边三角形，进而得到，可得关于的方程，求出的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：二次函数图象的顶点在原点， 设二次函数的解析式为， 将点代入得：， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得：， ， ． ， ， 由（2）知，； ， ， 是等边三角形， ， 在中，， ， 解得：， ， 满足条件的点的坐标为或． 23. 综合与实践 【项目主题】蔬菜大棚一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．本项目主要研究蔬菜大棚的设计与安全、通风、保温之间的关系． 【建立模型】某种植基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线和矩形构成（如图1所示），抛物线最高点到地面的距离为5米，为中点，以所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知米，米． （1）求抛物线的表达式； 【应用模型】 （2）为了安全，需对大棚进行加固，准备在大棚抛物线上安装矩形“支撑架”（即三根支架，，垂直地面，平行地面，点，在抛物线上，如图2所示），通过计算说明“支撑架”安装在什么位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为多少米？ （3）为了增加蔬菜大棚的通风效果，我们需要在抛物线内部建两个正方形的窗户，（正方形的边和正方形的边都在上，点，都在抛物线上，两个窗户之间的水平距离为1米，如图3），求两个窗户的面积的和．（精确到1米，参考数据：，，） 【答案】（1）；（2）当“支撑架”，安装在与轴水平距离米的位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米；（3）5平方米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，点代入求解即可； （2）设点的坐标为，由题意得点坐标，点坐标，点的坐标，得到，， 则 “支撑架”的长度为：，得出答案； （3）设正方形窗户的边长为，根据题意得点的坐标为，，求解即可得出答案． 【详解】解：（1）设抛物线的函数表达式为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）设点的坐标为， 由题意得点坐标，点坐标，点的坐标，，， “支撑架”的长度为：， ，， 当时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米． 即当“支撑架”，安装在与轴水平距离米的位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米； （3）设正方形窗户的边长为，根据题意得点的坐标为， 点在抛物线上， ， 整理得， 解得或（舍去）， 两个窗户的面积和（平方米）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中综合素质调研 九年级数学（人教版）试题 一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法将方程转化为的形式，则的值为（ ） A. 2027 B. C. 2023 D. 4. 二次函数的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 5. 将抛物线进行平移后，其顶点在坐标轴上，则这个平移的过程可能是（ ） A. 向上平移4个单位长度 B. 向下平移3个单位长度 C. 向左平移3个单位长度 D. 向右平移4个单位长度 6. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 7. 如图1，已知是中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足，设弦，，y关于x的函数图象如图2所示，当时，求的长（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方田注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记数的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，点，在上，，，，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 10. 剪两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上．旋转其中一个正方形，重叠部分所形成的图形如何变化？三位同学经过研究后得到以下结论，你的意见是（ ） 小天：重叠图形的形状在变化，所以面积也在发生变化． 小亮：我选择几个特殊位置试一试，发现重叠图形的面积始终是这个正方形的四分之一． 小丽：通过割补，我发现重叠图形可以变成一个正方形，所以重叠部分的面积不变． A. 小天对 B. 小亮对 C. 小丽对 D. 小亮和小丽都对 二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分） 11. 由下表估算一元二次方程的一个根的范围_______． 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 13 14.41 15.84 17.29 18.76 12. 已知一个等腰直角三角形的一腰长为，则它的外接圆的周长为______． 13. 如图，抛物线与直线相交于点，，当时，自变量的取值范围为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线对称轴为直线，且经过点，交轴于点． （1）该抛物线的解析式为________； （2）为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值为________． 三、解答题（本大题共两个小题，每小题8分，共16分） 15. 解方程：． 16. 在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题： （1）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的； （2）若抛物线经过和两点，试判断点是否在该抛物线上． 四、解答题（本大题共两个小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，是的两条弦，与相交于点，． （1）求证：； （2）连接，作直线，求证：． 18. 如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为． （1）请用尺规作图，作出圆弧所在圆的圆心O，并计算圆的半径； （2）当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，水面离拱顶只有，即时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施． 五、解答题（本大题共两个小题，每小题10分，共20分） 19. 定义：若，满足：，（为常数）且，则称点为“好点”． （1）若是“好点”，求的值； （2）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“好点”，求的取值范围． 20. 根据素材回答问题： 素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，且与的距离为10米，与的距离为8米． 素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计． 任务1 小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）． 任务2 若按如图3设计方案，点C，D，H三点共线，点G在上，当花圃的面积（不包含水池的面积）为时，求的长． 任务3 学习小组在探究的过程中还发现按如图3设计方案，当的长是____________，围成的花圃（不包含水池）的最大面积是____________． 六、（本题12分） 21. 如图1，，是的两条弦，M是弧中点，于点D，点E为上一点，且，连接、、、． （1）求证：； （2）求证：； （3）【探究应用】如图2，已知等边内接于，，D为上一点，，连接，过点A作于点E，求的周长． 七、（本题12分） 22. 二次函数图象的顶点在原点O，且过；在y轴上．直线与y轴交于点H． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； （3）当时，求P点的坐标． 23. 综合与实践 【项目主题】蔬菜大棚一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．本项目主要研究蔬菜大棚的设计与安全、通风、保温之间的关系． 【建立模型】某种植基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线和矩形构成（如图1所示），抛物线最高点到地面的距离为5米，为中点，以所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知米，米． （1）求抛物线的表达式； 【应用模型】 （2）为了安全，需对大棚进行加固，准备在大棚抛物线上安装矩形“支撑架”（即三根支架，，垂直地面，平行地面，点，在抛物线上，如图2所示），通过计算说明“支撑架”安装在什么位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为多少米？ （3）为了增加蔬菜大棚的通风效果，我们需要在抛物线内部建两个正方形的窗户，（正方形的边和正方形的边都在上，点，都在抛物线上，两个窗户之间的水平距离为1米，如图3），求两个窗户的面积的和．（精确到1米，参考数据：，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $