5.4二元一次方程与一次函数题型总结讲义 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

5.4二元一次方程与一次函数题型总结讲义 【题型一】已知交点坐标求方程组的解 【例1】（2025秋•济南期中）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n的图象交于（2，﹣1），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象交于（2，﹣1）， ∴一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象向下平移1个单位长度得到函数的解析式为y＝kx+b﹣1，y＝mx+n﹣1， 则一次函数y＝kx+b﹣1与y＝mx+n﹣1的图象的交点也相应的向下平移一个单位长度为（2，﹣2）， ∴关于x，y的方程组的解为， 故选：C． 【变式1】（2025秋•青羊区期中）如图，直线l1：y＝x+b与直线l2：y＝kx+5交于点A（2，﹣1），那么关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；推理能力． 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，两直线的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，因此只需确定两直线交点A的坐标即可． 【解答】解：∵直线l1：y＝x+b与直线l2：y＝kx+5交于点A（2，﹣1） ∴的解就是点A的坐标， ∴方程组的解为， 故选：D． 【变式2】（2025春•南皮县期末）如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】一次函数及其应用；推理能力． 【分析】先把P（﹣2，n）代入yx中计算出n的值，从而得到P（﹣2，3），然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题． 【解答】解：把P（﹣2，n）代入yx得n（﹣2）3， 即P（﹣2，3）， ∵一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，3）， ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：A． 【变式3】（2024秋•市中区期末）已知直线y＝x+b和y＝ax﹣3交于点P（2，1），则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观． 【分析】根据二元一次方程组的解的定义知，该方程组的解就是组成方程组的两个二元一次方程的图象的交点． 【解答】解：∵直线y＝x+b和y＝ax﹣3交于点P（2，1）， ∴关于x，y的方程组的解是． 故选：B． 【题型二】已知交点纵坐标求方程组的解 【例1】（2024秋•雁塔区校级期末）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则二元一次方程组的解是　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】一元二次方程及应用． 【分析】根据方程组的解就是交点坐标即可求解． 【解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2）， ∴2m＝2， ∴m＝1， ∴P（1，2）， 二元一次方程组的解是， 故答案为：． 【变式1】（2025春•桦甸市期末）如图，直线l1的函数表达式为y＝3x﹣2，且直线l1与x轴交于点D．直线l2与x轴交于点A，且经过点B（4，1），直线l1与l2交于点C（m，3）． （1）求点D和点C的坐标； （2）求直线l2的函数表达式； （3）利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组的解． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式．版权所有 【专题】一次函数及其应用；应用意识． 【分析】（1）求函数值为0时一次函数y＝3x﹣2所对应的自变量的值即可得到D点坐标，把C（m，3）代入y＝3x﹣2求出m得到C点坐标； （2）利用待定系数法求直线l2的解析式； （3）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【解答】解：（1）在y＝3x﹣2中 令y＝0，即3x﹣2＝0 解得x， ∴D（，0）， ∵点C（m，3）在直线y＝3x﹣2上， ∴3m﹣2＝3， ∴m， ∴C（，3）； （2）设直线l2的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 由题意得：， 解得：， ∴yx； （3）由图可知，二元一次方程组的解为． 【题型三】根据图形求方程组的解 【例1】（2025秋•西安期中）如图，直线l1：y＝x+5分别交y轴，x轴于A，B两点，直线分别交y轴，x轴于C，D两点，直线l1，l2相交于P点． （1）方程组的解是　　 ； （2）求直线l1，l2与x轴围成的三角形面积； 【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质．版权所有 【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；运算能力． 【分析】（1）根据一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系即可求得； （2）分别求出A、C两点的坐标，然后根据坐标求出长度，代入面积公式即可求得． 【解答】解：（1）∵直线l1：y＝x+5与直线相交于点P（﹣4，1）， ∴方程组的解是； 故答案为：； （2）当y＝0时，0＝x+5， 解得：x＝﹣5， ∴B（﹣5，0）， 当y＝0时，， 解得：x＝﹣2， ∴D（﹣2，0）， ∵P（﹣4，1）， ∴直线l1，l2与x轴围成的三角形面积． 【变式1】（2025春•青龙县期末）如图，直线l1：y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2：y＝kx+b与y轴相交于点C（0，1），与x轴交于点E，与直线l1相交于点D（1，3）． （1）填空： ①△BCD的面积为　　 ； ②方程组的解为　　 ； （2）求直线l2的解析式； （3）求△ADE的面积． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【分析】（1）①求出B点坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可；②直接利用图象法求方程组的解即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）求出A，E的坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：（1）①∵y＝﹣x+4， ∴B（0，4），A（4，0）， ∵C（0，1），D（1，3）； ∴△BCD的面积为； 故答案为：； ②由图象可知：方程组的解为； 故答案为：； （2）∵直线l2：y＝kx+b过C（0，1）、D（1，3） ∴， ∴； ∴直线l2的解析式是：y＝2x+1； （3）当y＝2x+1＝0时，， ∴， ∵A（4，0），D（1，3）， ∴， ∴． 【变式2】（2024秋•响水县期末）如图，直线y＝﹣x+b与直线y＝kx+3相交于点P（2，4），则方程组的解是 　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；推理能力． 【分析】利用“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”解决问题． 【解答】解：∵直线y＝﹣x+b与直线y＝kx+3相交于点P（2，4）， ∴方程组的解是． 故答案为：． 【课后练习】 1．（2025•山西模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【分析】先将点B代入y＝﹣x+4，求出b，即可确定方程组的解． 【解答】解：将点A（﹣1，b）代入y＝x+4， 得b＝﹣1+4＝3， ∴A（﹣1，3）， ∴方程组的解为， 故选：B． 2．（2024秋•深圳期末）一次函数y1＝kx+5与一次函数y2＝2x+k在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点P（2，m），与两坐标轴分别交于A，B，C，D四个点．则下列结论： ①一元一次方程kx+5＝m的解为x＝2； ②； ③方程组的解为； ④四边形AODP的面积为．正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数与一元一次方程．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【分析】根据一次函数与方程（组）的关系逐一分析判断即可． 【解答】解：一次函数y1＝kx+5与一次函数y2＝2x+k在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点P（2，m）， ∴一元一次方程kx+5＝m的解为x＝2，①正确； 2k+5＝4+k， 解得k＝﹣1，②错误； ∴一次函数为y1＝﹣x+5，y2＝2x﹣1， 把P（2，m）代入得﹣2+5＝m， ∴m＝3， ∴P（2，3）， ∴方程组的解为，③正确； ∵一次函数为y1＝﹣x+5，y2＝2x﹣1， ∴A（0，5），D（，0）， ∴四边形AODP的面积为：，④正确． ∴正确的结论是①③④． 故选：D． 3．（2025春•城厢区校级期中）我们知道：方程组的解与两直线的交点坐标的关系如双胞胎兄弟一样．如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝kx+b交于点A（﹣1，m），则关于x、y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】一次函数及其应用；用函数的观点看方程（组）或不等式；运算能力；应用意识． 【分析】首先将点A的横坐标代入y＝x+4求得其纵坐标，横坐标为方程组x的值，纵坐标为方程组y的值． 【解答】解：∵直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝kx+b交于点A（﹣1，m）， ∴m＝﹣1+4＝3， 即直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝kx+b的交点坐标为（﹣1，3）， ∴关于x、y的方程组的解为． 故选：B． 4．（2025秋•石景山区校级期中）在同一平面直角坐系中，直线y＝2x+4与y＝x+b相交于点A（1，m），则关于x，y的方程组的解为　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；运算能力． 【分析】把交点坐标代入直线y＝﹣x﹣2求解得到m的值，再根据方程组的解即为交点坐标解答． 【解答】解：∵直线y＝2x+4经过A（1，m）， ∴m＝2×1+4＝6， ∴交点P坐标为（1，6）， ∵方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标， ∴关于x，y的方程组的解为． 故答案为：． 5．（2025秋•望江县期中）已知方程组的解为，则一次函数y＝3x﹣3与yx+3的交点P的坐标是　（，1）　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】计算题． 【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．结合本题，那么一次函数y＝3x﹣3与yx+3的交点P的坐标就是方程组的解． 【解答】解：方程组的解为；即x，y＝1同时满足方程组中的两个方程； 因此点（，1）同时满足两个一次函数的解析式． 所以一次函数y＝3x﹣3与yx+3的交点P的坐标是（，1）． 故答案为：（，1）． 6．（2025秋•深圳校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x，y的方程组的解为 　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；推理能力． 【分析】先利用解析式y＝x+4确定A点坐标，然后根据“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”求解． 【解答】解：把A（﹣1，b）代入y＝x+4得b＝﹣1+4＝3， ∴直线y＝x+4与直线y＝mx+n交点A的坐标为（﹣1，3）， ∴关于x，y的方程组的解为． 故答案为：． 7．（2025秋•沙坪坝区校级期中）如图，已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则一次函数y＝kx+b（k≠0）和y＝mx+n（m≠0）图象交点M的坐标为 　（﹣3，2）　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；推理能力． 【分析】方程组的解满足两个一次函数解析式，从而得到它们的交点M的坐标． 【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴一次函数y＝kx+b（k≠0）和y＝mx+n（m≠0）图象交点M的坐标为（﹣3，2）． 故答案为：（﹣3，2）． 8．（2025秋•市中区期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝kx+b交于点A（﹣1，m），则关于x，y的方程组的解为　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力． 【分析】将点A的横坐标代入y＝x+3求得其纵坐标，然后即可确定方程组的解． 【解答】解：∵直线l1：y＝x+3过点A（﹣1，m） ∴m＝﹣1+3＝2， ∴A（﹣1，2）， ∵直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝kx+b交于点A， ∴关于x、y的方程组的解为：． 故答案为：． 9．（2025•潮阳区三模）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（1，m），则关于x，y的方程组的解为 　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力． 【分析】首先利用待定系数法求出b的值，进而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【解答】解：∵直线y＝x+1经过点P（1，m）， ∴m＝1+1， 解得m＝2， ∴P（1，2）， ∴关于x的方程组的解为， 故答案为：． 10．（2025春•思明区校级期末）以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个二元一次方程的图象．如图，二元一次方程组（a为常数）中的两个二元一次方程的图象交于点P，则a＝　﹣1　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【分析】将x＝1代入2x+y＝4，可求出点P的坐标，即可解答． 【解答】解：由条件可得2+y＝4， 解得y＝2． ∴P（1，2）， ∴a＝1﹣2＝﹣1． 故答案为：﹣1． 11．（2025春•廊坊校级月考）如图所示，直线l1与l2分别是二元一次方程和在平面直角坐标系中的图象，求此方程组的解为　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】数形结合；一次函数及其应用；几何直观． 【分析】由图象直接可得答案． 【解答】解：由图象得两条直线交点坐标为（2，3）， ∴方程组的解为， 故答案为：． 12．（2025秋•潜江校级月考）已知一次函数y＝3x﹣1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，5），则关于x，y的方程组的解是　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【解答】解：由条件可知关于x，y的方程组的解是， ∴关于x，y的方程组的解是， 故答案为：． 13．（2025春•哈密市期末）如图，平面直角坐标系xOy中，直线l1：y1＝2x与直线l2：y2＝﹣x+a交于点P（1，m）． （1）求m，a的值； （2）直接写出关于x的二元一次方程组的解； （3）当y1＜y2时，x的取值范围是 x＜1　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质．版权所有 【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式． 【分析】（1）把（1，m）代入y＝2x和y＝﹣x+a解方程可得结果； （2）根据图象可知交点坐标即为二元一次方程组的解； （3）由y1＜y2，可得2x＜﹣x+3，解不等式可得解集． 【解答】解：（1）把P（1，m）代入y＝2x得m＝2， 把P（1，2）代入y＝﹣x+a得：﹣1+a＝2， 解得a＝3； （2）由图象可知二元一次方程组的解为； （3）∵y1＜y2， ∴2x＜﹣x+3， 解得：x＜1， 故答案为：x＜1． 14．（2025春•南岗区校级月考）【探究】在平面直角坐标系中，把方程x+y＝4的解中的x和y值分别作为点的横、纵坐标，请完成表格信息，并在平面直角坐标系中描出点A、B、C、D． 点A 点B 点C 点D x … ﹣1 0 1 ①　2　 … y … ②　5　 4 3 2 … 【发现】过这些点中的任意两点画直线，你会发现这些点　在　 （填“在”或“不在”）同一条直线上． 【归纳】以方程x+y＝4的解为坐标的点的全体叫作方程的图象． 【应用】二元一次方程ax+by＝2的图象上有两个点分别为（﹣1，﹣3）、（1，﹣1）． （1）求a和b的值． （2）请在平面直角坐标系中画出方程ax+by＝2的图象，并直接写出方程组的解是　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）；函数的图象．版权所有 【专题】一次函数及其应用；用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观；运算能力． 【分析】探究：将x＝﹣1，y＝2，分别代入x+y＝4，即可求解，再根据横纵坐标作图即可；发现：根据探究所作的图形即可解答； 应用：（1）将（﹣1，1），（1，﹣3），代入二元一次方程ax+by＝2，得关于a，b的方程组即可求解； （2）根据图象即可求解． 【解答】解：探究：由题意，∵x+y＝4， ∴当x＝﹣1时，﹣1+y＝4，则②y＝5；当y＝2时，x+2＝4，则①x＝2． 作图如下： 故答案为：①2；②5． 发现：由题意，对于x+y＝4， ∴当x＝0时，y＝4；当x＝1时，y＝3． ∴过这些点中的任意两点画直线，这些点在同一条直线上． 故答案为：在． 归纳：以方程x+y＝4的解为坐标的点的全体叫作方程的图象． 应用：①∵二元一次方程ax+by＝2的图象上有两个点分别为（﹣1，﹣3）、（1，﹣1）． ∴，解得； ②画出方程ax+by＝2的图象如图， 方程组的解是． 故答案为：（1），（2）． 15．（2025春•宁阳县校级月考）已知一次函数y＝ax﹣5与y＝2x+b的图象的交点坐标为A（1，﹣2）． （1）求a，b的值． （2）直接写出关于x，y的方程组的解． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【分析】（1）将点A（1，﹣2）分别代入函数解析式即可； （2）方程组中的两个方程分别是一次函数解析式的变形，所以方程组的解就是两个函数图象的交点坐标． 【解答】解：（1）将A（1，﹣2）代入y＝ax﹣5，得a﹣5＝﹣2，解得a＝3； 将A（1，﹣2）代入y＝2x+b，得2+b＝﹣2，解得b＝﹣4； （2）解析式y＝ax﹣5与y＝2x+b变形，可组成方程组， 因此两函数图象的交点就是方程组的解， 所以得方程组的解为． 16．（2025春•惠城区期末）【材料阅读】 二元一次方程x﹣y＝1有无数组解，如：，，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程x﹣y＝1的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）已知A（1，1）、B（﹣3，4）、，则点 C （填“A或B或C”）在方程2x﹣y＝﹣1的图象上． （2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程2x﹣y＝﹣1的图象．观察图象，两条直线的交点坐标为 　（﹣2，﹣3）　 ，由此你得出二元一次方程组的解是 　　 ； 【拓展延伸】 （3）设方程的图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程nx﹣y＝3的图象与x，y轴的交点分别是C、D． ①求点A和点D的坐标 ②已知关于x，y的二元一次方程组无解，点B在y轴正半轴上，且∠OAB＝45°，请作出符合题意的图形，并求m，n的值． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【分析】（1）把对应点横纵坐标代入方程中，看方程的左右两边是否相等即可得到结论； （2）利用描点法画出函数图象，再根据函数图象找到交点坐标，进而得到方程组的解即可； （3）①在中，当y＝0时，x＝﹣4，在nx﹣y＝3中，当x＝0时，y＝﹣3，据此可得答案； ②根据题意可得直线和直线nx﹣y＝3没有交点，即在这两条直线互相平行，根据点B在y轴正半轴上，且∠OAB＝45°，求出点B和点C的坐标，进而即可求出m，n的值． 【解答】解：（1）把代入方程2x﹣y＝﹣1中，方程左边＝1×2﹣1＝1，方程左右两边不相等，则不是方程2x﹣y＝﹣1的解； 把代入方程2x﹣y＝﹣1中，方程左边＝﹣3×2﹣4＝﹣10，方程左右两边不相等，则不是方程2x﹣y＝﹣l的解； 把代入方程2x﹣y＝﹣1中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程2x﹣y＝﹣l的解； ∴只有点C在方程2x﹣y＝﹣1的图象上， 故答案为：C； （2）如图所示，函数图象即为所求；有图象可知，两条直线的交点坐标为（﹣2，﹣3）， ∴二元一次方程组的解是； 故答案为：（﹣2，﹣3），； （3）①在﹣x+my＝﹣2中，当y＝0时，x＝﹣4，在nx﹣y＝3中，当x＝0时，y＝﹣3， ∴A（﹣4，0），D（0，﹣3）； ②∵关于x，y的二元一次方程组无解， ∴直线和直线nx﹣y＝3 没有交点，即在这两条直线互相平行， ∵点B在y轴正半轴上，且∠OAB＝45°，A（﹣4，0）， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， ∴OA＝OB＝4，即B（0，4），将点B的坐标代入得，，解得， ∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠OCD＝45°，D（0，﹣3）， ∴∠ODC＝∠OCD＝45°， ∴OC＝OD＝3，即C（3，0），将点C的坐标代入nx﹣y＝3 得，3n﹣0＝3，解得n＝1，如图所示即为所求： 17．（2025春•河东区期末）计算：使上下每对x，y值是方程x﹣y＝1的解． x … ﹣1 0 … y … 1 2 … 发现：若把表中上下每对x，y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在图1的坐标系中描出所有的点，过这些点中的任意两点作直线，你有什么发现？ 结论：以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条 　直线　 ． 应用：在图2的坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出这个方程组的解． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【分析】计算：把x的值代入方程求得y的值，把y的值代入方程求得x的值； 发现：描点，依次连接，得到一条直线； 结论：根据图象即可确定； 应用：由图象即可确定二元一次方程组的解． 【解答】解：计算：当x＝﹣1时，y＝﹣2； 当x＝0时，y＝﹣1； 当y＝1时，x＝2； 当y＝2时，x＝3； 过这些点中的任意两点作直线，这些直线重合， 发现：如图所示： 这四个点在一条直线上； 结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线， 故答案为：直线； 应用： 由图象可知，方程组的解是． 18．（2025春•铁岭县期末）【材料阅读】 二元一次方程x﹣y＝1有无数组解，如：，，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程x﹣y＝1的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）请在图2中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为 　　 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程无解，请在图3中画出符合题意的两条直线，设方程①图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程②图象与x，y轴的交点分别是C、D，计算∠ABO+∠DCO的度数． 【拓展应用】 （3）图4中包含关于x，y的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解 　　 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【分析】（1）首先画出图象，然后根据两条直线的交点坐标求解即可； （2）根据关于x，y的二元一次方程无解得到两条直线平行，然后得到直线kx﹣3y＝3经过点（0，﹣1），然后画出图象即可；然后根据平行线的性质求解即可； （3）首先得到直线mx﹣2m+y＝﹣3经过点（2，﹣3），然后得到直线AB即为直线2x+y＝4，得到是方程2x+y＝4的一个解，进而求解即可． 【解答】解：（1）如图所示，即为所求； 由图象可知，直线2x+y＝4与直线x﹣y＝﹣1交于点（1，2）， ∴同时是方程2x+y＝4和方程x﹣y＝﹣1的解， ∴是方程组的解； 故答案为：． （2）∵方程组无解， ∴直线x+2y＝4与直线kx﹣3y＝3没有交点， ∴直线x+2y＝4与直线kx﹣3y＝3平行， 在方程kx﹣3y＝3中，当x＝0时，y＝﹣1， ∴直线kx﹣3y＝3经过点（0，﹣1）， 如图所示，直线AB和直线CD即为所求； ∵AB∥CD， ∴∠ABO＝∠CDO， ∵∠DCO+∠CDO＝90°， ∴∠ABO+∠DCO＝90°； （3）如图所示， 在方程mx﹣2m+y＝﹣3中，当x＝2时，则2m﹣2m+y＝﹣3，即此时y＝﹣3， ∴是方程mx﹣2m+y＝﹣3的解，即直线mx﹣2m+y＝﹣3经过点（2，﹣3）； ∴直线mx﹣2m+y＝﹣3为直线AB或直线EF中的一条， 把代入方程2x+y＝4中，左边＝2×7+2＝16≠4，方程左右两边不相等， ∴不是方程2x+y＝4的解，即直线2x+y＝4不经过点（7，2）， ∴直线AB即为直线2x+y＝4 ∴直线mx﹣2m+y＝﹣3为直线EF， 在方程2x+y＝4中，当x＝3时，则2×3+y＝4，解得y＝﹣2， ∴是方程2x+y＝4的一个解， ∴直线mx﹣2m+y＝﹣3与直线2x+y＝4的交点坐标为（3，﹣2）， ∴二元一次方程组的解为， 故答案为：． 18．（2025春•上饶期末）【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程x﹣y＝0的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程x﹣y＝0的解为坐标的所有点的全体叫做方程x﹣y＝0的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，我们在画方程x﹣y＝0的图象时，可以取点A（﹣1，﹣1）和B（2，2），作出直线AB． 【解决问题】 （1）已知A（﹣1，2）、B（﹣2，0）、C（1，2），则点 C （填“A或B或C”）在方程2x+y＝4的图象上； （2）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程） （3）观察图象，两条直线的交点坐标为 　（1，2）　 ，由此你得出这个二元一次方程组的解是 　　 ； 【拓展延伸】 （4）已知二元一次方程ax+by＝6的图象经过两点A（2，﹣1）和B（3，0），试求a、b的值． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【分析】（1）把A（﹣1，2）、B（﹣2，0）、C（1，2）分别代入方程2x+y＝4中，判断方程左右两边是否相等即可； （2）分别取两个点，让它们的坐标满足方程2x+y＝4和x﹣y＝﹣1，然后过两点画直线即可； （3）观察图象即可求解； （4）把两点A（2，﹣1）和B（3，0）代入ax+by＝6，然后解方程组即可． 【解答】解：（1）由条件可知点A（﹣1，2）不在方程2x+y＝4的图象上； ∵当x＝﹣2时，2×（﹣2）+y＝4，解得y＝8≠0， ∴点B（﹣2，0）不在方程2x+y＝4的图象上； ∵当x＝1时，2×1+y＝4，解得y＝2， ∴点C（1，2）不在方程2x+y＝4的图象上； 故答案为：C； （2）由2x+y＝4可得， 当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝0，即点（1，2），（2，0）； 由x﹣y＝﹣1得， 当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝3，即点（1，2），（2，3）； 画图如图， （3）两条直线的交点坐标为（1，2）， 这个二元一次方程组的解是， 故答案为：（1，2），； （4）由条件可知， 解得：， ∴a的值为1，b的值为﹣3． 19．（2025春•临澧县期末）在平面直角坐标系中，对于点P（a，b）和点Q（m，n），若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点（2，1）的“美好点”是（4，1）． （1）①点P（﹣3，2）的“美好点“坐标是 　（﹣6，3）　 ； ②若点P的“美好点”为（5，﹣4），则点P的坐标是 　（，）　 ； （2）若点P（a，3）的“美好点”在直线y＝3x﹣2上，求a的值． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；推理能力． 【分析】（1）①直接根据“美好点”的定义求解； ②设P点坐标为（a，b），再根据“美好点”的定义得到2a＝5，2b﹣1＝﹣4，然后解方程求出a、b，从而得到点P的坐标； （2）先根据“美好点”的定义得到点P（a，3）的“美好点”为（2a，5），然后把（2a，5）代入直线解析式中得到6a﹣2＝5，最后解关于a的方程即可． 【解答】解：（1）①点P（﹣3，2）的“美好点“坐标为（﹣6，3）； 故答案为：（﹣6，3）； ②设P点坐标为（a，b）， 根据题意得2a＝5，2b﹣1＝﹣4， 解得a，b， ∴点P的坐标为（，）； 故答案为：（，）； （2）点P（a，3）的“美好点”为（2a，5）， 把（2a，5）代入y＝3x﹣2中得6a﹣2＝5， 解得a， 即a的值为． 20．（2025•石家庄一模）定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与正比例函数y＝﹣x的图象的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）图象的“亮点”，例如，求一次函数y＝﹣2x﹣1图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数y＝﹣2x﹣1图象的“亮点”为（﹣1，1）． （1）一次函数y＝2x﹣3图象的“亮点”为　（1，﹣1）　 ； （2）一次函数y＝mx+n图象的“亮点”为（2，n+1），求m，n的值； （3）若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数y＝kx+4的图象上没有“亮点”，点P在y轴上，S△ABP，直接写出满足条件的点P的坐标． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质．版权所有 【专题】一次函数及其应用． 【分析】（1）联立一次函数解析式y＝2x﹣3与正比例函数y＝﹣x，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为（2，n+1），代入y＝﹣x求得n，进而代入y＝mx+n求得m即可； （3）根据题意可得k＝﹣1，求出OA＝4，OB＝4，然后根据三角形面积公式求出BP＝3，进而可求出点P的坐标． 【解答】解：（1）由定义可知，一次函数y＝2x﹣3的“亮点”为一次函数解析式y＝2x﹣3与正比例函数y＝﹣x的交点， 即， 解得， ∴一次函数y＝2x﹣3的“亮点”为（1，﹣1）； （2）根据定义可得，点（2，n+1）在y＝﹣x上， ∴n+1＝﹣2， 解得n＝﹣3， 点（2，n+1）即（2，﹣2）在y＝mx+n上， ∴﹣2＝2m﹣3， 解得； （3）∵直线y＝kx+4上没有“亮点”， ∴直线y＝kx+4与y＝﹣x平行， ∴k＝﹣1， ∴y＝﹣x+4， 令x＝0，则y＝4， 令y＝0，则x＝4， ∴A（4，0），B（0，4）， ∴OA＝4，OB＝4， ∵， ， ∴， ∵4+3＝7，4﹣3＝1， ∴P（0，7）或（0，1）． 21．（2025春•武城县期末）综合与探究 【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程x﹣y＝0的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标关系． 规定：以方程x﹣y＝0的解为坐标的所有点的全体叫作方程x﹣y＝0的图象． 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，我们在画方程x﹣y＝0的图象时， 当x＝﹣1时，y＝﹣1，即A（﹣1，﹣1）是方程x﹣y＝0的图象上的点； 当x＝2时，y＝2，即B（2，2）是方程x﹣y＝0的图象上的点． 所以可以取点A（﹣1，﹣1）和B（2，2），作出直线AB，就可以得到方程x﹣y＝0的图象． 【解决问题】 （1）画方程x﹣y＝0的图象时，只需要取两个点就可以画出直线来，原理是：　两点确定一条直线　 ． （2）若M（﹣2，4），N（3，﹣1）都是关于x，y的一元二次方程ax+by＝12的图象上的点，求a，b的值． （3）已知平面内有四个点：C（﹣2，﹣3），D（﹣1，5），E（0，﹣2），F（1，1），则在方程x﹣2y＝4的图象上的点是 　点C、E ，在方程2x+y＝3的图象上的点是 　点D、F ，并在图2中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：根据题目中提供的点，进行描点、连线即可） （4）观察图象，两条直线的交点坐标为 　（2，﹣1）　 ，由此你得出这个二元一次方程组的解是 　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；运算能力；推理能力． 【分析】（1）依据题意，由两点确定一条直线画直线即可判断得解； （2）依据题意，把M、N点坐标分别代入ax+by＝12得到a、b的方程组，然后解方程组即可； （3）根据方程图象上点的坐标特征进行判断，然后利用描点法画出两方程的图象； （4）根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【解答】解：（1）由题意，∵两点确定一条直线， ∴画方程x﹣y＝0的图象时，只需要取两个点就可以画出直线来； 故答案为：两点确定一条直线． （2）由题意，∵M（﹣2，4），N（3，﹣1）都是关于x，y的一元二次方程ax+by＝12的图象上的点， ∴， ∴． （3）∵C（﹣2，﹣3）和E（0，﹣2）满足方程x﹣2y＝4，D（﹣1，5）和F（1，1）满足方程2x+y＝3， ∴点C和点E在方程x﹣2y＝4的图象上，点D和点F在方程2x+y＝3的图象上， 如图， 故答案为：点C和点E，点D和点F； （4）观察图象，∵两条直线的交点坐标为（2，﹣1）， ∴这个二元一次方程组的解是． 故答案为：（2，﹣1）；． 23．（2024秋•雁塔区期中）已知点A（0，4），C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b的图象上，直线l和一次函数y＝﹣4x+a的图象交于点B． （1）求直线l的表达式； （2）若点B的横坐标是1，求点B的坐标，并直接写出关于x，y的方程组的解； （3）在（2）的条件下，若点A关于x轴的对称点为P，求△BPC的面积． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）；关于x轴、y轴对称的点的坐标；待定系数法求一次函数解析式．版权所有 【专题】待定系数法；一次函数及其应用；几何直观；运算能力． 【分析】（1）由于点A、C在直线上，可用待定系数法确定直线l的表达式； （2）先求出点B的坐标，即得方程组的解； （3）由于S△BPC＝S△PAB+S△PAC，分别求出△PBC和△PAC的面积即可． 【解答】解：（1）∵点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上， ∴， 解得， 所以直线l的表达式为：y＝2x+4； （2）由于点B在直线l上，当x＝1时，y＝2+4＝6， ∴点B的坐标为（1，6）， ∴关于x，y的方程组的解为； （3）∵点A与点P关于x轴对称， ∴点P（0，﹣4）， ∴AP＝4+4＝8，OC＝2， ∴S△BPC＝S△PAB+S△PAC 8×18×2 ＝4+8 ＝12． 【点评】本题考查了待定系数法确定函数解析式、三角形的面积、直线与方程组的关系等知识点．熟知待定系数法是解题的关键． 33．（2024秋•碑林区校级月考）已知一次函数y＝ax﹣5与y＝3x+b的图象的交点坐标为A（1，﹣3）． （1）关于x，y的方程组的解为 　　 ； （2）求a，b的值． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；运算能力． 【分析】（1）根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可； （2）将代入方程组，求解即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax﹣5与y＝3x+b的图象的交点坐标为A（1，﹣3）， ∴关于x，y的方程组的解为是， 故答案为：； （2）将代入方程组，得， 解得a＝2，b＝﹣6． 34．（2024秋•莲湖区月考）已知一次函数y1＝﹣2x+2与y2＝x﹣4． （1）在同一平面直角坐标系中，画出它们的图象． （2）直线y1＝﹣2x+2，y2＝x﹣4与y轴分别交于点A，B，请写出A，B两点的坐标． （3）根据图象，写出方程组的解． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】一次函数及其应用；应用意识． 【分析】（1）利用描点法画出图象即可． （2）令x＝0，得y1＝2，则可得A（0，2）．令x＝0，得y2＝﹣4，则可得B（0，﹣4）． （3）求出直线y1＝﹣2x+2与y2＝x﹣4的交点坐标，进而可得答案． 【解答】解：（1）画出它们的图象如图所示． （2）令x＝0，得y1＝2， ∴A（0，2）． 令x＝0，得y2＝﹣4， ∴B（0，﹣4）． （3）令﹣2x+2＝x﹣4， 解得x＝2， 将x＝2代入y1＝﹣2x+2，得y1＝﹣2， ∴直线y1＝﹣2x+2与y2＝x﹣4的交点坐标为（2，﹣2）， ∴方程组的解为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4二元一次方程与一次函数题型总结讲义 【题型一】已知交点坐标求方程组的解 【例1】（2025秋•济南期中）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n的图象交于（2，﹣1），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象交于（2，﹣1）， ∴一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象向下平移1个单位长度得到函数的解析式为y＝kx+b﹣1，y＝mx+n﹣1， 则一次函数y＝kx+b﹣1与y＝mx+n﹣1的图象的交点也相应的向下平移一个单位长度为（2，﹣2）， ∴关于x，y的方程组的解为， 故选：C． 【变式1】（2025秋•青羊区期中）如图，直线l1：y＝x+b与直线l2：y＝kx+5交于点A（2，﹣1），那么关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025春•南皮县期末）如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2024秋•市中区期末）已知直线y＝x+b和y＝ax﹣3交于点P（2，1），则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【题型二】已知交点纵坐标求方程组的解 【例1】（2024秋•雁塔区校级期末）如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则二元一次方程组的解是　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）．版权所有 【专题】一元二次方程及应用． 【分析】根据方程组的解就是交点坐标即可求解． 【解答】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2）， ∴2m＝2， ∴m＝1， ∴P（1，2）， 二元一次方程组的解是， 故答案为：． 【变式1】（2025春•桦甸市期末）如图，直线l1的函数表达式为y＝3x﹣2，且直线l1与x轴交于点D．直线l2与x轴交于点A，且经过点B（4，1），直线l1与l2交于点C（m，3）． （1）求点D和点C的坐标； （2）求直线l2的函数表达式； （3）利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组的解． 【题型三】根据图形求方程组的解 【例1】（2025秋•西安期中）如图，直线l1：y＝x+5分别交y轴，x轴于A，B两点，直线分别交y轴，x轴于C，D两点，直线l1，l2相交于P点． （1）方程组的解是　 　 ； （2）求直线l1，l2与x轴围成的三角形面积； 【变式1】（2025春•青龙县期末）如图，直线l1：y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2：y＝kx+b与y轴相交于点C（0，1），与x轴交于点E，与直线l1相交于点D（1，3）． （1）填空： ①△BCD的面积为　 　 ； ②方程组的解为　 　 ； （2）求直线l2的解析式； （3）求△ADE的面积． 【变式2】（2024秋•响水县期末）如图，直线y＝﹣x+b与直线y＝kx+3相交于点P（2，4），则方程组的解是 　 　 ． 【课后练习】 1．（2025•山西模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•深圳期末）一次函数y1＝kx+5与一次函数y2＝2x+k在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点P（2，m），与两坐标轴分别交于A，B，C，D四个点．则下列结论： ①一元一次方程kx+5＝m的解为x＝2； ②； ③方程组的解为； ④四边形AODP的面积为．正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 3．（2025春•城厢区校级期中）我们知道：方程组的解与两直线的交点坐标的关系如双胞胎兄弟一样．如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝kx+b交于点A（﹣1，m），则关于x、y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•石景山区校级期中）在同一平面直角坐系中，直线y＝2x+4与y＝x+b相交于点A（1，m），则关于x，y的方程组的解为　 　 ． 5．（2025秋•望江县期中）已知方程组的解为，则一次函数y＝3x﹣3与yx+3的交点P的坐标是　 　 ． 6．（2025秋•深圳校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x，y的方程组的解为 　 　 ． 7．（2025秋•沙坪坝区校级期中）如图，已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则一次函数y＝kx+b（k≠0）和y＝mx+n（m≠0）图象交点M的坐标为 　 　 ． 8．（2025秋•市中区期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝kx+b交于点A（﹣1，m），则关于x，y的方程组的解为　 　 ． 9．（2025•潮阳区三模）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（1，m），则关于x，y的方程组的解为 　 　 ． 10．（2025春•思明区校级期末）以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个二元一次方程的图象．如图，二元一次方程组（a为常数）中的两个二元一次方程的图象交于点P，则a＝　 　 ． 11．（2025春•廊坊校级月考）如图所示，直线l1与l2分别是二元一次方程和在平面直角坐标系中的图象，求此方程组的解为　 　 ． 12．（2025秋•潜江校级月考）已知一次函数y＝3x﹣1与y＝kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（2，5），则关于x，y的方程组的解是　 　 ． 13．（2025春•哈密市期末）如图，平面直角坐标系xOy中，直线l1：y1＝2x与直线l2：y2＝﹣x+a交于点P（1，m）． （1）求m，a的值； （2）直接写出关于x的二元一次方程组的解； （3）当y1＜y2时，x的取值范围是 　 ． 14．（2025春•南岗区校级月考）【探究】在平面直角坐标系中，把方程x+y＝4的解中的x和y值分别作为点的横、纵坐标，请完成表格信息，并在平面直角坐标系中描出点A、B、C、D． 点A 点B 点C 点D x … ﹣1 0 1 ①　2　 … y … ②　5　 4 3 2 … 【发现】过这些点中的任意两点画直线，你会发现这些点　 　 （填“在”或“不在”）同一条直线上． 【归纳】以方程x+y＝4的解为坐标的点的全体叫作方程的图象． 【应用】二元一次方程ax+by＝2的图象上有两个点分别为（﹣1，﹣3）、（1，﹣1）． （1）求a和b的值． （2）请在平面直角坐标系中画出方程ax+by＝2的图象，并直接写出方程组的解是　 　 ． 15．（2025春•宁阳县校级月考）已知一次函数y＝ax﹣5与y＝2x+b的图象的交点坐标为A（1，﹣2）． （1）求a，b的值． （2）直接写出关于x，y的方程组的解． 16．（2025春•惠城区期末）【材料阅读】 二元一次方程x﹣y＝1有无数组解，如：，，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程x﹣y＝1的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）已知A（1，1）、B（﹣3，4）、，则点 C （填“A或B或C”）在方程2x﹣y＝﹣1的图象上． （2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程2x﹣y＝﹣1的图象．观察图象，两条直线的交点坐标为 　 　 ，由此你得出二元一次方程组的解是 　 　 ； 【拓展延伸】 （3）设方程的图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程nx﹣y＝3的图象与x，y轴的交点分别是C、D． ①求点A和点D的坐标 ②已知关于x，y的二元一次方程组无解，点B在y轴正半轴上，且∠OAB＝45°，请作出符合题意的图形，并求m，n的值． 17．（2025春•河东区期末）计算：使上下每对x，y值是方程x﹣y＝1的解． x … ﹣1 0 … y … 1 2 … 发现：若把表中上下每对x，y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在图1的坐标系中描出所有的点，过这些点中的任意两点作直线，你有什么发现？ 结论：以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条 　 　 ． 应用：在图2的坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出这个方程组的解． 18．（2025春•铁岭县期末）【材料阅读】 二元一次方程x﹣y＝1有无数组解，如：，，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程x﹣y＝1的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）请在图2中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解为 　 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程无解，请在图3中画出符合题意的两条直线，设方程①图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程②图象与x，y轴的交点分别是C、D，计算∠ABO+∠DCO的度数． 【拓展应用】 （3）图4中包含关于x，y的二元一次方程组的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解 　 　 18．（2025春•上饶期末）【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程x﹣y＝0的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程x﹣y＝0的解为坐标的所有点的全体叫做方程x﹣y＝0的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，我们在画方程x﹣y＝0的图象时，可以取点A（﹣1，﹣1）和B（2，2），作出直线AB． 【解决问题】 （1）已知A（﹣1，2）、B（﹣2，0）、C（1，2），则点 C （填“A或B或C”）在方程2x+y＝4的图象上； （2）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程） （3）观察图象，两条直线的交点坐标为 　 　 ，由此你得出这个二元一次方程组的解是 　 　 ； 【拓展延伸】 （4）已知二元一次方程ax+by＝6的图象经过两点A（2，﹣1）和B（3，0），试求a、b的值． 19．（2025春•临澧县期末）在平面直角坐标系中，对于点P（a，b）和点Q（m，n），若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点（2，1）的“美好点”是（4，1）． （1）①点P（﹣3，2）的“美好点“坐标是 　 　 ； ②若点P的“美好点”为（5，﹣4），则点P的坐标是 　 　 ； （2）若点P（a，3）的“美好点”在直线y＝3x﹣2上，求a的值． 20．（2025•石家庄一模）定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与正比例函数y＝﹣x的图象的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）图象的“亮点”，例如，求一次函数y＝﹣2x﹣1图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数y＝﹣2x﹣1图象的“亮点”为（﹣1，1）． （1）一次函数y＝2x﹣3图象的“亮点”为　 　 ； （2）一次函数y＝mx+n图象的“亮点”为（2，n+1），求m，n的值； （3）若一次函数y＝kx+4（k≠0）的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数y＝kx+4的图象上没有“亮点”，点P在y轴上，S△ABP，直接写出满足条件的点P的坐标． 21．（2025春•武城县期末）综合与探究 【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程x﹣y＝0的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标关系． 规定：以方程x﹣y＝0的解为坐标的所有点的全体叫作方程x﹣y＝0的图象． 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，我们在画方程x﹣y＝0的图象时， 当x＝﹣1时，y＝﹣1，即A（﹣1，﹣1）是方程x﹣y＝0的图象上的点； 当x＝2时，y＝2，即B（2，2）是方程x﹣y＝0的图象上的点． 所以可以取点A（﹣1，﹣1）和B（2，2），作出直线AB，就可以得到方程x﹣y＝0的图象． 【解决问题】 （1）画方程x﹣y＝0的图象时，只需要取两个点就可以画出直线来，原理是：　 　 ． （2）若M（﹣2，4），N（3，﹣1）都是关于x，y的一元二次方程ax+by＝12的图象上的点，求a，b的值． （3）已知平面内有四个点：C（﹣2，﹣3），D（﹣1，5），E（0，﹣2），F（1，1），则在方程x﹣2y＝4的图象上的点是 　 ，在方程2x+y＝3的图象上的点是 　 ，并在图2中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：根据题目中提供的点，进行描点、连线即可） （4）观察图象，两条直线的交点坐标为 　 　 ，由此你得出这个二元一次方程组的解是 　 　 ． 23．（2024秋•雁塔区期中）已知点A（0，4），C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b的图象上，直线l和一次函数y＝﹣4x+a的图象交于点B． （1）求直线l的表达式； （2）若点B的横坐标是1，求点B的坐标，并直接写出关于x，y的方程组的解； （3）在（2）的条件下，若点A关于x轴的对称点为P，求△BPC的面积． 33．（2024秋•碑林区校级月考）已知一次函数y＝ax﹣5与y＝3x+b的图象的交点坐标为A（1，﹣3）． （1）关于x，y的方程组的解为 　　 ； （2）求a，b的值． 34．（2024秋•莲湖区月考）已知一次函数y1＝﹣2x+2与y2＝x﹣4． （1）在同一平面直角坐标系中，画出它们的图象． （2）直线y1＝﹣2x+2，y2＝x﹣4与y轴分别交于点A，B，请写出A，B两点的坐标． （3）根据图象，写出方程组的解． 学科网（北京）股份有限公司 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