重难点专题04 二元一次方程与一次函数（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“方法提炼-知识迁移-素养落地”为主线，系统构建一次函数解析式求解与二元一次方程应用的解题体系，突出数形结合思想与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求一次函数解析式|14题/含实际情境|待定系数法“设-代-解-验”四步法；平移变换“k不变，上加下减/左加右减”规则|从基础求解析式到图形变换拓展，形成“代数运算-几何变换”的逻辑链| |二元一次方程与一次函数应用|24题/含综合探究|交点与方程组解的互化；图象法“函数化-作图-读数”三步；面积计算“顶点确定-割补转化-坐标运算”|以数形结合为核心，从方程与函数的联系到图形面积综合，体现“概念-应用-拓展”的递进关系|

重难点专题04 二元一次方程与一次函数 模块一、求一次函数解析式 重难点一、待定系数法求解析式 待定系数法是求解析式核心方法。先设通用形式y=kx+b(k≠0)，将函数图像上两个点坐标代入式子，得到关于k、b的二元一次方程组。解方程组求出系数，再代回写出完整解析式。计算仔细留意符号，最后把点代入解析式验算，确保结果准确。 1．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）已知一次函数的图象经过点和，则 k、b 的值分别为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖南常德·期末）已知一次函数的图象经过点、，则此函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 3．（2022九年级·广西防城港·竞赛）直线与轴交于点，与轴交于点，则直线的函数解析式为___________． 4．（22-23八年级上·安徽合肥·开学考试）函数的图像经过和点，求这个函数的解析式． 5．（25-26八年级下·吉林松原·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数（、为常数）的图象与轴交于点，点为两函数图象的交点，且点的横坐标为2．求点坐标及一次函数的函数解析式． 6．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知是的一次函数，当时，；当时，． (1)求这个一次函数的表达式． (2)当时，求函数的值． (3)当函数的值为时，求的值． 7．（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求，两点的坐标； (2)过点作直线，与轴相交于点，求直线的函数表达式． 8．（25-26八年级下·贵州安顺·期末）秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是的一次函数．下表为若干次称重时所记录的一些数据． /厘米 1 2 4 7 11 12 /斤 0.75 1.00 2.00 2.25 3.25 3.50 (1)在上表，的数据中，发现有一对数据记录错误．请在图2中通过描点的方法，并用坐标的形式写出这组错误的数据． (2)求与之间的函数关系式． (3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重有多少斤？ 9．（25-26八年级下·甘肃嘉峪关·期末）我市医药研究所研发了一种新药，在实验药效时发现，如果按指定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（时）的变化情况如图所示． (1)求与之间的函数表达式（）； (2)若每毫升血液中含药量为4微克及以上时治疗疾病才有效，求这个有效时长． 10．（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点C、E，与直线交于点，点D的坐标为，点B在x轴上． (1)求m的值； (2)求直线的函数解析式； (3)若点P是直线上一动点（不与点C重合），连接，当时，求点P的坐标． 重难点二、通过图形变换求解析式 直线平移规律：k 值保持不变，遵循上加下减、左加右减。对称变换斜率会发生改变，先确定变换后的斜率，再找到直线上定点，结合待定系数法求解。分清平移针对 x 还是整体常数项，切勿混淆变换规则，做完可以选取特殊点验证变换结果。 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一次函数的图象向上平移2个单位长度，所得新函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，将正比例函数（为常数，且）的图象先向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的函数图象经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东滨州·期末）已知正比例函数的图象平移之后过点，则平移之后的图象的解析式为________． 4．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，将直线（为常数）向上平移个单位长度后得到的直线经过坐标原点，则的值为________． 模块二、二元一次方程与一次函数应用 重难点一、两直线的交点与二元一次方程组的解 数形结合核心知识点：两条直线交点坐标，就是对应二元一次方程组的解。想求交点，联立两条直线解析式组成方程组求解；已知方程组的解，可直接得到交点坐标。做题灵活互转代数与几何条件，这是函数和方程综合题型最常考的转化思路。 1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）一般地，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形，叫做该二元一次方程的图象，且任意二元一次方程的图象都是一条直线．如图所示是关于，的方程组中两个二元一次方程的图象直线和直线，两直线交于点，则该方程组的解为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）若一次函数（、为常数，且）与一次函数的图象交点的横坐标为2，则关于、的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一次函数与的图象如图所示， 则下列结论： ①；②；③x的值每增加1，的值增加；④．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 4．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，直线与交点的横坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为________． 5．（25-26八年级下·陕西安康·期末）已知一次函数与（k、b为常数，且）的图象交点的纵坐标为，则关于、的二元一次方程组的解是____________． 6．（24-25八年级下·新疆塔城·期末）已知一次函数与的图象的交点坐标为．则关于的方程组的解是_________． 7．（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期末）如图所示，已知函数与函数的图像交于点P，则方程组的解为_________． 8．（21-22八年级下·山东德州·阶段检测）已知：一次函数 (1)若函数图象过，求此函数的解析式． (2)若函数图象与直线平行，求该函数的解析式． (3)求满足（2）条件的直线与的交点． 9．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求，，的值． (2)如图2，是轴负半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别交直线，于点，，连接．设点的坐标为． ①求点和点的坐标（用含的代数式表示）； ②当时，求点的坐标． 10．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）把一个几何图形按照某种法则或规律变换成另外一种几何图形的过程叫作几何变换，因为几何图形是点的集合，所以几何变换都是通过点的变换实现的． 在平面直角坐标系中，设直线上一点，变换可以把点对应到点，记为，所有点组成一条直线，称是直线的变换线． 定义如下：点在直线上，， 即点坐标为 例如：点在直线：上，，即 如图，直线：与直线：相交于点， (1)分别求出，所对应的点，的坐标； (2)点在轴上，过点作轴的垂线，与相交于点，与相交于点，， ①当时，求的面积； ②当时，直线与轴的交点的坐标________； ③当线段与直线，组成的图形只有两个交点时．直接写出的取值范围________． 重难点二、图象法解二元一次方程组 图像法解方程重在数形转化。先把方程组里两个方程整理成一次函数形式，在平面直角坐标系画出两条直线，读出两条直线交点横、纵坐标，该坐标就是方程组的解。注意图像作图存在误差，适合直观分析，精确计算依旧优先使用消元法。 1．（22-23八年级下·四川眉山·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）利用一次函数的图象解二元一次方程组 3．（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线的图象，如图所示． (1)在同一坐标系中，作出一次函数的图象； (2)用作图象的方法解方程组：． 重难点三、求直线围成的图形面积 直线围成图形大多为三角形。先求出各直线交点、坐标轴交点坐标，确定图形顶点。以坐标轴上线段为底，找到对应高；没有边在坐标轴时，采用割补法转化图形。面积计算认准底和高，坐标计算长度注意绝对值，避免出现面积为负数的错误。 1．（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，直线与直线交于点A，两条直线分别交x轴于点B，点C，则 的面积为（     ） A． B．5 C． D．7 2．（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）直线与坐标轴围成的三角形面积是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（25-26八年级下·上海普陀·期末）已知一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B． (1)求点A、B的坐标； (2)求的面积． 4．（25-26八年级下·广东珠海·期中）已知，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． (1)在直角坐标系中画出函数图象（不用列表，直接描点、连线）； (2)请写出A，B两点坐标：A： ；B： ； (3)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ． 5．（25-26八年级下·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知一次函数，其图象记为l．如图是绘图软件的视窗，可视范围为． (1)在第二、四象限内分别写出一个整点的坐标，要求这两个点在图象l上，且在视窗的可视范围内； (2)利用（1）中的整点画出一次函数的图象l； (3)求图象l与两坐标轴围成的三角形的面积． 6．（21-22七年级上·山东济南·期末）如图，直线与轴、轴分别相交于点A、B，点的坐标是，是直线在x轴上方这部分上的一点，连接． (1)试求出的值； (2)求的面积． 7．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，直线分别交轴，轴于两点，直线分别交轴，轴于，两点，直线，交于点． (1)观察图象，写出方程组的解：_____； (2)求直线与轴围成的的面积． 8．（25-26八年级下·河北承德·期末）已知一次函数的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出这个一次函数的图象； (3)求一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标； (4)该直线与两坐标轴所围成的三角形的面积． 9．（21-22八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)在直线上，的面积为2，求点的坐标． 10．（21-22八年级下·河南漯河·阶段检测）如图，直线的解析式为，且直线分别与轴，轴交于，两点，直线经过原点，并与直线相交于点，平分交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)求的值； (3)一次函数的图象为直线，且，，不能围成三角形，请直接写出的值． 11．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，直线：分别与轴，轴交于，两点，直线：分别与轴，轴交于，两点，直线与交于点． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)在直线上确定一点，使，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题04 二元一次方程与一次函数 模块一、求一次函数解析式 重难点一、待定系数法求解析式 待定系数法是求解析式核心方法。先设通用形式y=kx+b(k≠0)，将函数图像上两个点坐标代入式子，得到关于k、b的二元一次方程组。解方程组求出系数，再代回写出完整解析式。计算仔细留意符号，最后把点代入解析式验算，确保结果准确。 1．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）已知一次函数的图象经过点和，则 k、b 的值分别为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求一次函数解析式 【分析】将点和代入求解即可． 【详解】解：将点和代入，得： ， 解得：． 2．（25-26八年级下·湖南常德·期末）已知一次函数的图象经过点、，则此函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求一次函数解析式 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为， ∵函数图象经过点和， ∴，解得， ∴此函数的解析式为． 3．（2022九年级·广西防城港·竞赛）直线与轴交于点，与轴交于点，则直线的函数解析式为___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一次函数解析式 【分析】将已知两点坐标代入所设解析式，求解方程组得到系数的值，即可得到直线的函数解析式． 【详解】解：设直线的函数解析式为， 将，代入解析式得：， 解得， 因此直线的函数解析式为． 4．（22-23八年级上·安徽合肥·开学考试）函数的图像经过和点，求这个函数的解析式． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一次函数解析式 【详解】解：把和代入，得： ， 解得， ∴这个函数的解析式为. 5．（25-26八年级下·吉林松原·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数（、为常数）的图象与轴交于点，点为两函数图象的交点，且点的横坐标为2．求点坐标及一次函数的函数解析式． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】求一次函数解析式 【分析】将代入求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：将代入得， ∴ 将，代入得， 解得 ∴． 6．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知是的一次函数，当时，；当时，． (1)求这个一次函数的表达式． (2)当时，求函数的值． (3)当函数的值为时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)6 【难度】0.85 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式求解即可； （3）将代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为， ∵当时，；当时，， ∴， 解得， ∴这个一次函数的表达式为． （2）解：将代入函数得：． （3）解：将代入函数得：， 解得． 7．（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求，两点的坐标； (2)过点作直线，与轴相交于点，求直线的函数表达式． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.7 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）令算出值得到轴交点坐标，令列方程求解值得到轴交点坐标． （2）先设一次函数一般式，把已知两点、坐标代入解析式得到二元一次方程组，解方程组求出、的值，代回式子得到直线函数表达式． 【详解】（1）解：在中，令得， ， 在中，令得： ， 解得， ． （2）设直线的函数表达式为， 将，代入得： ， 解得， 直线的函数表达式为． 8．（25-26八年级下·贵州安顺·期末）秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是的一次函数．下表为若干次称重时所记录的一些数据． /厘米 1 2 4 7 11 12 /斤 0.75 1.00 2.00 2.25 3.25 3.50 (1)在上表，的数据中，发现有一对数据记录错误．请在图2中通过描点的方法，并用坐标的形式写出这组错误的数据． (2)求与之间的函数关系式． (3)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重有多少斤？ 【答案】(1)；错误的数据坐标为 (2) (3)水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重为4.5斤 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、坐标系中描点、其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）利用描点法画出图形即可判断； （2）设函数关系式为，利用待定系数法解决问题即可； （3）根据（2）中求得的函数解析式，求出当时的函数值即可； 【详解】（1）略 （2）解：设与之间的函数关系式为（）， 将代入，可得， 解得， 与之间的函数关系式为． （3）解：将代入函数关系式，得． 答：水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重为4.5斤． 9．（25-26八年级下·甘肃嘉峪关·期末）我市医药研究所研发了一种新药，在实验药效时发现，如果按指定剂量服用，每毫升血液中含药量（微克）随时间（时）的变化情况如图所示． (1)求与之间的函数表达式（）； (2)若每毫升血液中含药量为4微克及以上时治疗疾病才有效，求这个有效时长． 【答案】(1) (2)有效时长为5小时 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息、求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）根据待定系数法求一次函数即可； （2）根据分段函数解析式以及点的纵坐标求出横坐标，进而求出有效时间即可． 【详解】（1）解：当时，设一次函数表达式， 将，分别代入（）， 可得， 解得， ； （2）解：当时，设一次函数， 将代入，可得，解得：， ， 当时，； 当时，， ， 有效时长为5小时． 10．（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点C、E，与直线交于点，点D的坐标为，点B在x轴上． (1)求m的值； (2)求直线的函数解析式； (3)若点P是直线上一动点（不与点C重合），连接，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.45 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）把点代入直线即可求出答案； （2）利用待定系数法求出直线的函数解析式即可； （3）先求出点B的坐标为，根据得到，即轴，则点P的横坐标为3，将代入，得，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， 将代入，得． （2）解：由（1）得点A的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将、代入得，           解得， 直线的函数解析式为． （3）解：令，解得， 点B的坐标为．           ，即轴， 点P的横坐标为3，           将代入，得， 点P的坐标为 重难点二、通过图形变换求解析式 直线平移规律：k 值保持不变，遵循上加下减、左加右减。对称变换斜率会发生改变，先确定变换后的斜率，再找到直线上定点，结合待定系数法求解。分清平移针对 x 还是整体常数项，切勿混淆变换规则，做完可以选取特殊点验证变换结果。 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一次函数的图象向上平移2个单位长度，所得新函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题 【分析】根据一次函数图象的平移规律，上下平移遵循“上加下减”的规则，仅改变常数项，不改变一次项系数，按规律计算即可得到结果． 【详解】解：将向上平移2个单位长度，可得新解析式． 2．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，将正比例函数（为常数，且）的图象先向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的函数图象经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题 【分析】先求出平移后的函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：将正比例函数（为常数，且）的图象先向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的函数解析式为， ∵函数图象经过点， ∴， 解得：． 3．（25-26八年级下·山东滨州·期末）已知正比例函数的图象平移之后过点，则平移之后的图象的解析式为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题 【分析】设平移后函数解析式，代入点的坐标即可得到平移后的解析式． 【详解】解： 设平移后图象的解析式为， 把代入得： ，解得， 则平移之后的图象的解析式为． 4．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，将直线（为常数）向上平移个单位长度后得到的直线经过坐标原点，则的值为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数图象的平移变换，掌握平移规律“上加下减”是解题的关键，先求出平移后直线的解析式，再将原点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：将直线向上平移个单位长度， 平移后的直线的解析式为， 把代入得， 解得． 模块二、二元一次方程与一次函数应用 重难点一、两直线的交点与二元一次方程组的解 数形结合核心知识点：两条直线交点坐标，就是对应二元一次方程组的解。想求交点，联立两条直线解析式组成方程组求解；已知方程组的解，可直接得到交点坐标。做题灵活互转代数与几何条件，这是函数和方程综合题型最常考的转化思路。 1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）一般地，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形，叫做该二元一次方程的图象，且任意二元一次方程的图象都是一条直线．如图所示是关于，的方程组中两个二元一次方程的图象直线和直线，两直线交于点，则该方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】根据两个一次函数的交点和二元一次方程组的解的关系解题． 【详解】解：由题意知，直线和直线的交点坐标为， 即关于，的方程组的解为． 2．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）若一次函数（、为常数，且）与一次函数的图象交点的横坐标为2，则关于、的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.64 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【详解】解：当时，， ∵一次函数（、为常数，且）与一次函数的图象交点的横坐标为2， ∴一次函数（、为常数，且）与一次函数的图象交点坐标为， ∴关于、的方程组的解是． 3．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一次函数与的图象如图所示， 则下列结论： ①；②；③x的值每增加1，的值增加；④．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、两直线的交点与二元一次方程组的解、判断一次函数的增减性 【分析】①根据函数图象直接得到，进一步即可得到；②根据当时，，即可求得；③求得，即可判断③；④当时，代入两个函数解析式，借助图象即可判断． 【详解】解：①由图象可得：， ∴， ∴，故①正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， ．∴， ．∴，即，故②正确； ∵， ∴ 当的值每增加，，故③错误， 当时，， 由图象可得：当时，，即，故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 4．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，直线与交点的横坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】先将横坐标为1代入解得两直线交点坐标，再结合图像得出关于，的方程组的解为． 【详解】解：直线与交点的横坐标为1， 纵坐标为， 两直线交点坐标， 关于，的方程组的解为． 故答案为：． 5．（25-26八年级下·陕西安康·期末）已知一次函数与（k、b为常数，且）的图象交点的纵坐标为，则关于、的二元一次方程组的解是____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一次函数自变量或函数值、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】求出这两个一次函数的交点的坐标即可． 【详解】解：由题意得：将代入一次函数得：， 解得， ∴这两个一次函数的交点的坐标为， ∵方程组可变形为， ∴关于、的二元一次方程组的解是这两个一次函数的交点的坐标，即． 6．（24-25八年级下·新疆塔城·期末）已知一次函数与的图象的交点坐标为．则关于的方程组的解是_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【详解】解：将一次函数移项整理得， 将一次函数移项整理得， 因此题目给出的方程组就是由已知两个一次函数组成的方程组， ∵一次函数与的图象交点坐标为， ∴方程组的解是． 7．（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期末）如图所示，已知函数与函数的图像交于点P，则方程组的解为_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】根据两个一次函数图象的交点，就是这两个函数的解析式组成的方程组的解即可得． 【详解】解：∵函数与函数的图像交于点， ∴方程组的解为． 8．（21-22八年级下·山东德州·阶段检测）已知：一次函数 (1)若函数图象过，求此函数的解析式． (2)若函数图象与直线平行，求该函数的解析式． (3)求满足（2）条件的直线与的交点． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，把代入求出m的值即可得到一次函数解析式； （2）根据两直线平行的条件得到，解出m=1，从而可确定一次函数解析式． （3）两直线的解析式联立方程组，解方程组即可求得． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得， 所以一次函数解析式为； （2）解：因为函数的图象与直线平行， 所以， 解得， 所以一次函数解析式为． （3）解：联立方程组得， 解得， ∴两直线的交点为． 9．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求，，的值． (2)如图2，是轴负半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别交直线，于点，，连接．设点的坐标为． ①求点和点的坐标（用含的代数式表示）； ②当时，求点的坐标． 【答案】(1)，，。 (2)①，； 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式、绝对值方程、两直线的交点与二元一次方程组的解、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】（1）把代入可求得b，得直线的解析式为，把代入可求得m，即点，将其代入，即可求得k的值； （2）①将代入，分别求出x即可求解；②由两点坐标可得，当时，即，再解绝对值发出即可解答； 【详解】（1）解：把代入，得， 解得：， 即直线的解析式为：， 把代入，得， 解得：， 即， 把代入，得， 解得：. （2）解：①∵点的坐标为，过点P作y轴的垂线，分别交直线，于点，， ∴对于，当时，， 可得，即：； 对于，当时，， ∴，即：； ②由①知，，则， ∵， ∴， 当时，即：， 解得：或， 此时，点P的坐标为或. 10．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）把一个几何图形按照某种法则或规律变换成另外一种几何图形的过程叫作几何变换，因为几何图形是点的集合，所以几何变换都是通过点的变换实现的． 在平面直角坐标系中，设直线上一点，变换可以把点对应到点，记为，所有点组成一条直线，称是直线的变换线． 定义如下：点在直线上，， 即点坐标为 例如：点在直线：上，，即 如图，直线：与直线：相交于点， (1)分别求出，所对应的点，的坐标； (2)点在轴上，过点作轴的垂线，与相交于点，与相交于点，， ①当时，求的面积； ②当时，直线与轴的交点的坐标________； ③当线段与直线，组成的图形只有两个交点时．直接写出的取值范围________． 【答案】(1) (2)①；②；③或 【难度】0.25 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】（1）求出点A的坐标，再根据定义求解即可； （2）①求出点M和点N的坐标，再根据定义求出点和点的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可，；②求出点M和点N的坐标，再根据定义求出点和点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可得到答案；③可求出点在直线上，点在直线上；可证明不管a取何值，线段与直线一定交于点；求出点恰好与点重合和点恰好与点重合时a的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：联立两直线解析式得，解得， ∴点A的坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为，点的坐标为； （2）解：①在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵点B的坐标为， ∴， ∴； ②在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴直线与y轴的交点的坐标为； ③由（2）②得点的坐标为，点的坐标为， ∴点在直线上，点在直线上； 在中，当时，， 在中，当时，， ∴直线与y轴的交点的坐标为，直线与y轴的交点的坐标为； 当时，点的坐标为，点的坐标为， 此时线段与直线交于点，与直线交于点，符合题意； 当时，则点在y轴右侧，点在y轴左侧， ∴此时线段与直线交于点； 当时，则点在y轴左侧，点在y轴右侧， ∴此时线段与直线交于点； ∴不管a取何值，线段与直线一定交于点； 联立，解得，联立，解得， 如图所示，当点恰好与点重合时， ∴， 解得， 在中，当时，， 当时，， ∴此时线段与直线必有一个交点， ∴当时，线段与直线，组成的图形只有两个交点； 如图所示，当点恰好与点重合时， ∴， 解得， 此时点的坐标为， 在中，当时，， ∴此时点在直线上； 在中，当时，， 当时，， ∴此时线段与直线必有一个交点； ∴当时，线段与直线，组成的图形只有两个交点； 当时，， ∴此时线段与直线没有交点，不符合题意； 综上所述，当或时，线段与直线，组成的图形只有两个交点． 重难点二、图象法解二元一次方程组 图像法解方程重在数形转化。先把方程组里两个方程整理成一次函数形式，在平面直角坐标系画出两条直线，读出两条直线交点横、纵坐标，该坐标就是方程组的解。注意图像作图存在误差，适合直观分析，精确计算依旧优先使用消元法。 1．（22-23八年级下·四川眉山·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）利用一次函数的图象解二元一次方程组 【答案】 【难度】0.85 【知识点】图象法解二元一次方程组 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程组的联系，在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点．先把两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解． 【详解】解：画出函数与的图象， 列表： 0 2 2 0 2 描点，连线，如图所示， 两个一次函数与与的交点坐标为； 因此方程组的解． 3．（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线的图象，如图所示． (1)在同一坐标系中，作出一次函数的图象； (2)用作图象的方法解方程组：． 【答案】(1)画出函数图形如下： (2) 【难度】0.85 【知识点】画一次函数图象、图象法解二元一次方程组 【分析】本题考查了画一次函数图象，用图像法求解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握画一次函数的图象的方法，以及用图象法求解二元一次方程组的方法和步骤． （1）按照列表、描点、连点的步骤即可画出该一次函数图象； （2）根据图象，找出两个一次函数图象的交点坐标，即可解答． 【详解】（1）解：列出表格如下： x …… 0 1 2 3 …… y …… 1 …… （2）解：∵可整理为，可整理为， ∴由图可知，的解为． 重难点三、求直线围成的图形面积 直线围成图形大多为三角形。先求出各直线交点、坐标轴交点坐标，确定图形顶点。以坐标轴上线段为底，找到对应高；没有边在坐标轴时，采用割补法转化图形。面积计算认准底和高，坐标计算长度注意绝对值，避免出现面积为负数的错误。 1．（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，直线与直线交于点A，两条直线分别交x轴于点B，点C，则 的面积为（     ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积 【分析】联立两个函数求出交点，然后分别求出，，结合图形求面积即可． 【详解】解：联立， 解得：， ∴交点； ， 当时，， ∴与x轴交于点， ，当时，， ∴与x轴交于点， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）直线与坐标轴围成的三角形面积是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】先求出直线与轴、轴的交点坐标，利用交点坐标得到直角三角形两条直角边的长度，再代入三角形面积公式计算即可． 【详解】解：令，则， ∴直线与轴的交点坐标为， 令，则， 解得：， ∴直线与轴的交点坐标为， ∵坐标轴互相垂直， ∴围成的三角形是直角三角形， ∴直线与坐标轴围成的三角形面积为：． 3．（25-26八年级下·上海普陀·期末）已知一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B． (1)求点A、B的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) ， (2) 【难度】0.85 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入一次函数解析式，即可求出A、B两点的坐标； （2）由A、B坐标得到的两条直角边的长度，代入直角三角形面积公式即可求出面积． 【详解】（1）解：已知一次函数解析式为， 当时，代入得 解得 当时，代入得 （2）解：由（1）得，， ． 4．（25-26八年级下·广东珠海·期中）已知，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． (1)在直角坐标系中画出函数图象（不用列表，直接描点、连线）； (2)请写出A，B两点坐标：A： ；B： ； (3)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)4 【难度】0.85 【知识点】画一次函数图象、写出直角坐标系中点的坐标、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】（1）根据函数解析式求出与坐标轴的交点坐标，然后画出函数图象即可； （2）通过函数图象得出交点坐标； （3）根据交点坐标求出线段长度，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，，解得； ∴直线经过两点，画图如下： （2）解：由（1）得； （3）解：∵， ∴， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是． 5．（25-26八年级下·河北沧州·期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知一次函数，其图象记为l．如图是绘图软件的视窗，可视范围为． (1)在第二、四象限内分别写出一个整点的坐标，要求这两个点在图象l上，且在视窗的可视范围内； (2)利用（1）中的整点画出一次函数的图象l； (3)求图象l与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)1 【难度】0.85 【知识点】画一次函数图象、求一次函数自变量或函数值、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】（1）根据一次函数解析式分别求出整点值即可． （2）根据（1）中整点值画出一次函数图象l即可． （3）分别求出一次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后求图象l与两坐标轴围成的三角形的面积即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 则在第二、四象限内整点的坐标为或． （2）解：图象l如图所示： （3）解：当时，，可知图象l与y轴交于点， 当时，解得，可知图象l与x轴交于点， ∴图象l与两坐标轴围成的三角形的面积等于． 6．（21-22七年级上·山东济南·期末）如图，直线与轴、轴分别相交于点A、B，点的坐标是，是直线在x轴上方这部分上的一点，连接． (1)试求出的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积 【分析】（1）待定系数法即可求解； （2）代入可得的坐标即可求出三角形的面积． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得：， （2）解：由（1）可知，， 则直线， 将代入， 得， 解得：， 则， ∵点， ∴， 则． 7．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，直线分别交轴，轴于两点，直线分别交轴，轴于，两点，直线，交于点． (1)观察图象，写出方程组的解：_____； (2)求直线与轴围成的的面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积 【分析】（1）根据两直线的交点求方程组的解即可； （2）根据直线与坐标轴的交点的计算得到，，则，由代入计算即可． 【详解】（1）解：∵直线，和变于点， ∴方程组的解为； （2）解：直线分别交轴，轴于两点， 当时，，则， 直线分别交轴，轴于，两点， 当时，，则， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·河北承德·期末）已知一次函数的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出这个一次函数的图象； (3)求一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标； (4)该直线与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)一次函数的图象如下： (3)图象与轴交于点，与y轴交于点 (4) 【难度】0.7 【知识点】画一次函数图象、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用“两点法”画出函数图象即可； （3）分别令，，即可求解； （4）利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为：， 将点，代入上式得∶ ， 解得 ， ∴这个一次函数的解析式为：； （2）略 （3）解：对于，当时， ， ∴图象与y轴交点坐标， 当时， ，则 ∴图象与轴交于点； （4）解：∵图象与轴交于点，与y轴交点坐标， 该直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为． 9．（21-22八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)在直线上，的面积为2，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.52 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积 【分析】（1）联立，即可求解； （2）求出点A，C的坐标，可得，从而得到，然后分两种情况：当点P在点D的右侧时，当点P在点D的左侧时．即可求解． 【详解】（1）解：联立得：， 解得：， ∴点； （2）解：对于，当时，， ∴点， 对于，当时，， ∴点， ∴， ∵点， ∴， 如图，当点P在点D的右侧时， ∵的面积为2， ∴， ∴， ∴， ∴，解得，， ∴点P的坐标为； 如图，当点P在点D的左侧时， ∵的面积为2， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 10．（21-22八年级下·河南漯河·阶段检测）如图，直线的解析式为，且直线分别与轴，轴交于，两点，直线经过原点，并与直线相交于点，平分交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)求的值； (3)一次函数的图象为直线，且，，不能围成三角形，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为：或或 【难度】0.5 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、角平分线的性质定理 【分析】（1）根据在直线上求出，根据直线经过原点，可得是正比例函数，设的解析式为，把代入解出即可得直线的解析式． （2）过点作，根据角平分线性质得，根据直线分别与轴，轴交于，两点，求出，，进一步求出，，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，，代入，计算即可得答案． （3）根据直线与 ，不能围成三角形，必须满足经过点或或，把代入解析式可解出，再根据两平行线的解析式比例系数相等，即可求出其它两种情况，综上所述即可得直线与 ，不能围成三角形时的值． 【详解】（1）解：∵点在直线：上， ∴，解得：， ∴， ∵直线经过原点， ∴可设直线的解析式为：， ∵直线与直线相交于点， ∴，解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：如图， 过点作， ∵平分交轴于点，， ∴， ∵直线：分别与轴，轴交于，两点， ∴当时，；当时，，解得：， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴． （3）解：∵直线：与 ，不能围成三角形， ∴：经过点或或， 当：经过点时，，解得：， ∴时，直线与 ，不能围成三角形． 当时， ∵直线：的比例系数， ∴的比例系数， ∴时，直线与 ，不能围成三角形． 当时， 由（1）得：直线的解析式为， ∴直线的比例系数， ∴的比例系数， ∴时，直线与 ，不能围成三角形． 综上所述，的值为或或时，直线与 ，不能围成三角形． 11．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，直线：分别与轴，轴交于，两点，直线：分别与轴，轴交于，两点，直线与交于点． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)在直线上确定一点，使，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点M的坐标为或 (3)存在，点的坐标为和 【难度】0.4 【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求直线围成的图形面积 【分析】（1）先求出点E的纵坐标，再把点E的坐标代入解析式即可求出．即可得到一次函数解析式； （2）分点在线段上和点位于线段的延长线上两种情况进行解答即可； （3）设的坐标为，分点位于直线右侧和点位于直线左侧两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：将点代入，得． 将点代入，得， 解得． ∴直线的解析式为：． （2）解：对于，当时，，解得． 对于，当时，；当时，，解得． ，，． ， ． ． 分情况讨论如下： ①如图，当点在线段上时， ， 即，解得． 将代入，得，解得． 的坐标为． ②如图，当点位于线段的延长线上时， ， 即，解得． 将代入，得，解得． 的坐标为． 综上，点M的坐标为或． （3）设的坐标为，分情况讨论如下： ①如图，当点位于直线右侧时， 过点作轴交于点，过点作于点． ，， ， 又，， ． ，， ，解得． 的坐标为． ②如图，当点位于直线左侧时， 过点作轴交于点，过点作于点． ，， ， 又，， ． ，， ，解得． 的坐标为． 综上，点的坐标为和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $