2025-2026学年山东省青岛市西海岸新区自主招生考试数学-专题十三、与三角形有关的线段与角的关系（适中版）

2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题十三、与三角形有关的线段与角的关系（适中版） 一、单选题 1．是高为的等边三角形内部一点，设到各边的距离分别为，，，若以，，为长度的三条线段可以构成一个三角形，则，，各自满足的条件是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， E．，， 2．在梯形中，，点P为对角线的中点，记，则有（　　） A． B． C． D． 3．如图，中，，点为中点，延长交于点，为上一点，且于点，下列判断中，①线段是边上的中线；②线段是中边上的高；③与面积相等；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．为的外接圆，则必在上的是的（   ） A．外心关于的对称点 B．垂心关于的对称点 C．内心关于的对称点 D．重心关于的对称点 5．点位于所在的平面内，使得，，的面积相等，满足题意的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，的两个外角的平分线与相交于点P，于点N，于点M，且，下列结论：①；②点P在的平分线上；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 7．如图，，，点E是边上一点，连接交的延长线于点H．点F是边上一点．使得，作的角平分线交于点G，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，点A、B、C在同一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交，于点，，交于点Q，连接，，下列结论： ①； ②； ③为等边三角形； ④． 其中结论不一定成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．在中，边上的高为，如果，那么的度数为（    ）． A． B． C．或 D．或 10．如图，在等边内有一点，使得，那么以、的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，正方形，E、F分别为、上的点，连接、相交于一点G，若，，的面积等于5，的面积等于14，求四边形的面积 12．在平面直角坐标系中，点，动点在轴上运动，则的最大值为 ． 13．在等腰中，一条腰上的中线将的周长分成了和两部分，这个等腰三角形的底边长为 ． 14．如图，从点发出的光线经平面镜反射后得到反射光线，直线为法线，设，那么之间的数量关系式是 ． 15．如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点， 连接．有如下结论：；；平分；；；四点共圆．其中正确的结论有： ．（填写序号） 16．如图，已知，，，若，，则的度数可表示为 ．    三、解答题 17．如图，凸五边形的对角线分别与对角线和交于点F和G，已知，，，和分别为和的面积，求的值． 18．（1）已知在中，三边分别为a、b、c，化简 ． （2）已知，求的值． 19．已知的三边长分别为a，b，c，且满足． (1)求第三边c的取值范围； (2)求的周长l的取值范围； (3)若为等腰三角形，你能求出的周长吗？ 20．在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接． (1)如图1，求的大小； (2)如图2，已知点和边上的点满足．求证：； 21．如图1，已知四边形和都为正方形，且边在边上，连接，． (1)猜想与有怎样的数量关系和位置关系，并证明你的结论； (2)将正方形绕点按逆时针方向旋转，使得顶点落在边的延长线上，如图2，连接，，那么（1）中的结论是否仍然成立？说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中有一个任意锐角，其中在轴上，在第一象限，且与函数的图象相交于点，以点为圆心、以的长度为半径的圆与点右方的函数图象相交于点，过点分别平行轴、轴的直线相交于点，、相交于点，过点、分别平行轴、轴的直线相交于点．求证：． 试卷第4页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题十三、与三角形有关的线段与角的关系（适中版） 一、单选题 1．是高为的等边三角形内部一点，设到各边的距离分别为，，，若以，，为长度的三条线段可以构成一个三角形，则，，各自满足的条件是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， E．，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形边角关系，等边三角形的性质．如图，连接，先利用，找出x，y，z与h的关系，再运用三角形三边关系可得，同理可得结论并作出判断． 【详解】解：如图，，连接， ∵， ∴ ∵为等边三角形， ∴， ∴ 即， ∵以x，y，z为边可以组成三角形， ∴， ∴，即 同理可得：，， 故选：B． 2．在梯形中，，点P为对角线的中点，记，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积，得到，，再根据，即可得出结果． 【详解】解：∵点P为对角线的中点， ∴，， ∵， ∴； 故选C． 3．如图，中，，点为中点，延长交于点，为上一点，且于点，下列判断中，①线段是边上的中线；②线段是中边上的高；③与面积相等；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线、高的定义，三角形面积公式以及三角形外角性质和内角和定理，解题的关键是熟练运用这些几何概念和性质，逐一分析每个结论的正确性． 根据三角形中线、高的定义，三角形面积公式，以及三角形角度关系，逐一分析五个结论的正确性． 【详解】解：①因为为中点，所以是边上的中线，故正确； ②因为于，所以是中边上的高，故正确； ③因为为中点，根据等底等高的三角形面积相等，故正确； ④因为，可知，根据等角对等边得，故正确， ⑤因为于，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质得到，，所以，故正确． 所以正确的个数是5个． 故选：A． 4．为的外接圆，则必在上的是的（   ） A．外心关于的对称点 B．垂心关于的对称点 C．内心关于的对称点 D．重心关于的对称点 【答案】B 【分析】根据三角形垂心的反射性质，垂心关于某边的对称点必在外接圆上，即可解决． 【详解】A、外心O是外接圆的圆心，关于的对称点到的距离等于O到的距离，但到顶点的距离不一定等于半径，故不一定在上，故此选项不正确； B、根据几何定理，垂心关于某边的对称点必在外接圆上，故此选项正确； C、内心是角平分线交点，其位置由内角决定，对称点不一定满足外接圆上点到顶点的距离相等，故不在上，故此选项不正确； D、重心是中线的交点，与顶点的距离关系不满足外接圆半径，对称点也不在上，故此选项不正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形的外心、垂心、内心、重心与其外接圆的关系，熟练掌握它们之间的区别和联系是解题的关键． 5．点位于所在的平面内，使得，，的面积相等，满足题意的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线性质，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．当点在外部时，过点作的平行线，点作的平行线，过点作的平行线，三线相交于，，，可证，这样的点有3个；当点在内部时，当点在三角形重心位置时，也符合题意，从而得出答案． 【详解】解：当点在外部时，过点作的平行线，点作的平行线，过点作的平行线，三线相交于，，，如图所示： ，， 四边形是平行四边形， 同理可知，，，也符合题意； 那么当点在外部时，点有三个； 当点在内部时，作三角形的中线，三条中线相交于点，如图所示： 是的中线， ， 是的中线， ， ， ， 同理可证，， 当点位于点所在位置，符合题意； 那么当点在内部时，符合题意的有一个； 综上，点位于所在的平面内，使得，，的面积相等，满足题意的点有4个； 故选：D． 6．如图，的两个外角的平分线与相交于点P，于点N，于点M，且，下列结论：①；②点P在的平分线上；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，三角形内角和定理，过P作作于H，由角平分线的性质推出，由角平分线性质定理的逆定理推出点P在的平分线上，由角平分线定义和三角形外角的性质得到，由三角形内角和定理求出，由角平分线定义和平行线的性质推出，判定． 【详解】解：过P作于H， ∵两个外角的平分线与相交于点P，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴点P在的平分线上，故②正确； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的有①②④． 故选：B． 7．如图，，，点E是边上一点，连接交的延长线于点H．点F是边上一点．使得，作的角平分线交于点G，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的判定和性质求出，并表示出，再由三角形外角的性质求出，然后在中，根据三角形内角和定理列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴，即， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质和判定，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，本题的关键是根据三角形内角和为列式计算． 8．如图，点A、B、C在同一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交，于点，，交于点Q，连接，，下列结论： ①； ②； ③为等边三角形； ④． 其中结论不一定成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．首先由等边三角形的性质得到，，然后证明出，得到，然后证明出，得到，进而证明即可． 【详解】解：、为等边三角形， ，，， ，， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ，故②正确； 在和中， ， ， ， ∵， 为等边三角形，故③正确； 根据题意无法证明，故④错误． 综上所述，结论不一定成立的有1个． 故选：B． 9．在中，边上的高为，如果，那么的度数为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，分根据以及两种情况，结合可证，根据相似三角形对应角相等即可求解，注意分情况讨论是解题的关键． 【详解】解：， ． 分两种情况，当时，如下图所示：    ，， ， ， ； 当时，如下图所示：    同理可证， ， ； 综上可知，的度数为或． 故选D． 10．如图，在等边内有一点，使得，那么以、的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定与性质，利用图形的旋转添加辅助线是解答本题的关键．将绕点B顺时针旋转得到，连结，可证得是等边三角形，从而得到，，所以就是以，，的长度为边长的三角形，进一步求出的内角度数，即得答案． 【详解】将绕点B顺时针旋转得到，连结， 则，，，， 是等边三角形， ∴，， 就是以，，的长度为边长的三角形， ∵， ， ， ， ， ， ， 以，，的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为． 故选：A 二、填空题 11．如图，正方形，E、F分别为、上的点，连接、相交于一点G，若，，的面积等于5，的面积等于14，求四边形的面积 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，三角形高的计算，连接、，设，，则，，根据的面积等于5，的面积等于14，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则，， ∵的面积等于5，的面积等于14， ， 解得：， ∴，， ∴． 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，点，动点在轴上运动，则的最大值为 ． 【答案】1.5 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，三角形三边关系，勾股定理， 作，过点作交轴于点，连接，则，可得，作点C关于y轴的对称点，连接，可知，可知当点P，D，三点共线时取最大值，设点，则，根据勾股定理求出a，进而得出答案. 【详解】解：如图，作，过点作交轴于点，连接，则， ∴. 作点C关于y轴的对称点，连接，可知， ∴， 当点P，D，三点共线时取最大值，如图所示， 设点，则， ∵点， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴， 则， ∴， ∴. 所以的最大值为1.5. 故答案为：1.5. 13．在等腰中，一条腰上的中线将的周长分成了和两部分，这个等腰三角形的底边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形中线性质，三角形三边的关系，根据中线的性质结合题意，可设，则，分两种情况讨论，当时，当时，解出的值即可求解，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵腰上的中线，可设，则， 由题意得：当时，即， 解得， ∴， ∴，， ∵， ∴能构成三角形， 当时，即， 解得， ∴， ∴，， ∵， ∴能构成三角形， ∴这个三角形的底边长为或， 故答案为：或． 14．如图，从点发出的光线经平面镜反射后得到反射光线，直线为法线，设，那么之间的数量关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，光的反射定律（入射角等于反射角），熟练掌握查三角形内角和定理和光的反射定律是解题的关键，注意跨学科之间的联系． 根据光的反射定律，求出，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵， 即 ∴ ∴ 故答案为：． 15．如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点， 连接．有如下结论：；；平分；；；四点共圆．其中正确的结论有： ．（填写序号） 【答案】 【分析】本题考查了四点共圆，全等三角形的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理，根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出正确；再求出，根据翻折可得利用三角形的内角和定理可得，判断出正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出不正确；根据含度角的直角三角形的性质可以判断正确；判断出和不全等，从而得到，判断出正确，根据全等三角形的性质得到，得到四点共圆，判断出正确，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴，，， ∴ ，故正确； ∴， 由翻折的性质得， 又∵， ∴，故正确； 过作于点，作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴不能证明平分，故错误； 假设正确，而是直角三角形，若，则， 又，， ∴， 而题干中没有说和的数量关系， ∴也不能被证明，故不正确； 在和 中， ， ，， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴四点共圆，故正确； 综上所述，结论正确的是； 故答案为：． 16．如图，已知，，，若，，则的度数可表示为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边的性质和全等三角形的性质是解题的关键，根据题意易得四边形为平行四边形，进而易得，利用等量代换即可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 三、解答题 17．如图，凸五边形的对角线分别与对角线和交于点F和G，已知，，，和分别为和的面积，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，根据等高三角形的面积和底边的关系来求面积是本题解题的关键． 如图：连接，设的面积为4，根据等高三角形可得，同理可得，则，又易得，再求得，最后代入计算即可。 【详解】解：如图：连接，设的面积为4， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（1）已知在中，三边分别为a、b、c，化简 ． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）2 【分析】本题考查了三角形三边关系、绝对值的化简、完全平方公式分解因式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据三角形三边关系得到，，则，，再利用绝对值的性质化简，再利用整式的加减运算法则计算即可； （2）利用完全平方公式将式子变形得，利用非负数的性质求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：（1）∵在中，三边分别为a、b、c， ∴，，， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 19．已知的三边长分别为a，b，c，且满足． (1)求第三边c的取值范围； (2)求的周长l的取值范围； (3)若为等腰三角形，你能求出的周长吗？ 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】本题考查二次根式的非负性，等腰三角形的定义，三角形的三边关系： （1）先根据非负性得出，再根据三角形第三边的取值范围即可得出答案； （2）根据周长三边之和，即可得出答案； （3）当时，可知不能构成三角形，当时，求出三边之和即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）， ． （3）时，三边长不能构成三角形，舍去． ． 20．在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接． (1)如图1，求的大小； (2)如图2，已知点和边上的点满足．求证：； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查邻补角，等腰三角形的性质，三角形的内角和，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线间的线段成比例，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，得到，继而推导出 ，则，即可解答． （2）延长、，交于点， ，证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，继而推导出是菱形，得到，再推导出，则，可推导出 ，即点是斜边的中点，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置， ∴， ， 在中，， ∴ ． （2）证明：如图，延长、，交于点，则 ， ， ． 又， 四边形是平行四边形． ∴． 是的中点，， ． ． 四边形是平行四边形． ， 是菱形． ． ， ． ． ，即， ，即点是斜边的中点． ． 21．如图1，已知四边形和都为正方形，且边在边上，连接，． (1)猜想与有怎样的数量关系和位置关系，并证明你的结论； (2)将正方形绕点按逆时针方向旋转，使得顶点落在边的延长线上，如图2，连接，，那么（1）中的结论是否仍然成立？说明理由． 【答案】(1)，且，证明见解析 (2)仍然成立．证明见解析 【分析】（1）延长交于点，证明，即可解决问题； （2）延长交于点，证明，即可解决问题． 【详解】（1）解： ，且．证明如下： 延长交于点， ， ， 而， ， ∴ ，即． 综上得，且． （2）解∶ 仍然成立．证明如下： 如图，延长交于点， ，， ， ， 而， ， ∴， ，即． 综上得，且 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 22．如图，在平面直角坐标系中有一个任意锐角，其中在轴上，在第一象限，且与函数的图象相交于点，以点为圆心、以的长度为半径的圆与点右方的函数图象相交于点，过点分别平行轴、轴的直线相交于点，、相交于点，过点、分别平行轴、轴的直线相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】设点、，先列出直线的解析式，再表示出点坐标，证明点在直线上，四边形为矩形，对角线相等且互相平分，结合，根据等边对等角与三角形内外角定理，即可求解，本题考查了反比例函数、矩形的性质与判定，等边对等角，三角形外角定理，解题的关键是：将已经学会的相关知识相互结合． 【详解】证明：设点、， 则点的坐标为， 直线的解析式为， 而点的坐标为，满足， 点在直线上， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 而，， ， ，即：． 试卷第6页，共24页 试卷第5页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $