第27章 相似三角形 基础过关测试卷 -2025-2026学年九年级数学下册（人教版）

第27章 相似三角形基础过关测试卷 (考试时间:90分钟 试卷满分:100分) 1、 单项选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。) 1.观察下列各组多边形,其中是相似多边形的是( ) A. B. C. D. 2.在下面几组图形中,是相似图形的是( ) A. B. C. D. 3.若线段a,b,c,d是成比例线段,且,,,则( ) A. B. C. D. 4.已知实数,满足,则的值为( ) A.5 B.3 C.2 D.1 5.若两个相似三角形的相似比是,则这两个相似三角形的周长比是( ) A. B. C. D. 6.嘉嘉周末到弘济桥游览,发现青石桥面上有三叶虫化石,她想了解其长度,在化石旁放了一支笔拍下照片(如图).回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和,笔的实际长度为,则该化石的实际长度为( ) A. B. C. D. 7.如图,,若,,则的长为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 8.在中,点,分别是边,的中点.下列结论中,错误的是( ) A. B. C. D. 9.如图,与位似,点是它们的位似中心,且,则下列结论正确的有( ) ①;②;③;④ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.以原点O为位似中心,将 ABC放大为原来的2倍,若点A坐标为,则对应点的坐标为( ) A.或B.或C. D. 2、 填空题(本题共4小题,每小题3分,共12分.) 11.如图,四边形四边形,若,则 . 12.如图,在中,,,如果,则 . 13.大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”.如图,是一片美丽的枫树叶,叶尖到叶柄底端近似为一条线段,叶面与叶柄的交点B为的黄金分割点().如果的长度为,那么的长度为 . 14.如图,四边形是一张矩形纸片,将其按如图所示的方式折叠;使边落在边上,点落在点处,折痕为;使边落在边上,点落在点处,折痕为.若矩形与原矩形相似,其中,,则的长为 . 三、解答题(本题共7小题,共58分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(8分)已知,求下列各式的值. (1); (2). 16.(8分)如图,在每个小正方形的边长为1个单位的网格中,给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段和格点. (1)在所给网格中,以格点为位似中心将线段放大2倍得到线段,画出线段; (2)把线段绕端点顺时针旋转得到线段,画出线段. 17.(8分)如图,在等腰中,,是的角平分线,是腰边上的高,垂足为点.求证:. 18.(8分)如图.,,. (1)请你添加一个条件,使相似于,你添加的条件是_. (2)若,,在(1)的条件下.求的长度. 19.(8分)如图,四边形ABCD中,,,,延长两腰交于点O,,交于E,,求的长. 20.(8分)“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具,一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺(如图1),它的两条边分别是,把“矩”竖立放置可以测量物体的高度、如图2,从“矩”的一端处望向一根木杆(木杆的宽度忽略不计)的顶端处,使视线通过“矩”的另一端处(即在一条直线上),矩的一边的延长线与木杆垂直,垂足为,测得,,已知“矩”的边,,图中所有点均在同一平面内,求木杆的高度. 21.(10分)如图所示,,点P从点B出发,沿向点C以的速度移动,点Q从点C出发沿向点A以的速度移动,如果P、Q分别从B、C同时出发,过多少秒时,以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似? 1 学科网(北京)股份有限公司 $ 第27章 相似三角形基础过关测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．观察下列各组多边形，其中是相似多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似图形识别．根据题意利用相似多边形的定义逐一分析选项即可得到本题答案． 【详解】解：∵形状相同，大小不一定相同的图形为相似图形， ∴B选项符合题意， 故选：B． 2．在下面几组图形中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似图形的定义以及判断，根据定义（相似图形的形状相同，大小可以不同）进行解答． 【详解】解：A.选项：两个图形形状不同，不符合题意； B.选项：两个图形形状不同，不符合题意； C.选项：两个图形形状相同，大小不同，符合题意； D. 选项：两个图形形状不同，不符合题意； 故选C． 3．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了成比例线段的定义，根据成比例线段的定义，线段a、b、c、d满足，代入已知数值直接计算即可． 【详解】解：∵ 线段a， b， c， d是成比例线段， ∴． 又，，， ∴， 即 ， ∴， 故选：D． 4．已知实数，满足，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质．将已知条件代入表达式中，直接化简计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 5．若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的周长比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 根据相似三角形的周长比等于其相似比求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴这两个相似三角形的周长比是． 故选C． 6．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，她想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得：． 故选：D． 7．如图，，若，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和运用平行线分线段成比例定理是解决本题的关键． 根据平行线分线段成比例定理，列式计算即可求解． 【详解】， ， ，， ， 解得． 故选：D． 8．在中，点，分别是边，的中点．下列结论中，错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质；点D、E分别为，的中点，则为的中位线，具有平行于且等于一半的性质，同时推导出相似关系及面积比，即可得解． 【详解】解：∵点，分别是边，的中点，如图， ∴是的中位线， ∴，且，故选项C和D正确； ∵， ∴， ∴，故选项A正确； ∵，且相似比， ∴， ∴，故选项B错误． 故选：B． 9．如图，与位似，点是它们的位似中心，且，则下列结论正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，由题意得：，且，推出，即可判断； 【详解】解：由题意得：，且， ∴相似比为， ∴，故②正确，③错误； ∴，故④错误； ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 故选：B 10．以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，若点A坐标为，则对应点的坐标为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形与坐标的关系，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或． 位似变换中，以原点O为位似中心，放大倍数为2时，对应点坐标可能同向或反向，因此有两种情况，据此求解即可． 【详解】解：∵ 位似中心O为原点，位似比为2， ∴ 点的对应点坐标满足： 或 ， ∴ 坐标为或， 故选A． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．如图，四边形四边形，若，则 ． 【答案】130 【分析】本题考查四边形的内角和及相似的性质．根据四边形的内角和为求出的度数，再根据图形相似的性质即可求出． 【详解】解：在四边形中，， ∵四边形四边形， ∴， 故答案为：130． 12．如图，在中，，，如果，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 由可得到，由可得到，从而可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ∴ 故答案为：． 13．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，是一片美丽的枫树叶，叶尖到叶柄底端近似为一条线段，叶面与叶柄的交点B为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义；熟记黄金比是解题的关键．根据黄金分割的定义可知：，由此求解即可． 【详解】解：为的黄金分割点，，， ， ． 故答案为：． 14．如图，四边形是一张矩形纸片，将其按如图所示的方式折叠；使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，其中，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似多边形的性质以及一元二次方程的应用，由折叠可知：，设，则，根据矩形与原矩形相似，得即可建立方程求解． 【详解】解：由折叠可知：， 由题意得：， 设，则， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（舍）， ∴的长为， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查比的性质，掌握比的性质计算是解题的关键． （1）将代入，结合分式的性质化简计算即可； （2）将代入，结合分式的性质化简计算即可． 【详解】（1）解：， ∴； （2）解：， ∴． 16．（8分）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段和格点． (1)在所给网格中，以格点为位似中心将线段放大2倍得到线段，画出线段； (2)把线段绕端点顺时针旋转得到线段，画出线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-位似变换，旋转变换，扇形的面积等知识，解题的关键是掌握位似变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用位似变换的性质分别作出A，B的对应点，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出点A的对应点即可． 【详解】（1）解：连接并延长至，使，连接并延长至，使，连接，所作线段如图所示； （2）解：以中心，把线段顺时针旋转得到线段，如图所示，线段为求作的． 17．（8分）如图，在等腰中，，是的角平分线，是腰边上的高，垂足为点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形的特征，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键． 由等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据直角三角形两锐角互余，得出，即可证明结论． 【详解】证明：等腰中，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 18．（8分）如图．，，． (1)请你添加一个条件，使相似于，你添加的条件是______． (2)若，，在（1）的条件下．求的长度． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先求出，，再若添加的条件是，证出，根据相似三角形的性质可得，然后证出四边形是平行四边形，则可得，与相矛盾，只能是，由此即可得添加的条件； （2）根据相似三角形的性质可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 若添加的条件是， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，与相矛盾，舍去； ∴只能是， ∴添加的条件是， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：由（1）可知，只能是， ∴， ∵，， ∴， ∴． 19．（8分）如图，四边形ABCD中，，，，延长两腰交于点O，，交于E，，求的长．    【答案】 【分析】本题考查相似三角形判定和性质，关键是根据相似三角形对应高的比等于相似比，可列比例式，，求出． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 20．（8分）“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边分别是，把“矩”竖立放置可以测量物体的高度、如图2，从“矩”的一端处望向一根木杆（木杆的宽度忽略不计）的顶端处，使视线通过“矩”的另一端处（即在一条直线上），矩的一边的延长线与木杆垂直，垂足为，测得，，已知“矩”的边，，图中所有点均在同一平面内，求木杆的高度． 【答案】3.6m． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 先根据矩形的性质得，，再说明，根据相似三角形的对应边成比例求出，最后根据得出答案． 【详解】解：由题易得：四边形是矩形， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 答：木杆的高度为． 21．（10分）如图所示，，点P从点B出发，沿向点C以的速度移动，点Q从点C出发沿向点A以的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似？ 【答案】2.4秒或秒 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先根据勾股定理求出，进而表示出.再分两种情况：若，则，即可得出方程求出t值；若，则，即可得出方程求出解． 【详解】解：∵， ∴设， 根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴. 则. 设过t秒，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∵， ①若，则， 即， 解得； ②若，则， 即， 解得. 所以过2.4秒或秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 1 学科网（北京）股份有限公司 $