辽宁省滨城高中联盟2025-2026学年高三上学期期中Ⅱ考试数学试题

滨城高中联盟2025-2026学年度上学期高三期中I考试 数学答案 1.D.【详解】考查了模，复数概念，除法运算 2.A【详解】若ml1B,nlWB,则a,可能平行，也可能相交，故a∥B不一定成立， 若ax∥B,则mlIB,np,故a∥B是n/IP,nlB的充分不必要条件.故选：A 3D【详解】由a1(a-3b),则a-(a-3b)=-3ā.b=0 故a6=--3,则os0=a-6:3-5 3-3 5355 故c0s20=2c0s20-1=2× 5 4.B 【详解)由P0上(2)得头=，A=2,所以T=元，时 2-2 T 所以f)-os2x到令2号=-kez.x经12 212 所以当k=-1时，x=- 所以 ,0 是函数的一个对称中心故选：B. 12 5.D 【详解】边长为6的正三角形的内切圆半径为：R=}×y 32 ×6-V5 所以正三棱柱的高为h=2R=2W3, 则外接球半径r=OA=VR+0=3+X ×6 =√15， 2 所以外接球的表面积为：4πr2=4π×15=60π，故选：D 6.B【详斜1由题可得：f倒-n2+h+,所以()g-:+ +3x2 x+1 则f(2025)+f(-2025)=2lm2,f(2025)-f(-2025)=0, f(2025)+f(2025)+f(-2025)-f(-2025)=2ln2故选：B 7.B【详解】由题可知：⊙C:(x-1)2+(y-2)2=2,圆心C(1,2),半径r=√2， 1 又CB⊥CF,P是EF的中点，所以CP=EF=1, 所以点P的轨迹方程(x-1)2+(y-2)2=1,圆心为点C(1,2),半径为R=1, 若直线1：x-y-3=0上存在两点A,B,使得∠APB≥元恒成立， 则以AB为直径的圆要包括圆(x-1)2+(y-2)2=1, 点C(1,2)到直线1的距离为d= -2-3孔=2万， 12+(-12 所以AB长度的最小值为2(d+1)=4W2+2,故选：B. 8片【祥解】由g应可有：f-受c-ma+ 5兀 1 5元，π -sin @x+- 一十 6 2 cosx+5π 6 -sin cx+=-sin (sincax. 即f(x)=Sin ar是 π3 上的完整函数，所以存在，∈ 兀3π 2'2 2'2 使得f(s)+fs) 2 =1成立： 即存在：X22 π3π 使得f(:)+f(x)=2成立； 又因为f(x)=1,因此∫()=f(x)=1, 即f(x)=sin c在x∈ π3π 上至少存在两个最大值点， 所以3弧元≥T-2 ,解得0≥2： 221 w 当3π≥2T=4机 即o≥4时，一定满足题意； 22 若2≤w<4,因为x∈ π3π 22 w>0,所以a≤am≤3am 2 又易知元<aT<2元，3r 3L∠6L: 2 只需保正钙≤6m即可，解得3S0<4,综上可知023.故远：B 2 二·多选题 9,ACD【详解】选项A:P为直角顶点的有4个，F1为直角顶点的有2个，F2为直角顶点的 有2个，故A正确： 选项B:当P位于短轴端点时，不妨取上端点，则P(0,1), 此时△PF5,的面积最大，且为×k1=分2W5x1=5, 所以△PF1F2的面积最大为√3，不可能为2，故B错误； 选项C:由椭圆定义得P+PF=2a=4, 当且仅当P=PF引=2时取等号，所以PPF引的最大值为4，故C正确： 选项D:设P(x,y),由题意F(-V3,0),E,(√5,0)， 所以P=(-√3-x,-y),P瓦=(W3-x,-),所以P.P瓦=x2+y2-3, 因为P在椭服上，所以手y=1,且2小 所以P所P四=+-3=3状-2， 4 所以当x=0时，P亚P严二X2的最小值为2，故D正确，故选：ACD 10.CD 【详解】对于选项A:k的取值范围为k≤-k≥所以A错误； 对于选项B:当直线经过原点和点(2,1)时，在x轴和y轴上截距都相等，直线方程为y=二x, 所以B错误； 对于C,记点C到直线EG,H距离为4，d,FH=2V49-d好， di+d:=OA'=1 EG=2149-d2. 所以EG'+H=388≥2EG:FH 即PGFA≤194.则四边形EFGH的面积s-BC阻s7 即四边形EFGH的面积的最大值为97，故C正确； 3 对于选项D:当直线ar+2y+6=0与直线x+(a-1)y+a2-1=0互相平行时 a_1 可得 2a-1 3￥1-a2 解得a=-1,所以D正确故选：D a-1 11·BCD【详解】因为正方体ABCD-A1B,C1D,中，AB=4,所以B,C=B1D,=CD,=4√2 因为点F在线段B,D,上，所以当F为BD,的中点时 =26,所以A错误 E. 因为EG引/平面B,CD,,所以三棱锥G-B,CD,的体积与三棱锥E-B,CD,的体积相等 因为点E是固定的，所以点E到平面BCD,的距离确定，所以三棱锥G-B,CD,的体积与三棱锥 E-B,CD的体积是定值，B正确 分别取棱CD,DD的中点M,N,连接EM,EN,N 所以MN//CD,EM//BC. 又CD,B,Cc平面B,CD,而MN,EM不在平面B,CD,内， 所以N/平面B,CD,☑M/平面B,CD 又N⌒☑M=M,所以平面N//平面B,CD 因为点G在四边形CCDD,(包含边)内，且EG//平面B,CD,所以点G的轨迹为线段MN, 因为M,N分别是棱©0，DA的中点所以MN=C0=25,c正确 将平面BD,E与平面B,CD1展开到同一平面，则CF=C℉，连接CE 由题意可得BE=2,BC=4W2,∠CB,E=45°+60°=105°， 则CE=BE+BC2-2BE·BCcos.∠CBE=28+&5. 4 当F是线段CE与B,D,的交点时，CF+EF=CE,即(CF+EF的最小值为28+8√5，D正 确 AL 三.填空题： 12.答案：日 13.答案：√3-1 【详解】依题意，直线y=-√3(x+1)经过椭圆的左焦点，且∠MF2=60°， 由∠MF=2∠M耳，得∠MF=30°，则∠FME,=90°， 2 因此四迎=B,所以离心率e名zV存 故答案为：√3-1 米 F M 14.答案：√元（答案不唯一） 【详解】由f(x)=(x-a)sin,得(x)=sim+(-2)cOS, 令f(x)=(x一a)in=0,则x。=a或sin ax,=0, 当x。=a时，由f(x)=n+c-d)cosc=0,得sina2=0. 所以d=mkeN),则a=士阮(k∈N), 当sin=0时.由f(x)=sin+(c优-d)）cosc优，=0，得(，-d)cos,=0 由c0sax。≠0，得a=0或x。=a, 5 当a=0时，f(x)=0不存在极值点， 当=a时，得a=W(k∈N) 综上，a=阮(k∈N)】 所以当k=l时，a=√元故答案为：元（答案不唯-一） 四.解答题 15.信案割@4-背2a=i8-日 4 【详解】(1)由正弦定理得：sin4cosC+√3 sinAsinC=sinB+sinC :smB=sn(A+C),再根据两角和的正弦公式展开得： sinAcosC+3sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC 消去sin4c0sC,整理得：√5sin4sinC-cos4simC=sinC. ----2分 ,0<C<π，.sinC≠0，两边同除以sinC得： √3sin4-00s4=1, 由辅助角公得：n(4君司 -------4分 故Aπ元 解得A= ----6分 66 3 (2)由题意得：2AD=AB+AC, ----7分 平方得：41D-c+6-2c0s号化简得6+5b6=0. 解得b=1(b=-6舍)， ---9分 由余弦定理得：a2=b2+c2-2bcc04=1+25-10c0s60°=21 .a=√21 ------11分 AABc的面积s=bosinA=x1x5sin60=5y5 ----13分 6【答案①+片=1，②存在M40) 【详解】(1)因为2b=2√5，所以b=√5， a 2 ，所以a=2c,所以b2=a2-c2=3c2=3,所以c=1,a=2 故椭圆C的方程为：女+上=1 ------4分 3 (2)F1,0),设直线P的方程为：x=y+1,P(x,y1),2(x2,y2) 6 x=my+1 x2。 y2 联立得（3+4)y+6y-9=0 3 -6m -9 △>0.y+为3n+44 3n2+4(）-6分 因为业 xFMxMsin∠PMg 21 |PMsin∠PMF S.OPM 1 -xFMx|OM sin∠QMF OM sin∠QMF 2 又因为9型=」 PM S.OFM u, 所以sin∠PMF=sin∠QMF, 结合图形可知，∠PMF=∠QMF --9分 所以直线PM的斜率与直线QM的斜率互为相反数，----10分 设直线PM的斜率为k,直线QM的斜率为k,,设点M(s,O) k+k,=片+。=0，将名=my+1,x,=my,+1代入整理得： X1-Sx2-5 2my1y2+(1-s)(y1+y2)=0, ----13分 再将（一）代入，可得，1860$m-0,因为m≠0，解得5=4 3m2+43m2+4 即点M的坐标为(4,0). 散在X轴上存在M40).使得5= ----15分 IQMI M 州 【答案】0单湖递常区间为0引，单消莲减区间为 (2)a=e 【详解】(1)函数f()=ar-1-(a+1)nx的定义域为(0，+w), 则f'(x=a+a+1.-1a-Dc>0, x2 xx 当a=2时，fy=c-12x-D6x>0) -----5分 令f)>0,解得：》L:令7)0，解得：行月 所以西数了()的单河递塔区间为(0》和，)，单调递减区间为行)--7分 (2)fx)=-1-Dx>0) ①当0<a≤1时，f'(x)≥0在(0，内恒成立，f(x)在(0,1]内单调递增， 则f(x)mm=f(1)=a-1=2,解得a=3与0<a≤1矛盾； --9分 ②当a>1时，有0<<1,0<x<时f(x)>0:<x<1时f"x)<0, 所以在o日》上单调，在） 上单调递减， f()n=j得=1-a-a+0hn22,即a-a+ha+1=0,-1l分 令8)=x-(x+山血x+1(x>),则g(y=-nx-1<0, 则8(x)在(1，+0)上单调递减，---13分 又g(e)=e-(e+1)lne+1=0,故a=e; 综上，a=e.--15分 18.【答案】(1)证明见解析( 6 3】 44 【详解】(1)连接BD,因为点E,F分别为AD,AB的中点，所以EF/IBD 因为四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD,∠ADC=90°，AD=AB=2, 所以BD=√AD2+AB?=2√2，∠ADB=BDC=45°， 在△BDC中，由余弦定理可得 BC=BD+DC-2BD.DC-c0RLBDC-8416-2x2x4x8 2 所以BC2+BD2=DC2,所以BD LBC,所以EF LBC 又因为△PAD为等边三角形，点E为AD的中点，所以PE LAD 又因为侧面PAD平面ABCD,侧面PADn平面ABCD=AD, 所以PE⊥平面ABCD,又BCC平面ABGD,所以PE⊥BC, 又因为EF PE=E,EF,PEC平面PF,所以BCL平面F;--4分 8 (2)取BC的中点N,连接EN,可得EN⊥AD 又PE⊥平面ABCD,又NC平面ABCD,所以PE⊥N, 以E为坐标原点，A,N,EP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系 则D(-1,0,0)P0,0,V3),F(1,1,0),C(-1,4,0),E(0,0,0). 则EP=(0,0,V3,EF-(11,0),DP=1,0,V3),DC=(0,4,0) 设平面PEF的一个法向量为m=(x,y,), [m严=5z=0,令x=1.则y=-l,=0 i·EF=x+y=0 则平面PEF的一个法向量为i=(1,-1,0),----6分 设平面PcD的一个法向量为n=(mn,S, 则 P加+3-0令，则-n=0 iDC=4n=0 所以平面PCD的一个法向量为n=(-√3,0,1)，----8分 则cos<元，五>=m五三一6 ----9分 4 所以平面PEF与平面PCD所成角的余弦值为6： ------10分 (3)设DM=2DC(0≤≤1).则DM=2DC=0,4,0)=(0,42,0). 又PM=DM-D丽=(0,42,0)-(1,0，V3)=（-1,42,-V3): 又平面PEF的一个法向量为m=(1,-1,0), 设平面PM与平面PEF所成的夹角为O, 9 im:P☑ 则sn6=cosm,P☑ 1-4入 1+42 ----13分 PM V2×V1+1622+3V8+3222 令1+4a1 1+42 t 则V8+322 V8+2t2-4t+2√22-4t+10 4.10 12 令f0-+2=1D+g 8 可得f()m=;f()an=8 -------15分 1 所以。4,10 44 2-t+ √2 所以直线PM与平面PEF所成角的正弦值的取值范围为 4’4 ---17分 19. 【答案】(1)证明见解析(2)存在，P(1,0)(3)严格单调递减 【详解】(1)当M(-1,-1)时.s(6)=(x+12+(（+1/=2++2x++2≥8 当且仅当x2=是，2x=即x=1时取等号， 故对于点M(-1,-1),存在点P(1,1).使得该点是M(0,0)在f(x)的“最近点”.-3分 (2)由题设可得s(x)=(x-0)2+(Inx-1)2=x2+(mx)2-2lnx+1, 则s()=(2x-)+21x2因为x>1时，s()>0,s()单调递增函数，-5分 0<x<1时，s(x)<0,s(x)单调递减函数， 故s(x)min=s(1)=2,此时P(1,0), 而f()=,k=f(1)=1,故f)在点P处的切线方程为y=x-1. 而kwp=号-1，故kMpk=-1,故直线MP与y=f)在点P处的切线垂直。-8分 (3)设s1(x)=(x-t+1)2+f(x)-f(t)+g(t)2, s2()=(x-t-1)2+(0f(x)-f(t)-g(t)2, 而s1(x)=2(x-t+1)+20f(x)-f(t)+g(t)f'(x). 10null