精品解析：青海西宁市大通回族土族自治县2027届高三上学期摸底考试数学试卷

青海省大通县2027届高三摸底考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求集合，利用交集定义即可得解. 【详解】因为，， 由交集定义可得，. 故选：A. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则化简复数，从而可得答案. 【详解】 复数在复平面内对应的点为，在第二象限 故选：B 3. 已知平面向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求得，再结合坐标运算及模长公式即可求解. 【详解】因为， 所以，解得， 所以， 所以， 故选：D 4. 据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（ ） A. 38盏 B. 32盏 C. 26盏 D. 18盏 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式与通项公式解决实际问题. 【详解】由题知：塔的每层灯数构成等差数列，则 首项为 ，公差 ，项数 ，， 根据等差数列前 项和公式： ， ， 计算化简：即， 所以根据等差数列通项公式： ，代入 、、， . 故选：C. 5. 已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由周期性、奇函数性质转换即可求解. 【详解】已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，且， 则. 故选：D. 6. 若直线与圆有公共点，则实数的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直线与圆有公共点得出圆心到直线的距离小于等于半径，再通过距离公式列不等式求解的取值范围，最后判断选项中哪个值不在该范围内. 【详解】由圆的方程为，可得圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，即，解得：， 对于选项A，，不在范围内； 对于选项B，，在范围内； 对于选项C，，在范围内； 对于选项D，，在范围内； 故选：A. 7. 已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设该圆锥的高为，所以，解得， 设球的半径为，由题意知，解得， 所以球的表面积为． 8. 已知，且.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列式求解即可. 【详解】由是减函数，得， 又时，在上单调递减， 所以要函数在上单调递减， 则有且，所以. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 高考体检是考生参加高考的重要环节，某组考生的身高（单位：）分别是170，167，162，175，178，180，则这组数据的（ ） A. 极差为18 B. 分位数为170 C. 平均数为170 D. 方差为 【答案】ABD 【解析】 【详解】6个数据按从小到大排序为：， 对于A，极差为，故A正确； 对于B，，所以分位数为第位数，为，故B正确； 对于C，平均数为，故C错误； 对于D，方差为 ，故D正确. 10. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.若的图象关于点对称，则（ ） A. 的值可以为，是的一个周期 B. 的最小值为，是的一个周期 C. 的最小值为，的图象关于直线对称 D. 的值可以为，的图象关于直线对称 【答案】BD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式从而得到的解析式，由得函数的最小正周期判断AB，再由可求出s的表达式，验证是否为即可判断是否为函数的对称轴. 【详解】，，的最小正周期为， 所以是的周期，不是的周期； 由得，，又，所以时，取得最小值，当时，， 由得的图象关于直线对称. 故选：BD 11. 已知抛物线：的焦点为，点在圆：上，则（ ） A. 的焦点为 B. 圆M与的准线相交 C. 圆M上到x轴距离为3的点有4个 D. 存在与圆M和抛物线都相切的直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意求得，求得焦点坐标判断A；求得圆心到准线的距离可判断B；求得圆心到轴的距离为，根据与的范围可判断C；假设存在直线：是圆与的公切线，可得，将代入可判断D. 【详解】由点在圆：上，得， 又，所以，的焦点为，即，故A正确； 圆的方程化为，圆的半径，圆心， 圆心到的准线的距离，圆与的准线不相交，故B错误； 圆心到轴的距离为，则，， 所以圆上到轴距离为3的点有4个，故C正确； 假设存在直线：是圆与的公切线， 由，消去得， 由直线与相切得，所以， 由圆与直线相切得，所以， 当，满足上式，直线与圆和都相切，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，当时，取得极小值0，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据极值的概念可得和，解出的值即可得结果. 【详解】由题知，， 解得，此时， 当时，，当，时，， 所以在时取极小值，符合题意， 所以，. 又，解得， 所以. 13. 在等比数列中，，，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式与性质求解，并检验公比的值是否符合题意，从而根据等比数列项的递推关系得的值. 【详解】设等比数列的公比为，因为，解得； 当，又，则， 解得，不符合题意； 当时，又，则， 解得，符合题意．综上可得． 故答案为：10. 14. 从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选出2个奇数数字和2个偶数数字，组成奇数数字相邻且没有重复数字的四位数，则这样的四位数的个数为_____________. 【答案】180 【解析】 【分析】先取2个奇数并捆绑，再分类讨论所取的偶数是否有0，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】先从1，3，5中任意取2个，并排列有种排法， 若取偶数含0时，在2，4，6中取1个有种取法， 将2个奇数看成一个整体，并与取出的这个非零偶数进行排列，有种排法， 再将0插入有2种方法，所以含0的满足条件的四位数有个； 若不含0时，先从2，4，6中任意取2个有种取法， 将2个奇数看成一个整体，并与取出的这2个偶数进行排列，有种排法， 所以满足条件的四位数有个； 综上所述：所以共有个数. 故答案为：180. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某种产品今年月份到月份的月份代码与月利润（万元）的数据统计如下. 月份 月 月 月 月 月 （1）求关于的经验回归方程，并预测今年月份该产品的月利润； （2）现从这个月中随机抽取个月，记这个月中共有个月的月利润不低于万元，求的分布列与数学期望. 附：经验回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，. 【答案】（1），万元 （2） 【解析】 【详解】（1）由，， ， ， 所以，， 所以关于的经验回归方程为. 月份对应代码为，当时，， 由此预测该产品月份的月利润为万元. （2）由题知的取值可能为 则，，， 的分布列为 故. 16. 在中，内角，，的对边分别是，，，且 （1）求角； （2）若的面积为，，求边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件及正弦定理可得，再结合角的范围可得； （2）结合（1）中及面积可得，再由余弦定理可得，再由面积可得所求边上的高. 【小问1详解】 由正弦定理及， 得， 因为，所以，，所以. 又，所以． 【小问2详解】 由（1）知，又因为的面积为，， 所以，解得. 由余弦定理，所以. 设边上的高为，则，解得，即边上的高为． 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，点是棱上的一点（不同于端点），且． （1）求证：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为平面 平面，所以． 因为底面是矩形，所以， 又平面平面，所以平面． 因为平面，所以 ， 又平面平面， 所以平面，又平面，所以 ． 又因为 ，所以为的中点，则． （2）． 【解析】 【分析】（1）由平面可得，结合可得平面，进而得到 ，再结合可得平面，可得 ，进而结合 即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，则， 以为坐标原点， 所在的直线分别为轴，轴， 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，， 所以，． 设平面的一个法向量， 所以，令 ，得． 设平面的一个法向量， 所以，令，得. 设平面与平面的夹角为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值是． 18. 已知双曲线的焦距为，直线的倾斜角是直线倾斜角的倍，其中，． （1）求的方程； （2）是否存在过点的直线与交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形？若存在，求出所有直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，直线的方程为或，理由如下： 假设存在过点的直线与交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形， 则直线的斜率显然存在，设的方程为，，， 由消去整理得， 由，， 解得且， 则，所以. 记的中点为，则， 当时，则，分别为双曲线的两个实顶点， 显然构成以为顶点的等腰三角形，此时直线的方程为，符合题意． 当时，为使构成以为顶点的等腰三角形，只需，所以， 即，， 整理得，解得或， 若，则不满足条件，舍去，因此. 所以直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 【解析】 【分析】（1）先分别计算及直线的斜率，再由它们的倾斜角的倍关系及二倍角的正切公式可得，进而可得双曲线的方程； （2）先判断直线的斜率存在，再设，并与双曲线方程联立，由根与系数的关系可得的中点为，当时，直线方程为；当时，由解得或，再结合直线与双曲线有两个交点的条件得，进而可得直线方程为，综合两种情况可得直线方程. 【小问1详解】 记双曲线的焦距为，由题意可得，即， 因为，，所以斜率. 设直线的倾斜角为，则， 又因为直线的斜率为， 所以，，解得. 所以，则C的方程为． 【小问2详解】 略 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若在上有两个零点，求实数的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，证明：． 【答案】（1）时，在上单调递增，时，在上单调递减，在上单调递增 （2） （3）证明：因为有两个极值点， 所以，有两个实数根， 所以可得， 设，将代入，得， 所以， 所以要证，只需证，即． 设，则． 令，则，可知在上为增函数． 又，所以时，在上为增函数． 所以，即成立，所以成立． 【解析】 【分析】（1）求出导数，分类讨论的取值情况来判断单调性； （2）分离参数，求解新函数的极值可求答案； （3）设，把目标式用表示，利用导数判断单调性可证. 【小问1详解】 的定义域为，． 当时，在上单调递增；当时，由得， 由得，由得， 则在上单调递减，在上单调递增． 综上，时，在上单调递增， 时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 因为在上有两个零点，所以， 由得，令，则， 所以，时，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 有极大值，也就是最大值为， 又无限趋近时，无限趋近于0， 所以在上有两个零点时，， 所以，即的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青海省大通县2027届高三摸底考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知平面向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4. 据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（ ） A. 38盏 B. 32盏 C. 26盏 D. 18盏 5. 已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与圆有公共点，则实数的值不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 高考体检是考生参加高考的重要环节，某组考生的身高（单位：）分别是170，167，162，175，178，180，则这组数据的（ ） A. 极差为18 B. 分位数为170 C. 平均数为170 D. 方差为 10. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.若的图象关于点对称，则（ ） A. 的值可以为，是的一个周期 B. 的最小值为，是的一个周期 C. 的最小值为，的图象关于直线对称 D. 的值可以为，的图象关于直线对称 11. 已知抛物线：的焦点为，点在圆：上，则（ ） A. 的焦点为 B. 圆M与的准线相交 C. 圆M上到x轴距离为3的点有4个 D. 存在与圆M和抛物线都相切的直线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，当时，取得极小值0，则______. 13. 在等比数列中，，，则______． 14. 从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选出2个奇数数字和2个偶数数字，组成奇数数字相邻且没有重复数字的四位数，则这样的四位数的个数为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某种产品今年月份到月份的月份代码与月利润（万元）的数据统计如下. 月份 月 月 月 月 月 （1）求关于的经验回归方程，并预测今年月份该产品的月利润； （2）现从这个月中随机抽取个月，记这个月中共有个月的月利润不低于万元，求的分布列与数学期望. 附：经验回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，. 16. 在中，内角，，的对边分别是，，，且 （1）求角； （2）若的面积为，，求边上的高． 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，点是棱上的一点（不同于端点），且． （1）求证：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知双曲线的焦距为，直线的倾斜角是直线倾斜角的倍，其中，． （1）求的方程； （2）是否存在过点的直线与交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形？若存在，求出所有直线的方程；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若在上有两个零点，求实数的取值范围； （3）若函数有两个极值点，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $