精品解析：福建省莆田市荔城区莆田第十五中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试题

莆田第十五中学2025-2026学年八上中数学期中考试卷 一、单选题 1. 下列四组图形中，每组中的两个图形成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 给出下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（ ） A. 10，8，6 B. 4，8，7 C. 2，3，4 D. 3，4，7 3. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，某同学做了一个角平分仪，其中，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点画一条射线就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为 ( ) A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 7. 如图所示，，B，D，E三点在一条直线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的网格，图形中各个顶点均为格点，设，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题 11. 点关于x轴对称的点的坐标为________． 12. 如图，已知，若以“”为依据证明，需要添加条件__________． 13. 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和6，则该等腰三角形的周长是 _______． 14. 如图，在等边中，，，则的长为___． 15. 如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则B点的坐标是______． 16. 如图，是等边三角形，点是边上一点（不与，重合），点是边上一点，且，以为边在右侧作等边三角形，是的中点，连接，，当最小时，的度数是______． 三、解答题 17. 计算： 18. 如图，已知，在线段上，相交于点，且．求证：． 19. 如图，点B，C，D，E在一条直线上，AB∥FC，AB＝FC，BC＝DE．求证：AD＝FE． 20. 如图，点D、E在的边上，求证：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）若在y轴上存在一点P使得的面积是面积的2倍，则点P的坐标为___________． 22. 如图，在中，求作一点，使点到、的距离相等，且．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 23. 如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，分别以AB，AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连接DE． （1）求证：△ADE≌△ABC； （2）请过图中两点画一条直线，使其垂直平分图中的某条线段，并说明理由． 24. 如图，点是等边的边所在直线上的一个动点，连接，点 在直线上，连接，以为边作等边，连接． （1）当点在边上时，如图，求证：； （2）当点在的延长线上时，如图；当点在的延长线上时，如图，请直接写出线段，，之间的数量关系，并对图给予证明． 25. 上海教育出版社七年级第二学期《练习部分》第60页习题14.6（2）第5题及参考答案． 5．过下面三角形的一个顶点画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形： 参考答案： 小华在完成了以上解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣，并提出了以下三个问题，请你解答： 【问题1】 如图1，中，，请设计一个方案把分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数（示意图画在答题卡上）； 【问题2】 如果有一个内角为的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为______； 【问题3】 如图2，在中，，在中，，分别用一条直线分割这两个三角形，使分割成的两个小三角形三个内角的度数与分割成的两个小三角形三个内角的度数分别相等，请设计两种不同的分割方案，直接画出示意图并标出相应的角的度数（示意图画在答题卡上）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第十五中学2025-2026学年八上中数学期中考试卷 一、单选题 1. 下列四组图形中，每组中的两个图形成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称，根据轴对称图形的概念一一判断即可． 【详解】A、不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、是轴对称图形，故B选项符合题意； C、不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 2. 给出下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（ ） A. 10，8，6 B. 4，8，7 C. 2，3，4 D. 3，4，7 【答案】D 【解析】 【分析】根据构成三角形的条件逐一分析即可． 【详解】解：A、∵，∴能构成三角形，不符合题意； B、∵，∴能构成三角形，不符合题意； C、∵，∴能构成三角形，不符合题意； D、∵，∴不能构成三角形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 3. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应角相等，对应边相等”是解题的关键． 根据全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：由边长为的边是角的对应边，再根据全等三角形的性质可得 故选：A． 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°， ∴∠A=90°-∠B=90°-56°=34°； 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 5. 如图，某同学做了一个角平分仪，其中，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点画一条射线就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．由“”可证，可得，可证就是的平分线，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， 是的平分线， 故选：B． 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为 ( ) A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴∠DAE=∠B=30°， ∴∠ADC=60°， ∴∠CAD=30°， ∴BD =AD=2DC=6 ∴BC=9 故选：B． 考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质． 7. 如图所示，，B，D，E三点在一条直线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及外角性质等知识点，解题的关键在证明．先证明．然后利用全等三角形的性质得出，再结合三角形内角和定理计算出的具体度数． 【点睛】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：B． 8. 如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 9. 如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的网格，图形中各个顶点均为格点，设，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形外角的性质，根据全等三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】先证明是等腰直角三角形，从而证明，根据全等三角形的性质即可证明结论，证明是等腰直角三角形，可得，可得，即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故①②③正确， 如图，过点D作于点F，则， ，， ， ∵点E是的中点， ， ，， ， ， ∴ ，故④正确． 综上所述，正确的结论有4个． 二、填空题 11. 点关于x轴对称的点的坐标为________． 【答案】(-2,-5) 【解析】 【分析】关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而可求解． 【详解】解：由点关于轴对称点的坐标为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标关于坐标轴对称问题，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的方法是解题的关键． 12. 如图，已知，若以“”为依据证明，需要添加条件__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，对顶角，若以“"为依据证明，还需添加一个边的信息且该边与夹角相邻，据此解题． 【详解】解：添加条件． 理由：在和中， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的判定，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 13. 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和6，则该等腰三角形的周长是 _______． 【答案】14 【解析】 【分析】分2为腰长，6为腰长结合三角形三边的关系进行求解即可 【详解】解：当腰为2时，， ∴2、2、6不能组成三角形； 当腰为6时，， ∴2、6、6能组成三角形， 该三角形的周长． 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 14. 如图，在等边中，，，则的长为___． 【答案】##2.5 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质，以及等边三角形三线合一，可得DC的长度． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形，且， ∴D为BC的中点（三线合一），且BC=AB=5， ∴ 故答为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解决本题的关键． 15. 如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则B点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，解题的关键是证明． 过A和B分别作于D，于E，利用已知条件可证明，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：如下图，过A和B分别作于D，于E， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点C的坐标为，点A的坐标为， ， ， ， 点的坐标是， 故答案为： 16. 如图，是等边三角形，点是边上一点（不与，重合），点是边上一点，且，以为边在右侧作等边三角形，是的中点，连接，，当最小时，的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】在上取点N，使，连接、，结合等边三角形性质、全等三角形的判定定理证明，再由全等三角形的性质推出，等边对等角可得，根据三线合一定理证得点一定在的垂直平分线上，即找到点的运动轨迹；作点关于的对称点，连接、，由对称性质得，则当、、三点共线时，最小，即最小，综合等边三角形的判定与性质、三线合一、等腰三角形的判定与性质即可求出最小时，的度数． 【详解】解：在上取点N，使，连接、， 、是等边三角形， ，，， 中，， 又点在上， ， ， 在和中， ， ， ，， ，，即， ， ， 即点一定在的角平分线上， 延长交于点， 由三线合一定理可得，点一定在的垂直平分线上， 作点关于的对称点，连接、， 由对称性质可知，垂直平分， ， 则当、、三点共线时，最小，即最小， ，， ， ， 是等边三角形， ， 又是的中点， 是中点， 等边中，即， ， ，垂直平分， 等腰三角形中，， ． 综上，当最小时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三线合一、等腰三角形的判定与性质、轴对称的性质、垂直平分线的性质、垂线段最短，解题关键是结合一线三等角模型找出点的运动轨迹． 三、解答题 17. 计算： 【答案】19 【解析】 【分析】先计算乘方、开方、绝对值，再计算加减． 【详解】原式= =19 【点睛】本题考查了实数的乘方、开方、绝对值的混合运算，关键是能正确化简，准确计算． 18. 如图，已知，在线段上，相交于点，且．求证：． 【答案】 证明： ， ， ， 又，， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．由，得到，即可证明． 【详解】略 19. 如图，点B，C，D，E在一条直线上，AB∥FC，AB＝FC，BC＝DE．求证：AD＝FE． 【答案】 证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得到，再证明，则利用“”可判断，所以． 【详解】略 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及线段的和差，难度不大较为容易，证出 是解题的关键． 20. 如图，点D、E在的边上，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可求证． 【详解】略 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）若在y轴上存在一点P使得的面积是面积的2倍，则点P的坐标为___________． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）设点的坐标为，由题意得：，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设点的坐标为， 由题意得：， 解得：或， 点的坐标为或， 故答案为：或． 22. 如图，在中，求作一点，使点到、的距离相等，且．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线与垂直平分线的作法，角平分线与垂直平分线的性质；作的垂直平分线和的角平分线，两线相交于点，点为满足条件的点． 【详解】解：如图，的垂直平分线和的角平分线相交于点，点即为所求； 23. 如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，分别以AB，AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连接DE． （1）求证：△ADE≌△ABC； （2）请过图中两点画一条直线，使其垂直平分图中的某条线段，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【解析】 【分析】根据即可证明△ADE≌△ABC； 连接CD，则直线CD垂直平分线段AE. 【详解】解：（1）∵在等边和等边中， 即 △ADE≌△ABC； （2）连接CD，则直线CD垂直平分线段AE. 由（1）得：△ADE≌△ABC； ∵在等边 中， ∴直线CD平分线段AE. 24. 如图，点是等边的边所在直线上的一个动点，连接，点 在直线上，连接，以为边作等边，连接． （1）当点在边上时，如图，求证：； （2）当点在的延长线上时，如图；当点在的延长线上时，如图，请直接写出线段，，之间的数量关系，并对图给予证明． 【答案】（1） 证明：和是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （2） 解：图中，；图中，； 证明：图中，和是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，， ，易证， 从而证明，得到 ，结合线段间的和差关系等量代换即可得证； （2）与（1）同样方法，证明，得到 ， 结合线段间的和差关系等量代换即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 上海教育出版社七年级第二学期《练习部分》第60页习题14.6（2）第5题及参考答案． 5．过下面三角形的一个顶点画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形： 参考答案： 小华在完成了以上解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣，并提出了以下三个问题，请你解答： 【问题1】 如图1，中，，请设计一个方案把分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数（示意图画在答题卡上）； 【问题2】 如果有一个内角为的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为______； 【问题3】 如图2，在中，，在中，，分别用一条直线分割这两个三角形，使分割成的两个小三角形三个内角的度数与分割成的两个小三角形三个内角的度数分别相等，请设计两种不同的分割方案，直接画出示意图并标出相应的角的度数（示意图画在答题卡上）． 【答案】(1)如图所示，顶角， (2) (3)方案1： 方案2： 【解析】 【分析】(问题1)作的平分线，交于点D，则，，此时，是等腰三角形，此时顶角． (问题2)根据(1)作较大内角的平分线，交于点D，则，此时，是等腰三角形．当最大解答即可． (问题3)根据题意，利用构造角的平分线，构造等角等方法，解答即可． 【详解】(问题1)如图，作的平分线，交于点D，则，，此时，是等腰三角形，此时顶角． (问题2) 根据(1)作较大内角的平分线，交于点D，则，此时，是等腰三角形．当， 最大， 故答案为：； (问题3)根据题意，设计如下： 方案1：作的平分线，交于点M，根据题意，得，； 作，交于点N，根据题意，得，． 方案2：作，交于点Q，根据题意，得，； 作，交于点O，根据题意，得，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角的平分线的作图，作一个角等于定角，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，角的平分线的作图，作一个角等于定角是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $