专题十 一元二次方程及应用2026年九年级中考数学复习

专题十 一元二次方程及应用 【题型一】一元二次方程的一般形式 【例1】（2024秋•莲湖区校级期中）一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的常数项为（　　） A．2 B．3 C．4 D．﹣4 【分析】根据题意利用一元二次方程定义直接得出本题答案． 【解答】解：一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的常数项为﹣4， 故选：D． 【变式1】（2024秋•临渭区期末）将一元二次方程（x+a）2＝b，化成x2﹣8x﹣5＝0的形式，则a，b的值分别是（　　） A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69 【分析】根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：（x+a）2＝b， 则x2+2ax+a2＝b， ∴x2+2ax+a2﹣b＝0， 由题意得：2a＝﹣8，a2﹣b＝﹣5， 解得：a＝﹣4，b＝21， 故选：A． 【变式2】（2024秋•墨玉县月考）一元二次方程x2+5x﹣1＝0的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（　　） A．1，5，1 B．0，5，﹣1 C．1，5，﹣1 D．0，5，1 【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【解答】解：一元二次方程x2+5x﹣1＝0的二次项系数，一次项系数与常数项分别是1，5，﹣1． 故选：C． 【题型二】一元二次方程的解 【例1】（2025•青海）若x＝1是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值为 　3　 ． 【分析】将已知解代入一元二次方程x2﹣4x+c＝0中解得c的值即可． 【解答】解：若x＝1是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根， 则12﹣4×1+c＝0， 解得：c＝3， 故答案为：3． 【变式1】（2025春•雁塔区校级期末）如果x＝﹣1是一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个根，则m的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 【分析】把x＝﹣1代入方程求出m即可． 【解答】解：∵x＝﹣1是一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个根， ∴1+m+3＝0， ∴m＝﹣4． 故选：A． 【变式2】（2024•凉山州）已知y2﹣x＝0，x2﹣3y2+x﹣3＝0，则x的值为 　3　 ． 【分析】由已知条件可得y2＝x，将其代入x2﹣3y2+x﹣3＝0中整理后解一元二次方程求得符合题意的x的值即可． 【解答】解：∵y2﹣x＝0， ∴y2＝x≥0， ∵x2﹣3y2+x﹣3＝0， ∴x2﹣3x+x﹣3＝0， 即x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去）， 即x的值为3， 故答案为：3． 【变式3】（2024•深圳）一元二次方程x2﹣4x+a＝0的一个解为x＝1，则a＝　3　 ． 【分析】将x＝1代入一元二次方程，求出a的值即可． 【解答】解：由题知， 将x＝1代入一元二次方程得， 1﹣4+a＝0， 解得a＝3． 故答案为：3． 【题型三】解一元二次方程-直接开平方法 【例1】（2025•贵州）一元二次方程x2﹣1＝0的根是 x＝±1　 ． 【分析】把方程化成x2＝1，然后利用直接开平方法解方程即可． 【解答】解：x2﹣1＝0， x2＝1， x＝±1， ∴一元二次方程x2﹣1＝0的根是：x＝±1， 故答案为：x＝±1． 【变式1】（2025•阎良区校级开学）一元二次方程3x2＝6的解为（　　） A．， B．x1＝x2＝2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D． 【分析】先把方程变形为x2＝2，然后利用直接开平方法解方程． 【解答】解：方程变形为x2＝2， 所以x＝±， 即x1，x2． 故选：A． 【变式2】（2024•攀枝花）解方程：（x+1）2﹣4＝0． 【分析】先把方程变形为（x+1）2＝4，在把方程两边开方得到x+1＝±2，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（x+1）2﹣4＝0， （x+1）2＝4， x+1＝±2， 所以x1＝1，x2＝﹣3． 【题型四】解一元二次方程-配方法 【例1】（2024•东营）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2023＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 【分析】根据配方法对所给一元二次方程进行转化即可解决问题． 【解答】解：由题知， x2﹣2x﹣2023＝0， x2﹣2x＝2023， x2﹣2x+1＝2023+1， （x﹣1）2＝2024， 所以a＝﹣1，b＝2024， 所以ab＝（﹣1）2024＝1． 故选：D． 【变式1】（2025•无锡）（1）解方程：x2﹣2x﹣2＝0； （2）解不等式组：． 【分析】（1）根据配方法求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2＝0， （x﹣1）2＝3， x﹣1， ∴；x2＝1． （2）由2x＜6， 得x＜3； 由3x﹣1≥x+1， 得x≥1． ∴不等式组的解集为：1≤x＜3． 【变式2】（2025•徐州）（1）解方程：x2+2x﹣4＝0； （2）解不等式组：． 【分析】（1）用配方法解方程即可； （2）分别求每一个一元一次不等式，再求不等式组的解集即可． 【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0， （x+1）2＝5， ∴x+1或x+1， 解得x1或x1； （2）， 由①得x＜2， 由②得x＞﹣4， ∴不等式组的解集为﹣4＜x＜2． 【变式3】（2025春•碑林区校级期末）解方程： （1）2x2﹣4x+1＝0； （2）． 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）2x2﹣4x+1＝0， x2﹣2x， x2﹣2x+11，即（x﹣1）2， ∴x﹣1， ∴x1＝1，x2＝1； （2）， 去分母得：x＝2x﹣1+2， 解得：x＝﹣1， 经检验：x＝﹣1是原方程的解． 【题型五】解一元二次方程-公式法 【例1】（2025•西安校级三模）用适当的方法解方程：3x2+2x﹣2＝0． 【分析】利用公式法解方程即可． 【解答】解：3x2+2x﹣2＝0， a＝3，b＝2，c＝﹣2， Δ＝4﹣4×3×（﹣2）＝28＞0， ∴x， ∴x1，x2． 【例2】（2025秋•秦都区校级月考）解方程：3x2﹣7x+4＝0． 【分析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得． 【解答】解：∵3x2﹣7x+4＝0， ∴（x﹣1）（3x﹣4）＝0， 则x﹣1＝0或3x﹣4＝0， 解得x1＝1，x2． 【变式1】（2025•灞桥区校级二模）4x2﹣3＝12x（用公式法解） 【分析】利用公式法求解可得． 【解答】解：原方程整理为：4x2﹣12x﹣3＝0， ∵a＝4，b＝﹣12，c＝﹣3， ∴Δ＝144﹣4×4×（﹣3）＝192＞0， 则x，即x1，x2． 【变式2】（2024秋•灞桥区校级期中）解方程： （1）4（x﹣1）2＝9； （2）x2﹣3x﹣1＝0． 【分析】（1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用公式法求解可得． 【解答】解：（1）原方程直接开平方得：， 则， ∴，； （2）∵x2﹣3x﹣1＝0， Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0， ∴， 即， 【题型六】解一元二次方程-因式分解法 【例1】（2025•齐齐哈尔）解方程：x2﹣7x＝﹣12． 【分析】先移项，再将左边因式分解，进一步求解即可． 【解答】解：整理得：x2﹣7x+12＝0， 因式分解得：（x﹣4）（x﹣3）＝0， 所以x﹣4＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝4，x2＝3． 【题型七】根的判别式 【例1】（2025•兰州）若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4a＞0，再解不等式得到a的取值范围，然后利用a的取值范围对各选项进行判断． 【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4a＞0， 解得a＜1， 所以a可以取0． 故选：D． 【变式1】（2025•北京）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4 【分析】先计算根的判别式，再根据方程解的情况得关于a的方程，求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0且a≠0． ∴22﹣4a＝0且a≠0． ∴a＝1． 故选：C． 【变式2】（2025•广州）关于x的方程x2﹣x+k2+2＝0根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：由题知，Δ＝（﹣1）2﹣4（k2+2）＝﹣4k2﹣7＜0， 所以方程无实数根． 故选：C． 【题型八】一元二次方程的应用 【例1】（2025•重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 【分析】设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，利用该景区2024年接待游客人次数＝该景区2022年接待游客人次数×（1+该景区这两年接待游客的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x， 根据题意得：25（1+x）2＝36， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%． 故选：B． 【例2】（2025•威海）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【分析】设小路的宽度为xm，则9块矩形地块可合成长为（20﹣4x）m，宽为（14﹣4x）m的矩形，根据小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设小路的宽度为xm，则9块矩形地块可合成长为（20﹣4x）m，宽为（14﹣4x）m的矩形， 根据题意得：（20﹣4x）（14﹣4x）＝24×9， 整理得：2x2﹣17x+8＝0， 解得：x1，x2＝8（不符合题意，舍去）． 答：小路的宽度为m． 【变式1】（2025•淮安）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … （1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式； （2）利用日销售额＝每件的售价×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将（25，15），（28，12）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴y与x之间的函数表达式y＝﹣x+40； （2）根据题意得：xy＝300， 即x（﹣x+40）＝300， 整理得：x2﹣40x+300＝0， 解得：x1＝10，x2＝30． 答：每件玩具的售价为10元或30元． 【变式2】（2025•泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【分析】（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，利用乙种商品2024年每件的进价＝乙种商品2022年每件的进价×（1﹣乙种商品每件进价的年平均下降率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购进y件甲种商品，则购进（100﹣y）件乙种商品，利用进货总价＝进货单价×购进数量，结合进货总价不超过7800元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 根据题意得：125（1﹣x）2＝80， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）． 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%； （2）设购进y件甲种商品，则购进（100﹣y）件乙种商品， 根据题意得：（125﹣25×2）y+80（100﹣y）≤7800， 解得：y≥40， ∴y的最小值为40． 答：最少购进40件甲种商品． 【课后练习】 1．（2024秋•延长县期末）已知方程4x2﹣mx﹣2＝0的一个根是﹣2，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．7 D．﹣7 【分析】把方程的根代入方程中得关于m的一次方程，解方程即可；亦可利用根与系数的关系求出m． 【解答】解：∵方程4x2﹣mx﹣2＝0的一个根是﹣2， ∴4×（﹣2）2+2m﹣2＝0． ∴16+2m﹣2＝0． ∴m＝﹣7， 故选：D． 2．（2024秋•子洲县校级月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2025得到x﹣1＝2024，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为x＝2025． 【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0， 设t＝x﹣1， 所以at2+bt+2＝0， 而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024， 所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2024， 则x﹣1＝2024， 解得x＝2025， 所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为x＝2025． 故选：D． 3．（2024秋•蒲城县月考）若x＝0是关于x的一元二次方程6x2+m+2＝0的一个根，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．0 【分析】将x＝0代入关于x的一元二次方程6x2+m+2＝0，得到m+2＝0，解方程即可． 【解答】解：x＝0是关于x的一元二次方程6x2+m+2＝0的一个根则： ∴m+2＝0， ∴m＝﹣2， 故选：A． 4．（2024秋•碑林区校级月考）已知一元二次方程x2+kx﹣4＝0有一个根为1，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝1代入方程得关于k的一次方程1﹣4+k＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：把x＝1代入方程得1+k﹣3＝0， 解得k＝3． 故选：D． 5．（2024秋•长安区期末）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x﹣a2+1＝0有一个根为0，则a的值等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．1或者﹣1 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝0代入（a﹣1）x2+x﹣a2+1＝0得﹣a2+1＝0，再解关于a的方程，然后利用一元二次方程的定义确定a的值． 【解答】解：把x＝0代入（a﹣1）x2+x﹣a2+1＝0得﹣a2+1＝0，解得a＝1或a＝﹣1， 而a﹣1≠0， 所以a的值为﹣1． 故选：A． 6．（2024秋•子洲县期末）一元二次方程2x2＝4的解是（　　） A．x1＝2，x2＝﹣2 B． C． D．x1＝x2＝2 【分析】用直接开平方法求解即可． 【解答】解：用直接开平方法求解可得： 2x2＝4， x2＝2， ∴， 故选：B． 7．（2024秋•秦都区期末）一元二次方程x2﹣16＝0的根为（　　） A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝4 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4 【分析】先移项，再两边开平方即可得出答案． 【解答】解：∵x2﹣16＝0， ∴x2＝16， 则x1＝4，x2＝﹣4， 故选：D． 8．（2024秋•蓝田县期末）方程x2＝1的根是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣1 D． 【分析】利用直接开平方法判断即可得到结果． 【解答】解：x2＝1 ∴直接开平方得x1＝1，x2＝﹣1， 故选：C． 9．（2024春•蓝田县期末）一元二次方程x2﹣25＝0的解为（　　） A．x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣5 D．x1＝x2＝25 【分析】利用直接开平方法解方程得出答案． 【解答】解：x2﹣25＝0， 则x2＝25， 解得：x1＝5，x2＝﹣5． 故选：B． 10．（2024秋•碑林区校级月考）解方程：3（x﹣1）2﹣12＝0 【分析】方程变形为（x﹣1）2＝4，然后用直接开平方法求解即可． 【解答】解：∵3（x﹣1）2﹣12＝0 ∴3（x﹣1）2＝12， 则（x﹣1）2＝4， ∴x﹣1＝±2， 解得x1＝3，x2＝﹣1． 11．（2024秋•富县期中）解方程：2（x+1）2＝18 【分析】方程两边除以2，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：2（x+1）2＝18， （x+1）2＝9， x+1＝±3， x1＝2，x2＝﹣4． 12．（2024秋•汉中期末）解方程：（3x+2）2＝16． 【分析】利用平方根的性质得到3x+2＝±4，即可求解． 【解答】解：（3x+2）2＝16， 3x+2＝±4， 3x＝﹣2±4， x＝﹣2或． 13．（2025春•临泉县期末）解方程：x2+2x﹣1＝0． 【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形后，开方即可求出解． 【解答】解：方程变形得：x2+2x＝1， 配方得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2， 开方得：x+1＝±， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1． 14．（2024秋•鄠邑区期末）解方程：x2+12x+27＝0（用配方法）． 【分析】利用配方法得到（x+6）2＝9，然后利用直接开平方法解方程． 【解答】解：x2+12x+27＝0， x2+12x＝﹣27， x2+12x+36＝9， （x+6）2＝9， x+6＝±3， 所以x1＝﹣9，x2＝﹣3． 15．（2024秋•临渭区校级月考）用配方法解方程：x2﹣10x+9＝0． 【分析】利用解一元二次方程﹣配方法：先把二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行计算即可解答． 【解答】解：x2﹣10x+9＝0， x2﹣10x＝﹣9， x2﹣10x+25＝﹣9+25， （x﹣5）2＝16， x﹣5＝±4， x﹣5＝4或x﹣5＝﹣4， x1＝9，x2＝1． 16．（2024秋•曲阳县期末）解方程：x2﹣4x﹣3＝0． 【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． 【解答】解：移项得x2﹣4x＝3， 配方得x2﹣4x+4＝3+4， 即（x﹣2）2＝7， 开方得x﹣2＝±， ∴x1＝2，x2＝2． 17．（2024秋•西安期末）解方程：x2﹣4x+2＝0． 【分析】直接利用配方法解方程的步骤分析得出答案． 【解答】解：x2﹣4x+2＝0 x2﹣4x＝﹣2 x2﹣4x+4＝﹣2+4 （x﹣2）2＝2， 则x﹣2＝±， 解得：x1＝2，x2＝2． 18．（2024秋•金台区期中）用适当的方法解下列方程： （1）2（x﹣1）2＝18； （2）x2﹣4x+1＝0． 【分析】（1）方程两边都除以2，再开方，即可得出两个一元一次方程，最后求出方程的解即可； （2）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：（1）原方程整理得（x﹣1）2＝9， 开方得：x﹣1＝±3， 解得：x1＝4，x2＝﹣2； （2）原方程移项得x2﹣4x＝﹣1， 配方，得x2﹣4x+4＝﹣1+4， （x﹣2）2＝3， 开方，得x﹣2， 解得：x1＝2，x2＝2． 19．（2024秋•永寿县校级期中）用配方法解方程：x2﹣2x﹣2＝0． 【分析】，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方． 【解答】解：移项，得 x2﹣2x＝2， 配方，得 x2﹣2x+1＝3， 即（x﹣1）2＝3， 开方，得 x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1． 20．（2024秋•雁塔区校级期中）用配方法解方程：3x2﹣1＝4x． 【分析】首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解． 【解答】∵3x2﹣1＝4x ∴3x2﹣4x＝1 ∴x2x ∴x2x ∴（x）2 ∴x ∴x1，x2． 21．（2024秋•韩城市月考）用配方法解方程：3x2﹣2x﹣1＝0． 【分析】直接根据配方法的步骤进行解方程即可． 【解答】解：3x2﹣2x﹣1＝0， 3x2﹣2x＝1， ， ， ， ， ∴． 22．（2024秋•高陵区期末）用配方法解方程：x2﹣8x﹣1＝0． 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数，即可求解． 【解答】解：原方程移项得， x2﹣8x＝1， ⇒x2﹣8x+16＝1+16， （x﹣4）2＝17， ⇒ 解得． 23．（2024秋•碑林区校级期中）解方程：x（x﹣2）＝7． 【分析】利用配方法求解即可． 【解答】解：x（x﹣2）＝7， x2﹣2x＝7， x2﹣2x+1＝7+1，即（x﹣1）2＝8， ∴x﹣1， ∴x1＝1+2，x2＝1﹣2． 24．（2024秋•延安月考）解方程：x2﹣4x＝3﹣8x． 【分析】利用公式法解一元二次方程即可． 【解答】解：原方程整理得x2+4x﹣3＝0， a＝1，b＝4，c＝﹣3， Δ＝16+12＝28， ∴x， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣2． 25．（2024秋•碑林区校级期末）解方程：x2﹣5x﹣4＝0． 【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解． 【解答】解：这里a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4， ∵△＝25+16＝41， ∴x， 解得：x1，x2． 26．（2024秋•凤翔区期末）解方程：x（x﹣3）+x＝3． 【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【解答】解：∵x（x﹣3）+x＝3， ∴x（x﹣3）+（x﹣3）＝0， 则（x﹣3）（x+1）＝0， ∴x﹣3＝0或x+1＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1． 27．（2024秋•临渭区期末）解方程：x2﹣3x﹣11＝0． 【分析】根据一元二次方程的求根公式，解方程即可． 【解答】解：x2﹣3x﹣11＝0， ∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣11， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣11）＝53， ∴， 即，． 28．（2024秋•泾阳县校级期中）用公式法解方程：x2﹣4x＝3﹣8x． 【分析】先求出根的判别式，然后代入公式求解即可． 【解答】解：整理得，x2+4x﹣3＝0， ∴a＝1，b＝4，c＝﹣3， ∴Δ＝42﹣4×1×（﹣3）＝16+12＝28＞0， ∴， ∴，． 29．（2024秋•永寿县校级期中）用公式法解方程：3x2+2x﹣9＝0． 【分析】利用公式法解一元二次方程即可． 【解答】解：3x2+2x﹣9＝0， a＝3，b＝2，c＝﹣9， Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×3×（﹣9）＝112＞0， ∴x． ∴，． 30．（2024秋•未央区校级期中）解方程：3x2＝6x﹣2． 【分析】移项后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可． 【解答】解：3x2＝6x﹣2， 3x2﹣6x+2＝0， ∵b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×3×2＝12＞0， ∴方程有两个实数根，x， 解得：x1，x2． 31．（2024秋•莲湖区月考）解方程：． 【分析】利用一元二次方程的公式法求解比较简便． 【解答】解：， 去分母，得：x2﹣x﹣2＝2x， 整理，得x2﹣3x﹣2＝0， 这里a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝9+8＝17＞0， ∴， ∴． 32．（2024秋•咸阳校级月考）解方程：x2﹣5x+5＝0． 【分析】利用公式法解一元二次方程． 【解答】解：x2﹣5x+5＝0， ∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×5 ＝25﹣20 ＝5＞0， ∴x， ∴x1，x2． 33．（2024秋•雁塔区校级期中）解方程： （1）（2x﹣1）2﹣25＝0； （2）． 【分析】（1）利用直接开方法求解即可； （2）先化为一般形式，然后根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【解答】解：（1）移项得（2x﹣1）2＝25， ∴2x﹣1＝±5， 解得：x1＝3，x2＝﹣2； （2）移项、合并得， ∴x2+6x﹣18＝0， ∴x2+6x+9＝27， ∴（x+3）2＝27， ∴， 解得：． 34．（2024秋•西安期中）用公式法解方程：2x2﹣5x﹣1＝0． 【分析】根据公式法解一元二次方程的步骤求解即可． 【解答】解：2x2﹣5x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝﹣5，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）＝25+8＝33＞0， ∴x， ∴x1，x2． 35．（2025•河南）一元二次方程x2﹣2x＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】根据Δ＞0，即可判断根的情况． 【解答】解：由条件可得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 36．（2025•安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0 【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据根的判别式的意义判断根的情况． 【解答】解：A、由根的判别式可知：Δ＝02﹣4×1×1＜0， ∴方程无实数根，不符合题意； B、由根的判别式可知：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0， ∴方程有两个相等的实数根，不符合题意； C、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×1＜0， ∴方程无实数根，不符合题意； D、由根的判别式可知：Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 37．（2025•黑龙江）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　） A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程． 【解答】解：由题意可得， 8000（1+x）2＝12000， 故选：B． 38．（2024•淄博）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x， 由题意得：32（1+x）2＝50， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套， ∵240000÷1600＝150（套）， ∴m＞100， 由题意得：m（160040）＝240000， 整理得：m2﹣500m+60000＝0， 解得：m1＝200，m2＝300， 当m＝200时，160040＝1600﹣400＝1200＞1000，符合题意； 当m＝300时，160040＝1600﹣800＝800＜1000，不符合题意，舍去； 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 39．（2024•西藏）列方程（组）解应用题． 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【分析】（1）设商场投入资金的月平均增长率为x，利用六月份投入资金＝四月份投入资金×（1+年平均增长率）2，即可得出x的关于一元二次方程，解之取正值即可； （2）由题意列式计算即可． 【解答】解：（1）设商场投入资金的月平均增长率为x， 依题意得：20（1+x）2＝24.2， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）， 答：商场投入资金的月平均增长率为10%； （2）由题意得：24.2×（1+10%）＝26.62（万元）． 答：预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题十 一元二次方程及应用 【题型一】一元二次方程的一般形式 【例1】（2024秋•莲湖区校级期中）一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的常数项为（　　） A．2 B．3 C．4 D．﹣4 【分析】根据题意利用一元二次方程定义直接得出本题答案． 【解答】解：一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的常数项为﹣4， 故选：D． 【变式1】（2024秋•临渭区期末）将一元二次方程（x+a）2＝b，化成x2﹣8x﹣5＝0的形式，则a，b的值分别是（　　） A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69 【变式2】（2024秋•墨玉县月考）一元二次方程x2+5x﹣1＝0的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（　　） A．1，5，1 B．0，5，﹣1 C．1，5，﹣1 D．0，5，1 【题型二】一元二次方程的解 【例1】（2025•青海）若x＝1是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值为 　3　 ． 【分析】将已知解代入一元二次方程x2﹣4x+c＝0中解得c的值即可． 【解答】解：若x＝1是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根， 则12﹣4×1+c＝0， 解得：c＝3， 故答案为：3． 【变式1】（2025春•雁塔区校级期末）如果x＝﹣1是一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个根，则m的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 【变式2】（2024•凉山州）已知y2﹣x＝0，x2﹣3y2+x﹣3＝0，则x的值为 　 　 ． 【变式3】（2024•深圳）一元二次方程x2﹣4x+a＝0的一个解为x＝1，则a＝　 　 ． 【题型三】解一元二次方程-直接开平方法 【例1】（2025•贵州）一元二次方程x2﹣1＝0的根是 x＝±1　 ． 【分析】把方程化成x2＝1，然后利用直接开平方法解方程即可． 【解答】解：x2﹣1＝0， x2＝1， x＝±1， ∴一元二次方程x2﹣1＝0的根是：x＝±1， 故答案为：x＝±1． 【变式1】（2025•阎良区校级开学）一元二次方程3x2＝6的解为（　　） A．， B．x1＝x2＝2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D． 【变式2】（2024•攀枝花）解方程：（x+1）2﹣4＝0． 【题型四】解一元二次方程-配方法 【例1】（2024•东营）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2023＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 【分析】根据配方法对所给一元二次方程进行转化即可解决问题． 【解答】解：由题知， x2﹣2x﹣2023＝0， x2﹣2x＝2023， x2﹣2x+1＝2023+1， （x﹣1）2＝2024， 所以a＝﹣1，b＝2024， 所以ab＝（﹣1）2024＝1． 故选：D． 【变式1】（2025•无锡）（1）解方程：x2﹣2x﹣2＝0； 【变式2】（2025•徐州）（1）解方程：x2+2x﹣4＝0； 【变式3】（2025春•碑林区校级期末）解方程： （1）2x2﹣4x+1＝0； （2）． 【题型五】解一元二次方程-公式法 【例1】（2025•西安校级三模）用适当的方法解方程：3x2+2x﹣2＝0． 【分析】利用公式法解方程即可． 【解答】解：3x2+2x﹣2＝0， a＝3，b＝2，c＝﹣2， Δ＝4﹣4×3×（﹣2）＝28＞0， ∴x， ∴x1，x2． 【例2】（2025秋•秦都区校级月考）解方程：3x2﹣7x+4＝0． 【分析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得． 【解答】解：∵3x2﹣7x+4＝0， ∴（x﹣1）（3x﹣4）＝0， 则x﹣1＝0或3x﹣4＝0， 解得x1＝1，x2． 【变式1】（2025•灞桥区校级二模）4x2﹣3＝12x（用公式法解） 【变式2】（2024秋•灞桥区校级期中）解方程： （1）4（x﹣1）2＝9； （2）x2﹣3x﹣1＝0． 【题型六】解一元二次方程-因式分解法 【例1】（2025•齐齐哈尔）解方程：x2﹣7x＝﹣12． 【分析】先移项，再将左边因式分解，进一步求解即可． 【解答】解：整理得：x2﹣7x+12＝0， 因式分解得：（x﹣4）（x﹣3）＝0， 所以x﹣4＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝4，x2＝3． 【题型七】根的判别式 【例1】（2025•兰州）若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4a＞0，再解不等式得到a的取值范围，然后利用a的取值范围对各选项进行判断． 【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4a＞0， 解得a＜1， 所以a可以取0． 故选：D． 【变式1】（2025•北京）若关于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4 【变式2】（2025•广州）关于x的方程x2﹣x+k2+2＝0根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【题型八】一元二次方程的应用 【例1】（2025•重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 【分析】设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，利用该景区2024年接待游客人次数＝该景区2022年接待游客人次数×（1+该景区这两年接待游客的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x， 根据题意得：25（1+x）2＝36， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%． 故选：B． 【例2】（2025•威海）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【分析】设小路的宽度为xm，则9块矩形地块可合成长为（20﹣4x）m，宽为（14﹣4x）m的矩形，根据小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设小路的宽度为xm，则9块矩形地块可合成长为（20﹣4x）m，宽为（14﹣4x）m的矩形， 根据题意得：（20﹣4x）（14﹣4x）＝24×9， 整理得：2x2﹣17x+8＝0， 解得：x1，x2＝8（不符合题意，舍去）． 答：小路的宽度为m． 【变式1】（2025•淮安）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … （1）求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 【变式2】（2025•泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【课后练习】 1．（2024秋•延长县期末）已知方程4x2﹣mx﹣2＝0的一个根是﹣2，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．7 D．﹣7 2．（2024秋•子洲县校级月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 3．（2024秋•蒲城县月考）若x＝0是关于x的一元二次方程6x2+m+2＝0的一个根，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．0 4．（2024秋•碑林区校级月考）已知一元二次方程x2+kx﹣4＝0有一个根为1，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3 5．（2024秋•长安区期末）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x﹣a2+1＝0有一个根为0，则a的值等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．1或者﹣1 6．（2024秋•子洲县期末）一元二次方程2x2＝4的解是（　　） A．x1＝2，x2＝﹣2 B． C． D．x1＝x2＝2 7．（2024秋•秦都区期末）一元二次方程x2﹣16＝0的根为（　　） A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝4 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4 8．（2024秋•蓝田县期末）方程x2＝1的根是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣1 D． 9．（2024春•蓝田县期末）一元二次方程x2﹣25＝0的解为（　　） A．x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣5 D．x1＝x2＝25 10．（2024秋•碑林区校级月考）解方程：3（x﹣1）2﹣12＝0 11．（2024秋•富县期中）解方程：2（x+1）2＝18 12．（2024秋•汉中期末）解方程：（3x+2）2＝16． 13．（2025春•临泉县期末）解方程：x2+2x﹣1＝0． 14．（2024秋•鄠邑区期末）解方程：x2+12x+27＝0（用配方法）． 15．（2024秋•临渭区校级月考）用配方法解方程：x2﹣10x+9＝0． 16．（2024秋•曲阳县期末）解方程：x2﹣4x﹣3＝0． 17．（2024秋•西安期末）解方程：x2﹣4x+2＝0． 18．（2024秋•金台区期中）用适当的方法解下列方程： （1）2（x﹣1）2＝18； （2）x2﹣4x+1＝0． 19．（2024秋•永寿县校级期中）用配方法解方程：x2﹣2x﹣2＝0． 20．（2024秋•雁塔区校级期中）用配方法解方程：3x2﹣1＝4x． 21．（2024秋•韩城市月考）用配方法解方程：3x2﹣2x﹣1＝0． 22．（2024秋•高陵区期末）用配方法解方程：x2﹣8x﹣1＝0． 23．（2024秋•碑林区校级期中）解方程：x（x﹣2）＝7． 24．（2024秋•延安月考）解方程：x2﹣4x＝3﹣8x． 25．（2024秋•碑林区校级期末）解方程：x2﹣5x﹣4＝0． 26．（2024秋•凤翔区期末）解方程：x（x﹣3）+x＝3． 27．（2024秋•临渭区期末）解方程：x2﹣3x﹣11＝0． 28．（2024秋•泾阳县校级期中）用公式法解方程：x2﹣4x＝3﹣8x． 29．（2024秋•永寿县校级期中）用公式法解方程：3x2+2x﹣9＝0． 30．（2024秋•未央区校级期中）解方程：3x2＝6x﹣2． 31．（2024秋•莲湖区月考）解方程：． 32．（2024秋•咸阳校级月考）解方程：x2﹣5x+5＝0． 33．（2024秋•雁塔区校级期中）解方程： （1）（2x﹣1）2﹣25＝0； （2）． 34．（2024秋•西安期中）用公式法解方程：2x2﹣5x﹣1＝0． 35．（2025•河南）一元二次方程x2﹣2x＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 36．（2025•安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2+1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2+x﹣1＝0 37．（2025•黑龙江）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　） A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 38．（2024•淄博）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 39．（2024•西藏）列方程（组）解应用题． 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $