精品解析：江西省九江市湖口县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

湖口县2025—2026学年度上学期第一次阶段性学情评估 八年级数学 一、单项选择题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四个数中，是无理数的是（　　） A. 3.14 B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列表示的图象，y不是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、（） 5. 已知是一次函数的图象上三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 在同一坐标系中，函数与的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系内，点到轴的距离是______． 8. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 9. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 10. 已知函数是一次函数，则___________． 11. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处．则蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为________． 12. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间（t）分之间的关系如图所示，下列结论： ①甲步行的速度为60米/分； ②乙走完全程用了30分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有360米．其中正确的结论有____________．（填序号） 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 14. 已知：x﹣6和3x+14是a的两个不同的平方根，2y+2是a的立方根． （1）求x，y，a的值； （2）求1﹣4x的算术平方根． 15. 已知y+1与x﹣1成正比例，且当x＝3时，y＝﹣5，求y与x的函数表达式． 16. 已知 . （1）求a的值； （2）若a 、b分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长，求另一条直角边的长度. 17. 平面直角坐标系中，已知点． （1）若点M在x轴上，求点M坐标； （2）若点M在二、四象限的角平分线上，求点M坐标； （3）在同一平面直角坐标系中，点，且轴，求点M坐标． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示． （1）作出关于y轴对称的，并写出点的坐标，（___________）； （2）的面积为___________； （3）在轴上画点，使最小． 19. 某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为（万元）． （1）求与之间的函数表达式（不需要写出自变量取值范围）； （2）根据市场调研发现，甲产品需求量吨数范围是．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润． 20. 如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价元，一盒球标价元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍副，乒乓球x（）盒． （1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元），（元）与x（盒）之间的函数关系式． （2）如果学校需要购买盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？ （3）如果学校提供经费为元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？ 22. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： 因为，所以 所以，即，所以． 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：___________； （2）计算：； （3）若，求的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点． （1）填空： ， ； （2）求的面积； （3）在线段上是否存在一点M，使得的面积与四边形的面积比为？ 若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （4）点P在线段上，连接，若是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖口县2025—2026学年度上学期第一次阶段性学情评估 八年级数学 一、单项选择题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分） 1. 下列四个数中，是无理数的是（　　） A. 3.14 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无限不循环小数为无理数逐项分析即可． 【详解】解：3.14为有限小数，不是无理数，故A不符合题意； 是分数，不是无理数，故B不符合题意； 是无理数，故C符合题意； ，为整数，不是无理数，故D不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了无理数的概念．解题的关键是掌握无理数的概念，注意初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），等有这样规律的数． 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标特征，根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征即可求解，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵ 点的横坐标，纵坐标， ∴ 点在第四象限， 故选：． 3. 下列表示的图象，y不是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练理解函数的概念是解题的关键，根据函数的概念，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，则y与x有函数关系，由此分析即可． 【详解】A．图象中每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，y是x的函数，故选项不符合题意； B．图象中每一个确定的值，有两个确定的值与它对应，y不是x的函数，故选项符合题意； C．图象中每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，y是x的函数，故选项不符合题意； D．图象中每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，y是x的函数，故选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、（） 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：“如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”判定即可． 【详解】解： A．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D．，能构成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而做出判断． 5. 已知是一次函数的图象上三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质．根据一次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵是一次函数的图象上三点， 且， ∴． 故选：C． 6. 在同一坐标系中，函数与的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】A、函数中的＜0，而函数中＜0，则＞0，两个的取值不一致，故此选项错误； B、函数的＜0，而函数中＞0，则＜0，两个的取值一致，故此选项正确； C、函数的＞0，而函数中＞0，则＜0，两个的取值不一致，故此选项错误； D、图象中无正比例函数图象，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象，关键是掌握正比例函数的性质和一次函数的性质． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系内，点到轴的距离是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系内点到坐标轴的距离．掌握点到轴的距离是其纵坐标的绝对值，点到轴的距离是其横坐标的绝对值是解题关键． 【详解】解：点到轴的距离是9． 故答案为：9． 8. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负是解题的关键； 根据二次根式的被开方数是非负数可得，再解不等式即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则，即； 故答案为：． 9. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 10. 已知函数是一次函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数是一次函数，可得且，从而可得答案． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得：， 故答案为： 【点睛】本题考查的是一次函数的定义，熟记一次函数的定义是解本题的关键． 11. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处．则蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键，将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， 圆柱形玻璃杯底面周长为，杯底的点处，沿与蜂蜜相对的点处， ，，， ， 故答案为：10． 12. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间（t）分之间的关系如图所示，下列结论： ①甲步行的速度为60米/分； ②乙走完全程用了30分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有360米．其中正确的结论有____________．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以逐个判断结论是否正确即可解答． 【详解】解：根据图象，甲步行4分钟走了240米， ∴甲步行的速度为240÷4=60（米/分），故①正确； 由图象可知，甲出发16分钟后乙追上甲，则乙用了16－4=12（分钟）追上甲，故③错误； ∴乙的速度为16×60÷12=80（米/分）， 则乙走完全程的时间为2400÷80=30（分），故②正确； 当乙到达终点时，甲步行了60×（30+4）=2040（米）， ∴甲离终点还有2400－2040=360（米），故④正确； 综上，正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答的关键是理解题意，利用数形结合思想获取所求问题需要的条件． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先根据算术平方根、立方根的定义进行化简，然后再进行计算即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 14. 已知：x﹣6和3x+14是a的两个不同的平方根，2y+2是a的立方根． （1）求x，y，a的值； （2）求1﹣4x的算术平方根． 【答案】（1）x=﹣2，y=1，a=64；（2）3. 【解析】 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数列方程求出x的值，再求出a，然后根据立方根的定义求出y即可； （2）先求出1-4x，再根据算术平方根的定义解答． 【详解】解：（1）由题意得：（x﹣6）+（3x+14）=0， 解得，x=﹣2， 所以，a=（x﹣6）2=64； 又∵2y+2是a的立方根， ∴2y+2==4， ∴y=1， 即x=﹣2，y=1，a=64； （2）由（1）知：x=﹣2， 所以，1﹣4x=1﹣4×（﹣2）=9， 所以，==3， 15. 已知y+1与x﹣1成正比例，且当x＝3时，y＝﹣5，求y与x的函数表达式． 【答案】y＝﹣2x+1． 【解析】 【分析】利用正比例函数的定义，设y+1＝k（x﹣1）（k≠0），然后把已知得一组对应值代入求出k即可得到y与x的函数表达式. 【详解】∵y+1与x﹣1成正比例， ∴设y+1＝k（x﹣1）（k≠0）， 将x＝3，y＝﹣5代入得：﹣5+1＝（3﹣1）×k，解得k＝﹣2， 所以，y+1＝﹣2（x﹣1）， 所以y与x的函数表达式为：y＝﹣2x+1． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数值，进而写出函数解析式. 16. 已知 . （1）求a的值； （2）若a 、b分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长，求另一条直角边的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据二次根式有意义的条件，即可求得a的值； (2)首先根据，可得，再根据勾股定理，即可求得另一条直角边的长度． 【小问1详解】 解：， ，， ； 【小问2详解】 解：，， ，解得， 、b分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长， 另一条直角边的长度为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，勾股定理，熟练掌握和运用二次根式有意义的条件是解决本题的关键． 17. 平面直角坐标系中，已知点． （1）若点M在x轴上，求点M坐标； （2）若点M在二、四象限的角平分线上，求点M坐标； （3）在同一平面直角坐标系中，点，且轴，求点M坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由x轴上的点的纵坐标为0，再列方程求解即可； （2）根据二、四象限的角平分线上的点的横纵坐标互为相反数，再建立方程求解即可； （3）由平行于y轴的直线上的点的横坐标相等，再列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在x轴上， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵点在二、四象限的角平分线上， ∴M的横纵坐标互为相反数， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 ∵点，且轴，， ∴A，M的横坐标相等，即， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查的是坐标系内点的坐标特点，掌握x轴上点的坐标特点，二、四象限角平分线上点的坐标特点，平行于y轴的直线上点的坐标特点是解本题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示． （1）作出关于y轴对称的，并写出点的坐标，（___________）； （2）的面积为___________； （3）在轴上画点，使最小． 【答案】（1）如图所示：即为所求， （2）5 （3） 如图所示：点P即为所求． 【解析】 【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用所在长方形面积减去周围三角形面积进而得出答案； （3）先确定关于轴的对称点，再连接交轴于则此时满足要求． 【小问1详解】 解：， 故答案为：， 【小问2详解】 △ABC的面积为： ； 故答案为：5； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查的是轴对称的作图，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解本题的关键. 19. 某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为（万元）． （1）求与之间的函数表达式（不需要写出自变量取值范围）； （2）根据市场调研发现，甲产品需求量吨数范围是．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润． 【答案】（1）y＝−0.1x＋1000； （2）该工厂生产甲产品1000吨、乙产品1500吨时，能获得最大利润． 【解析】 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数表达式； （2）根据（1）中的函数解析式和一次函数的性质，结合甲产品需求量吨数范围求解即可． 【小问1详解】 设该工厂生产了甲产品x吨，则生产了乙产品（2500−x）吨， y＝0.3x＋0.4（2500−x）＝−0.1x＋1000， 即y与x之间的函数表达式是y＝−0.1x＋1000； 【小问2详解】 ∵y＝−0.1x＋1000， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝1000时，y取得最大值，此时2500−x＝1500， 答：该工厂生产甲产品1000吨、乙产品1500吨时，能获得最大利润． 【点睛】本题考查一次函数的应用和性质，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求解． 20. 如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 【答案】（1） （2）需要， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）过作，因为，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，通过三角形的面积转化，即可求解； （2）以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，由等腰三，比较与的大小即可判断，由勾股定理得，即可求解．掌握勾股定理及其逆定理，能作出适当的辅助线，将实际问题转化为勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得 ，，， 如图，过作， ， ， 是直角三角形，且， ， ， 解得：， 答：山地C距离公路的垂直距离为； 【小问2详解】 解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下： 如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，， 则， ， ， 由（1）可知，， ， 有危险需要暂时封锁， 在中， ， ， 即需要封锁的公路长为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价元，一盒球标价元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍副，乒乓球x（）盒． （1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元），（元）与x（盒）之间的函数关系式． （2）如果学校需要购买盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？ （3）如果学校提供经费为元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？ 【答案】（1） （2）方案甲更省钱 （3）学校提供经费为元，选择方案甲能购买更多乒乓球 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用．熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）根据购买费用=单价×数量，建立关系表示的函数关系式即可； （2）将分别代入，计算求解，然后比较作答即可； （3）当元，当元，分别计算对应的的值，然后比较作答即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ， ∴； 【小问2详解】 解：由题意知，当时，（元）， （元）， ∵， ∴方案甲更省钱； 【小问3详解】 解：由题意知，当元时，，解得：， 当元时，， 解得：， ∵， ∴学校提供经费为元，选择方案甲能购买更多乒乓球． 22. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： 因为，所以 所以，即，所以． 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：___________； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）9 （3）5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算和求值，熟练掌握分母有理化的方法、弄清题干中提供的求值方法是解题的关键； （1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）先将式子中的每一项都分母有理化，再计算加减即可； （3）仿照题干中的方法进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为： 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∴，即 ∴． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点． （1）填空： ， ； （2）求的面积； （3）在线段上是否存在一点M，使得的面积与四边形的面积比为？ 若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （4）点P在线段上，连接，若是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标． 【答案】（1）3，6 （2）50 （3）存在， （4）或 【解析】 【分析】（1）将代入得，，解得，，即，将代入得，，解得，，然后作答即可； （2）由（1）可知，，当时，，解得，，即，当时，，解得，，即，，根据，计算求解即可； （3）由的面积与四边形的面积比为，，可得，当时，，即，设，则，根据，计算求解，然后作答即可； （4）由题意知，分，两种情况求解：当时，设，则，，，由勾股定理得，，即，计算求解即可；当时，即，则． 【小问1详解】 解：将代入得，，解得，， ∴， 将代入得，，解得，， 故答案为：3，6； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 当时，，解得，，即， 当时，，解得，，即， ∴， ∴， ∴的面积为50； 【小问3详解】 解：∵的面积与四边形的面积比为，， ∴， 当时，，即， 设，则， ∴，解得，， ∴， ∴存在，且； 【小问4详解】 解：由题意知，分，两种情况求解： 当时， 设，则，， ∵， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴； 当时，即， ∴； 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，两直线的交点，坐标与图形，直线与坐标轴的交点，勾股定理等知识．对知识的熟练掌握并分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $