精品解析：江苏省镇江市2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

2025~2026学年第一学期镇江市高三期中质量监测 数学试卷 2025.12 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求补集，再求交集即可. 【详解】因为，， 所以，所以， 故选：B. 2. 设是虚数单位，若复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法求出，进而求出其虚部. 【详解】依题意，， 所以复数的虚部为. 故选：C 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可． 【详解】取，满足，但是，即，充分性不成立； 取，满足，但是，即，必要性不成立． 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 4. 抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，且有一个公共的焦点，则双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在渐近线上可求得，结合抛物线准线可得其焦点坐标，由此可构造方程求得，进而得到双曲线方程. 【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为：， 在双曲线的一条渐近线上，又，，即； 由题意知：抛物线准线为：，抛物线的焦点为， ，解得：， 双曲线方程为：，即. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系和正切二倍角公式求解. 【详解】由得， 解得， 因为，所以，所以， 又因为， 所以， 由解得，所以， 所以. 故选:C. 6. 某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）的关系为：（，是正的常数）．如果在前5h消除了10%的污染物，那么污染物减少50%需要花多少时间（ ）（精确到1h，参考数据lg2≈0.301，lg3≈0.477） A. 31 h B. 33 h C. 35 h D. 37 h 【答案】B 【解析】 【分析】先求出常数，然后再令即可解出． 【详解】由题意知，，解得， 那么， 当时，有， 解得，即污染物减少需要花33h. 故选：B 7. 已知角，，的对边分别为，，，，为上一点，且，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积运算化简条件式可得，结合基本不等式运算得解. 【详解】由，则， ，即， 整理得， ，又， ，即， ，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为8. 故选：D. 8. 如图，某圆柱完全在一个棱长为9的空心正四面体内部，该圆柱的下底面落在此正四面体一个底面上，当该圆柱体积最大时，其底面半径为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设圆柱的上、下底面圆心分别为，求得且，设圆柱的底面圆的半径为，高为，根据，得到，结合圆柱的体积公式，求得，令，利用导数求得函数的单调性和最大值点，即可求解. 【详解】如图所示，设圆柱的上、下底面圆心分别为，其中也是底面正的中心， 因为正四面体的棱长为，可得， 在直角中，可得，且， 设圆柱的底面圆的半径为，高为， 由，可得，即，解得， 则圆柱的体积为，其中， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值，即圆柱的体积取得最大值. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在长方体中，，，动点在棱上，则（ ） A. B. C. 三棱锥的体积是定值 D. 若，则长为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A,由平行的传递性知A错误；对于B，建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，由，可得解；对于C，三棱锥的体积，故C正确；对于D，由，解得，故D正确. 【详解】如图： 对于A，，与不平行，故A错误； 对于B，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，故.故B正确； 对于C,点到平面的距离为，三棱锥的体积 故C正确； 对于D，，解得，所以长为1，故D正确. 故选：BCD 10. 已知直线，圆，则（ ） A. 动直线经过定点 B. 圆心到直线的最大距离为 C. 当直线与圆相交时， D. 当时，圆上有两个不同的点到直线的距离为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线过定点、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A：将直线方程进行变换可得， 则有，解得. 所以直线经过定点，所以A错误； 对于B：圆的方程变换为， 所以圆心到直线的距离为. 因为，所以，所以B错误； 对于C：当直线与圆相交时，那么， 化简得，解得，所以C正确； 对于D：当时，直线的方程为. 此时圆心到直线的距离为，所以圆上有两个不同的点到该直线的距离为，D正确； 故选：CD. 11. 设函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个正周期为 C. 的一个单调减区间是 D. 函数在区间上有2026个零点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的对称性、周期性、零点，结合诱导公式、辅助角公式、余弦型函数的单调性逐一判断即可. 【详解】因为， 所以的图象关于直线对称，因此选项A正确； 因为， 所以的一个正周期为，因此选项B正确； 当时，， 因为， 所以此时函数单调递增，因此选项C错误； 要想有最小值，只需都是零点， 因为该函数是以为周期的周期函数， 所以我们可以假设， 当时，， 令 ， 因此当时， 假设时，要想有2026个零点只需， 此时， 若时，要想有2026个零点只需， 此时， 因为， 所以的最小值为，因此选项D正确， 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，请用基底，表示__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理进行表示即可. 【详解】假设竖直向上的一个向量的起点与终点在网格的格点上，且长度为最小正方形边长， 那么，所以有， 那么. 故答案为：. 13. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】将小正方形与大正方形的面积之比表示关于的三角函数，从而可求，再结合同角关系求的值. 【详解】大正方形的边长为，则小正方形的边长为， 依题意，，则，即， 由，得，则， 由，得，所以， 故答案为： 14. 已知函数，若函数，则的所有零点之积为__________；方程有三个不同的解，则实数的范围为__________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】根据题意函数的零点即方程的根，作出函数的图象，数形结合求解；方程有三个不同的解，即与的图象有三个不同的交点，求出曲线过原点的切线斜率，数形结合求解. 【详解】由题，函数的零点即方程的根，作出函数的图象，如图， 与的图象共4个交点，从右到左依次是， 当时，，则，得，故，即， 同理，可得， 所以，即的所有零点之积为1. 作出函数的图象如图， 方程有三个不同的解，即与的图象有三个不同的交点， 当时，，则，设切点为， 所以曲线过原点的切线斜率，解得， 所以曲线过原点的切线斜率， 要使得与的图象有三个不同的交点，则，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为：1，. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的面积记为.请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题. ①；②；③ 内角，，的对边分别为，，，已知__________. （1）若，，求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）选①，根据正弦定理边角互换，再结合恒等变形可得；选②，由数量积及三角形面积公式可得即可求解；选③，整理化简得，再利用余弦定理求解即可； （2）由正弦定理得，，再根据恒等变形化简得，结合锐角三角形及正弦型函数求值域即可． 【小问1详解】 选①在中，由及正弦定理，得， 则，即， 整理得：，又， 因此，又， 所以. 选②由，得， 因为，所以，又， 所以. 选③由，得到， 所以， 又，所以. 根据余弦定理， 得. 即，整理得. 解得或（舍去）.所以. 【小问2详解】 由， 得，， 因为，则，， 所以， ， 因为为锐角三角形，所以则， 所以，即取值范围为. 16. （1）椭圆的定义是“动点到两个定点的和为定值的点的轨迹”.如果椭圆的焦点分别为，，长轴长为，请根据该定义，推导椭圆标准方程； （2）设为（1）中椭圆上一点，当最大时，求点坐标. 【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义列式，化简即可； （2）结合椭圆的定义及余弦定理可得解. 【详解】（1）设为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知， 即， ， 移项平方得：， 整理得：. 两边平方得：， 整理得：. 因为，设，于是得. 两边同除以，得椭圆方程为. （2）在中，设，，，. 则 ， 当且仅当，即时，. 此时最大，此时点坐标为. 17. 已知三棱锥中，是边长为的等边三角形，，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 在三棱锥中，取中点，连接，， 由是边长为的等边三角形，得，， 由，得，， 在中，，，，则， 即，而为二面角的平面角， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出二面角的平面角为直角即可推理得证. （2）建立空间直角坐标系，平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量为， 则，取，得， 而平面的法向量为， 因此，， 所以二面角的正弦值为. 18. 已知函数，. （1）当时，求函数的值域； （2）当，时. ①判断函数的零点个数； ②设函数，若方程（）有两个不相等的正数解，证明：. 【答案】（1） （2）①有且只有一个零点；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的值域. （2）①把代入，利用导数，结合零点存在性定理判断得解；②由给定条件，可得并利用基本不等式变形，再构造函数并利用导数推理得证. 【小问1详解】 当时，，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则，且当时，，当时，， 所以函数的值域为. 【小问2详解】 ①当，时，，求导得， 函数在上单调递增，而， 所以函数有且只有一个零点； ②设的零点为，则当时，；当时，， 因此，而方程有两个不相等的正数解， 不妨设，则，，即， 于是，而， 即，即，令，，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，且， 所以. 19. 已知双曲线：的离心率为，与轴交于点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若动直线：与双曲线交于异于点的不同两点，. ①若，求此时直线的方程； ②经过，，三点的动圆是否经过异于点的定点，如果存在，请求出定点坐标；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在，定点. 【解析】 【分析】（1）由双曲线的离心率为，且与轴交于点，得到，求解； （2）①由，得到，再根据，由求解；②设经过，，三点的动圆方程，与直线方程联立消去y与，利用待定系数法求解. 【小问1详解】 已知双曲线的离心率为，且与轴交于点. 则，， 则， 所以双曲线的标准方程是：； 【小问2详解】 如图所示： ①由，得， 则恒成立， 且，. 设，，由，得，即. 则，. 即. 即. 解得（舍）或，即直线的方程是. ②设经过，，三点的动圆方程， 将代入，得， 设，，则， 消去得， 由，得， 即， 即，. 所以，，. 所以圆的方程为， 即， 令，（舍）或 所以经过，，三点的动圆经过异于点的定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期镇江市高三期中质量监测 数学试卷 2025.12 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是虚数单位，若复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，且有一个公共的焦点，则双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）的关系为：（，是正的常数）．如果在前5h消除了10%的污染物，那么污染物减少50%需要花多少时间（ ）（精确到1h，参考数据lg2≈0.301，lg3≈0.477） A. 31 h B. 33 h C. 35 h D. 37 h 7. 已知角，，的对边分别为，，，，为上一点，且，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某圆柱完全在一个棱长为9的空心正四面体内部，该圆柱的下底面落在此正四面体一个底面上，当该圆柱体积最大时，其底面半径为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在长方体中，，，动点在棱上，则（ ） A. B. C. 三棱锥的体积是定值 D. 若，则长为1 10. 已知直线，圆，则（ ） A. 动直线经过定点 B. 圆心到直线的最大距离为 C. 当直线与圆相交时， D. 当时，圆上有两个不同的点到直线的距离为 11. 设函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的一个正周期为 C. 的一个单调减区间是 D. 函数在区间上有2026个零点，则的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，请用基底，表示__________. 13. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为__________. 14. 已知函数，若函数，则的所有零点之积为__________；方程有三个不同的解，则实数的范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的面积记为.请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题. ①；②；③ 内角，，的对边分别为，，，已知__________. （1）若，，求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 16. （1）椭圆的定义是“动点到两个定点的和为定值的点的轨迹”.如果椭圆的焦点分别为，，长轴长为，请根据该定义，推导椭圆标准方程； （2）设为（1）中椭圆上一点，当最大时，求点坐标. 17. 已知三棱锥中，是边长为的等边三角形，，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 18. 已知函数，. （1）当时，求函数的值域； （2）当，时. ①判断函数的零点个数； ②设函数，若方程（）有两个不相等的正数解，证明：. 19. 已知双曲线：的离心率为，与轴交于点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若动直线：与双曲线交于异于点的不同两点，. ①若，求此时直线的方程； ②经过，，三点的动圆是否经过异于点的定点，如果存在，请求出定点坐标；如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $