第13章 勾股定理【章末复习】习题课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

华东师大版（2024）版数学8年级上册 第13章 勾股定理 章末复习 1. 如图，长为的橡皮筋放置在直线上，固定两端点 和，然后把中点向上拉升至 点，则橡皮筋被拉长了 ( ) （第1题） A. B. C. D. √ 返回 # 第13章 勾股定理 章末复习（幻灯片分页内容） ## 第1页：复习导入——构建知识网络 - 本章核心：勾股定理及其逆定理的推导与应用，是直角三角形的核心性质，也是几何计算与判定的重要工具。 - 知识脉络：勾股定理（直角三角形边长关系）→ 勾股定理逆定理（直角三角形判定）→ 反证法（辅助证明）→ 实际应用（几何计算、最短路径、航海等）。 - 复习目标：熟练掌握勾股定理及逆定理的内容与应用，会用勾股定理解决边长计算、最短路径等问题，能通过逆定理判定直角三角形，理解反证法的基本思路。 ## 第2页：核心知识点1——勾股定理（直角三角形的性质） ### 1. 定理内容 - 文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 - 符号表示：在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边为a、b，斜边为c，则\(a^2 + b^2 = c^2\)。 - 历史背景：我国古代《周髀算经》中“勾三股四弦五”是其特殊形式，是人类最早发现的几何定理之一。 ### 2. 公式变形（灵活求边长） - 求斜边：\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)（c>0）； - 求直角边：\(a = \sqrt{c^2 - b^2}\)，\(b = \sqrt{c^2 - a^2}\)（a、b>0）。 ### 3. 适用条件 - 仅适用于**直角三角形**，斜三角形不能直接应用； - 应用时需先明确直角边和斜边（最长边为斜边）。 ### 4. 基础示例 - 例：在Rt△ABC中，∠B=90°，a=6，b=10（斜边），求c的长度。 解：由勾股定理得\(c^2 = b^2 - a^2 = 10^2 - 6^2 = 64\)，∴c=8（边长为正，舍去负根）。 ## 第3页：核心知识点2——勾股定理的逆定理（直角三角形的判定） ### 1. 定理内容 - 文字表述：如果三角形的三边长a、b、c满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角。 - 符号表示：在△ABC中，若\(a^2 + b^2 = c^2\)，则∠C=90°，△ABC为直角三角形。 ### 2. 核心作用 - 由“三边关系”判定“直角三角形”，是直角三角形的重要判定方法（补充了角度判定、中线判定等）。 ### 3. 应用步骤 - 第一步：确定三角形的最长边（设为c）； - 第二步：计算较短两边的平方和（\(a^2 + b^2\)）与最长边的平方（\(c^2\)）； - 第三步：比较两者是否相等，相等则为直角三角形，否则不是。 ### 4. 基础示例 - 例：判断边长为5、12、13的三角形是否为直角三角形。 解：最长边为13，计算\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\)，∴该三角形是直角三角形。 ## 第4页：核心知识点3——勾股数与反证法 ### 1. 勾股数 - 定义：能够成为直角三角形三条边长的三个**正整数**，称为勾股数。 - 常见勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17等。 - 性质：一组勾股数的正整数倍仍是勾股数（如3、4、5的2倍6、8、10也是勾股数）。 ### 2. 反证法（辅助证明工具） - 定义：先假设命题的结论不成立，再通过推理得出矛盾，从而证明原命题成立的证明方法。 - 基本步骤：反设→归谬→矛盾→结论。 - 适用场景：解决“否定性”“唯一性”“至少/至多”类命题（如证明“一个三角形中不能有两个直角”）。 ## 第5页：核心知识点4——勾股定理的实际应用 ### 1. 几何计算类 - 场景：求直角三角形的边长、斜边上的高、折叠问题中的边长。 - 示例：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=8，b=6，求斜边上的高CD。 解：先求斜边\(AB = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\)；由面积法\(\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}AB \cdot CD\)，得\(CD = \frac{ab}{AB} = 4.8\)。 ### 2. 立体图形最短路径类 - 核心技巧：“展曲为平”，将立体图形（长方体、圆柱）的表面展开为平面图形，再用勾股定理求直线距离。 - 示例：长方体长5cm、宽4cm、高3cm，蚂蚁从一个顶点爬到对角顶点，求最短路径。 解：三种展开方式，计算得最短路径为\(\sqrt{(4+3)^2 + 5^2} = \sqrt{74}\)cm。 ### 3. 实际场景类 - 场景：航海、测量、建筑等（如航海中判断方位、测量山体高度、梯子靠墙问题）。 - 示例：轮船从A港正东行24海里到B，再正北行10海里到C，求AC的距离。 解：△ABC为直角三角形，\(AC = \sqrt{24^2 + 10^2} = 26\)海里。 ## 第6页：易错点辨析——避开常见误区 1. 混淆直角边与斜边：应用勾股定理时，未明确最长边为斜边，导致公式误用（如将斜边当作直角边代入\(a^2 + b^2 = c^2\)）； 纠正：先标记直角顶点，确定最长边为斜边，再对应a、b、c代入公式。 2. 忽略分类讨论：已知直角三角形两边长，求第三边时漏解（如已知两边为3和4，未考虑4为斜边的情况）； 纠正：题目未明确直角边和斜边时，分“两边为直角边”和“较长边为斜边”两种情况计算。 3. 勾股数判断错误：将非正整数数组当作勾股数（如0.3、0.4、0.5）； 纠正：勾股数必须是正整数，满足\(a^2 + b^2 = c^2\)。 4. 立体图形最短路径漏算展开方式：长方体表面最短路径需考虑三种展开情况，避免只算一种导致结果错误； 纠正：列出所有可能的展开方式，分别计算路径长度，再取最小值。 5. 反证法反设错误：未准确否定原命题结论（如“至少一个”的反面是“一个也没有”，而非“至多一个”）； 纠正：明确结论的反面，确保反设准确，才能推导得出矛盾。 ## 第7页：典例精析——分层突破 ### 1. 基础题（定理直接应用） - 例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=12，c=13，求b的长度。 解：\(b^2 = c^2 - a^2 = 13^2 - 12^2 = 25\)，∴b=5。 - 例2：判断边长为9、12、15的三角形是否为直角三角形，若是，求其面积。 解：\(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2\)，∴是直角三角形；面积\(\frac{1}{2}×9×12 = 54\)。 ### 2. 进阶题（综合应用与分类讨论） - 例3：已知直角三角形的两边长为6和8，求第三边的长度。 解：分两种情况： ① 6和8为直角边：第三边（斜边）\(c = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\)； ② 8为斜边，6为直角边：第三边（直角边）\(b = \sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\)； 综上，第三边长度为10或\(2\sqrt{7}\)。 - 例4：圆柱底面半径为2cm，高为5cm，蚂蚁沿圆柱侧面从A爬到B，求最短路径（π取3）。 解：展开圆柱侧面为长方形，长=底面周长\(2πr = 12\)cm，宽=高5cm； 最短路径\(\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13\)cm。 ### 3. 综合题（定理+其他几何知识） - 例5：在△ABC中，AB=20，AC=15，BC=25，求△ABC的面积及AB边上的高。 解：∵\(15^2 + 20^2 = 25^2\)，∴△ABC是直角三角形，∠A=90°； 面积\(\frac{1}{2}×15×20 = 150\)；设AB边上的高为h，由\(\frac{1}{2}×20×h = 150\)，得h=15。 ## 第8页：课堂练习——分层巩固 ### 基础题（夯实基础） 1. 在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=5，AC=12，求BC的长度（答案：13）； 2. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A. 7、24、25 B. 9、12、15 C. 1、2、3 D. 5、12、13（答案：C）； 3. 用反证法证明“一个三角形中不能有两个钝角”（提示：反设三角形有两个钝角，推导内角和大于180°，矛盾）。 ### 提高题（能力提升） 1. 长方体长8cm、宽6cm、高10cm，求蚂蚁从一个顶点爬到对角顶点的最短路径（答案：\(2\sqrt{74}\)cm）； 2. 已知△ABC的三边长为a、b、c，满足\(a^2 + b^2 + c^2 = 10a + 24b + 26c - 338\)，判断△ABC的形状（答案：直角三角形）； 3. 一艘轮船从港口出发，向东北方向航行10√2海里，再向西北方向航行10海里，求此时轮船与港口的距离（答案：10海里）。 ## 第9页：课堂小结与课后作业 ### 课堂小结 1. 两大核心定理：勾股定理（直角三角形边长关系）、勾股定理逆定理（直角三角形判定）； 2. 两个关键技巧：分类讨论（已知两边求第三边）、展曲为平（立体图形最短路径）； 3. 一个辅助方法：反证法（解决特殊命题的证明）； 4. 核心思想：转化思想（将立体问题转化为平面问题，将斜三角形问题转化为直角三角形问题）。 ### 课后作业 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，c=25，a=7，求b及斜边上的高； 2. 已知△ABC的三边长为5、12、x，求x的取值范围并判断△ABC是否为直角三角形； 3. 用反证法证明“在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线平行”； 4. 一个门框的尺寸如图（长2m，宽1m），一块长3m、宽2.2m的长方形木板能否通过该门框？请说明理由。 2 （第2题） 2. 如图，一圆柱体 的底面周长为，高为， 是 直径，一只蚂蚁从点 出发沿着圆柱体的侧 面爬行到点 的最短路程是( ) A. B. C. D. √ 返回 3 （第3题） 3.［2025洛阳期末］如图，在离水面 高度为8米的岸上，有人用绳子拉船 靠岸，开始时绳子 的长为17米， 几分钟后船到达点 的位置，此时绳 子 的长为10米，则船向岸边移动 了___米. 9 4 （第3题） 【点拨】 在 中， ，米， （米）， 船向岸边移动了9米. 米， （米） 米， （米）， 返回 5 （第4题） 4. 如图，在笔直的铁路 上有两点，，相距，， 为 两村庄，， ， 于点，于点 ，现要 在上建一个中转站，使得， 两 13.3 村庄到站的距离相等，则_____ . 返回 6 5.《国务院关于印发全民健身计划 （2021-2025年）的通知》文件提出，加大 全民健身场地设施供给，进一步增加全民 健身的热情.某市某健身广场为方便群众夜 间健身活动，在广场部分位置加装照明灯， 向阳兴趣小组利用长的竹竿测量照明灯灯板 的长.如 图，灯板垂直地面于点 ，第一次将竹竿的一个端点 7 与点重合，另一个端点落在地面上的 处， 第二次将竹竿的一个端点与点 重合，另一 个端点落在地面上的处.已知 ， ，求灯板 的长. 【解】由题意可知， .在 中，， ，则 . 在中，， ， 则 . . 返回 9 6.在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有 一条雕龙从柱底沿石柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方， 石柱上刻有雕龙的部分的柱高约为16米，则雕刻在石柱上的 巨龙至少长为______. 20米 返回 10 7. 跷跷板是一种常见的儿童玩具.跷跷板一端 着地时如图①，支柱 地面，， 为握把， 且于，， .跷跷板可以绕点 转动，如图②是跷跷板水平时，即，此时点 ， ，，的对应点分别为点，，，，恰有 .则 跷跷板的长为_____ . 265 11 【点拨】由题意得，，，过 作 于， . ，.在 中， ， ， .又， . 返回 12 8. 机械厂车间里的师傅利用剩余钢板边角料 加工机器零件.如图，是一块直角三角形钢板边角料， ，边长为10分米， 边长为6分米. 13 （1）求该钢板的面积为多少平方 分米； 【解】 ， 边长为10 分米， 边长为6分米， 该钢板的面积为24平方分米. 分米. （平方分米）. 14 （2）现要利用这块边角料截取一个以 为底边，且面积最 大的等腰三角形 . 15 ①请用尺规作图法确定点 的位置（不写作法，不用证明， 保留作图痕迹）； 如图，点 即为所求. 16 ②求出 的长. 如图，由作图可知是 的垂直平分线， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ，解得 分米， 的长为6.25分米. 返回 17 ［时间：60分钟 分值：100分］ 一、选择题（每小题4分，共32分） （第1题） 1. ［2025邯郸期中］如图，在 中， ，， ，分别 以点，为圆心， 长为半径画弧，两弧 相交于点，连结，，则 的周 长为( ) D A. 14 B. 18 C. 24 D. 30 返回 18 2. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不 大于 ”时，首先应假设这个直角三角形中( ) A A. 两个锐角都大于 B. 两个锐角都小于 C. 两个锐角都不大于 D. 两个锐角都等于 返回 19 3. ［2025长沙模拟］若三角形的三边长分别为，， ，且 满足 ，则这个三角形的形状 是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 B 返回 （第4题） 4. ［2025郴州模拟］如图所示为雷达图， 规定1个单位长度代表，以点 为原 点，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并 将同心圆平均分成十二份.一艘海洋科考船 在点处用雷达发现， 两处鱼群，那么 ， 两处鱼群的距离是( ) C A. B. C. D. 返回 21 （第5题） 5. 杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”. 如图， 是一茅屋的屋顶剖面， 呈等腰三角形， 米， 横梁米，从梁 上任意一点 要支一根木头顶住屋顶 处，这根 木头需要的长度可能是( ) C A. 2.5米 B. 6米 C. 4米 D. 8米 22 （第5题） 【点拨】过点作 于点 米， 米， （米）， 在 中，由勾股定理得 （米）. 由题意可知， ，即3米 米，故选C. 返回 23 （第6题） 6. 如图，有一个由传感器 控制的灯， 要装在门上方离地面 的墙上，任何 东西只要移至该灯及 内，灯就会 自动发光.小明身高 ，他走到离墙多 远的地方灯刚好发光?( ) D A. B. C. D. 返回 24 （第7题） 7. 如图，在正方形网格内（每个小方格的 边长均为1），，，， 四点都在小方 格的格点上，则 ( ) B A. B. C. D. 25 【点拨】作关于的对称点，连结， ，如图， ，， ， ， 是等腰直角三角 形. . . 返回 26 （第8题） 8. 如图①，直角三角形的两个锐角分别 是 和 ，其三边上分别有一个正方 形.执行下面的操作：由两个小正方形向 外分别作锐角为 和 的直角三 D A. 32 B. 36 C. 40 D. 48 角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形. 图②是1次操作后的图形.重复上述步骤若干次后得到的图形， 人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中的直角三角形斜边长 为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ( ) 27 【点拨】如图，把题图②中各个小正方形标上字母，设正方 形的边长为，正方形的边长为 正方形的面积为 ， 正方形的面积为.由题意得，正方形 的边长为2，并且是 直角三角形的斜边. 正方形 的面积为4.根据勾股定理可得 正方形的面积正方形 的面 积 题图①中所有正方形的面积和 .同理可得， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形 28 的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形 的面 积正方形的面积正方形的面积正方形的面积 正方 形的面积正方形的面积 题图②中所有正方形的面 积和，即1次操作后所有正方形的面积和 . 同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是 次 操作后所有正方形的面积和 次 操作后所有正方形的面积和 . 返回 二、填空题（每小题6分，共24分） 9. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它 被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，请你写 出一组“勾股数”：_______________________. 3，4，5（答案不唯一） 返回 30 （第10题） 10.如图， ， ， ，一机器人在 点处看见一个小球从点 出发沿着 方向匀速滚向点 ，机器人立即从 点 出发，沿直线匀速前进拦截小球， 13 恰好在点 处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行 走的速度相等，那么机器人行走的路程的长度为____ . 返回 31 11.如图所示，在中，平分交于， 平分 的外角，连结，交于点，且 ， 若，则 的值为_____. 196 （第11题） 32 （第11题） 【点拨】平分， 平分 的外角 ， ， ，即 33 .， ， 同理可得， ， 在 中，由勾股定理 得 . （第11题） 返回 12. 如图，在长方形中， ， ，为边上一个动点，将沿 折叠得到 ，点的对应点为，当射线恰好经过的中点 时， 的长为______. 2或8 35 【点拨】①当的延长线过的中点时，如题图. 四边 形是长方形，， . .由折叠的性质，得 ， ， ， ， . ，是的中点， . 在 中，由勾股定理，得 ， ； 36 ②当线段过的中点 时，如图， 易知， ， .综 上， 的长为2或8. 返回 37 三、解答题（共44分） 13.（12分）如图，在中，， ， ，求 的面积. 38 【解】过点作，交 的延长线于 点.设，则 . 在和 中，由勾股定理得 ， ， ，即 ， 解得，， . . 返回 39 14.（16分） 物理课上，老 师带着科技小组进行物理实验.同学们 将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮 ， 一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块 放置在水平 地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体 的升降. 实验初始状态如图①，物体静止在直轨道上，物体 到滑块 的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是 . （实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物 体的大小忽略不计） 40 （1）求绳子的总长度； 41 【解】根据题意，得， ， ， . . 绳子的总长度为 . 42 （2）如图②，若物体升高，求滑块 向左滑动的距离. 43 如图， 根据题意得 ，， ， ， . 滑块向左滑动的距离为 . 返回 44 15.（16分） 如图，在 中， ，，，点从点 出发， 以每秒的速度沿折线 运动，设运动时间 为 . 45 （1）若点在上，则线段 的长为_____ _____；（用含 的式子表示） 46 （2）点在运动的过程中，若是以 为底边的等腰三 角形，求 的值. 47 【解】在 中，由勾股定理得 .①当点在边 上 时，由题意知，解得 ；②当 点在边上时，过点作于点 ， ， ，解得 . 48 . ， 即，解得 . 综上所述，的值为3或 . 返回 谢谢观看！ $