第10章 数的开方【章末复习】 课件 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版（2024）版数学8年级上册 第10章 数的开方 章末复习 考点1 平方根 1. 的平方根是( ) D A. 9 B. 9和 C. 3 D. 3和 2. 下列说法正确的是( ) A A. 的平方根是 B. 的算术平方根是5 C. 的平方根是7 D. 1的平方根和算术平方根都是1 返回 2 3.已知，当最小时， 的算术平方 根为___. 1 4. 已知9，16和 三个数，使这三个数中的一 个数是另外两个数乘积的一个平方根，写出所有符合条件的 数 的值：_____________. ，， 返回 3 5.如图，在 的方格中（每个小正方形 的边长为1），四边形 是正方形， 利用面积的关系可得正方形 的边长 是____. 【点拨】 ，所以正方形的边长是 . 返回 华东师大版八年级上册第10章“数的开方”的章末复习，可从知识梳理、易错点辨析、典例精析和巩固练习四个方面展开，帮助系统巩固本章核心内容，以下是详细复习内容： ### 知识框架与核心要点 本章核心是围绕平方根、立方根展开，进而延伸到实数的相关概念与性质，具体梳理如下： 1. **平方根与算术平方根** |概念|定义|性质|表示方法| | ---- | ---- | ---- | ---- | |平方根|若\(x^2 = a\)，则\(x\)是\(a\)的平方根|正数有2个平方根，互为相反数；0的平方根是0；负数无平方根|正数\(a\)的平方根为\(\pm\sqrt{a}\)| |算术平方根|正数\(a\)的非负平方根|具有非负性，即\(\sqrt{a}\geq0\)（\(a\geq0\)）|正数\(a\)的算术平方根为\(\sqrt{a}\)，0的算术平方根是0| 2. **立方根** - **定义**：若\(x^3 = a\)，则\(x\)叫做\(a\)的立方根，记为\(\sqrt[3]{a}\)。 - **性质**：任意实数都有且只有1个立方根；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。比如\(\sqrt[3]{-8}=-2\)，\(\sqrt[3]{27}=3\)。 3. **实数** - **分类**：有理数和无理数统称实数。有理数是有限小数或无限循环小数，如\(\frac{1}{2}\)、\(3.\dot{3}\)；无理数是无限不循环小数，如\(\pi\)、\(\sqrt{2}\)。 - **与数轴关系**：实数与数轴上的点一一对应，每一个实数都能在数轴上找到对应的点，反之数轴上的每个点都表示一个实数。 - **运算性质**：有理数的相反数、绝对值、倒数的定义及运算法则，对实数同样适用。 ### 易错点辨析 1. 混淆平方根与算术平方根，比如误将4的平方根写成2，忽略4的平方根是\(\pm2\)，而2只是它的算术平方根。 2. 忽略平方根的被开方数非负性，比如认为\(\sqrt{-5}\)有意义，实际上负数不能开平方。 3. 错误判断立方根的符号，比如误以为负数没有立方根，其实\(\sqrt[3]{-64}=-4\)是成立的。 4. 混淆实数与数轴的关系，比如觉得数轴只能表示有理数，实际上无理数也能在数轴上表示。 ### 典例精析 1. **基础计算类** - 例1：求下列各数的平方根、算术平方根和立方根。①16；②-27。 解：①16的平方根为\(\pm\sqrt{16}=\pm4\)，算术平方根为\(\sqrt{16}=4\)；16的立方根为\(\sqrt[3]{16}\)。②-27没有平方根和算术平方根，其立方根为\(\sqrt[3]{-27}=-3\)。 - 例2：估算\(\sqrt{10}\)的取值范围。 解：因为\(\sqrt{9}<\sqrt{10}<\sqrt{16}\)，即\(3<\sqrt{10}<4\)，所以\(\sqrt{10}\)在3和4之间。 2. **性质应用类** - 例：已知\(\sqrt{a - 2}+\sqrt{b + 3}=0\)，求\(a + b\)的值。 解：由算术平方根的非负性可知，\(\sqrt{a - 2}\geq0\)，\(\sqrt{b + 3}\geq0\)。两个非负数的和为0，则每个非负数都为0。因此\(a - 2 = 0\)，\(b + 3 = 0\)，解得\(a=2\)，\(b=-3\)，所以\(a + b=2+(-3)=-1\)。 ### 巩固练习题 1. 选择题：下列说法正确的是（ ） A. 0没有平方根 B. \(\sqrt{16}=\pm4\) C. \(\sqrt[3]{-27}=-3\) D. 无理数就是开方开不尽的数 答案：C 2. 填空题：①16的平方根是______，-64的立方根是______；②平方根等于它本身的数是______。 答案：①\(\pm4\)，-4；②0 3. 解答题：已知一个正方形的面积是20，求它的边长（结果保留1位小数）。 解：设正方形边长为\(x\)，则\(x^2 = 20\)，所以\(x=\sqrt{20}\approx4.5\)，即正方形边长约为4.5。 4 考点2 立方根 6. 的立方根为( ) A A. B. C. D. 不存在 7.将体积分别为和 的长方体铁块，熔成一个 正方体铁块，那么这个正方体铁块的棱长是___ . 9 返回 5 8.已知与互为相反数其中，则 __. 【点拨】由与互为相反数可得 与 互为相反数，所以 ，整理得 .将代入可得， . 返回 6 考点3 实数及分类 9. 在实数，，，0， ， ， 中，无理数有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 7 10.把下列各数填入相应的集合内： （每两个2之间的1依次多一个）， ， ，，，，，， . 正有理数集合：{_______ …}； 正无理数集合：{ ____________________________________ _________________ …}； , （每两个2之间的1依次多一个），， 8 负有理数集合：{_ ______ …}； 负无理数集合：{______________________ …}； 正实数集合：{_______________________________________ ________________________ …}； 负实数集合：{_ __________________________ …}. , ,,,, ,,,,, （每两个2之间的1依次 多一个），，， ， 【解】正有理数集合： ； 正无理数集合： （每两个2之间的1依次 多一个），， ； 负有理数集合： ； 负无理数集合：{-,,, ,…}； 10 正实数集合： （每两个2之间的1依次多 一个），，，， ； 负实数集合：,,,,,… . 返回 考点4 实数的性质 11. 是 的( ) A A. 相反数 B. 平方根 C. 绝对值 D. 算术平方根 12. ［2025天津和平区月考］ 的绝对值是( ) A A. 3 B. C. D. 13.的倒数是_____， _______. 返回 12 考点5 估算与大小比较 14. 若，，，则，， 的大小关系为( ) D A. B. C. D. 返回 13 15. ［2025成都郫都区期中］如图，若数轴上的点， ， ，，表示数，0，1，2，3，则表示的点 应在 ( ) C A. 线段上 B. 线段 上 C. 线段上 D. 线段 上 返回 14 16. 大、中、小三个正方形 按如图所示的方式摆放，若大正方形的面积 为5，小正方形的面积为1，则正方形 的边长可能是( ) B A. 1 B. C. D. 3 17.比较大小：___11，___2.（填“ ”或“ ”） 返回 15 考点6 实数的运算 18. 下列各数中，与 的和为有理数的是( ) B A. B. C. D. 【点拨】 ，是无理数； ，是有理数; ，是无理数； ，是无理数，故选B. 返回 16 19.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 17 20.［2025重庆江津区月考］我们用表示不大于 的最大整 数.的值称为数的小数部分，如， 的小 数部分为 . （1）___， ____； 1 18 （2）设的小数部分为，求 的值. 【解】， 的整数部分为2. 的小数部分为， . ， . . 返回 思想1 方程思想 21. 已知，则 ( ) C A. 0 B. C. 1 D. 2 026 返回 20 思想2 数形结合思想 22. ［2025佛山三水区期中］已知实数，， 在数轴上的对 应点如图所示，则 ( ) C A. B. C. D. 返回 21 思想3 分类讨论思想 23.已知，其中， 均为整数， 则 _________. 0或2或4 22 【点拨】，其中， 均为整 数，，， 可分三种情况：① 当，时， ， ， ；②当 ，时， 或 ，， 或 ；③当 ， 23 时，或， ， 或 .综上， 或2或0. 返回 思想4 整体思想 24.已知， ，且 ，，求 的值. 25 【解】， ， ①, ， 将①变形得 , 将②代入③,得，将代入②，得 . ， ， ，即, . . 返回 26 ［时间：60分钟 分值：100分］ 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. ［2024德州］在0，，， 这四个数中，最小的数是 ( ) A. 0 B. C. D. √ 返回 27 2. 如图， 在数轴上对应的点是( ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 3. ［2025重庆永川区模拟］如果是64的立方根，那么 的算 术平方根是( ) A. 4 B. 2 C. D. √ √ 返回 28 4. 已知，那么 的值为( ) A. 1 B. C. D. 5. 下列各组数中互为相反数的一组是( ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 √ √ 返回 29 6. ［2025青岛崂山区月考］如图，用边长为3的两个小正方 形剪拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数 是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 √ 30 【点拨】 用边长为3的两个小正方形剪拼成一个大正方 形， 大正方形的面积为， 大正方形的边长 为.， 大正方形 的边长最接近的整数是4. 返回 31 7. 如图，数轴上，两点所对应的实数分别是 ，1.若线 段，则点 所表示的实数是( ) A. B. C. D. 【点拨】，两点所对应的实数分别是 ，1， .又 ， . 点 所表示的实数为 . √ 返回 32 8. 若用 表示任意正实数的整数部分，例 如：，， ，则式子 A. 22 B. C. 23 D. 的值为（式子中的“ ”“-”依次相间）( ) √ 33 【点拨】，，，， ， ， , , ， 34 , . 返回 二、填空题（每小题4分，共16分） 9. 请写出一个与 的和为有理数的实数： ______________________. （答案不唯一） 10. 将一把刻度尺按如图所示的方式放在数 轴上数轴的单位长度是，刻度尺上的“”和“ ” 分别对应数轴上的数“”和“”，则 的值为_______. 返回 36 11.已知,是有理数，且, 满足等式 ，则 的立方 根为___. 2 【点拨】,是有理数，且, 满足等式 ， ，则 解得 的立方根为2. 返回 37 12. 我们规定：若一个三位数 的各个 数位上的数字互不相等，且满足百位数字与个位数字之和等 于十位数字的两倍，则称 为“中倍数”.例如：数258， ， 是“中倍数”；数358， ， 不是“中倍数”，按照这个规定：最大 的“中倍数”是_____.若是“中倍数”，将 的百位数字和个位 数字对调位置后组成一个新三位数， 是一个整数， 则满足条件的 的最小值为_____. 987 531 38 【点拨】结合“中倍数”的定义，知最大的“中倍数”是987.设 的百位数字为，个位数字为 ，则 ， ， .， ,且 39 是整数，或.根据题意知 是偶数，,,或,或 , 或,或, 为531，642，753， 864，975， 满足条件的 的最小值为531. 返回 三、解答题（共52分） 13.（8分）计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 41 14.（8分）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中. ，，，，，0， ，，. 有理数集合：____________________________ ； 无理数集合：________________________ ； 正实数集合：_________________ ； 负实数集合：____________________________ . ，，，0，， , , , 42 【解】有理数集合：，，，0，， ； 无理数集合： ； 正实数集合： ； 负实数集合： . 返回 43 15.（10分）已知是满足不等式 的所有整数 的和，是满足不等式 的最大整数. （1）求， 的值； 【解】是满足不等式 的所有整数的和， . 是满足不等式的最大整数， . 44 （2）求 的平方根. 由（1）知，， . 的平方根为 . 返回 45 16.（12分） 若实数，满足 ，我们 就说与 是关于6的“如意数”. （1）与___是关于6的“如意数”， 与_______是关于 6的“如意数”； 9 46 （2）若实数满足，判断 与 是否是关于6的“如意数”，并说明理由. 【解】与 不是关于6的“如意数”.理由如下： ， . ， 与 不是关于6的“如意数”. 返回 47 17.（14分）［2025西安长安区期中］如图，半径为1个单位长 度的圆片上有一点与数轴上的原点重合.所有结果均保留 . 48 （1）若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点 重合的点到达点，设点表示的数为 . ①求 的值； 【解】 ， 点表示的数是 . 49 ②求 的算术平方根. ， 算术平方根是 . 50 （2）若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动 的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：， ， ，， . 51 ①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点 距 离原点最远？ 第一次距离原点2周，第二次： ，距离原点1周， 第三次：，距离原点4周，第四次： ， 在原点处，第五次：， ，距离原点3 周， 第四次滚动后，点 距离原点最近，第三次滚动后， 点 距离原点最远. 52 ②当圆片结束运动时，点运动的路程共多少？此时点 所表 示的数是多少？ ， ， 当圆片结束运动时，点 运动的路程 共 . ， . 此时点所表示的数是 . 返回 53 谢谢观看！ $