精品解析：上海市虹口区2025-2026学年高三一模数学试卷

虹口区2025学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试 高三数学试卷 2025.12 考生注意： 1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分) 1. 已知集合，，则 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】解绝对值不等式，再求交集即可. 【详解】由，， 则， 故答案为： 2. 函数的定义域为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据偶数根式被开方数非负，结合分式不等式的解法，即可得答案. 【详解】由题意得，即，解得或， 所以定义域为. 故答案为： 3. 的二项展开式中的系数是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式通项公式求的系数. 【详解】根据二项式定理，的通项为， 当，即，  将代入系数部分得：. 故答案为： . 4. 已知 ，若幂函数为偶函数，则实数____ 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的性质与定义，逐一分析 的各个取值，即可得答案. 【详解】当时，，定义域为，是奇函数； 当时，，定义域为R，关于原点对称， 设，则，为偶函数，符合题意； 当时，，定义域为 ，不关于原点对称，是非奇非偶函数； 故答案为：. 5. 若事件 、 互斥，且，，则___________ 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用互斥事件的加法公式列方程求概率即可. 【详解】由互斥事件的概率加法有， 所以. 故答案为： 6. 已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用实系数方程复数根的性质及根与系数关系得，再由共轭复数的运算性质求结果. 【详解】由实系数一元二次方程复数根的性质知， 故. 故答案为： 7. 已知某圆锥的底面半径为2，侧面积为，则该圆锥的体积为 ___________（结果保留 ） 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥体积公式、侧面积公式，结合圆锥的性质进行求解即可. 【详解】设圆锥的母线为 ，因为圆锥侧面积为， 所以， 所以该圆锥的高为， 因此该圆锥的体积为， 故答案为： 8. 甲、乙、丙 人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】对每个台阶上所站的人数进行分类讨论，结合分类加法计数原理可得结果. 【详解】当每个台阶上各站 人时有种， 当两个人站在同一个台阶上时，有种， 综上所述，共有种不同的站法. 故答案为：. 9. 已知双曲线 的焦点分别为和，若点 为 上的点，且满足，，则点到 的一条渐近线的距离为 ____ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理和双曲线的定义及 的关系，先求出双曲线的方程及渐近线的方程，再根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】因为双曲线 的焦点分别为和， 所以，所以. 因为，，所以在中，有. 设，则由勾股定理可得 ，所以， 所以，所以. 又由，可得， 所以双曲线的方程为. 其渐近线方程为，即. 取渐近线，则点到该直线的距离为 . 故答案为： 10. 小虹同学要在边长为10的正方形纸片上剪出一个等腰梯形 的图案，如图所示，腰 、 与正方形内的抛物线 分别相切于 、 两点，其中 的顶点 为的中点. 若当点 到的距离为4.5时，，则当等腰梯形 的面积取到最小值时，____. （结果保留2位小数） 【答案】 【解析】 【分析】如图建系，设抛物线方程为，根据题意得到，将其代入抛物线得到，根据抛物线设，，利用导数求出，设直线 的方程为，利用直线 的方程求出和，求出，利用基本不等式求最小值即可得解. 【详解】如图建系，设抛物线方程为， 当点 到的距离为4.5时，， 则，代入抛物线，解得， 则，即，设，则， 设，， ，，， 则直线 的方程为， 令 ，解得，令，解得， 故， 当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，取最小值，此时. 故答案为： 11. 若，则实数 的取值范围是：___________ 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为函数在上的值域，利用导数结合函数图像即可求解. 【详解】由题意可知：方程有解，可化为， 并且或，令，，， 当 时， ，单调递增， 当或时，在上单调递减， 且当 时，， ，， 所以的大致图像如图所示，因为，，， 所以在上的值域为， 即 的取值范围是. 故答案为： 12. 已知空间中四个单位向量满足, 则在方向上的数量投影的最大值为___ 【答案】 【解析】 【分析】通过已知条件建立向量与的关系，进而求出在方向上的数量投影的值. 【详解】设 ,, 其中,, , 可设, 同理，（*）, , 则在方向上的数量投影为 当最大时，，，故由（*），, , , , , , ， 故答案为：. 二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第题每题4分，第题每题5分) 13. 已知 、 为实数，则“”是“”的（     ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【详解】因为，则，又，则， 命题“若，则”为真命题，即， 命题“若，则”为假命题，即 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 14. 已知， 若，则实数 的取值可以是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将选项中的自变量代入对应解析式中，结合特殊角三角函数值可确定结果. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，可以取，B正确； 对于C，，，C错误； 对于D，，，D错误. 故选：B. 15. 如图，已知点 在表面积为的球 的球面上，且， 平面，点 为 中点，当二面角的大小为时，则有（     ） A. 异面直线 和 所成角的大小为 B. 直线 与平面 所成角的大小为 C. D. 的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】设球 的半径为，求得，证得平面，得到 ，得到，进而得到，把异面直线 和 所成角转化为直线 和 所成角，可判定A不正确；作，证得 平面 ，得到 即为直线 与平面 所成角，可判定B不正确；在直角 中，求得，结合二倍角公式，可得判定C不正确；结合面积公式，可判定D正确. 【详解】设球 的半径为，因为球的表面积为，可得，可得， 因为 和 分别为的中点，所以，所以， 又因为 平面，平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为 平面，所以 ， 所以为二面角的平面角，所以， 在直角中，可得， 对于A，由，可得异面直线 和 所成角，即为直线 和 所成角， 因为，所以异面直线 和 所成角的大小为，所以A不正确； 对于B，过点 作，垂足为 ， 因为 平面， 平面，所以， 又因为，且平面 ，所以 平面 ， 所以 即为直线 与平面 所成角， 在直角 中，，可得，则， 所以，所以B不正确； 对于C，在直角 中，，可得， 所以，则， 所以，所以C不正确； 对于D，由 的面积为，所以D正确. 故选：D. 16. 若每一项均为正数的数列的前 项和为，若对于任意的正整数 ，均存在正整数 使得，则称具有“ 性质”．对于以下两个命题，说法正确的是（     ） ①存在等比数列，使得具有“ 性质”； ②若具有“ 性质”，记且为等差数列，则． A. ①和②都为真命题 B. ①和②都为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，举出实例即可验证；对于②，先得到，为常数列，依次类推可得，当 时，每一个的最大值为，求和可得. 【详解】对于①，因为数列每一项均为正数，故， 又对于任意的正整数 ，均存在正整数 使得， 故存在正整数 使得，即， 设，则， 其中，故， 解得， 当 时，取，满足要求， 对任意的正整数 ，均存在正整数，使得上式成立， 具有“ 性质”，故存在等比数列，使得具有“ 性质”；①正确； 对于②，当 时，，故 只能等于1，即， 当时，，故 只能等于1，即，， 为等差数列，故公差为，所以， 假设，则当时，，这与矛盾， 故，所以为常数列， 易知，若，则，舍去， 若，则，令可得， 同理易知，若，则，舍去， 所以，，令，可得， 或，令，可得， 同理，可得或， 或可得，或可得， 依次类推可得，当 时，每一个的最大值为， 当 时，，②正确. 故选：A 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤. 17. 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，点 为 中点. （1）若点 是线段 上的动点，求证：直线 与直线不相交； （2）若 平面 ， ，，求点 到平面的距离. 【答案】（1） 连接 交 于点 ，连接 ， 如图所示： 因为四边形 为菱形，所以 为 的中点， 所以在 中有，由分别是的中点， 所以， 又 平面 ，平面 ， 所以平面 ， 又因为 平面 ， 所以直线 与直线 没有公共点， 即直线 与直线 不相交. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面 ，然后分析直线 与直线交点情况即可证明； （2）利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为 平面 ，点 为 中点， 所以平面 即平面 ， 所以为三棱锥的高，且， 因为四边形 为菱形，且 ， 所以菱形 为边长是2正方形， 所以， 且，即， 又， 在中，， 即为 的高， 所以， 设点 到平面的距离为 ， 由等体积法得：， 即， 解得：， 所以点 到平面的距离为. 18. 已知， ，设. （1）当 ，时，试判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）当且函数的最小正周期为 时，若在 中， ，求的取值范围. 【答案】（1）函数是非奇非偶函数，理由如下 当 ，时， ，由 ， 所以既不关于 轴对称，也不关于原点对称， 所以函数是非奇非偶函数. （2） 【解析】 【分析】（1）由可得的奇偶性； （2）先求出函数的解析式，再由正弦定理和余弦定理得到，再利用三角恒等变换对 进行化简并结合三角函数的图象性质得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当且函数的最小正周期为 时， ， ， 由在 中， ，利用正弦定理可得 ，再利用余弦定理可得，所以， ， 由于 ， ， ，所以 ， 即 的取值范围是 . 19. 班主任小明为了解本班每位学生每周平均手机使用时长(单位：小时)，在某一学期每周对全班 名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为 小时.其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图所示. （1）求该班男生每周平均手机使用时长的第 百分位数； （2）小明老师想从本班每周平均手机使用时长小于 小时的学生中任选 人在班会课上做经验分享．设事件 表示 “ 人中至多 名男生”，事件 表示 “ 人中恰有 名学生的每周平均手机使用时长位于区间”．试判断事件 和事件 是否独立，并说明理由； （3）小明老师发现本班有 位学生的每周平均手机使用时长超过 小时，这 位学生的数据平均数为 小时．当去掉这 位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为 小时，且这 位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列．那么这 位学生每周平均手机使用时长的方差是否超过 ？请说明理由． 【答案】（1） （2）事件 和事件 不相互独立，理由如下： 由 ，解得 ， 所以女生中每周平均手机使用时长小于 小时的人数为 ， 且女生中每周平均手机使用时长位于区间 有 人，位于区间 有 人， 由茎叶图可知，男生中每周平均手机使用时长小于 小时的人数为 ， 且男生中每周平均手机使用时长位于区间 有 人， 抽取的 人中，每周平均手机使用时长位于区间 的共有人， 所以，， 若抽取的是 名男生和 名女生且恰好有 人的每周平均手机使用时长位于区间 ，其概率为， 若抽取的是 名女生且恰好有 人的每周平均手机使用时长位于区间 ，其概率为， 所以， 显然 ，所以事件 和事件 不相互独立； （3）不超过，理由如下 由茎叶图和频率分布直方图可知， ， 个数据中，男生数据为 ，设女生数据为且 ， 由题意可知，，解得 ， 又因为成等差数列，所以 ， 所以这 个数据分别为： ， 所以方差为 ， 所以这 位学生每周平均手机使用时长的方差不超过 . 【解析】 【分析】（1）根据茎叶图判断出男生人数，然后由第 百分位数的计算公式求得结果； （2）分别求解出 ，然后根据 与 的关系作出判断； （3）先确定出 的值以及男生数据，再根据平均数公式以及等差数列的性质求解出女生数据，最后计算出方差即可作出判断. 【小问1详解】 由茎叶图可知男生总人数为 ，所以 ， 将男生每周平均手机使用时长从小到大排列，第 位的数据分别为 ， 所以第 百分位数为 ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为和，点 是 的长轴上的动点，点 为 上的动点，且异于点 ． （1）当点 位于椭圆 的左焦点，且 、 、能构成三角形时，求的周长； （2）当点 位于椭圆 的左顶点时，直线 与 轴交于点，，求实数的值； （3）当点 与椭圆 的左、右顶点均不重合时，记直线 与椭圆 的另一个交点为 ，过点 作直线 与椭圆 交于 、 两点，设 和 分别为弦和弦 的中点，若 、 、 、 为四个相异的点，，且直线 恒过定点，求点 的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据焦点三角形的周长计算公式求解出结果； （2）联立直线与椭圆方程，求得 点坐标，然后根据纵坐标求得的值； （3）先判断出的位置关系，然后通过联立直线与椭圆方程求得中点 的坐标，由此可表示出直线 的方程，根据直线 过定点可求解出结果. 【小问1详解】 由椭圆方程可知，， 所以的周长为； 【小问2详解】 因为，所以，则，即， 联立，可得，解得 或，所以， 因为，所以， 所以； 【小问3详解】 因为，所以， 所以， 所以 ，所以，所以； 当中有一条直线斜率不存在时，此时一定有一条弦的中点和 点重合，故不符合条件； 当 为坐标原点时，此时 均与 点重合，故不符合条件； 由上可知，的斜率都存在， 设，， 联立，可得， 所以，所以，所以，所以， 同理可得，即， 所以，所以， 令 ，解得， 因为直线 恒过定点，所以，所以， 所以. 21. 已知函数的定义域为 （），记，其中，且． （1）当，， ，求函数的零点； （2）当，，若恒有，求实数 的取值范围； （3）当，求证：“对于任意的正有理数 ，函数在 上均是严格增函数”的充要条件是“任取 中两个不相同的元素和，均有”． 【答案】（1） （2） （3）证明：必要性：对于，取， 因为函数在 上是严格增函数且，所以， 即， 即， 所以. 充分性：，且 ， 因为， 所以， 即，又， 所以函数在 上是严格增函数. 【解析】 【分析】（1）求出，令解方程即可得到答案； （2）求出并根据题意化简得到，令，根据题意得到，解得，再结合二次函数图象即可求得答案； （3）利用充要条件的定义，结合函数严格递增的概念进行证明. 【小问1详解】 当，， 时，， 令，解得， 所以函数的零点为. 【小问2详解】 ， 若 ，当 时的二次项系数为负导致当 时，， 当 时，，均不满足 恒成立，故 ， 所以，设， 则，解得或（舍去），即， 此时，所以在上单调递增， 所以， 所以实数 的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 虹口区2025学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试 高三数学试卷 2025.12 考生注意： 1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分) 1. 已知集合，，则 ___________ 2. 函数的定义域为___________ 3. 的二项展开式中的系数是___________ 4. 已知 ，若幂函数为偶函数，则实数____ 5. 若事件 、 互斥，且，，则___________ 6. 已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则 ___________． 7. 已知某圆锥的底面半径为2，侧面积为，则该圆锥的体积为 ___________（结果保留 ） 8. 甲、乙、丙 人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________.（用数字作答） 9. 已知双曲线 的焦点分别为和，若点 为 上的点，且满足，，则点到 的一条渐近线的距离为 ____ ． 10. 小虹同学要在边长为10的正方形纸片上剪出一个等腰梯形 的图案，如图所示，腰 、 与正方形内的抛物线 分别相切于 、 两点，其中 的顶点 为的中点. 若当点 到的距离为4.5时，，则当等腰梯形 的面积取到最小值时，____. （结果保留2位小数） 11. 若，则实数 的取值范围是：___________ 12. 已知空间中四个单位向量满足, 则在方向上的数量投影的最大值为___ 二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第题每题4分，第题每题5分) 13. 已知 、 为实数，则“”是“”的（     ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分又非必要 14. 已知， 若，则实数 的取值可以是（     ） A. B. C. D. 15. 如图，已知点 在表面积为的球 的球面上，且， 平面，点 为 中点，当二面角的大小为时，则有（     ） A. 异面直线 和 所成角的大小为 B. 直线与平面 所成角的大小为 C. D. 的面积为 16. 若每一项均为正数的数列的前 项和为，若对于任意的正整数 ，均存在正整数 使得，则称具有“ 性质”．对于以下两个命题，说法正确的是（     ） ①存在等比数列，使得具有“ 性质”； ②若具有“ 性质”，记且为等差数列，则． A. ①和②都为真命题 B. ①和②都为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤. 17. 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，点 为 中点. （1）若点 是线段 上的动点，求证：直线 与直线不相交； （2）若 平面 ， ，，求点 到平面的距离. 18. 已知， ，设. （1）当 ，时，试判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）当且函数的最小正周期为 时，若在 中， ，求的取值范围. 19. 班主任小明为了解本班每位学生每周平均手机使用时长(单位：小时)，在某一学期每周对全班 名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为 小时.其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图所示. （1）求该班男生每周平均手机使用时长的第 百分位数； （2）小明老师想从本班每周平均手机使用时长小于 小时的学生中任选 人在班会课上做经验分享．设事件 表示 “ 人中至多 名男生”，事件 表示 “ 人中恰有 名学生的每周平均手机使用时长位于区间”．试判断事件 和事件 是否独立，并说明理由； （3）小明老师发现本班有 位学生的每周平均手机使用时长超过 小时，这 位学生的数据平均数为 小时．当去掉这 位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为 小时，且这 位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列．那么这 位学生每周平均手机使用时长的方差是否超过 ？请说明理由． 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为和，点 是 的长轴上的动点，点 为 上的动点，且异于点 ． （1）当点 位于椭圆 的左焦点，且 、 、能构成三角形时，求的周长； （2）当点 位于椭圆 的左顶点时，直线 与 轴交于点，，求实数的值； （3）当点 与椭圆 的左、右顶点均不重合时，记直线 与椭圆 的另一个交点为 ，过点 作直线 与椭圆 交于 、 两点，设 和 分别为弦和弦 的中点，若 、 、 、 为四个相异的点，，且直线 恒过定点，求点 的坐标． 21. 已知函数的定义域为 （），记，其中，且． （1）当，， ，求函数的零点； （2）当，，若恒有，求实数 的取值范围； （3）当，求证：“对于任意的正有理数 ，函数在 上均是严格增函数”的充要条件是“任取 中两个不相同的元素和，均有”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $