12.4.3角平分线 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

华东师大版（2024）版数学8年级上册 第12章 全等三角形 12.4.3角平分线 1、会叙述角平分线的性质及判定; 2、能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题; 3、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． 下面继续以课堂幻灯片的形式，呈现12.4.3角平分线的教学内容，涵盖定义、性质、判定、作图及综合应用等内容，契合八年级的学习难度与课堂节奏： 1. **第1页：课题导入——情境激趣引新知** - 生活情境：村里要建一个农药配送站，要求配送站到两条交叉公路的距离相等，这个配送站可以建在哪些位置？大家能初步确定范围吗？ - 旧知衔接：回顾角的轴对称性，明确角是轴对称图形，角平分线所在直线就是它的对称轴。 - 课题点明：今天我们就深入学习角平分线，探究它的性质和判定，解决这类距离相等的定位问题。 2. **第2页：核心定义——角平分线的概念** - 文字定义：从一个角的顶点出发引出一条射线，把这个角分成两个完全相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 - 图形与符号：如图，射线OC在∠AOB内部，若∠AOC=∠COB，则OC是∠AOB的平分线。符号表示为：∵∠AOC=∠COB，∴OC平分∠AOB。 - 易错区分：角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段，注意两者的图形类型差异。 3. **第3页：性质定理——角平分线上的点的特征** - 动手探究：画∠AOB的平分线OC，在OC上取P、Q两点，分别过P作PD⊥OA、PE⊥OB，过Q作QF⊥OA、QG⊥OB，用直尺测量PD与PE、QF与QG的长度，会发现它们分别相等。 - 定理表述：**角平分线上的点到角两边的距离相等**。 - 严谨证明：已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB。求证PD=PE。证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°；又OC平分∠AOB得∠POA=∠POB，且OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS），故PD=PE。 4. **第4页：判定定理——反向推理验证** - 逆向思考：若平面内有一点P，到∠AOB两边的距离PD=PE（PD⊥OA，PE⊥OB），那么点P是否在∠AOB的平分线上？ - 定理证明：已知PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE。求证点P在∠AOB的平分线上。连接OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴△PDO和△PEO是直角三角形；又PD=PE，OP=OP，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），得∠AOP=∠BOP，即OP是∠AOB的平分线。 - 定理总结：**角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上**。 5. **第5页：尺规作图——作角的平分线** - 作图步骤：1. 以∠AOB的顶点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于M，交OB于N；2. 分别以M、N为圆心，以大于$\frac{1}{2}$MN的长度为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点P；3. 过O、P作射线OP，OP就是∠AOB的平分线。 - 原理说明：作图时半径大于$\frac{1}{2}$MN是为保证两弧相交，而OM=ON、PM=PN、OP=OP，可证△OMP≌△ONP（SSS），从而∠MOP=∠NOP。 - 动手练习：让学生画一个60°的角，按步骤作出平分线，用量角器验证是否将角分成两个30°的角。 6. **第6页：基础例题——性质与判定的直接应用** - 例题1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=3，求点D到AB的距离。解：过D作DE⊥AB于E，∵AD是角平分线，∠C=90°即DC⊥AC，∴DE=CD=3，距离为3。 - 例题2：已知点P到∠MON两边的距离都为5，求证点P在∠MON的平分线上。证明：作PA⊥OM，PB⊥ON，垂足为A、B，PA=PB=5，由判定定理可知P在∠MON的平分线上。 7. **第7页：进阶拓展——三角形的内心及应用** - 核心拓展：三角形三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。内心到三角形三条边的距离相等，是三角形内切圆的圆心。 - 综合例题：在△ABC中，三条角平分线交于点I，过I作ID⊥AB、IE⊥BC、IF⊥AC，求证ID=IE=IF。证明：∵AI平分∠BAC，∴ID=IF；∵BI平分∠ABC，∴ID=IE，故ID=IE=IF。 - 实际应用：解决导入问题，两条交叉公路形成夹角，配送站的位置就是这两个夹角的两条平分线所在的直线上，所有这些点到两条公路距离都相等。 8. **第8页：易错点辨析** - 易错点1：混淆性质与判定的逻辑。纠正：性质是“线是角平分线→点到两边距离相等”，判定是“点到两边距离相等→线是角平分线”。 - 易错点2：忽略判定定理中“角的内部”条件。纠正：若点在角的外部，即使到两边距离相等，也不在角的平分线上。 - 易错点3：作图时半径不当。纠正：第二步画弧半径需大于$\frac{1}{2}$MN，否则两弧可能无交点，导致作图失败。 9. **第9页：课堂练习与课后作业** - 基础题：在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，BD=2，AB=5，求点D到AC的距离。 - 提高题：求证三角形两条角平分线的交点到第三条边的距离等于到另外两条边的距离。 - 课后作业：①用尺规作出一个三角形的三条角平分线，观察是否交于一点；②已知△ABC中，内心为I，且ID⊥BC于D，ID=2，△ABC周长为15，求△ABC的面积。 学习目标 　 温故知新 如图，你能画出∠AOB的对称轴吗？ 射线OC就是的∠AOB的对称轴，也是角平分线. A O B C 情景导入 　 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？ A B C 问题情境 探究新知 知识点一 角平分线的性质定理 如图，点P是∠AOB的角平分线OC上的任意一点，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，将∠AOB沿OC对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程. 对折后PD、PE能够完全重合，PD=PE. 角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ D P A C B E O 探究新知 下面我们来证明刚才得到的结论. D P A C B E O 已知:OC平分∠AOB, P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB . 求证:PD=PE. 证明:∵ OC平分∠AOB, P是OC上一点， ∴∠DOP=∠BOP. ∵PD⊥OA,PE⊥OB ， ∴∠ODP=∠OEP=90°. 在△OPD和△OPE 中， ∠DOP=∠EOP ,∠ODP=∠OEP ,OP=OP, ∴ △OPD≌△OPE (A.A.S.). ∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）. 探究新知 由上面证明，我们得到角平分线的性质定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等． 几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 探究新知 典例精析 【例1】已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线且BD=CD∠B=∠C,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 试说明：EB=FC. A B C D E F 分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用全等证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF. 探究新知 A B C D E F 解： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， ∴ △BDE ≌△CDF. ∴ EB=FC. BD=CD， ∠B=∠C， ∠DEB=∠DFC， 探究新知 练一练 （1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ = ，( ). 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 1、判断下列的写法是否正确？ 理由： 没有垂直，不能确定BD、CD是点D到角两边的距离. 探究新知 (2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 角内任意一条线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 理由： 无法确定点D在∠BAC的平分线上. 在角平分线上和垂直这两个条件缺一不可． 探究新知 知识点二 角平分线的判定定理 这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？ 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ t条 件 结 论 性质定理 逆命题 一个点在角的平分线上 这个点到这个角两边的距离相等 一个点到角两边的距离相等 这个点在这个角的平分线上 想想看，这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？ 探究新知 逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上. 分析：为了证明点P在∠AOB的平分线上，可以先作射线OP，然后证明Rt△PDO≌Rt△PEO，从而得到∠AOP=∠BOP. 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. B A D O P E 探究新知 证明： 作射线OP， 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知）， ∵PD⊥OA,PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ H.L.）. ∴∠AOP=∠BOP B A D O P E ∴点P在∠AOB的平分线上. 探究新知 判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边距离相等. 定理的作用：判断点在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE， ∴点P 在∠AOB的平分线上. D P A C B E O 角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理. 探究新知 利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线交于一点． 做一做 怎样证明这个结论呢? A B C P N M 探究新知 点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下： 试试看，你会写出证明过程吗？ AP是∠BAC的平分线 BP是∠ABC的平分线 PI=PH PG=PI PH=PG 点P在∠BCA的平分线上 A B C P F H D E I G 探究新知 典例精析 【例2】如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，BD与CE相交于点F，BF=CF. 求证：点F在∠BAC的平分线上. 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠CDF=∠BEF=90 °. 在△CDF和△BEF中， ∵∠CDF=∠BEF=90 °，∠CFD=∠BFE，BF=CF， ∴△CDF≌△BEF( A.A.S.)， ∴DF=EF， ∴点F在∠BAC的平分线上. A B C D F E 探究新知 练一练 1.如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F. 求证：点F在∠DAE的平分线上. A B C D E F 证明：作FG⊥AC，FH⊥BC，FM⊥AB﹐垂足分别为G、H 、M . G H M ∵ CF平分∠ECB，BF平分∠CBD ∴ FG＝FH＝FM ∴点F在∠DAE的平分线上. 课堂练习 2、如图所示，在△ABC中，BD=CD，∠ABD=∠ACD. 求证：AD平分∠BAC. A B C D M N 证明：如图，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，则∠BMD=∠CND=90°.在△BDM和△CDN中, ∴△BDM≌△CDN(AAS). ∴DM=DN.又∵DM⊥AB，DN⊥AC, ∴AD平分∠BAC. 课堂练习 1. 如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是(　　) A.2 B.3 C. 1 D.4 D E O B A ● D P C 考试考法 2. 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B. 下列结论中不一定成立的是(　　) A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP D O ● B P A 考试考法 3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是_____ 6 cm A C D B E 考试考法 （第1题） 1. 如图，是 的角平分线，且 ，则与 的面 积之比为( ) A. B. C. D. √ 返回 考试考法 24 （第2题） 2. ［2024常州］如图，在纸上画有 ， 将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点 在 的平分线上，则( ) A. 与一定相等 B. 与 一定不相等 C. 与一定相等 D. 与 一定不相等 √ 返回 考试考法 25 （第3题） 3. 如图，是等腰三角形 底边上的 中线，平分,交于点 , ，，则 的面积是 ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 √ 返回 考试考法 26 4.如图，在中，，平分交于点 ， ，垂足为，的面积为5，则 的长为___. 2 （第4题） 考试考法 27 5.如图，点是和的平分线的交点， 于 点，，的周长是36，则 的面积为____. 54 （第5题） 考试考法 28 角平分线的性质及判定 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 课堂小结 谢谢观看！ $