12.2.1全等三角形的判定条件 课件- 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版(2024)版数学8年级上册 第12章 全等三角形 12.2.1全等三角形的判定条件 1、理解并掌握全等三角形的概念,及全等三角形经过一系列变换后,能够完全重合的性质; 2、掌握全等三角形的性质(对应边相等,对应角相等)和全等的判定条件; 学习目标 下图中的几组图形有怎样的关系? (1) (2) (3) 思考:你能想到现实生活中有这样的图形吗? 情景导入 能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 全等形包括规则图形和不规则图形全等. 全等图形: # 幻灯片分页内容:12.2.1 全等三角形的判定条件 ## 第1页:课题引入——从全等性质逆向探究 - 复习回顾: 1. 全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形; 2. 全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等、对应角相等(即“对应边相等,对应角相等”)。 - 逆向思考: 已知两个三角形全等,能推出对应边、对应角都相等。反之,若要判定两个三角形全等,需要满足什么条件?是否必须知道所有对应边和对应角都相等? - 情境问题: 小明想制作一个和同桌完全相同的三角形贺卡,他需要测量同桌贺卡的哪些数据,才能保证制作出的贺卡全等? - 课题:今天我们就来探究12.2.1 全等三角形的判定条件,寻找判定两个三角形全等的简便方法。 ## 第2页:探究1——只给一个条件(边或角) - 探究内容: 1. 只给一条边:画一个边长为3cm的三角形,再画一个边长为3cm的三角形,观察两个三角形是否一定全等(结论:不一定,形状可能不同); 2. 只给一个角:画一个角为60 的三角形,再画一个角为60 的三角形,观察两个三角形是否一定全等(结论:不一定,边长可能不同)。 - 探究结论: 只给出一个条件(一条边或一个角),不能判定两个三角形全等。 ## 第3页:探究2——给两个条件(边边、边角、角角) - 探究内容: 1. 给两条边(边边):画三角形,使两边长分别为3cm和5cm,观察不同同学画的三角形是否全等(结论:不一定,夹角可能不同); 2. 给一个角和一条边(边角):画三角形,使一个角为60 ,一条边长为4cm,观察是否全等(结论:不一定,边的位置或角的另一边长度可能不同); 3. 给两个角(角角):画三角形,使两个角分别为30 和60 ,观察是否全等(结论:不一定,边长可能不同)。 - 探究结论: 给出两个条件,也不能判定两个三角形全等。 ## 第4页:探究3——给三个条件(边边边、边角边、角边角、角角边) ### (1)三边对应相等(SSS) - 探究操作: 画一个三角形,使三边分别为4cm、5cm、6cm,再按同样的边长画另一个三角形,将两个三角形剪下重叠,观察是否完全重合(结论:完全重合)。 - 判定方法1: **三边分别相等的两个三角形全等**,简写成“边边边”或“SSS”。 - 符号表示: 如图,在 ABC和 DEF中, AB=DE, BC=EF, AC=DF, ∴ ABC≌ DEF(SSS)。 ## 第5页:探究3——给三个条件(续) ### (2)两边和它们的夹角对应相等(SAS) - 探究操作: 画一个三角形,使两边长为3cm和4cm,夹角为60 ,再按同样的条件画另一个三角形,重叠后观察是否完全重合(结论:完全重合)。 - 关键强调: “夹角”是指两条已知边之间的角,若不是夹角(即“边边角”),则不能判定全等(可画图举例说明:两边长3cm、4cm,其中4cm边的对角为60 ,画出来的三角形形状不同)。 - 判定方法2: **两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等**,简写成“边角边”或“SAS”。 - 符号表示: 如图,在 ABC和 DEF中, AB=DE, ∠A=∠D, AC=DF, ∴ ABC≌ DEF(SAS)。 ## 第6页:探究3——给三个条件(续) ### (3)两角和它们的夹边对应相等(ASA) ### (4)两角和其中一角的对边对应相等(AAS) - 探究操作(ASA): 画一个三角形,使两角分别为30 和60 ,夹边为5cm,再按同样条件画另一个三角形,重叠后完全重合(结论:全等)。 - 探究推导(AAS): 由三角形内角和为180 ,若两个角对应相等,则第三个角也必然对应相等,因此“两角和其中一角的对边对应相等”可转化为“ASA”,同样能判定全等。 - 判定方法3: **两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等**,简写成“角边角”或“ASA”。 - 判定方法4: **两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等**,简写成“角角边”或“AAS”。 - 符号表示(ASA): 如图,在 ABC和 DEF中, ∠A=∠D, AB=DE, ∠B=∠E, ∴ ABC≌ DEF(ASA)。 ## 第7页:基础例题——全等判定的直接应用 - 例题解析: 1. 例1:如图,AB=CD,AD=BC,求证 ABC≌ CDA。 证明:在 ABC和 CDA中, AB=CD(已知), BC=DA(已知), AC=CA(公共边), ∴ ABC≌ CDA(SSS)。 2. 例2:如图,AB=AE,∠BAC=∠DAE,AC=AD,求证 ABC≌ AED。 证明:在 ABC和 AED中, AB=AE(已知), ∠BAC=∠DAE(已知), AC=AD(已知), ∴ ABC≌ AED(SAS)。 3. 例3:如图,∠B=∠D,∠A=∠C,AB=CD,求证 ABO≌ CDO。 证明:在 ABO和 CDO中, ∠A=∠C(已知), AB=CD(已知), ∠B=∠D(已知), ∴ ABO≌ CDO(ASA)。 ## 第8页:易错点辨析——避开判定误区 - 易错点1:误用“边边角(SSA)”判定全等 错误:认为“两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”; 纠正:SSA不能判定全等,如:一个三角形两边长3cm、4cm,4cm边的对角为30 ,另一个三角形两边长3cm、4cm,3cm边的对角为30 ,两个三角形不全等。 - 易错点2:忽略“夹角”条件(SAS应用错误) 错误:在 ABC和 DEF中,AB=DE,AC=DF,∠B=∠E,判定 ABC≌ DEF(SAS); 纠正:∠B和∠E不是AB与AC、DE与DF的夹角,不满足SAS条件,不能判定全等。 - 易错点3:公共边、公共角未充分利用 错误:证明时遗漏公共边、公共角这一已知条件; 纠正:公共边、公共角是隐含的已知条件,需在证明中明确写出(如例1中的AC=CA)。 ## 第9页:课堂练习——分层巩固 - 基础题: 1. 下列条件中,能判定 ABC≌ DEF的是( ) A. AB=DE,BC=EF,∠A=∠D B. ∠A=∠D,∠B=∠E,AC=DF C. AB=DE,AC=DF,∠B=∠E (答案:B,AAS); 2. 如图,AB=AC,AD=AE,求证 ABD≌ ACE(提示:用SAS,夹角为∠A)。 - 提高题: 1. 如图,已知∠1=∠2,∠B=∠C,AB=AC,求证 ABD≌ ACE; 2. 如图,AB=CD,AD=BC,求证∠A=∠C(提示:先证 ABD≌ CDB,再用全等性质)。 ## 第10页:课堂小结与课后作业 - 课堂小结: 1. 判定全等三角形的4种基本方法:SSS、SAS、ASA、AAS(重点掌握); 2. 关键注意事项: - SAS必须是“两边和它们的夹角”,SSA不能判定全等; - 证明时要充分利用公共边、公共角、对顶角等隐含条件; - 判定的目的是为了后续利用全等三角形的性质推导边或角相等。 - 课后作业: 1. 如图,在 ABC中,AB=AC,D是BC的中点,求证 ABD≌ ACD(用SSS); 2. 如图,∠1=∠2,AB=AD,AC=AE,求证 ABC≌ ADE(用SAS); 3. 思考:直角三角形全等的判定是否有特殊方法?(预习后续内容)。 探究新知 探究新知 知识点一 全等三角形的概念 全等三角形 能够完全重合的两个三角形是全等三角形. A B C A′ B′ C′ 能相互重合的顶点是对应顶点. 能相互重合的边是对应边. 能相互重合的角是对应角. A与A′、B与B′、C与C′ AB与A′B′、BC与B′C′ 、CA与C′A′ ∠A与∠A′、∠B与∠B′、∠C与∠C′ 探究新知 A B C A′ B′ C′ 全等三角形的性质: 全等三角形的对应边相等,对应角相等. 全等三角形的表示: “全等”用符号“≌”来表示,读作“全等于”. 记两个三角形全等时,要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 记作 ABC≌ A′B′C′ 探究新知 1.怎样改变其中一个图形的位置可以得到另一个图形? 观察与思考 探究新知 2.你能在以下图案中能找出全等图形吗? 探究新知 做 一 做 如图,以直线 l 为对称轴,画出 ABC 的对称图形,并指出它们的对应顶点﹑对应边和对应角. 若已知∠A=60 ,∠B=80 ,则 ∠D=_,∠E=_,∠F=_. 60 80 40 探究新知 典例精析 【例1】 如图,将 ABC 绕点 B 按顺时针方向旋转 60 后得 A′BC′.指出对应顶点、对应边和对应角. 解: 对应顶点: A 与A′,B 与B,C 与 C′; 对应边: AB 与 A′B,AC 与 A′C′,BC 与 BC′. 对应角:∠CBA 与∠C′BA′,∠A 与∠A′, ∠C 与∠C′. 探究新知 练一练 【解析】∵ ABC ≌ DEF, ∴ ∠ACB = ∠DFE. ∴∠DFE = 180 -(∠A +∠B)=85 . 1. 如图,已知 ABC ≌ DEF,∠A =40 , ∠B =55 ,则∠DFE 的度数是_. 85 探究新知 知识点二 全等三角形的判定条件 怎么判断两个三角形全等呢? 根据全等三角形的定义可知:能够完全重合两个三角形全等,即两个三角形的三对边、三对角分别对应相等,则两个三角形全等. 能否减少一些条件,找到更简便的判定两个三角形全等的方法呢? 对两个三角形来说,六个元素(三条边、三对角)中至少要有几个元素对应相等,这两个三角形才会全等呢? 探究新知 1.画几个有一边长为8cm的三角形,这样得到的三角形是否全等? 如果两个三角形只有一组对应相等的元素,那么会出现几种情况?这两个三角形会全等吗? 探究活动1 两种,一条边或一个角相等. 试一试 有一条边对应相等的三角形不一定全等. 探究新知 有一个角对应相等的三角形不一定全等. 2.画几个有一个角为60 的三角形,这样得到的三角形是否全等? ( 60 归纳:如果两个三角形只有一组对应相等的元素,那么这两个三角形不一定全等. 探究新知 30 (1)三角形的一条边为3cm,一个内角为30 3cm 3cm 3cm 30 30 探究活动2 如果两个三角形有两组对应相等的元素,那么会出现几种可能的情况?这两个三角形会全等吗? 三种,一条边和一个角相等;两个角相等;两条边相等. 试一试 按照下面的条件,用刻度尺和量角器画三角形,并和周围的同学比较,所画的图形是否全等. 一条边和一个内角相等不能判定两个三角形全等. ( ( ( 探究新知 30 70 30 70 30 70 (2)三角形的两个内角分别为30 和70 . 两个内角对应相等不能判定两个三角形全等. 5cm 3cm 3cm (3)三角形的两条边分别为3cm和5cm. 两条边对应相等不能判定两个三角形全等. 探究新知 两个三角形只有一组或两组对应相等的元素(边或角),那么这两个三角形不一定全等. 探索发现 思 考 如果两个三角形有三组对应相等的元素(边或角),又会如何呢? 探究新知 (1)有公共边的,公共边是对应边; (2)有公共角的,公共角是对应角; (3)有对顶角的,对顶角是对应角; (4)两个全等三角形最大的边是对应边,最小的边是对应边 (长对长,短对短,中对中); (5)两个全等三角形最大的角是对应角,最小的角是对应角 (大角对大角,小角对小角); 找对应边、对应角的方法总结: 探究新知 典例精析 例2 如图, ABC≌ DEF,∠A=60 ,∠E=40 ,BF=3,EF=6,求∠DFE的度数和CF的长. E D B F A C 3 60 40 6 解:∵ ABC≌ DEF,∠A=60 , ∠E=40 ,BF=3,EF=6, ∴∠D=∠A=60 ,BC=EF=6, ∴∠DFE=180 -∠E-∠D =180 -40 -60 =80 CF=BC-BF=6-3=3. 探究新知 练一练 如图,将 AOB 绕点 O 旋转180 ,得到 COD,这时 AOB≌ _. 这两个三角形的对应边是:AO与_,OB与_,BA与_; 对应角是:∠AOB与_,∠OBA与_, ∠BAO与_. COD CO OD DC ∠COD ∠ODC ∠DCO 课堂练习 2. 如图,AD // BC,AD = BC,AE⊥BC,将 ABE 沿 AD 方向平移,使点 A 与点 D 重合,点 E 平移至点 F, 则 ABE≌_,∠F =_ . DCF 90 课堂练习 1.如图, ABC ≌ CED, ∠ B和∠ DEC是对应角,BC与ED是对应边,说出另两组对应角和对应边. A B C E D 解: 对应角: ∠ A= ∠ DCE, ∠ D= ∠ ACB; 对应边: AC=CD,AB=CE. 课堂练习 2.下列各组中是全等图形的是( ) A. 两个周长相等的等腰三角形 B. 两个面积相等的长方形 C.两条长度的圆弧 D. 两个周长相等的圆 D 解:周长相等,圆的半径也相等,故两个周长相等的圆全等; 课堂练习 1. 下列说法正确的是( ) B A. 三个角对应相等的两个三角形全等 B. 判定两个三角形全等的条件中至少有一个条件是边相等 C. 面积相等的两个三角形全等 D. 周长相等的两个三角形全等 返回 考试考法 25 2. [2025泰安期末]根据下列已知条件,能画出唯一的 的是( ) C A. , B. ,, C. , , D. ,, 返回 考试考法 26 3. 如图,把以点 为旋转中心逆时 针旋转得到,点, 的对应点分 别是点,,且点在 的延长线上, 连结 ,则下列结论一定正确的是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 27 (第4题) 4. 如图,将折叠,使点与 边的 中点重合,折痕为.若 , ,则 的周长为( ) A A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 返回 考试考法 28 (第5题) 5.[2025重庆校级期末]两个全等 的直角三角形重叠在一起,将其中 的一个三角形沿着 方向平移到 的位置,, , 平移距离为2,则阴影部分面积为 _. 7 考试考法 29 (第5题) 【点拨】由平移的性质知 , , , , . 返回 考试考法 30 6.如图,将绕点顺时针旋转 得 到, . (1)和 是否全等?如果全等, 请写出对应边和对应角. 【解】 . 对应边:和,和,和 ; 对应角:和,和, 和 . 考试考法 31 (2)直线与直线 有怎样的位置关系?请说明理由. 考试考法 32 . 理由:延长交 于点 , , , , 即点,, 在同一直线上. , , , , . 返回 考试考法 33 全等三角形 定义 性质 1.全等三角形的对应边相等 2.全等三角形的对应角相等 探究三角形全等的条件 能够完全重合的两个三角形 1.一个元素(边或角) 两个三角形不一定全等 2.两个元素(边或角) 两个三角形不一定全等 3.三个元素(边或角) 两个三角形可能全等 课堂小结 谢谢观看! $