12.1.2定义、定理与证明 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

华东师大版（2024）版数学8年级上册 第12章 全等三角形 12.1.2定义、定理与证明 1、理解基本事实、定理等概念； 2、理解证明的概念，并会对真命题进行证明； 学习目标 温故知新 问题：我们学过的哪些命题是真命题﹖ 1.两点确定一条直线; 2.两点之间，线段最短; 3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 情景导入 温故知新 问题：我们学过的哪些命题是真命题﹖ 1.两点确定一条直线; 2.两点之间，线段最短; 3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 情景导入 问题1：什么是命题？命题的结构是什么？ 定义：判断一件事情的语句. 构成：每个命题都是由题设、结论两部分组成. 命题常写成“如果……那么……”的形式. 问题2：命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？ 真命题和假命题 举反例 探究新知 知识点一 基本事实与定理 探究新知 （1）两点确定一条直线； （2）两点之间，线段最短； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 回忆一下，我们学过哪些真命题？ 这些都是公认的真命题，我们把它视为基本事实. 探究新知 基本事实： 公认的真命题视为基本事实. 它们是用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点． 定理： 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理． 探究新知 基本事实、定理、命题的关系： 命题 真命题 假命题 基本事实（正确性由实践总结） 定理（正确性通过推理证实） 基本事实与定理的联系与区别： 定理与基本事实都是真命题，都是我们解决问题的依据， 它们的区别是:基本事实是公认的真命题，不需要推理论证； 定理是由基本事实直接或间接推理论证得到的. 探究新知 1. 下列命题中属于基本事实的是（ ） A. 内错角相等，两直线平行　　　 B. 三角形的外角和等于 360° C. 两点确定一条直线 D. 直角三角形两锐角互余 试 一 试 C 根据基本事实的概念即可判断； 探究新知 2. 下列命题是定理的是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两直线平行，内错角相等 C. 两点确定一条直线 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B 探究新知 思考 （1）一位同学在钻研数学题时发现: 于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论:从质数 2 开始，排在前面的任意多个质数的乘积加 1 一定也是质数. 他的结论正确吗？ 2 + 1 =3， 2×3 + 1 = 7， 2×3×5 + 1 = 31， 2×3×5×7 + 1 = 211 计算一下2×3×5×7×11+1与2×3×5×7×11×13+1，你发现了什么？ 探究新知 （2）如图所示，一位同学在画图时发现: 三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得出结论:任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗？ 探究新知 （3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论: n 边形的内角和等于 ( n -2) ×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？ 实际上，这是一个正确的结论. 上面几个例子说明: 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实. 探究新知 根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明． 证明： 证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据，它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的定理，以及等式的性质、等量代换等． 证明的依据： 探究新知 已知: 如图，在△ABC中，∠C = 90°. 求证: ∠A +∠B = 90°. 直角三角形的两个锐角互余. 证明: ∠A ＋∠B +∠C = 180° (三角形的内角和等于180°)， 又∵ ∠C = 90°(已知)， ∴ ∠A + ∠B = 180°-∠C = 90° (等式的性质). 探究新知 证明的一般步骤是： ①审清题意，找出命题中的条件和结论; ②根据题意画出图形，图形要正确且具有一般性，不能画特殊图形; ③用数学语言写出“已知”“求证”; ④找出证明思路; ⑤写出证明过程，每一步都要有理有据; ⑥检查表达过程是否正确、完整． 探究新知 求证: 平行线的内错角的平分线互相平行． 解:已知:如图，AB ∥CD ，EF 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，EM 平分∠BEF，FN 平分∠EFC． 求证: EM ∥FN ． 证明:∵AB∥CD (已知)， ∴∠BEF＝∠CFE (两直线平行，内错角相等)． ∵EM 平分∠BEF，FN 平分∠EFC (已知)， ∴∠2＝ ∠BEF，∠1＝ ∠CFE(角平分线的定义)． ∴∠1＝∠2(等量代换)． ∴EM ∥FN (内错角相等，两直线平行)． 探究新知 分析：要证明OE⊥OF，只要证明 ∠EOF＝ 90°，即∠1＋∠2＝ 90°即可． 1.证明：邻补角的平分线互相垂直． 已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC． 求证：OE⊥OF． 证明：∵OE平分∠AOB， ∴∠1＝ ∠AOB. ∵OF平分 ∠BOC， ∴∠2＝ ∠BOC. ∴∠1＋∠2＝ （∠AOB＋∠BOC） ＝ ∠AOC ＝ ×180°＝90°. ∴OE⊥OF（垂直定义）． 课堂练习 2、已知：b∥c， a⊥b ． 求证：a⊥c． 证明： ∵ a ⊥b（已知）， ∴ ∠1=90°（垂直的定义）. 又 b ∥ c（已知）， ∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）. ∴ a ⊥ c（垂直的定义）. a b c 1 2 课堂练习 3.在下面的括号内，填上推理的依据. 如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE . 求证∠ B+ ∠D=180°. 证明： ∵ AB ∥ CD, ∴ ∠B= ∠C( ). ∵ CB ∥ DE, ∴ ∠ C+ ∠ D=180°( ). ∴ ∠ B+ ∠ D=180°( ). 等量代换 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 课堂练习 1. 下列属于定义的是( ) D A. 两点确定一条直线 B. 两直线平行，同位角相等 C. 等角的补角相等 D. 线段是直线上的两点和它们之间的部分 2. 有下列描述：①过点作直线 ；②两直线平行，同 旁内角互补；③垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是 定理的有( ) B A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 返回 考试考法 21 3.试说明“若 ， ， ，则 ”是真命题.以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）；②因为 , （已知）；③所以 ， （等式的性质）；④所以 （等量代换）；⑤所以 （等量代换）.正确的 顺序是____________. ②③①⑤④ 返回 考试考法 22 4. 下面是投影屏上出示的抢答题， 需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是( ) 已知：如图， . 求证： . ___________________________ 考试考法 23 证明：延长交于点 ， 则 . 又 ， ， （ 相等，两直线平行）. A. 代表 B. 代表同位角 C. 代表 D. 代表 续表 √ . . . . . . . . 返回 考试考法 24 5. （1）如图， ，数学课上，老师请 同学们根据图形的特征添加一个关于角的 条件，使 ，可以添加的条 件是________________________________； （答案不唯一） 考试考法 25 （2）如图，请你从; 平分 ; 中任选出两个作为条 件，另一个作为结论，组成一个真命题. 条件：____________________，结论： ____.（填序号） （答案不唯一）①③ ② 考试考法 26 定理与证明 基本事实 定理的概念 证明： 步骤：(1)根据题意作出图形. (2)写出已知和求证. (3)写出证明的过程 概念 课堂小结 谢谢观看！ $