精品解析：四川省仁寿县铧强中学2025-2026学年高二上学期第二次教学质量检测数学试题

铧强中学2024级高二（上）第二次教学质量检测 数学试题 一、单选题 1. 椭圆的焦点为，，为椭圆上一点，若，则（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义表达式，代入计算即可. 【详解】由方程可知：，根据题意， 又，则. 故选：B. 2. 已知与是相互独立的随机事件，且，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据和事件、相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【分析】依题意，与是相互独立的随机事件， . 故选：D 3. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由线面平行得到直线方向向量与平面法向量垂直，由向量数量积为0建立方程，解得的值. 【详解】若，则，则， 即， ∴. 故选：A. 4. 在三棱锥中，，，，则点P到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】因，，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 所以点P到平面的距离为； 故选：C 5. “直线与直线平行”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行求出参数，进而判断即可. 【详解】若“直线与直线平行”， 可得，即或（此时两直线重合，故舍去），即成立； 若，则两条直线分别为，，故两直线平行成立， 综上可得：“直线与直线平行”是“”的充要条件， 故选:C. 6. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解. 【详解】由点在圆的外部，可列不等式组： ，解得：， 故选：C. 7. 若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合题意可得，求解不等式即得圆的半径的范围. 【详解】由题意，圆心到直线的距离为， 因圆上到直线的距离为的点有且仅有2个， 故需，解得. 故选：B. 8. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论中，正确的个数为（ ） ①曲线围成的图形的面积为； ②的最小值为； ③点到直线的距离的最大值为； ④曲线有且仅有4条对称轴 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】先分的范围得出曲线的方程，再应用图象数形结合分别判断各个选项. 【详解】因为曲线， 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为. 曲线的图象如图所示： 由图可知，曲线围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积的和， 从而曲线围成的图形的面积为，故①正确； 表示点与点的连线的斜率， 由图可知当（且）与直线相切时取得最小值， 设切线为，则，解得或（舍去）， 所以的最小值为，故②正确； 点到直线的距离， 结合图象可知点到直线的距离的最大值为，故③错误； 由曲线的图像可知，曲线围成的图形有4条对称轴， 分别是轴、轴、第一、三象限角平分线以及第二、四象限角平分线，故④正确； 故选：B 二、多选题 9. 下列说法正确的有（    ） A. 过点并且倾斜角为的直线方程为; B. 斜率为，在轴上的截距为的直线方程为; C. 已知直线与直线平行，则两平行线间的距离是; D. 直线的一个方向向量是，则直线的斜率是． 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件直接写出直线的方程，可判断A选项；利用直线的斜截式方程可判断选项B；利用平行线间的距离公式可判断C选项；利用直线的斜率与方向向量的关系可判断D选项． 【详解】选项A：过点并且倾斜角为的直线方程为，故A对； 选项B：斜率为，在轴上的截距为的直线方程为，故B错； 选项C：直线与直线平行，直线的方程可化为， 这两条平行直线间的距离为，故C对； 选项D：若直线的一个方向向量是，则直线的斜率是，故D对． 故选：ACD． 10. 已知正方体的棱长为1，动点在底面内，且，则（ ） A. 平面 B. 的轨迹长度为 C. 恰有一个点，满足 D. 与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明平面，即可判断A，确定在对角线上，即可判断B，证明平面，即可判断C，与平面所成角即为，即可判断D. 【详解】对于A：如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 所以，，所以，， 即，， 又，平面， 所以平面，，平面， 平面，故A正确； 对于B：同理可证平面，又，动点在底面内， 在对角线上，又，即的轨迹长度为，故B正确； 对于C：因为，平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面， 当且仅当为的中点时，满足，故C正确； 对于D：因为平面， 所以与平面所成角即为， 又，又在对角线上， 当为的中点时取得最小值， 则取得最大值，即取得最大值， 此时，所以， 所以， 所以与平面所成角的正弦值的最大值为，故D错误； 故选：ABC. 11. 已知点，点，是圆上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 过点且被圆截得最短弦长的直线方程为 B. 直线与圆总有两个交点 C. 过点作两条互相垂直的直线，分别交圆于点，和，，则四边形的面积的最大值为97 D. 的外接圆的半径最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】点在圆内，当弦与垂直时，所截得的弦长最短判断A；求得直线过定点，由点在圆内可判断B；应用弦长公式得出面积结合基本不等式计算可判断C，应用圆与圆的位置关系得出半径最值可判断D. 【详解】对于A，点在圆内，当弦与垂直时，所截得的弦长最短，对应直线方程为，A错误； 对于B，直线过定点，由，得在圆内， 因此直线与圆总有两个交点，B正确； 对于C，记点到直线距离为，，， ，则，当且仅当时取等号， 因此，四边形的面积，C正确； 对于D，设外接圆圆心为，外接圆的半径最小，当且仅当外接圆与圆内切， 而点在的中垂线上，设，则外接圆半径， ，因此，两边平方整理可得， 即的外接圆的半径最小值为，D正确． 故选： BCD 三、填空题 12. 过点，且与椭圆 有相同的焦点的椭圆的标准方程 【答案】 【解析】 【分析】根据所求椭圆与椭圆 的焦点相同，设它的标准方程为，由和点 在椭圆上求解. 【详解】解：因为所求椭圆与椭圆 的焦点相同， 所以其焦点在 轴上， 且. 设它的标准方程为. 因为， 且， 故. ① 又点 在椭圆上， 所以， 即 ② 由①②得， 所以所求椭圆的标准方程为. 13. 已知圆C：，直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分过点的直线的斜率存在与不存在两种情况讨论求解即可. 【详解】当过点的直线的斜率存在时，设切线方程为，即， 因为圆心到切线的距离等于半径1，所以，解得， 所以切线方程为，即， 当过点的直线的斜率不存在时，其方程为， 圆心到此直线的距离等于半径1，故直线也符合题意， 综上所述，所求的直线的方程是或. 故答案为：或. 14. 已知点P是直线和的交点，点Q是圆上的动点，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分别找到直线、所过定点，求两直线垂直，从而得交点的轨迹是以两定点的中点为圆心，以为半径的圆，再根据两圆位置关系求解. 【详解】直线可变形为， 直线过定点， 同理，则直线过定点， 时，直线，，此时； 当时，， 直线， 但由于直线不可能为，直线不可能为， 所以直线与直线的交点不包含， 直线与直线的交点的轨迹是以AB的中点为圆心， 半径为的圆（除点）， 又圆的圆心，半径， 由于，两圆相离，如下图所示， 的最小值是． 故答案为： 四、解答题 15. 甲、乙两人进行轮流投篮比赛，每人每次只投一球.约定先投中者获胜，当有人投中或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且两人各次投篮互不影响. （1）若甲先投篮，求投篮结束时，甲只投了2个球的概率； （2）若乙先投篮，求乙获胜的概率. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）分甲乙甲乙、甲乙甲（只有最后一局赢）两种情况，根据互斥事件和独立事件的概率公式计算； （2）分乙、乙甲乙、乙甲乙甲乙（只有最后一局赢）三种情况，根据互斥事件和独立事件的概率公式计算. 【小问1详解】 设，分别表示甲、乙在第次投篮投中， 则由题意可得，， 记事件为“投篮结束时甲只投了2个球”， 则 ， 即若甲先投，投篮结束时，甲只投了2个球的概率为； 【小问2详解】 若由乙首次投篮，记事件为“乙获胜”， 则 ， 故若乙先投篮，乙获胜的概率为. 16. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是，上的动点，且． （1）求证：； （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的正切值． 【答案】（1）证明如下： 如下图，构建空间直角坐标系，令且， 所以，，，， 则，，故， 所以，即. （2） 【解析】 【分析】（1）构建空间直角坐标系，令且，应用向量法求证垂直即可； （2）由三棱锥体积最大，只需△面积最大求出参数，再标出相关点的坐标，求平面与平面的法向量，进而求它们夹角的余弦值，即可得正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得三棱锥体积取最大，即面积最大， 所以当时，故、为、上的中点， 所以，，，故，， 若为平面的法向量，则，令，故， 又面的法向量为， 所以， 设平面与平面的夹角为，由图可知为锐角，则，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角正切值为. 17. 在中，已知，边的中点在轴上，边的中线所在直线的方程 （1）求顶点的坐标； （2）求边上的高所在直线方程； （3）求外接圆的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，利用边的中点在轴上，求得，利用边的中线所在直线的方程，求得； （2）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （3）利用待定系数法求得外接圆的方程． 【小问1详解】 设，则的中点坐标为， 又因为边的中点在轴上，所以，解得， 又的中点是，即， 因为边的中线所在直线的方程，解得， 所以点C的坐标为； 【小问2详解】 因为，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即； 【小问3详解】 设外接圆的方程为， 可得，化简得， 解得，所以外接圆的方程为， 化为标准方程为. 18. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，记点的轨迹为圆. （1）求圆的周长； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于，两点，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，，记的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）或. （3） 【解析】 【分析】（1）点，由题意建立等式计算可得圆的方程为，进而计算可得周长； （2）根据直线被圆截得的弦长为，分斜率存在和不存在两种情况计算即可求解； （3）直线与圆联立方程组求得点的坐标为，点的坐标为，根据题意列出比例关系式结合基本不等式计算求解即可. 【小问1详解】 设点， 由，得， 整理得， 所以圆的方程为，其周长为； 【小问2详解】 因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为. ①当直线的斜率不存在时，直线：与圆的交点坐标为， 此时，直线被圆截得的弦长为，满足题意； ②当直线的斜率存在时，设直线：，整理得， 所以圆心到直线的距离，解得，则直线：. 综上，直线的方程为或. 【小问3详解】 根据题意作图. 因为原点在圆：上， 直线过圆心，且与轴所在直线不重合，所以. 设直线的斜率为，则直线的方程为. 由，可得，解得或 所以点的坐标为. 又直线的斜率为，所以直线的方程为. 由，可得，解得或 所以点的坐标为. 由题意可知，点，， 所以，， 故， 又，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 19. 如图1，在梯形中，，点在线段上，，．现将沿翻折到的位置，使得二面角为直二面角，如图2所示． （1）若是的中点，证明：平面； （2）若分别是的中点，直线与平面所成角为． ①设，求的取值范围； ②求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围． 【答案】（1） 由题意知， 而是的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题可得，结合平面平面，即可证得平面； （2）①建立空间直角坐标系，设，根据求出的范围，②将平面与平面所成锐二面角的余弦值表示为的函数，再求范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 对于①，在平面内作的垂线作为轴，所以轴， 如图以为坐标原点，分别以为轴正半轴建立空间直角坐标系： 因为，设， 所以， 则， 所以， . 设平面的法向量， 得， 取，可得 ，解得， 对于②，设平面的法向量， 得，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为， 则 ， 由于在时单调递增，故， 故， 得到平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围是； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铧强中学2024级高二（上）第二次教学质量检测 数学试题 一、单选题 1. 椭圆的焦点为，，为椭圆上一点，若，则（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 2. 已知与是相互独立的随机事件，且，，则（    ） A. B. C. D. 3. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 在三棱锥中，，，，则点P到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 5. “直线与直线平行”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论中，正确的个数为（ ） ①曲线围成的图形的面积为； ②的最小值为； ③点到直线的距离的最大值为； ④曲线有且仅有4条对称轴 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、多选题 9. 下列说法正确的有（    ） A. 过点并且倾斜角为的直线方程为; B. 斜率为，在轴上的截距为的直线方程为; C. 已知直线与直线平行，则两平行线间的距离是; D. 直线的一个方向向量是，则直线的斜率是． 10. 已知正方体的棱长为1，动点在底面内，且，则（ ） A. 平面 B. 的轨迹长度为 C. 恰有一个点，满足 D. 与平面所成角的正弦值的最大值为 11. 已知点，点，是圆上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 过点且被圆截得最短弦长的直线方程为 B. 直线与圆总有两个交点 C. 过点作两条互相垂直的直线，分别交圆于点，和，，则四边形的面积的最大值为97 D. 的外接圆的半径最小值为 三、填空题 12. 过点，且与椭圆 有相同的焦点的椭圆的标准方程 13. 已知圆C：，直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为__________. 14. 已知点P是直线和的交点，点Q是圆上的动点，则的最小值是__________. 四、解答题 15. 甲、乙两人进行轮流投篮比赛，每人每次只投一球.约定先投中者获胜，当有人投中或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且两人各次投篮互不影响. （1）若甲先投篮，求投篮结束时，甲只投了2个球的概率； （2）若乙先投篮，求乙获胜的概率. 16. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是，上的动点，且． （1）求证：； （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的正切值． 17. 在中，已知，边的中点在轴上，边的中线所在直线的方程 （1）求顶点的坐标； （2）求边上的高所在直线方程； （3）求外接圆的方程． 18. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，记点的轨迹为圆. （1）求圆的周长； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于，两点，为坐标原点，直线，分别与直线相交于，，记的面积为，的面积为，求的最大值. 19. 如图1，在梯形中，，点在线段上，，．现将沿翻折到的位置，使得二面角为直二面角，如图2所示． （1）若是的中点，证明：平面； （2）若分别是的中点，直线与平面所成角为． ①设，求的取值范围； ②求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $