11.3.1两数和乘以这两数的差 课件- 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“两数和乘以这两数的差”，即平方差公式。课堂导入通过“温故知新”回顾多项式乘法法则，再结合几何图形剪拼与代数运算推导公式，构建从旧知到新知的学习支架。 其特色是融合几何直观与代数推理，以图形面积关系助理解公式几何意义（数学眼光），通过多解法例题培养推理意识与运算能力（数学思维），结合简便计算、实际问题提升应用意识（数学语言）。既帮助学生理解公式本质，又便于教师高效教学。

华东师大版（2024）版数学8年级上册 第11章 整式的乘除 11.3.1两数和乘以这两数的差 1、理解两数和乘以这两数差的几何意义. 2、理解并掌握两数和乘以这两数差的公式结构，并能正确运算. “11.3.1两数和乘以这两数的差”核心是平方差公式的学习，下面以幻灯片形式呈现教学内容，涵盖公式推导、例题解析、易错点等，适配课堂教学： # 幻灯片分页内容：11.3.1两数和乘以这两数的差 ## 第1页：课题引入——旧知铺垫引新知 - 复习回顾： 1. 多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即\((m + n)(p + q)=mp + mq + np + qn\)； 2. 快速计算：\((x + 3)(x - 3)\)、\((2a + b)(2a - b)\)，观察结果有何特殊规律？ - 情境问题： 边长为\(a\)的正方形草坪，一角剪去边长为\(b\)的小正方形（\(a > b\)），剩余部分面积怎么算？除了用大正方形面积减小小正方形面积，还有其他计算方式吗？ - 课题：今天我们就来探究这种特殊的多项式乘法——11.3.1两数和乘以这两数的差。 ## 第2页：公式推导——代数与几何双验证 - 代数推导（依据多项式乘法法则）： 计算\((a + b)(a - b)\)，按法则展开得\(a×a - a×b + b×a - b×b\)；中间两项\(-ab\)与\(+ab\)互为相反数，合并后消去，最终结果为\(a^2 - b^2\)。 - 几何验证（面积法）： 1. 方法一：剩余图形面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积，即\(a^2 - b^2\)； 2. 方法二：将剩余图形拼接成长为\((a + b)\)、宽为\((a - b)\)的长方形，面积为\((a + b)(a - b)\)； 3. 结论：两种方法表示同一图形面积，故\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)。 - 公式总结：**两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差**，该公式称为平方差公式。 ## 第3页：公式特征——找准关键辨结构 - 核心特征： 1. 左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同（如公式中的\(a\)），另一项互为相反数（如公式中的\(b\)和\(-b\)）； 2. 右边：相同项的平方减去互为相反数项的平方，且顺序不可颠倒； 3. 字母含义：\(a\)、\(b\)可表示具体数字、单项式，也可表示多项式。 - 特征辨析： 1. 符合特征：\((5x + 2y)(5x - 2y)\)（相同项\(5x\)，相反项\(2y\)与\(-2y\)）； 2. 不符合特征：\((x + 2)(x + 3)\)（两项均不互为相反数）。 ## 第4页：基础例题——公式直接应用 - 解题思路：先找准相同项和相反项，再代入平方差公式计算，注意符号和幂的运算。 - 基础例题解析： 1. 例1：计算\((m + 5)(m - 5)\) 解：相同项为\(m\)，相反项为\(5\)与\(-5\)，原式\(=m^2 - 5^2 = m^2 - 25\)； 2. 例2：计算\((3x - 2y)(3x + 2y)\) 解：相同项为\(3x\)，相反项为\(-2y\)与\(2y\)，原式\(=(3x)^2 - (2y)^2 = 9x^2 - 4y^2\)； 3. 例3：计算\((-1 + 4c)(-1 - 4c)\) 解：相同项为\(-1\)，相反项为\(4c\)与\(-4c\)，原式\(=(-1)^2 - (4c)^2 = 1 - 16c^2\)。 ## 第5页：进阶例题——公式灵活变形 - 解题关键：当式子结构不直接符合公式时，先通过变形转化出相同项和相反项，再用公式计算。 - 进阶例题解析： 1. 例1：计算\((2x - y)(-2x - y)\) 解：变形为\((-y + 2x)(-y - 2x)\)，相同项为\(-y\)，相反项为\(2x\)与\(-2x\)，原式\(=(-y)^2 - (2x)^2 = y^2 - 4x^2\)； 2. 例2：计算\(199×201\) 解：将其转化为两数和与差的形式，\(199 = 200 - 1\)，\(201 = 200 + 1\)，原式\((200 - 1)(200 + 1)=200^2 - 1^2 = 40000 - 1 = 39999\)； 3. 例3：计算\((a + b + c)(a + b - c)\) 解：把\((a + b)\)看作整体，原式\(=[(a + b) + c][(a + b) - c]=(a + b)^2 - c^2 = a^2 + 2ab + b^2 - c^2\)。 ## 第6页：易错点辨析——避开运算误区 - 易错点1：混淆公式右边的运算顺序 错误：\((a + b)(a - b)=b^2 - a^2\)； 纠正：牢记右边是相同项的平方减相反项的平方，原式应为\(a^2 - b^2\)。 - 易错点2：漏算系数的平方 错误：\((2x + 3)(2x - 3)=2x^2 - 9\)； 纠正：系数也要平方，原式\(=(2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9\)。 - 易错点3：非平方差结构误用公式 错误：\((x + 2)(x + 2)=x^2 - 4\)； 纠正：该式是两数和的平方，不符合平方差公式，应按多项式乘法计算得\(x^2 + 4x + 4\)。 ## 第7页：课堂练习——分层巩固能力 - 基础题： 1. 计算\((6m - n)(6m + n)\)； 2. 计算\((-x + 5)(-x - 5)\)。 - 提高题： 1. 计算\((a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)\)； 2. 化简\((3x - 4y)(4y + 3x) - (2x + y)(2x - y)\)。 - 拓展题： 已知\((2x + y)(2x - y) = 12\)，\(xy = 2\)，求\(4x^2 + y^2\)的值。 ## 第8页：课堂小结与课后作业 - 课堂小结： 1. 一个核心公式：平方差公式\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)，牢记“和乘差得平方差”； 2. 两个关键要点：准确识别相同项与相反项；灵活变形非标准形式的式子； 3. 一种数学思想：数形结合思想，通过图形面积理解公式的几何意义。 - 课后作业： 1. 计算教材对应练习题； 2. 用简便方法计算\(2025×2023 - 2024^2\)； 3. 一个长方形围栏，长为\((3x + 2)\)米，宽为\((3x - 2)\)米，求围栏的面积和周长。 学习目标 　 温故知新 多项式与多项式是如何相乘的？ （x ＋ 3)( x＋5） =x2＋5x＋3x＋15 =x2＋8x＋15. (a+b)(m+n) =am +an +bm +bn 情景导入 将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？ (a+b)(a−b) = a2−b2 ？ 探究新知 知识点一 两数和乘以这两数的差 做 一 做 用多项式乘法法则计算：(a+b)(a-b). ( a + b ) ( a – b ) =a·a +a·b -a·b -b·b =a2-b2 探究新知 ①(x ＋ 1)( x－1)； ②(m ＋ 2)( m－2)； ③(2m＋ 1)(2m－1)； ④(5y ＋ z)(5y－z). 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 探究新知 ②（m＋ 2)( m－2）=m2－22 ③（2x＋ 1)( 2x－1)=4m2 － 12 ④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2 ①（x ＋1)( x－1）=x2 － 1， 想一想：这些计算结果有什么特点？ x2 － 12 m2－22 (2m)2 － 12 (5y)2 － z2 探究新知 (a+b)(a-b)=a2-b2 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式. 利用这个公式，可以直接计算两数和乘以这两数的差. 公式变形: 1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2 探究新知 = － (a+b)(a－b) a2 b2 几 何 解 释 b2 a a b b (a-b)(a+b) a2 观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算： 探究新知 典例精析 计算： （1）(a+3)(a-3) （2）(2a+3b)(2a-3b) （3）(1+2c)(1-2c) =a2-9 =4a2-9b2 =1-4c2 例1 =a2-32 =(2a)2-(3b)2 =12-(2c)2 探究新知 （4）(-2x-y)(2x-y) =-(2x+y)(2x-y) =-(4x2-y2) =-4x2+y2 -(2x+y) 或 （4）(-2x-y)(2x-y) =(-y-2x)(-y+2x) =(-y) 2-(2x)2 =y2 -4x2 (-y-2x) 探究新知 计算：1998×2002. 1998×2002 =(2000-2)×(2000+2) =4000000-4 =3999996 例2 =20002-22 写成两数和乘以这两数差的形式，可使计算简便. 1998 =(2000-2) (2000+2) 2002 探究新知 计算： (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1). (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1) =(x2-1)(x2+1)(x4+1)(x8+1) =(x4-1)(x4+1)(x8+1) =(x8-1)(x8+1) =x16-1 解 补充例题 探究新知 先化简，再求值： (y+3x)(3x-y)-(3y+x)(3y-x).其中x=-2，y=3. (y+3x)(3x-y)-(3y+x)(3y-x) =[(3x)2-y2]-[(3y)2-x2] =9x2-y2-9y2+x2 =10x2-10y2 当x=-2，y=3时， 原式=10×(-2)2-10×32=40-90=-50. 补充例题 探究新知 1．下列能用平方差公式计算的式子是(   ) A．(a-b)(a-b) B．(-a+b)(a-b) C．(-a-b)(-a+b) D．(-a-b)(a+b) 【详解】解：A.(a-b)(a-b)，a,b符号相同，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意； B.(-a+b)(a-b)，a,b符号相反，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意； C.(-a-b)(-a+b)，a符号相同，b符号相反，能用平方差公式进行计算，故此选项符合题意； D.(-a-b)(a+b)，a,b符号相反，不能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意. 故选：C． 课堂练习 2．如图，大正方形与小正方形的面积差为72，则阴影部分的面积为 （    ）    A．22 B．24 C．30 D．36 课堂练习 【详解】解：设大正方形边长为x，小正方形边长为y， 则AE=x-y，x2-y2=72， 阴影部分的面积是： =(x-y)x·x+(x-y)·y =(x-y)(x+y) =(x2-y2) =×72 =36． 故选：D．    课堂练习 1. ［2025深圳龙华区期中］下列多项式相乘，不能运用平方 差公式计算的是( ) C A. B. C. D. 2. 下列多项式中，与相乘的结果为 的是 ( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 18 3. 若，则 等于( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 B 返回 考试考法 4. 已知，，则与 的大小关 系是( ) A A. B. C. D. 不能确定 【点拨】 ， ， . 返回 考试考法 20 5.三个连续偶数，若中间一个是 ，则它们的积为________. 6. 已知 ，则式子 的值为____. 【点拨】 ， ， 原式 . 返回 考试考法 21 7. 霍州鼓楼位于山西霍州市城内中心，明万历 十一年（1583年）建，又称文昌阁.其结构外表是明二假三层， 它的间架结构复杂新颖、巧妙结合，采用了我国古建筑中的 一种凹凸结合的连接方式——榫卯 结构，精密谨 严天衣无缝，行家里手惊佩它工艺精湛超群绝伦.如图①是一 个榫卯结构的零部件，图②是其截面图，整体是一个长为 ，宽为 的长方形，中间凿掉一个边长 考试考法 22 为的正方形，且该零件的高为 .则这个零部件的体积 为____________ . 返回 考试考法 (a+b)(a-b)=a2-b2 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式. 课堂小结 谢谢观看！ $