11.2.3多项式与多项式相乘课件 2025-2026学年 华东师大版八年级数学上册

华东师大版（2024）版数学8年级上册 第11章 整式的乘除 11.2.3多项式与多项式相乘 1．理解并掌握多项式与多项式相乘的法则； 2．运用多项式与多项式的乘法法则进行运算； 学习目标 温故知新 (1)(-x)3·(-x)3·(-x)5=______; (2) (x2)4=_______; (3) (x3y5)4=______; (4)(xy)3·(xy)4·(xy)5=______; (5) (-3x3y)(-5x4y2z4)=___________; (6)-3ab2(-4a+3ab-2)=___________________. -x11 x8 x12y20 x12y12 15x7y3z4 12a2b2-9a2b3+6ab2 下面继续以适配课堂讲解的幻灯片分页形式，呈现11.2.3多项式与多项式相乘的教学内容，包含法则推导、不同难度例题、易错点等核心内容，助力学生理解掌握： # 幻灯片分页内容：11.2.3 多项式与多项式相乘 ## 第1页：课题引入——情境激趣连旧知 - 复习回顾： 1. 单项式×多项式法则：用单项式乘多项式每一项，再把积相加，即\(m(a + b)=ma + mb\)； 2. 长方形面积公式：面积 = 长×宽。 - 情境问题： 一块长方形草坪的长为\((a + b)\)米，宽为\((c + d)\)米，如何计算这块草坪的面积？若把草坪分割成四个小长方形，又能通过哪些方式计算总面积？ - 课题：今天我们就通过这个问题，学习11.2.3多项式与多项式相乘，探究其运算规律。 ## 第2页：法则推导——双角度验证规律 - 推导方法1：几何法（面积法） 把长为\((a + b)\)、宽为\((c + d)\)的长方形分割成四个小长方形，面积分别为\(ac\)、\(ad\)、\(bc\)、\(bd\)。总面积既可以表示为\((a + b)(c + d)\)，也可以表示为\(ac + ad + bc + bd\)，由此可得\((a + b)(c + d)=ac + ad + bc + bd\)。 - 推导方法2：代数法（分配律） 把多项式\((a + b)\)看作一个整体，运用单项式乘多项式法则，\((a + b)(c + d)=(a + b)c + (a + b)d\)；再再次应用分配律展开，得到\(ac + bc + ad + bd\)，与几何法结果一致。 - 法则总结：**多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加**，字母表示为\((m + n)(p + q)=mp + mq + np + nq\)（\(m,n,p,q\)可为单项式或常数）。 ## 第3页：基础例题——二项式相乘巩固 - 解题思路：按法则依次相乘每一项，注意符号，最后合并同类项。 - 基础例题解析： 1. 例1：计算\((x + 3)(x - 5)\) 解：逐项相乘再合并，原式\(=x×x + x×(-5) + 3×x + 3×(-5)=x^2 - 5x + 3x - 15=x^2 - 2x - 15\)； 2. 例2：计算\((2a - 3)(3a + 4)\) 解：注意负号与各项相乘，原式\(=2a×3a + 2a×4 + (-3)×3a + (-3)×4=6a^2 + 8a - 9a - 12=6a^2 - a - 12\)； 3. 例3：计算\((-x + 2y)(-x - y)\) 解：同号相乘得正，异号得负，原式\(=(-x)×(-x) + (-x)×(-y) + 2y×(-x) + 2y×(-y)=x^2 + xy - 2xy - 2y^2=x^2 - xy - 2y^2\)。 ## 第4页：进阶例题——含高次或多项的相乘 - 解题关键：三项及以上多项式相乘，可将其中一个多项式看作整体逐步展开，最后合并同类项；含高次项时注意指数运算规范。 - 进阶例题解析： 1. 例1：计算\((x^2 + 2x - 1)(x + 3)\) 解：用三项式每一项乘二项式各项，原式\(=x^2×x + x^2×3 + 2x×x + 2x×3 + (-1)×x + (-1)×3=x^3 + 3x^2 + 2x^2 + 6x - x - 3=x^3 + 5x^2 + 5x - 3\)； 2. 例2：计算\((2x - y)(x^2 - xy + y^2)\) 解：分步展开避免漏乘，原式\(=2x×x^2 + 2x×(-xy) + 2x×y^2 - y×x^2 + y×xy - y×y^2=2x^3 - 2x^2y + 2xy^2 - x^2y + xy^2 - y^3=2x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\)。 ## 第5页：拓展例题——化简求值与实际应用 - 解题思路：化简求值需先按法则展开合并同类项，再代入数值；实际应用需先根据题意列多项式相乘算式，再计算。 - 拓展例题解析： 1. 例1：先化简，再求值\((x + 2)(x - 3) - 2(x - 1)(x + 1)\)，其中\(x = -2\) 解：先展开化简，原式\(=x^2 - 3x + 2x - 6 - 2(x^2 - 1)=x^2 - x - 6 - 2x^2 + 2=-x^2 - x - 4\)；代入\(x = -2\)，得\(-(-2)^2 - (-2) - 4=-4 + 2 - 4=-6\)； 2. 例2：实际应用，某商铺原来的长为\((2x + 3)\)米，宽为\((x - 1)\)米，现将长和宽各增加5米，求扩建后商铺的面积。 解：先列扩建后长和宽的多项式，长为\((2x + 3 + 5)=(2x + 8)\)，宽为\((x - 1 + 5)=(x + 4)\)；面积为\((2x + 8)(x + 4)=2x^2 + 8x + 8x + 32=2x^2 + 16x + 32\)（平方米）。 ## 第6页：易错点辨析——避开运算雷区 - 易错点1：漏乘某一项 错误：\((x + 2)(x - 3)=x^2 - 3x + 2\)（漏乘\(2×(-3)\)）； 纠正：逐项相乘不遗漏，原式\(=x^2 - 3x + 2x - 6=x^2 - x - 6\)。 - 易错点2：符号运算错误 错误：\((2x - 1)(3x - 4)=6x^2 - 8x - 3x - 4\)（\(-1×(-4)\)误算为\(-4\)）； 纠正：注意异号相乘规则，原式\(=6x^2 - 8x - 3x + 4=6x^2 - 11x + 4\)。 - 易错点3：同类项合并错误 错误：\((x + 3y)(x - 2y)=x^2 - 2xy + 3xy + 6y^2\)（\(3y×(-2y)\)合并错误）； 纠正：同类项合并注意符号，原式\(=x^2 - 2xy + 3xy - 6y^2=x^2 + xy - 6y^2\)。 ## 第7页：课堂练习——分层强化提升 - 基础题： 1. 计算\((m - 4)(m + 6)\)； 2. 计算\((3x + 2y)(2x - y)\)。 - 提高题： 1. 计算\((x^2 - 2x + 1)(x + 5)\)； 2. 化简\((2a - b)(a + 2b) - (a + b)(a - b)\)。 - 拓展题： 已知\((x + 2)(x^2 + ax + b)\)的展开式中不含\(x^2\)项和\(x\)项，求\(a\)、\(b\)的值。 ## 第8页：课堂小结与课后作业 - 课堂小结： 1. 一个核心法则：多项式相乘，逐项相乘再相加，本质是转化为单项式相乘； 2. 两个运算要点：一是注意每一项的符号，二是相乘后务必合并同类项； 3. 一个重要关联：是后续学习平方差公式、完全平方公式的基础，需熟练掌握。 - 课后作业： 1. 完成教材对应练习题； 2. 先化简，再求值\((x - 3)(2x + 1) - 2(x + 1)(x - 2)\)，其中\(x = 1\)； 3. 若长方形的长是\((x + 5)\)，宽比长少\(2\)，求长方形的面积（用含\(x\)的多项式表示）。 情景导入 　 某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林地的长、宽分别增加n米和b米.用两种方法表示这块林地现在的面积，你知道下面的等式蕴含着什么样的运算法则吗？ m n b am bm an bn a 探究新知 知识点一 多项式与多项式相乘 ma na mb nb a m b n 你能用不同的形式表示所拼图的面积吗？ 这块林区现在长为（m+n）米，宽为（a+b）米. 探究新知 由于(m+n)(a+b)和(ma+mb+na+nb)表示同一块地的面积，故有： (m+n)(a+b)= ma + mb + na + nb. 如何进行多项式与多项式相乘的运算 ？ 实际上，把(m+n)看成一个整体，有： = ma+mb+na+nb. (m+n)(a+b) = (m+n)a+(m+n)b 探究新知 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 知识要点 多项式乘以多项式 1 2 3 4 (a+b)(m+n) = am 1 2 3 4 +an +bm +bn 多乘多顺口溜： 多乘多，来计算，多项式各项都见面， 乘后结果要相加，化简、排列才算完. 探究新知 典例精析 【例1】计算： （1）(x+2)(x-3)； （2）(2x+5y)(3x-2y). -3x =x2-x-6 =x2 +2x -6 =6x2 =6x2+11xy-10y2 -10y2 -4xy +15xy 探究新知 【例2】计算： （1）(m-2n)(m2+mn-3n2) （2）(3x2-2x+2)(2x+1) （1）(m-2n)(m2+mn-3n2) =m· m2 +m·mn-m·3n2-2n·m2-2n·mn+2n·3n2 =m3 +m2n-3mn2-2m2n-2mn2+6n3 =m3-m2n-5mn2+6n3 （2）(3x2-2x+2)(2x+1) =6x3+3x2-4x2-2x+4x+2 =6x3-x2+2x+2 探究新知 练一练 （1）(x+5)(x-7)； 1、计算： （2）(x+5y)(x-7y)； （3）(2m+3n)(2m-3n)； （4）(2a+3b)2. =x2-7x+5x-35 =x2-2x-35 =x2-7xy+5xy-35y2 =x2-2xy-35y2 =4m2+6mn-6mn-9n2 =4m2-9n2 =4a2+12ab+9b2 探究新知 1．若(x-1)(x+m)=x2+2x+n，则常数n的值为（    ） A．3 B．2 C．-3 D．-2 【详解】解：∵(x-1)(x+m)=x2+(m-1)x-m， ∴m-1=2,n=-m， 解得：m=3,n=-3. 故选：C 课堂练习 1. ［2025海口龙华区期中］若 ，则与 的值分别是( ) A. ，6 B. 1， C. ， D. ，2 2. 聪聪计算一道整式乘法的题： ，由于 聪聪将第一个多项式中的“”抄成“ ”，得到的结果为 ，则 的值是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 √ √ 返回 考试考法 12 3. 多项式的计算结果是，已知 ，由 此可知多项式 是( ) A. B. C. D. 4. 已知，则 的值为 ( ) A. B. 2 C. D. √ √ 返回 考试考法 13 5. 观察如图所示多项式相乘的运算过程，根 据你发现的规律，若 ，则整 数 的值可能是__________________.（写出一个即可） 10（答案不唯一） （第5题） 返回 考试考法 14 （第6题） 6. 如图，某中学校园内有 一块长为米，宽为 米的 长方形地块，学校计划在中间修一个“ ” 形文化广场. （1）“ ”形文化广场的面积为__________平方米； （2）当，时，“ ”形文化广场的面积为____平方米. 38 返回 考试考法 15 7. 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . 考试考法 16 （3） . 原式 . 多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到 不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类 项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积. 返回 考试考法 17 8.解方程或不等式. （1） ； 【解】 ， ， ， ， . （2） . ， ，， . 返回 考试考法 18 9. 已知，是常数，若化简 的结果不 含的二次项，则 的值为( ) A. 1 B. C. 5 D. 【点拨】 . 不含 的二次项， . √ 返回 考试考法 19 多项式×多项式 运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 （a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 注意 不要漏乘；正确确定各项符号；结果要最简 实质上是转化为单项式×多项式的运算 (x-1)2在一般情况下不等于x2-12. 考试考法 谢谢观看！ $