11.1.4同底数幂的除法 课件-2025-2026学年 华东师大版数学八年级上册

华东师大版（2024）版数学8年级上册 第11章 整式的乘除 11.1.4同底数幂的除法 1．理解并掌握同底数幂的除法的运算法则； 2．熟练运用同底数幂的除法法则去计算； # 幻灯片分页内容：11.1.4 同底数幂的除法 ## 第1页：课题引入——从乘法逆运算出发 - 复习回顾： 1. 同底数幂的乘法法则：\(a^m×a^n=a^{m + n}\)（底数不变，指数相加）； 2. 幂的乘方法则：\((a^m)^n=a^{m×n}\)（底数不变，指数相乘）； 3. 积的乘方法则：\((ab)^n=a^n×b^n\)（各因式分别乘方，再相乘）； 4. 提问：乘法的逆运算是除法，那么同底数幂的除法该如何计算？比如\(a^5÷a^2\)（\(a≠0\)），结果是什么？ - 情境问题： 一种计算机病毒每秒可复制\(2^8\)个，经过\(2^3\)秒后，病毒的复制总数是\(2^8×2^3=2^{11}\)个。若已知复制总数为\(2^{11}\)个，复制时间为\(2^3\)秒，求每秒复制个数，列式为\(2^{11}÷2^3\)，这个算式的结果是多少？ - 课题：今天我们学习——11.1.4 同底数幂的除法，探索其运算规律和法则。 ## 第2页：核心法则——同底数幂的除法法则推导 - 推导过程（从具体到一般，结合乘法逆运算）： 1. 实例拆解： - 计算\(a^5÷a^2\)（\(a≠0\)）：根据除法是乘法的逆运算，求一个数\(x\)，使得\(a^2×x=a^5\)。由同底数幂乘法法则，\(a^2×a^3=a^{2 + 3}=a^5\)，所以\(a^5÷a^2=a^3=a^{5 - 2}\)； - 计算\(10^7÷10^4\)：同理，\(10^4×10^3=10^7\)，所以\(10^7÷10^4=10^3=10^{7 - 4}\)。 2. 归纳法则：对于正整数\(m\)、\(n\)（\(m > n\)），且\(a≠0\)，\(a^m÷a^n=\underbrace{a×a×…×a}_{m个a} ÷ \underbrace{a×a×…×a}_{n个a}=\underbrace{a×a×…×a}_{(m - n)个a}=a^{m - n}\)。 - 法则总结：**同底数幂相除，底数不变，指数相减**（字母表示：\(a^m÷a^n=a^{m - n}\)，其中\(a≠0\)，\(m\)、\(n\)为正整数，且\(m > n\)）。 - 关键强调：底数\(a≠0\)（因为除数不能为0，若\(a=0\)，则\(a^n=0\)，除法无意义）。 ## 第3页：法则拓展与基础例题 - 法则拓展： 多个同底数幂连续相除，法则依然适用。即\(a^m÷a^n÷a^p=a^{m - n - p}\)（\(a≠0\)，\(m\)、\(n\)、\(p\)为正整数，且\(m > n + p\)）。 - 基础例题解析： 1. 例1：计算\(x^8÷x^3\)（\(x≠0\)） 解：底数不变为\(x\)，指数相减\(8 - 3 = 5\)，原式\(=x^5\)； 2. 例2：计算\((-2)^7÷(-2)^4\) 解：底数保持\(-2\)不变（\(-2≠0\)），指数相减\(7 - 4 = 3\)，原式\(=(-2)^3=-8\)； 3. 例3：计算\(a^6÷a^2÷a\)（\(a≠0\)） 解：连续相除，指数依次相减，原式\(=a^{6 - 2 - 1}=a^3\)（注意单个\(a\)的指数为1）。 ## 第4页：进阶例题——含符号与整体底数的运算 - 解题关键：当底数为多项式或含负号时，将其看作一个整体，确保底数相同后再运用法则；混合运算时，先算乘方，再算乘除。 - 进阶例题解析： 1. 例1：计算\((a - b)^5÷(a - b)^2\)（\(a≠b\)） 解：把\((a - b)\)看作整体底数（\(a - b≠0\)），原式\(=(a - b)^{5 - 2}=(a - b)^3\)； 2. 例2：计算\(-x^7÷x^4\)（\(x≠0\)） 解：负号独立于除法运算之外，先算同底数幂除法，原式\(=- (x^7÷x^4)=-x^{7 - 4}=-x^3\)； 3. 例3：计算\((2x)^6÷(2x)^2\)（\(x≠0\)） 解：把\((2x)\)看作整体底数（\(2x≠0\)），原式\=(2x)^{6 - 2}=(2x)^4=16x^4\)。 ## 第5页：零指数幂与负整数指数幂（法则延伸） - 1. 零指数幂： - 规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即\(a^0=1\)（\(a≠0\)）； - 说明：当\(m=n\)时，\(a^m÷a^n=a^{m - n}=a^0\)，而\(a^m÷a^n=1\)（被除数和除数相等，商为1），故有此规定； - 示例：\(5^0=1\)，\((-3)^0=1\)，\((2x)^0=1\)（\(x≠0\)）。 - 2. 负整数指数幂： - 规定：任何不等于0的数的\(-n\)（\(n\)为正整数）次幂，等于这个数的\(n\)次幂的倒数，即\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)（\(a≠0\)，\(n\)为正整数）； - 说明：当\(m < n\)时，如\(a^3÷a^5=a^{3 - 5}=a^{-2}\)，而\(a^3÷a^5=\frac{a^3}{a^5}=\frac{1}{a^2}\)，故有此规定； - 示例：\(2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\)，\((-a)^{-2}=\frac{1}{(-a)^2}=\frac{1}{a^2}\)（\(a≠0\)）。 - 例题解析： 例4：计算\(a^3÷a^5\)（\(a≠0\)） 解：原式\(=a^{3 - 5}=a^{-2}=\frac{1}{a^2}\)； 例5：计算\((-3)^{-2}\) 解：原式\(=\frac{1}{(-3)^2}=\frac{1}{9}\)。 ## 第6页：法则逆用与混合运算 - 1. 法则逆用： 由\(a^m÷a^n=a^{m - n}\)，可逆推出\(a^{m - n}=a^m÷a^n\)（\(a≠0\)，\(m\)、\(n\)为整数），常用于化简求值； 示例：已知\(a^m=6\)，\(a^n=2\)，求\(a^{m - n}\)的值，原式\(=a^m÷a^n=6÷2=3\)。 - 2. 混合运算例题： 例6：计算\((a^2)^3÷a^4×a^2\)（\(a≠0\)） 解：先算乘方，再算乘除，原式\(=a^6÷a^4×a^2=a^{6 - 4 + 2}=a^4\)； 例7：计算\((x^3)^2÷(x^2)^3 + x^0\)（\(x≠0\)） 解：先算乘方，再算除法，最后算加法，原式\(=x^6÷x^6 + 1=1 + 1=2\)。 ## 第7页：易错点辨析与纠正 - 易错点1：底数为0时使用法则 错误：\(0^5÷0^2=0^{3}=0\)； 纠正：底数\(a≠0\)，0的任何正整数次幂都是0，除数为0无意义，此类运算不成立。 - 易错点2：指数相减时出错（忽略指数1或符号） 错误：\(a^5÷a=a^5\)（遗漏指数1）；\(a^3÷a^5=a^{2}\)（指数相减符号错误）； 纠正：单个字母指数为1，\(a^5÷a=a^{5 - 1}=a^4\)；\(a^3÷a^5=a^{3 - 5}=a^{-2}=\frac{1}{a^2}\)。 - 易错点3：混淆零指数幂的规定 错误：\(0^0=1\)；\((-2)^0=-1\)； 纠正：\(0^0\)无意义；任何非零数的0次幂都为1，\((-2)^0=1\)。 - 易错点4：混合运算顺序错误 错误：\(a^6÷(a^2×a^3)=a^6÷a^2×a^3=a^4×a^3=a^7\)； 纠正：先算括号内的乘法，原式\(=a^6÷a^5=a^{6 - 5}=a\)。 ## 第8页：课堂小结与知识梳理 - 课堂小结： 1. 一个核心法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减（\(a^m÷a^n=a^{m - n}\)，\(a≠0\)，\(m\)、\(n\)为整数）； 2. 两个重要规定： - 零指数幂：\(a^0=1\)（\(a≠0\)）； - 负整数指数幂：\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)（\(a≠0\)，\(n\)为正整数）； 3. 四个幂运算对比： | 运算类型 | 法则关键词 | 字母表示（\(a≠0\)） | |----------------|--------------------------|--------------------------| | 同底数幂乘法 | 底数不变，指数相加 | \(a^m×a^n=a^{m + n}\) | | 幂的乘方 | 底数不变，指数相乘 | \((a^m)^n=a^{m×n}\) | | 积的乘方 | 各因式分别乘方，再相乘 | \((ab)^n=a^n×b^n\) | | 同底数幂除法 | 底数不变，指数相减 | \(a^m÷a^n=a^{m - n}\) | - 课后作业： 1. 计算教材对应练习题； 2. 已知\(a^m=8\)，\(a^n=2\)，求\(a^{m - 2n}\)的值； 3. 计算\((-2)^{-3} + (3^2)^0 - (-\frac{1}{2})^2\)。 学习目标 温故知新 幂的运算性质 性质 am·an=am+n (am)n=amn (ab)n=anbn ( m，n都是正整数) 反向运用 am · an =am+n、 (am)n =amn an·bn = (ab)n 可使某些计算简捷 注意 运用积的乘方法则时要注意： 公式中的a，b代表任何代数式；每一个因式都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆向运用（混合运算要注意运算顺序） 情景导入 地球的体积是1.1×1012km3，月球的体积2.2×1010km3，求地球的体积是月球的多少倍？如何列式？ （1.1×1012）÷（2.2×1010） 思考：该如何计算这一式子呢？ 探究新知 知识点一 同底数幂的除法 用你熟悉的方法计算： （1）25÷22=___________________； （2）107÷103=____________________________________； （2·2·2·2·2）÷（2·2） =2·2·2 =23 （10·10·10·10·10·10·10）÷（10·10·10） =10·10·10·10 =104 =5-2 =7-3 探究发现 探究新知 （3）a7÷a3=______________________ （a≠0）； （a·a·a·a·a·a·a）÷（a·a·a） =a·a·a·a =a4 =7-3 你是怎样计算的？从这些计算结果中你能发现什么？ 探究新知 （2）107÷103=___________； （3）a7÷a3=____________（a≠0）； （1）25÷22=__________； 由上面的计算，我们发现： 23=25-2 104=107-3 a4=a7-3 一般地，我们有 am ÷an=am-n (a ≠0,m,n都是正整数，且m>n) 即 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 知识要点 同底数幂的除法 探究新知 根据除法的意义推导同底数幂的除法法则 前面我们通过一些计算，归纳、探索出同底数幂的除法法则.下面我们根据除法的意义来推导同底数幂的除法法则： 因为除法是乘法的逆运算，计算am÷an（m、n都是正整数，且m＞n，a≠0）实际上是要求一个式子，使 an·（ ）=am. 假设这个式子是ak（k是正整数，待定），即应有 an · ak =am， 即 an+k =am， 所以 n+k =m 得 k =m-n. 探究新知 因此，要求的式子应是am-n. 由同底数幂的乘法法则，可知 an · am-n =an+（m -n）=am， 所以am-n 满足要求，从而有 am÷an=am-n （ m、n都是正整数，且m＞n，a≠0 ）. 探究新知 典例精析 【例1】若3a÷9b=27，则a-2b的值为（　　） A．3 B．-3 C．6 D．-6 【详解】解：∵3a÷9b=27， ∴3a÷32b=33， 则3a-2b=33， ∴a-2b=3． 故选A． 探究新知 【例2】若2024m=10，2024n=5，则2024m-n的结果是 ． 【详解】解：∵2024m=10，2024n=5， ∴2024m÷2024n=10÷5， ∴2024m-n=2， 故答案是：2． 探究新知 练一练 1．计算： (1)(-a3)4÷(-a4)3； (2)(a2·a3)2÷a7×(-a)2． 【详解】（1）解：原式=a12÷(-a12)=-1； （2）解：原式=(a5)2÷a7·a2=a10-7+2=a5． 课堂练习 1．若xa÷x=x5,则a的值为（    ） A． B． C．5 D．6 【详解】解：∵xa÷x=x5， ∴a-1=5， ∴a=6， 故选：D． 课堂练习 1. 墨迹覆盖了等式“ ”中的运算符号， 则覆盖的是( ) A. × B. C. D. - 2. 若 （★） ，则★为( ) A. B. C. D. 3. 已知， ，下列结论正确的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 返回 课堂小结 14 4. 若，则 的值是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 5. 若，则 的值为( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 √ √ 返回 课堂小结 15 6. 掌握地震知识，提升防震意识.根据里氏震 级的定义，地震所释放出的能量与震级 的关系为 （其中 为大于0的常数），那么震级为6级的 地震所释放的能量是震级为4级的地震所释放能量的_____倍. 【点拨】 . 返回 课堂小结 16 7. 计算: （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 课堂小结 17 8. ［2025泰州姜堰区月考］关于， 的方程组 的解满足，则 的值是 ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 √ 课堂小结 18 同底数幂的除法 法则 am ÷an=am-n(a ≠0,m,n都是正整数，且m>n） 同底数幂相除，底数不变，指数相减 同底数幂相除法则的逆用： am-n=am÷an(a ≠0,m,n都是正整数，且m>n） 课堂小结 谢谢观看！ $