5.2：三角函数的概念【十大考点+十大题型】-2025-2026学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

5.2：三角函数的概念 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：任意角的三角函数的定义 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)， 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x；把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)． 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为： 正弦函数y＝sin x，x∈R；余弦函数y＝cos x，x∈R；正切函数y＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z)． 知识点二：正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示： 2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 知识点三：同角三角函数的基本关系 1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1. 2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝tan α其中α≠kπ＋(k∈Z)． 【题型归纳】 题型一：由定义或者终边求某角三角函数 【例1】．（22-23高一下·广东佛山·期中）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由三角函数的定义，即可得到结果. 【详解】因为角的终边经过点，则. 故选：D 【变式1】．（22-23高一下·四川眉山·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查三角函数的定义，利用定义即可得出结果. 【详解】因为，由三角函数的定义可知，点为角的终边与单位圆的交点，所以：. 故选：B. 【变式2】．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知角的终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数定义计算即可. 【详解】由题意，角的终边上有一点，可得， 根据三角函数的定义，可得，， 所以. 故选：C 题型二：由三角函数的值求点或者参数 【例2】．（24-25高一下·河南南阳·月考）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A．-6 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义，建立方程，结合象限角的定义，可得答案. 【详解】依题意，，其中，为坐标原点，则， 所以. 故选：D. 【变式1】．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知点在角的终边上，若，则（   ） A． B．为第二象限的角 C． D． 【答案】D 【分析】根据终边上的点及已知函数值得，即，再结合三角函数的定义判断各项的正误. 【详解】由题设，可得，A错； 所以，则为第三象限的角，B错； ，C错； ，D对. 故选：D 【变式2】．（23-24高一下·江西抚州·期中）已知角的终边经过点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义求出，再由三角函数的定义计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，且， 所以，解得， 所以. 故选：A. 题型三：三角函数值符号的确定 【例3】．（24-25高一上·山西太原·期末）“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据角的范围与三角函数值的符号的关系，即可判断得出结论. 【详解】易知“”可以推出“”，即充分性成立； 而当时，，此时推不出“”，即必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 【变式1】．（24-25高一上·湖北武汉·期末）若是第四象限角，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据，即可求解. 【详解】由于是第四象限角，故， 故在第三象限， 故选：C 【变式2】．（24-25高一上·云南玉溪·月考）已知，则角的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据三角函数的符号与角的象限间的关系即可求得角的终边所在象限. 【详解】根据三角函数的符号与角的象限间的关系， 由，可得角的终边位于第三象限. 故选：C 题型四：同角三角函数平方关系求值 【例3】．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知α为锐角，若，则（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系，已知角的余弦值，求正切值. 【详解】已知知α为锐角，则， 则. 故选：C. 【变式1】．（24-25高一下·广东中山·月考）若，且满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，联立方程组，求得的值，即可求解. 【详解】因为，可得， 由，即，解得， 所以. 故选：A. 【变式2】．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知，且是第三象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数关系即可求得结果. 【详解】因为，且是第三象限角，所以. 故选：D. 题型五：sin θ±cos θ和sin θcos θ 【例5】．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平方关系先求出，结合的范围判断正弦值余弦值的符号，从而求解. 【详解】因， 则， 又时，，故是第四象限角，则. 则. 故选：A 【变式1】．（2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题给等式两边同时平方得到，结合范围可判断的符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得. 【详解】， 故， 又且，故， ，故. 故选：A. 【变式2】．（2025·江西萍乡·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出的值，再结合的取值范围判断与的正负及大小关系，进而求出的值. 【详解】因为， 所以，又，所以， 则，. 故选：D. 题型六：同角三角函数商数关系求值 【例6】．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方关系和商数关系可求的值. 【详解】 因为，所以， 故，故 ， 而，故， 等号左边分子分母同时除以得， 解得． 故选：B. 【变式1】．（25-26高一上·全国·单元测试）如果角的终边在直线上，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】方法一：先求出，再由弦化切公式转化为进行求解；方法二：直线过第一象限和第三象限．分别求若的终边在第一象限，可取终边上一点，与若的终边在第三象限，可取终边上一点，再由三角函数的定义进行求解． 【详解】方法一： 因为角的终边在直线上，所以设直线上一点， 可得． 所以 ． 方法二： 直线过第一象限和第三象限． 若的终边在第一象限，可取终边上一点， 则，， 则． 若的终边在第三象限，可取终边上一点， 则，， 则 故选：B 【变式2】．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件两边平方，求得的值以及判断和的符号，将由，求得的值，再等价变形，代入即可得解. 【详解】由 两边平方得 ， 即，而，故. 所以，而 解得， 所以， 故选：A. 题型七：正余弦齐次式计算问题 【例7】．（24-25高一下·北京西城·期中）如果，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正余弦齐次式法求解. 【详解】由，得. 故选：B 【变式1】．（24-25高一上·江苏镇江·期末）设，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】将分子上的1用，然后分子分母同除以，化为只含的式子，再代值计算即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：A 【变式2】．（24-25高一上·广东·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】齐次化变形，代入求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 题型八： 化简求值问题 【例8】．（25-26高一上·全国）已知为第二象限角. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为第二象限角，所以. 因为，所以. 所以. （2），则. 因为为第二象限角，所以， 所以. 【变式1】．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）（1）已知角的终边经过点，求； （2）已知，求． 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）利用三角函数定义求出正弦和余弦值，从而得到答案； （2）齐次化变形求出，从而得到，代入求值，即得答案. 【详解】（1）由三角函数定义可知 ， 所以； （2），故， 则. 【变式2】．（24-25高一上·云南怒江·期末）（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值. 【答案】（1）（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由同角三角函数的平方关系代入计算即可得到，从而得到； （2）将原式化为齐次式，代入计算，即可得到结果； （3）结合同角三角函数关系解出方程即可. 【详解】（1）在第二象限， ， . （2）由， 所以. （3）因为，且， 解得或（舍去）， 则. 题型九：恒等式证明问题 【例9】．（25-26高一上·全国·课后作业）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用作差法直接证明即可； （2）结合弦化切的方式，利用等式左边往右边转化即可得证. 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）因为左边 右边， 所以原等式成立. 【变式1】．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：. （2）求证：. 【答案】（1）2；（2）证明见解析 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化简求值；（2）利用同角三角函数的基本关系化简证明. 【详解】（1）原式 . （2）左边 右边. 所以原等式成立. 【变式2】．（22-23高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用平方差公式及证明. （2）利用提取公因式及证明. （3）利用通分，因式分解等式的运算结合证明. 【详解】（1）. 故成立. （2） 故成立. （3） . 故成立. 题型十：三角函数基本关系综合问题 【例10】．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）角顶点为原点，始边在轴非负半轴，终边上的一点， (1)若，求，的值； (2)若 ①求中的值； ②求的值. 【答案】(1)，； (2)①；②. 【分析】（1）利用角与终边上点的坐标的关系即可求解； （2）利用齐次式，将弦化切即可求解. 【详解】（1）因为，，则点在第一象限，角为第一象限角，且， 由且，解得，. （2）①因为，且由题可知， 所以左右两边同时除以，得到， 因为，所以，即. ② . 【变式1】．（24-25高一上·河北沧州·月考）已知、是关于的方程的两根. (1)求实数的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得出，可得出的取值范围，列出韦达定理，利用可求得的值； （2）利用同角三角函数的基本关系结合韦达定理化简可得所求代数式的值. 【详解】（1）因为、是关于的方程的两根， 则，解得， 由韦达定理可得，， 因为，即，解得，合乎题意， 综上所述，. （2） . 【变式2】．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知. (1)若，且，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）解法1由平方关系得到，从而解出即可；解法2由同角的三角函数关系解出，从而求出结果； （2）解法1由同角的三角函数关系和商数关系计算即可；解法2由已知得到，再由同角的三角函数关系化简得到； 【详解】（1）解法1：， 因为， 所以，即， 从而， 因为，， 又因为，所以，因此， 从而， 故． 解法2：由及， 解得，， 或，， 因为，所以，， 所以，因此． （2）解法1：， 所以， 假设，则由上式知，与矛盾， 所以， 从而． 则 解法2：，所以， 又，所以，即， 因此． 【高分达标】 一、单选题 1．（24-25高一下·山东威海·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据任意角正弦函数的定义即可求解. 【详解】由题意有， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·四川泸州·期末）角是第二象限角，以为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的纵坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再利用三角函数定义求出目标值. 【详解】依题意，点在第二象限，则点的横坐标为， 所以. 故选：A 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（   ） A．1 B．1或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用商数关系齐次化后可求. 【详解】由题可得，则，解得或． 故选：D. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：构造对偶式；方法二：齐次化应用；方法三：变形，代入，根据求得答案；方法四：设，则，代入原方程，求得答案. 【详解】方法一：因为－①，设②， 由①2+②2：，解得． 因此，从而，所以． 方法二：由两边同时平方，得， 即，整理得（，解得． 方法三：由，得，两边平方：， 代入，得，即， 解得， 所以，则． 方法四：设，则，代入， 得，则． 代入，整理得，即解得． 故选：D. 5．（24-25高一上·江苏连云港·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知求得，再根据同角三角函数的平方关系化简原式，分子分母同时除以即可求解． 【详解】因为，所以， 故． 故选：B. 6．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，解一元二次方程即可得解. 【详解】因为，所以， 化简得， 解得或（舍去，因为，且等号不能成立）． 故选：D． 7．（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知平面直角坐标系中点位于第三象限，则角为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】根据给定条件可得，进而确定角所在象限. 【详解】由点位于第三象限，得， 由，得角是第二、四象限角；由，得角终边在及左侧， 所以角为第二象限角. 故选：B 8．（2025·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若角的终边与单位圆交点的纵坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的定义分角的终边在第一象限和第二象限讨论即可． 【详解】由已知，角的终边与单位圆交点的纵坐标为，代入单位圆， 可得，或． ①若角的终边在第一象限，则， 关于对称点是角的终边与单位圆的交点， 此时； ②若角的终边在第二象限，则， 关于对称点是角的终边与单位圆的交点，， 此时． 故选：B 二、多选题 9．（25-26高二上·辽宁朝阳·月考）下列说法正确的是（   ） A．若是第一象限角，则是锐角 B． C．若，则为第三象限角 D．若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 【答案】BD 【分析】A选项，举出反例；B选项，根据角度和弧度的转换关系可得；C选项，为第三或第四象限角；D选项，先得到，，从而得到，，分为偶数和奇数两种情况，得到答案. 【详解】A选项，，满足是第一象限角，但不是锐角，A错误； B选项，，B正确； C选项，若，则为第三或第四象限角或终边在轴的负半轴上，C错误； D选项，若为第二象限角，则，， 所以，， 若，，则，， 为第一象限角； 若，，则， 为第三象限角； 综上，为第一象限或第三象限角，D正确. 故选：BD 10．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知角的终边经过点，则下列选项正确的有（   ） A．可能为锐角 B． C． D．点在第二象限 【答案】BC 【分析】根据给定条件，确定角所在象限判断A；利用三角函数定义求解判断BCD. 【详解】对于A，角的终边经过点，则角为第二象限角，不可能为锐角，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，，则点在第三象限，D错误. 故选：BC 11．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）已知角的终边与单位圆（圆心为原点）的交点为，角的终边与角的终边分别关于原点、轴、轴、直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】求出角的终边与单位圆的交点坐标，结合三角函数的定义逐项判断即可． 【详解】对于选项A:结合题意可得：关于原点对称的点为， 所以角的终边与单位圆的交点坐标为，则，故选项A错误； 对于选项B:结合题意可得：关于轴对称的点为， 所以角的终边与单位圆的交点坐标为，则，故选项B正确； 对于选项C:结合题意可得：关于轴对称的点为， 所以角的终边与单位圆的交点坐标为，则，故选项C正确； 对于选项D:结合题意可得：关于直线对称的点为， 所以角的终边与单位圆的交点坐标为，则，故选项D错误． 故选：BC. 12．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A，将条件式平方化简得解；对B，利用与的关系，结合求解判断；对C，由选项B，结合条件求出得解；对D，由平方差公式结合选项B求解. 【详解】对于A，由，则，化简得，故A正确； 对于B，由，，则，即， ，，故B正确； 对于C，由，解得，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 13．（24-25高一上·四川南充·期末）已知角与角的顶点为原点，始边与x轴的非负半轴重合，为钝角，，角的终边与角终边关于x轴对称，则下列结论中正确的有（    ） A．角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题设有，，角为第三象限角且，，，进而依次判断各项的正误. 【详解】由，为钝角，则，， 故角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点，A对； 角的终边与角终边关于x轴对称，即角为第三象限角， 则，，则，，B、C对； 易知，D错； 故选：ABC 三、填空题 14．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边的一点，且，则 . 【答案】 【分析】由三角函数的定义列方程，求解即得. 【详解】由已知，， 所以， 所以，且， 解得. 故答案为：. 15．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）已知角满足，则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系，分子分母同时除以，即可求解． 【详解】， 分子分母同时除以，原式， 故答案为：． 16．（25-26高一上·甘肃武威·开学考试）在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与轴正半轴的夹角为，如果，，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】在直角坐标系内作示意图，由正弦函数定义得到线段间关系，从而求得坐标. 【详解】如图，过点作轴，垂足为，在中，，， ∴， ∴， ∴点坐标为． 故答案为：. 17．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，且，其中，则 ． 【答案】/ 【分析】先求出的正弦与余弦，再结合平方关系可求. 【详解】因为①，②， 联立①②解得，故， 整理得到：， 解得或，又，故． 故答案为：. 18．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】首先利用平方关系求的值，再利用平方关系求的值. 【详解】，得， 则， 且，则，所以. 故答案为： 19．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是方程的两根，则 . 【答案】0 【分析】利用根与系数关系有，，根据同角三角函数关系得，最后应用同角关系化简目标式求值. 【详解】由题意，且，， 由，则，即， 所以. 故答案为：0 四、解答题 20．（25-26高一上·全国·课前预习）已知点在角的终边上，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据正弦的定义可求参数的值； （2）利用齐次化可求三角函数式的值. 【详解】（1）由题得，且， 解得或（舍去）． 故, （2）由（1）知，即，所以， 故原式 . 21．（24-25高一上·天津·月考）计算： (1)已知为第二象限角，，求 (2) （i）求的值 （ii）求的值 【答案】(1)(2)（i）；（ii）. 【详解】（1）由为第二象限角，得，由，得， 所以. （2）由，得（i）； （ii）. 22．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)3 (2) (3) 【详解】（1）由，为第三象限角， 则； （2）由，为第三象限角， 则； （3）由，则， 因为，则，即， 则， 又为第三象限角，所以， 则. 23．（24-25高一上·云南昭通·月考）（1）已知，求下列各式的值. （Ⅰ）； （Ⅱ）. （2）已知α为第四象限角，若，求的值. 【答案】（1）（Ⅰ）10；（Ⅱ）；（2）或． 【分析】（1）利用切化弦即齐次式法计算； （2）化为齐次式求解． 【详解】（1）因为， 所以（Ⅰ）； （Ⅱ）. （2）由得， 即， ，解得或． 是第四象限角，，均符合题意， 所以或． 24．（24-25高一上·湖北·期末）（1）已知角的终边过点，且，求，的值; （2）已知角满足：，其中角为第三象限角，求的值. 【答案】（1），；（2）4 【详解】（1）因为角的终边过点， 所以，且，解得：，所以，； （2）因为，所以 ，即， 又因为角为第三象限角，所以，，所以，即，所以 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2：三角函数的概念 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：任意角的三角函数的定义 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)， 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x；把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)． 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为： 正弦函数y＝sin x，x∈R；余弦函数y＝cos x，x∈R；正切函数y＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z)． 知识点二：正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示： 2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 知识点三：同角三角函数的基本关系 1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1. 2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝tan α其中α≠kπ＋(k∈Z)． 【题型归纳】 题型一：由定义或者终边求某角三角函数 【例1】．（22-23高一下·广东佛山·期中）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（22-23高一下·四川眉山·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知角的终边上有一点，则（    ） A． B． C． D． 题型二：由三角函数的值求点或者参数 【例2】．（24-25高一下·河南南阳·月考）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A．-6 B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知点在角的终边上，若，则（   ） A． B．为第二象限的角 C． D． 【变式2】．（23-24高一下·江西抚州·期中）已知角的终边经过点，若，则（   ） A． B． C． D． 题型三：三角函数值符号的确定 【例3】．（24-25高一上·山西太原·期末）“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】．（24-25高一上·湖北武汉·期末）若是第四象限角，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】．（24-25高一上·云南玉溪·月考）已知，则角的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型四：同角三角函数平方关系求值 【例3】．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知α为锐角，若，则（ ） A． B．2 C． D． 【变式1】．（24-25高一下·广东中山·月考）若，且满足，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知，且是第三象限角，则（   ） A． B． C． D． 题型五：sin θ±cos θ和sin θcos θ 【例5】．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2025·江西萍乡·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型六：同角三角函数商数关系求值 【例6】．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·全国·单元测试）如果角的终边在直线上，则（    ） A． B． C． D．或 【变式2】．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型七：正余弦齐次式计算问题 【例7】．（24-25高一下·北京西城·期中）如果，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·江苏镇江·期末）设，则（   ） A． B． C． D．1 【变式2】．（24-25高一上·广东·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型八： 化简求值问题 【例8】．（25-26高一上·全国）已知为第二象限角. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【变式1】．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）（1）已知角的终边经过点，求； （2）已知，求． 【变式2】．（24-25高一上·云南怒江·期末）（1）已知，在第二象限，求，的值； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值. 题型九：恒等式证明问题 【例9】．（25-26高一上·全国·课后作业）求证： (1)； (2)． 【变式1】．（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：. （2）求证：. 【变式2】．（22-23高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)． 题型十：三角函数基本关系综合问题 【例10】．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）角顶点为原点，始边在轴非负半轴，终边上的一点， (1)若，求，的值； (2)若 ①求中的值； ②求的值. 【变式1】．（24-25高一上·河北沧州·月考）已知、是关于的方程的两根. (1)求实数的值； (2)求的值. 【变式2】．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知. (1)若，且，求的值； (2)若，求的值. 【高分达标】 一、单选题 1．（24-25高一下·山东威海·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川泸州·期末）角是第二象限角，以为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的纵坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（   ） A．1 B．1或 C． D．或 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏连云港·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知平面直角坐标系中点位于第三象限，则角为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 8．（2025·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若角的终边与单位圆交点的纵坐标为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·辽宁朝阳·月考）下列说法正确的是（   ） A．若是第一象限角，则是锐角 B． C．若，则为第三象限角 D．若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 10．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知角的终边经过点，则下列选项正确的有（   ） A．可能为锐角 B． C． D．点在第二象限 11．（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边与单位圆（圆心为原点）的交点为，角的终边与角的终边分别关于原点、轴、轴、直线对称，则（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·四川南充·期末）已知角与角的顶点为原点，始边与x轴的非负半轴重合，为钝角，，角的终边与角终边关于x轴对称，则下列结论中正确的有（    ） A．角的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点 B． C． D． 三、填空题 14．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边的一点，且，则 . 15．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）已知角满足，则 ． 16．（25-26高一上·甘肃武威·开学考试）在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与轴正半轴的夹角为，如果，，那么点的坐标为 ． 17．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，且，其中，则 ． 18．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的值为 ． 19．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是方程的两根，则 . 四、解答题 20．（25-26高一上·全国·课前预习）已知点在角的终边上，且． (1)求的值； (2)求的值． 21．（24-25高一上·天津·月考）计算： (1)已知为第二象限角，，求 (2) （i）求的值 （ii）求的值 22．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； (3). 23．（24-25高一上·云南昭通·月考）（1）已知，求下列各式的值. （Ⅰ）； （Ⅱ）. （2）已知α为第四象限角，若，求的值. 24． （24-25高一上·湖北·期末） （1）已知角的终边过点，且，求，的值; （2）已知角满足：，其中角为第三象限角，求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $