2026年四川省成都市中考一轮复习第4讲函数和一次函数

该初中数学讲义聚焦“函数与一次函数”中考核心专题，覆盖平面直角坐标系、一次函数图象性质、函数应用等考点，通过知识网络构建体系，考点聚焦梳理坐标变换、对称平移等内在联系。设计“考点梳理-典例分题型精讲-真题实战-预测演练”教学流程，帮助学生突破函数性质应用、动态问题分析等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于分层典例设计与核心素养融合，如坐标系中点的对称旋转题培养几何直观，一次函数与方程不等式综合题强化模型意识。精选2024-2025年各地中考真题，原创预测题贴合考情，配合“基础巩固-能力提升”分层训练，5分钟微专题突破关键考点，助力学生高效掌握解题方法，教师可据此精准把控复习节奏，提升应考能力。

第4讲 函数和一次函数 1、 【知识网络】 2、 【考点聚焦】 · 平面直角坐标系 · 平面直角坐标系的组成与划分 平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有共同原点的数轴组成的图形． · 点的坐标 ①各象限内点的坐标特征： 第一象限内的点坐标符号为；第二象限内的点坐标符号为； 第三象限内的点坐标符号为；第四象限内的点坐标符号为； ②坐标轴上点的坐标特征： 轴上的点，纵坐标等于0；轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点不属于任何象限； ③平行直线上的点的坐标特征： · 在与轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等，如图，点A、B的纵坐标都等于； 在与轴平行的直线上，所有点的横坐标相等，如图点C、D的横坐标都等于. ④两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征： · 若点P（）在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标相等； · 若点P（）在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标互为相反数； ⑤坐标系内的点到轴，轴，原点的距离及任意两点之间的距离公式,中点公式。 P到轴的距离=; 到轴的距离=;到原点的距离=. ,则; 线段AB的中点C的坐标. · 坐标系中的平移与对称 · 坐标系中点的平移问题：已知点，. 将点向左平移个单位，对应点的坐标为； 将点向右平移个单位，对应点的坐标为： 将点向上平移个单位，对应点的坐标为； 将点向下平移个单位，对应点的坐标为. · 坐标系中点的对称问题：已知点， 点P关于轴对称的点为； 点P关于轴对称的点为； 点P关于原点对称的点为； 点P关于点对称的点为. · 一次函数的图象及性质： 函数 图象 性质 经过象限 变化规律 （为常数，且） 过一二三象限　 图象左低右高， 随增大而增大　 （正比例函数） 过一三象限　 　 过一三四象限 过一二四象限 图象左高右低， 随增大而减小　 （正比例函数） 过二四象限　 过二三四象限　 · 一次函数的图象的平移（ ）： 3、 【典例分析】 · 坐标系中的点： 1.（2025青羊区二诊）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则点A关于轴对称的点的坐标是（ ） 2.（2024年青羊区二诊）若点与点关于原点对称，则 . 3.（2025年武侯区二诊）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 . 4.（2025年成华区二诊）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段OA绕点O按顺时针方向旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为 . 5.（2024年滨州中考）若点在第二象限，那么的取值范围是（ ） 6.（2024年扬州中考）在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于坐标原点的对称点P′的坐标为（ ） 7.（2024年湖北中考）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ） A.点A B.点B C.点C D.点D · 函数的概念和自变量的取值范围等： 1.（2024年江西中考）将常温中的温度计插入一杯60℃的热水（恒温）中，温度计的度数与时间的关系用图象可近似表示为（ ） A B C D 2.（2023滨州中考）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH＞7时溶液呈碱性，当pH＜7时容易呈酸性.若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反应溶液的pH与所加的水的体积V之间对应关系的是（ ） 3.（2024河北中考）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴.如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S.该折扇张开的角度为时，扇面的面积为，若，则与关系的图象大致是（ ） A B C D 4.（2025年成华区二诊）在函数中，自变量的取值范围是 . 5.（2024年齐齐哈尔中考）在函数中，自变量的取值范围是 . · 一次函数的图象和性质： 1.（2024年德阳中考）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ） 2.（2024年长沙中考）对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A.它的图象与轴交于点 B.随的增大而减小 C.当时， D.它的图象经过第一、二、三象限 3.（2024青海中考）如图，一次函数的图象与轴相交于点A，则点A关于轴的对称点是（ ） 4.（2024年山西中考）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长 的一次函数，部分数据如下表所示，则与之间的关系式为（ ） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 5.（2024年陕西中考）一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （ ） 6.（2024年辽宁中考）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOBC的顶点A在轴负半轴上，顶点B在直线上，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为（ ） 7.（2024凉山州中考）如图，一次函数的图象经过点A（3，6），B（0，3）两点，交轴于点C，则△AOC的面积为 . 8.（2025青羊区二诊）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数分别交轴、轴于点A，B，P是直线AB上一动点，连接OP，则线段OP长度的最小值为 . 9.在平面直角坐标系内有三点. （1） 求过其中两点的直线的函数表达式（选一种情况作答）； （2） 判定A，B，C是否在同一直线上，并说明理由. · 一次函数图象的变换： 1.（2023年陕西中考）在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点A，将该直线沿轴向左平移6个单位长度后，与轴交于点A′.若点A与点A′关于原点O对称，则的值为（ ） 2.（2024年成华区二诊）若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为 . 3.（2024广安中考）如图，直线与轴分别交于A，B，将△AOB绕点A逆时针方向旋转90°得到△ACD，则点D 的坐标为 . 4.直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 . · 一次函数与方程和不等式： 1.（2024年广东中考）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A B C D 2.如图，直线过点A（0，3），B（4，0），则不等式的解集是（ ） 3.如图，已知一次函数的图象分别与轴交于A，B两点，若，则关于的方程的解为 . 4.点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点P的位置在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则的取值范围为 . 6.（2024北京）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点（2，1）. （1） 求的值； （2） 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. · 一次函数的应用： 1.（2024上海中考）某种商品的销售量（万元）与广告投入（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售量1000万元，当投入90万元时，销售量5000万元.则投入80万元时，销售量为 万元. 2.（2024年龙东地区中考）甲、乙两货车分别从相距的A，B两地同时出发，甲货车从A地出发途径配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路返回B地，结果比甲火车晚半小时到达B地.如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）甲货车到达配货站之前的速度是 ；乙火车的速度是 ； （2）求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； （3）直接写出甲、乙两火车在行驶过程中，出发多长时间甲、乙两火车与配货站的距离相等. 3.（2023年丽水）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升.为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同.看图解答下列问题： （1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多； （2）求方案二关于的函数表达式； （3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案？ 4.（2024中考）铁的密度为，铁块的质量（单位：）与它的体积（单位：）之间的函数关系式为：，当时时， . 5.（2024河南中考）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ · 一次函数的新定义和其他问题： 1.（2024年湖南中考）在平面直角坐标系中，对于点，若均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”.已知点P在第二象限，下列说法正确的是（ ） A. B.若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C.若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D.若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 2.（武侯区2024年一诊）如图，在平面直角坐标系中,已知一次函数的图象分别与轴、轴相交于A，B两点.在线段AB上取一点，此时点恰好落在△ABO内部（不包含边界），则的取值范围是 . 3.（高新区2025年二诊）在密码学中，可以直接看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码.有一种密码，将26个大写英文字母依次对应这26个自然数（见表格）.当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号. 按上述规定，将明码“”译成密码是 .（填写由3个大写字母组成的密码） 4、 【真题演练】 1.（2024年安徽中考）如图，在中，，是AC边上的高．点E，F分别在边AB，BC上（不与端点重合），且DE⊥DF．设，四边形DEBF的面积为，则关于的函数图象为（ ） . A B C D 2.（2024年威海中考）同一公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间.甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地.甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶.下图表示甲、乙两车之间的距离与时间的函数关系.下列结论正确的是（ ） 甲车行驶与乙车相遇 A，C两地相距 甲车的速度是 乙车中途休息36分钟 3.（2025年成都中考）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（   ） A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为 C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为 4.（2024年成都中考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，2），过点B作y轴的垂线，P为直线上一动点，连接PO，PA，则的最小值为 . 5.（2025年德阳中考）如图，在平面直角坐标系中，，点C在直线 上，且，连接，将绕点C顺时针旋转到，点B的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则 的纵坐标是 ． 6.（2024陕西中考）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市.他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出.已知该车在高速路上行驶过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示. （1） 求与之间的关系式； （2） 已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少. 5、 【中考预测】 1.（原创题）函数中自变量的取值范围为 . 2.（原创题）如图，一次函数与轴交于点，则 的解集为 . 3.（原创题）如图，一次函数与交于，则的解集为 . 4.（原创题）2025年成都国际乒联混合团体世界杯于2025年11月到12月7日在四川省体育馆举行，某商家打算推出一款新的周边棉娃娃，经市场调查可知，该棉娃娃的销量和售价之间的函数关系式如图所示： （1） 求出与之间的函数关系式； （2） 经市场调查发现，该棉娃娃销量每天销量不少于19个，但该娃娃每天最多只能制作出49个，问商家应将售价应定在什么范围？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 函数和一次函数 1、 【知识网络】 2、 【考点聚焦】 · 平面直角坐标系 · 平面直角坐标系的组成与划分 平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有共同原点的数轴组成的图形． · 点的坐标 ①各象限内点的坐标特征： 第一象限内的点坐标符号为；第二象限内的点坐标符号为； 第三象限内的点坐标符号为；第四象限内的点坐标符号为； ②坐标轴上点的坐标特征： 轴上的点，纵坐标等于0；轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点不属于任何象限； ③平行直线上的点的坐标特征： · 在与轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等，如图，点A、B的纵坐标都等于； 在与轴平行的直线上，所有点的横坐标相等，如图点C、D的横坐标都等于. ④两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征： · 若点P（）在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标相等； · 若点P（）在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标互为相反数； ⑤坐标系内的点到轴，轴，原点的距离及任意两点之间的距离公式,中点公式。 P到轴的距离=; 到轴的距离=;到原点的距离=. ,则; 线段AB的中点C的坐标. · 坐标系中的平移与对称 · 坐标系中点的平移问题：已知点，. 将点向左平移个单位，对应点的坐标为； 将点向右平移个单位，对应点的坐标为： 将点向上平移个单位，对应点的坐标为； 将点向下平移个单位，对应点的坐标为. · 坐标系中点的对称问题：已知点， 点P关于轴对称的点为； 点P关于轴对称的点为； 点P关于原点对称的点为； 点P关于点对称的点为. · 一次函数的图象及性质： 函数 图象 性质 经过象限 变化规律 （为常数，且） 过一二三象限　 图象左低右高， 随增大而增大　 （正比例函数） 过一三象限　 　 过一三四象限 过一二四象限 图象左高右低， 随增大而减小　 （正比例函数） 过二四象限　 过二三四象限　 · 一次函数的图象的平移（ ）： 3、 【典例分析】 · 坐标系中的点： 1.（2025青羊区二诊）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则点A关于轴对称的点的坐标是（ ） 【答案】A. 【解析】关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，故点A关于y轴对称的点的坐标为，选项A正确，故选A. 2.（2024年青羊区二诊）若点与点关于原点对称，则 . 【答案】10. 【解析】关于原点对称的两个点的横纵坐标分别互为相反数，故，∴. 3.（2025年武侯区二诊）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 . 【答案】（2，－3） 【解析】关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，所以点关于x轴对称的点的坐标是（2，－3）. 4.（2025年成华区二诊）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段OA绕点O按顺时针方向旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为 . 【答案】（3，2） 【解析】过A作AK⊥x轴于K，过A′作A′L⊥x轴于L，易证：△AKO≌△OLA′，则A′L＝OK＝2，OL＝AK＝3，故点A′的坐标为（3，2）. 5.（2024年滨州中考）若点在第二象限，那么的取值范围是（ ） 【答案】A. 【解析】第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正，则有，故选项A正确. 6.（2024年扬州中考）在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于坐标原点的对称点P′的坐标为（ ） 【答案】A. 【解析】平面坐标系内关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数，故点P（1,2）关于原点对称的点的坐标为（－1，－2），选项A正确. 7.（2024年湖北中考）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ） A.点A B.点B C.点C D.点D 【答案】B. 【解析】设， 则由题意可知四个顶点的坐标分别为：. ∵，而，所以四个点中“特征值”最小的是点B. · 函数的概念和自变量的取值范围等： 1.（2024年江西中考）将常温中的温度计插入一杯60℃的热水（恒温）中，温度计的度数与时间的关系用图象可近似表示为（ ） A B C D 【答案】C. 【解析】将温度计插入恒温热水中，刚开始的时候温度计读数迅速上升，然后稳定在恒温的稳度，而选项C恰好符合这一变化规律，故选项C正确. 2.（2023滨州中考）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH＞7时溶液呈碱性，当pH＜7时容易呈酸性.若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反应溶液的pH与所加的水的体积V之间对应关系的是（ ） 【答案】B. 【解析】溶液呈碱性，所以刚开始的时候pH＞7，在被稀释的过程中，碱性越来越弱，故pH值越来越小，选项B的图象符合这一变化规律，故选B. 3.（2024河北中考）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴.如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S.该折扇张开的角度为时，扇面的面积为，若，则与关系的图象大致是（ ） A B C D 【答案】C. 【解析】设扇子的半径为R，内部小扇形半径为r，则， ∴. 该折扇展开的角度为n°时，扇面的面积 是关于n的正比例函数，选项C的图象符合这一规律，故选C. 4.（2025年成华区二诊）在函数中，自变量的取值范围是 . 【答案】. 【解析】原函数的自变量取值范围为. 5.（2024年齐齐哈尔中考）在函数中，自变量的取值范围是 . 【答案】. 【解析】原函数的自变量取值范围为. · 一次函数的图象和性质： 1.（2024年德阳中考）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ） 【答案】A. 【解析】由图象可知，该正比例函数图象过一三象限，y随x增大而增大，故k＞0，所以选项A正确. 2.（2024年长沙中考）对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A.它的图象与轴交于点 B.随的增大而减小 C.当时， D.它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A. 【解析】选项A：令x=0，则y=－1，故函数与y轴交于点，选项A正确； 选项B：∵k＞0，所以y随x增大而增大，故选项B错误； 选项C：当时，y＞0，故选项C错误； 选项D：函数图象经过一、三、四象限，故选项D错误. 3.（2024青海中考）如图，一次函数的图象与轴相交于点A，则点A关于轴的对称点是（ ） 【答案】A. 【解析】令y=0，解得，故点A，∴A关于y轴的对称点为，选项A正确. 4.（2024年山西中考）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长 的一次函数，部分数据如下表所示，则与之间的关系式为（ ） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 【答案】A. 【解析】设， 由所给表可知：x=6时，y＝45.5；x＝8时，y＝60.5， ∴，故选项A正确. 5.（2024年陕西中考）一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （ ） 【答案】A. 【解析】因为A，B两点关于原点对称，所以有，∴代入y＝kx得：，解得k=3，所以y=3x，选项A正确. 6.（2024年辽宁中考）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOBC的顶点A在轴负半轴上，顶点B在直线上，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为（ ） 【答案】B. 【解析】由点B在上且横坐标为8可得，B（8,6），∴OB=10，因为四边形AOBC是菱形，∴BC=OB=10，故C（－2,6），选项B正确. 7.（2024凉山州中考）如图，一次函数的图象经过点A（3，6），B（0，3）两点，交轴于点C，则△AOC的面积为 . 【答案】9. 【解析】设AB的解析式为，则有， 令y＝0，解得x=－3，所以C（－3,0），. 8.（2025青羊区二诊）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数分别交轴、轴于点A，B，P是直线AB上一动点，连接OP，则线段OP长度的最小值为 . 【答案】. 【答案】由题意可得：A（4,0），B（0,2），∴ 当OP⊥AB的时候OP最小，此时由等面积法可得： ∴. 9.在平面直角坐标系内有三点. （1） 求过其中两点的直线的函数表达式（选一种情况作答）； （2） 判定A，B，C是否在同一直线上，并说明理由. 【答案】（1）；（2）A，B，C不在同一条直线上. 【解析】（1）设过A，B两点的直线解析式为：并代A，B得：， 解得，所以直线AB的解析式为：. 也可求BC：；AC：. （2）由（1）得：AB的解析式为 ∴当x=0时，y=5≠6 ∴点C（0,6）不在直线AB上，故点A，B，C不在同一直线上. · 一次函数图象的变换： 1.（2023年陕西中考）在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点A，将该直线沿轴向左平移6个单位长度后，与轴交于点A′.若点A与点A′关于原点O对称，则的值为（ ） 【答案】B. 【解析】直线y=－x+m中令y=0解得x=m，∴A（m，0）将直线沿x轴向左平移6个单位长度后得到：，令y=0，解得x=－6+m，∴点A′（－6+m，0） 因为A和A′关于原点对称，所以m+（－6+m）＝0，解得m＝3，故选项B正确. 2.（2024年成华区二诊）若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为 . 【答案】5. 【解析】y＝x向上平移3个单位长度后得到：y=x+3，过点（2，m），∴m＝2+3＝5，∴m的值为5. 3.（2024广安中考）如图，直线与轴分别交于A，B，将△AOB绕点A逆时针方向旋转90°得到△ACD，则点D 的坐标为 . 【答案】（－3,1）. 【解析】由题意可知A（－1,0），B（0，2），∴OA＝1，OB＝2 过点D作DM⊥x轴于M，易证：△ADM≌△BAO，∴DM＝OA＝1；AM＝OB＝2，∴D（－3,1） 4.直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 . 【答案】. 【解析】设与y轴交于点B，则可得：A（1，0），B（0，－1），∴OA＝OB＝1，∠OAB=∠OBA=45°， 将绕点A逆时针旋转15°后于y轴交于点C，∴∠BAC=15°，∠OAC=45°+15°=60°. ∠OCA=30°，∴AC＝2OA＝2，∴，∴ 设的解析式为：并代A，C两点有：. · 一次函数与方程和不等式： 1.（2024年广东中考）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A B C D 【答案】B. 【解析】根据四个选项的图象可知，只有B选项符合题意. 2.如图，直线过点A（0，3），B（4，0），则不等式的解集是（ ） 【答案】B. 【解析】即y＞0，图象在x轴上方，由图象可知的解集为. 3.如图，已知一次函数的图象分别与轴交于A，B两点，若，则关于的方程的解为 . 【答案】. 【解析】由题意可知A（－2,0），kx+b=0的解即为一次函数和x轴的交点的横坐标，即为：. 4.点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点P的位置在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D. 【解析】解二元一次方程组得，∴在第四象限，∴选项D正确. 5.已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】时，两条直线平行，且函数的图象在函数的图象上方，∴符合题意 当时，随着a的增大，与x=1的交点A逐渐向上，直到和共同交于一点，即B，此时有，所以符合题意； 时，函数和的交点在原点左侧，不符合题意，所以舍去. 故符合题意. 6.（2024北京）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点（2，1）. （1） 求的值； （2） 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】∵函数过点（2,1），∴，∴； 将点（2,1）代入得：，解得 ∴. （2）如图，当时，函数既要大于函数又要大于，则. · 一次函数的应用： 1.（2024上海中考）某种商品的销售量（万元）与广告投入（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售量1000万元，当投入90万元时，销售量5000万元.则投入80万元时，销售量为 万元. 【答案】4500. 【解析】由题意可设销售量（万元）与广告投入（万元）的关系式为； 由题意可得：，解得，∴. 当时，. 2.（2024年龙东地区中考）甲、乙两货车分别从相距的A，B两地同时出发，甲货车从A地出发途径配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路返回B地，结果比甲火车晚半小时到达B地.如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）甲货车到达配货站之前的速度是 ；乙火车的速度是 ； （2）求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； （3）直接写出甲、乙两火车在行驶过程中，出发多长时间甲、乙两火车与配货站的距离相等. 【答案】（1）30,40；（2）；（3）. 【解析】（1）； 乙火车往返2×（225-105）=240千米共用时6小时，故 . （2）由题可设，从图象可知该一次函数过 ∴，解得，∴. （3）由图象可知，配货站距离甲地105，距离B地120. 甲货车距离配货站的距离分为三段： 其中OD段：； DE段：； EF段： 乙货车距离配货站距离分为两段： CM段：； MN段： 甲乙货车距离配货站距离相等共有三种情况： ①乙货车到达配货站之前：，解得，符合题意； ②乙火车从配货站返回B地，甲赶往配货站的途中：，解得，符合题意； ③甲货车赶往B地乙货车返回B地的途中：，解得，符合题意； 综上所述：出发甲、乙两火车与配货站的距离相等. 3.（2023年丽水）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升.为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同.看图解答下列问题： （1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多； （2）求方案二关于的函数表达式； （3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案？ 【答案】（1）30件；（2）；（3）见解析. 【解析】（1）由图象可知，员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多. （2）由图象可知，方案二的是关于的一次函数，且， 设，代入两点得：解得，∴ （3）由图象可知：时选择方案二更好； 时选择方案一或方案二都可以； 时选方案一更好. 4.（2024中考）铁的密度为，铁块的质量（单位：）与它的体积（单位：）之间的函数关系式为：，当时时， . 【答案】. 【解析】. 5.（2024河南中考）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】（1）A种食品4包，B种食品2包；（2）A种食品3包，B种食品4包. 【解析】（1）设选用A种食品x包，选用B种食品y包. ，解得. ∴选用A种食品4包，选用B种食品2包. （2）设选用A种食品m包，选用B种食品（7-m）包，则由题意可得： ，解得； 每份午餐含热量为：. ∵－200＜0，∴w随m的增大而减小 ∴m最大时，w有最小值 ∴. ∴选用A种食品3包，B种食品4包. · 一次函数的新定义和其他问题： 1.（2024年湖南中考）在平面直角坐标系中，对于点，若均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”.已知点P在第二象限，下列说法正确的是（ ） A. B.若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C.若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D.若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【答案】C. 【解析】∵点P在第二象限，∴，解得，故选项A错误； 若P为整点，则的取值可以为整数共4个，所以有4个点P符合题意，选项B错误； 若P为“超整点”，的取值可以为整数的同时也应该为整数，而只有当时为整数，此时P为超整点，所以选项C正确； 由选项C可知，当且仅当时，P为“超整点”，此时P（－2，4），点P到坐标值的距离为2＋4＝6＜10，选项D错误. 2.（武侯区2024年一诊）如图，在平面直角坐标系中,已知一次函数的图象分别与轴、轴相交于A，B两点.在线段AB上取一点，此时点恰好落在△ABO内部（不包含边界），则的取值范围是 . 【答案】. 【解析】∵点在线段AB上，∴，∴. ∴，∵，∴点Q在反比例函数上， 又因为点Q在△ABO内部，∴令，解得， ∴ 3.（高新区2025年二诊）在密码学中，可以直接看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码.有一种密码，将26个大写英文字母依次对应这26个自然数（见表格）.当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号. 按上述规定，将明码“”译成密码是 .（填写由3个大写字母组成的密码） 【答案】. 【解析】Q对应的序号为17是奇数，所以密码对应的序号为，对应的密码字母为； R对应的序号为18是偶数，所以对应的密码对应的序号为，对应的密码字母为； E对应的序号为5时奇数，所以对应的密码对应的序号为，对应的密码字母为； 故明码“QRE”译成密码是VIP. 4、 【真题演练】 1.（2024年安徽中考）如图，在中，，是AC边上的高．点E，F分别在边AB，BC上（不与端点重合），且DE⊥DF．设，四边形DEBF的面积为，则关于的函数图象为（ ） . A B C D 【答案】A. 【解析】过点E作EH⊥AC于H. ∵∠A为公共角，∠EHA＝∠ABC=90°，∴△AHE∽△ABC；∴， ∵，∴； ∵BD为△ABC斜边AC上的高， ∴由等面积法有：，∴ ， ∵， ∠FBD+∠DBA=∠ABC=90° ∴∠A＝∠FBD ∵∠ADE＋∠BDE＝∠ADB=90° ∠FDB＋∠BDE＝∠EDF＝90° ∴∠ADE＝∠FDB ∴△ADE∽△BDF ∴，∴； ∴四边形DEBF的面积. 选项A的图象符合，故选A. 2.（2024年威海中考）同一公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间.甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地.甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶.下图表示甲、乙两车之间的距离与时间的函数关系.下列结论正确的是（ ） 甲车行驶与乙车相遇 A，C两地相距 甲车的速度是 乙车中途休息36分钟 【答案】A. 【解析】由图象可知：0~2小时这段时间，两车距离从20km增加到40km，说明乙车比甲车速度快：； 2小时~3小时这段时间内，两车距离从40km减少到0再增加到20km，增速一致，说明这段时间甲独自行驶，乙车在休息，3小时~4小时这段时间距离逐渐缩小直到两车同时到达C地，说明这段时间甲车和乙车都在行驶中. ∴甲车速度为：，乙车速度为60＋10＝70（km/h），选项C错误； A,C两地的距离为：60×4=240（km），选项B错误. 由图象可知，乙车休息时间为：3－2＝1（h），选项D错误. 设甲车行驶x小时后与乙车相遇，则：，解得，选项A正确. 故选A. 3.（2025年成都中考）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（   ） A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为 C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为 【答案】C. 【解析】由图象可知，小明15min时到达离家2.5km的体育馆，并在体育馆锻炼到45min出发去书店买书，故锻炼时间为45－15＝30（min），选项A，B错误； 由图象可知，小明80min从书店开始步行回家，100min到家，所以步行时间为：100－80＝20（min），选项D错误. 由图象可知小明60min时到达书店，此时距离为1km，所以家距离书店为1km，选项C正确. 4.（2024年成都中考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，2），过点B作y轴的垂线，P为直线上一动点，连接PO，PA，则的最小值为 . 【答案】5. 【解析】点关于直线的对称点为，， 当且仅当A，P，O′三点共线时取号. ∴PO+PA的最小值为5. 5.（2025年德阳中考）如图，在平面直角坐标系中，，点C在直线 上，且，连接，将绕点C顺时针旋转到，点B的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则 的纵坐标是 ． 【答案】2004. 【解析】∵与轴交于点，∴，; ∴，T同理：。∴∠BAO＝60°，∠DAB＝60°＋30°＝90°， 即BA⊥DA； ∴； 由旋转性质可知：; ∴，∴.即纵坐标为6； 同理纵坐标为； 在直线上 且纵坐标为; ，所以在直线上，纵坐标为：334×6=2004. 6.（2024陕西中考）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市.他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出.已知该车在高速路上行驶过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示. （1） 求与之间的关系式； （2） 已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少. 【答案】（1）；（2）32%. 【解析】（1）由图象可知是关于的一次函数，设为，函数图象过点，代入解析式得：，解得，∴. （2）当时， . 答：该车的剩余电量占“满电量”的32% . 5、 【中考预测】 1.函数中自变量的取值范围为 . 【答案】. 【解析】函数的自变量需满足：，解得. 2.如图，一次函数与轴交于点，则 的解集为 . 【答案】. 【解析】由图象可知 的解集为. 3.如图，一次函数与交于，则的解集为 . 【答案】. 【解析】由图象可知直线AP为，直线BP为，而即为图象在下方的时候的取值范围，由图象可知在点P的右侧时图象在下方，所以解集为. 4.2025年成都国际乒联混合团体世界杯于2025年11月到12月7日在四川省体育馆举行，某商家打算推出一款新的周边棉娃娃，经市场调查可知，该棉娃娃的销量和售价之间的函数关系式如图所示： （1） 求出与之间的函数关系式； （2） 经市场调查发现，该棉娃娃销量每天销量不少于19个，但该娃娃每天最多只能制作出49个，问商家应将售价应定在什么范围？ 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由图象可知，与之间满足一次函数关系式，且过点， ∴ 设并代两个点得：，解得， ∴. （2）解不等式组 得. 答：商家应将售价应定在间. 1 学科网（北京）股份有限公司 $