专题27.3-27.4 二次函数表达式&一元二次方程 （知识梳理+典例+练习）2026-2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

本讲义聚焦二次函数表达式（一般式、顶点式、交点式）及相互转化，系统梳理其与一元二次方程的关系，包括交点坐标、判别式应用，图像法求近似根（二分法）及拓展的不等式关系，构建从表达式确定到方程应用的完整学习支架。 资料以思维导图总览知识脉络，典例结合图像分析方程根的情况，培养几何直观与推理意识，分层练习（核心考点、随堂检测、课后巩固）兼顾课中教学与课后查漏，助力学生用数学语言表达函数与方程的联系，提升应用意识与创新能力。

27.3-27.4 二次函数表达式&一元二次方程 新沪教版（五四制）数学九年级上册（知识梳理+典例+练习） 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 二次函数的三种表达式（一般式、顶点式、交点式）及其相互转化，能根据条件灵活选择合适的形式。 · 掌握 二次函数与一元二次方程的关系，能利用判别式判断抛物线与 x 轴的交点个数，并利用交点坐标解决相关问题。 · 理解 图象法求一元二次方程近似根的原理（零点存在性定理），能利用二分法思想逐步逼近精确解。 · 熟练运用 二次函数的对称性、顶点坐标、交点坐标等解决综合问题（含参讨论、新定义等）。 · 体会 数形结合、分类讨论、方程与函数相互转化的数学思想。 ✨ 核心思想：函数与方程紧密联系，通过图象直观理解方程的解。 知识梳理 · 核心知识点 ☆知识点1 确定二次函数的表达式 1．二次函数表达式的三种形式 （1）一般式：为常数，且a≠0) （2）顶点式：为常数，且a≠0)·, （3）交点式：是抛物线与x轴的交点的横坐标）. 求二次函数表达式的方法：待定系数法. 2．三点式求法 如图1，已知二次函数图像上三个点的坐标，可设二次函数表达式为 (a≠0)，其中a、b、c是待定系数.由图像上三点的坐标，得到关于a、b、c的三元一次方程组，并通过求解方程组得到a、b、c的值. ( 图 1 图2 图3 ) 3．顶点式求法 如图2，已知二次函数图像的顶点坐标（或对称轴、最值），可设二次函数表达式为.此情况下，通常需要补充适当的条件，得到关于待定系数的方程（组），以此确定未知系数的值. 4．交点式求法 （1）如图3，已知抛物线与x轴的两个交点坐标及经过一点，可设二次函数表达式为，再列方程求解确定a的值； （2）已知抛物线与x轴的一个交点坐标、对称轴及另一个点，选利用抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再设二次函数表达式为，最后列方程求解确定a的值. 例 已知抛物线与x轴的交点是A(-2,0)、B(1,0)，且抛物线经过点C(2,8)，求该抛物线的表达式. 解：方法一：设抛物线的表达式为 ·抛物线过点A(-2,0）、B(1,0）、C(2,8)，解得 抛物线的表达式为 方法二：设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x-1)(a≠0)，将点C(2,8)的坐标代入上式，解得a=2 抛物线的表达式为 方法三：设抛物线的表达式为 点A(-2,0）、B(1,0）关于直线对称， .对称轴为直线 将A(-2,0）、C(2,8）的坐标代入，得 解得，即 ☆知识点2 二次函数与一元二次方程的关系 1．二次函数的图像与x轴交点的横坐标与相应一元二次方程根的关系 二次函数的图像与x轴（直线y=0)交点的横坐标是相应的一元二方程的实数根，反之亦然. 提醒 二次函数的图像与直线y=m的交点的横坐标就是一元二次方程的实数根，反之亦然. 2．二次函数的图像与x轴交点的情况和相应一元二次方程根的情况的关系 的取值 二次函数的图像与x 轴的交点 有两个交点 有一个交点 无交点 有两个交点 有一个交点 无交点 一元二次方程的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 提醒 抛物线与x轴的交点为和 ) A、B两点间的距离 .抛物线的对称轴为直线，，对称轴与x轴的交点恰为线段AB的中点。 例1 如图，若二次函数的图像与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C. （1）求A、B两点的坐标； （2）若P(m,-2)为二次函数图像上一点，求m的值. 解：(1）当y=0时解得 ．点A的坐标为（-1,0)，点B的坐标为（2,0)． (2))∵P(m,-2为二次函数图像上一点， 解得 ．m的值为0或1． 例1 如图，若二次函数的图像与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C. （1）求A、B两点的坐标； （2）若P(m,-2)为二次函数图像上一点，求m的值. 解：(1）当y=0时解得 ．点A的坐标为（-1,0)，点B的坐标为（2,0)． (2))∵P(m,-2为二次函数图像上一点， 解得 ．m的值为0或1． 3．用图像法求解一元二次方程 通过观察抛物线与直线交点情况确定一元二次方程的根的情况. 例2 已知二次函数的图像如图所示，请判断下列关于x的方程的根的情况： (1)、 (2)。 (3) 解：(1）把原方程变形为 由图像可知抛物线顶点的纵坐标为2， 所以此方程有两个相等的实数根. （2）把原方程变形为 如图1，由图像可知抛物线上的点的纵坐标不可能等于5，所以此方程没有实数根． （3）把原方程变形为 如图2，由图像可知抛物线上有两个纵坐标为-1的点，所以此方程有两个不相等的实数根. ☆知识点3 借助二次函数的图像求解一元二次方程的近似根 1．利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的一般步骤 （1）画出二次函数的图像. （2）确定抛物线与x轴交点的个数，看交点的横坐标在哪两个数之间． （3）列表，在两个数之间取值估计，并用计算器估算近似根，近似根在对应y值的正负（或负正）过渡的地方。 当x由取到时，若对应的y值出现或，则中必有一个是方程的近似根， 再比较和.若，则是方程的近似根；若，则是方程的近似根.一般需要我们求近似根的方程的根往往是无理数，所以列表时不可能取到实数根的精确值. 2．利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的常用方法 方法 结论 直接作出二次函数的图像 图像与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根 先将一元二次方程变为，再在同一平面直角坐标系中画出抛物线和直线 两图像交点的横坐标就是一元二次方程的根 先将一元二次方程变形为，再在同一平面直角坐标系中画出抛物线和直线 两图像交点的横坐标就是一元二次方程的根 例3 利用函数图像求一元二次方程的根的近似值．（结果精确到0.1） 解：方法一：将原方程变形为 画出函数的图像，如图所示. 由图像可知，抛物线与x轴公共点的横坐标分别在-2与-1之间，3与4之间，大约为-1.4,3.4， 即方程的两实数根分别为 方法二：用取平均数的方法不断缩小根所在的范围，从而确定方程的根的近似值. 将原方程可变形为 如：由的图像可知，当x=3时,y>0；当x=4时,y<0. 取3和4的平均数3.5．当x=3.5时,y=-0.25，与x=3时的函数值异号，所以方程的这个根在3和3.5之间．取3和3.5的平均数3.25．当x=3.25时，y=0.9375,，与x=3.5时的函数值异号. 所以方程的这个根在3.25和3.5之间．取3.25和3.5的平均数3.375．当x=3.375时,y=0.359375，与x=3.5时的函数值异号，所以方程的这个根在3.375和3.5之间． 由此方法可得到原方程的一个根的近似值为3.4． 用同样的方法可得到原方程的另一个根的近似值为-1.4． 所以方程的实数根为 总结 用图像法求一元二次方程根的近似值 1．直接求解法：画出函数和y=-8的图像，它们公共点的横坐标的近似值即该方程根的近似值. 2．间接求解法：将方程适当整理为，可以像方法一那样画函数 的图像，图像与x轴公共点的横坐标的近似值即一元二次方程根的近似值；也可以像方法二那样通过画出图像并用取平均数的方法不断缩小横坐标的取值范围，进而算出方程根的近似值. ☆知识点4 二次函数与一元二次不等式之间的关系（拓展） 抛物线在x轴上方的点对应的x的所有值是不等式的解集；抛物线在x轴下方的点对应的x的所有值是不等式的解集。 二次函数与不等式及的关系如下表： 的 取值 抛物线 不等式的解集 或 全体实数 不等式的解集 无解 无解 ( 第 1 页 共 61 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 的 取值 抛物线 不等式 的解集 无解 无解 不等式 的解集 或 全体实数 例4 已知二次函数 （1）当x取什么值时y=0？ （2）当x取什么值时，y>0？ （3）当x取什么值时,y<0？ 解析：先画出二次函数的图像，找出图像与x轴的交点，再根据交点横坐标及二次函数图像写出x的取值或取值范围. 解：如图，画出二次函数的图像. 根据图像可知： （1）当x=1或x=3时,y=0 （2）当x<1或x>3时,y>0; （3）当1<x<3时,y<0. 点拨：利用二次函数图像解一元二次不等式，关键是画出二次函数图像的示意图［常用“五点”法，如此题可选择（1,0）、（3,0）、（2,-1）、（0,3）、（4,3）五点］，确定二次函数的图像与x轴的交点的横坐标. 📊 知识总结表 类别 表达式 关键信息 与方程的关系 一般式 轴交点 (0,)，对称轴 令 得一元二次方程 顶点式 顶点 ，对称轴 最值即 ，方程解与 有关 交点式 与 轴交点 ， 直接给出方程的两个根 判别式 Δ>0 两个交点；Δ=0 一个交点；Δ<0 无交点 判断方程根的情况 韦达定理 ， 用于求对称轴、两根之和/积 已知根求系数或对称轴 图象法求根 二分法逼近 零点存在性定理 求近似根，精度可控 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】待定系数法求二次函数解析式 （第1—12题） 📌 方法总结： · 已知顶点坐标或对称轴，用顶点式；已知与x轴交点，用交点式；已知任意三点，用一般式。 · 注意题目中的隐含条件（如开口方向、形状相同确定|a|）。 · 列方程（组）时，代入点的坐标要准确。 1．（2026•仪征市一模）已知抛物线y1顶点坐标为（﹣1，2），且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线y1的解析式为（　　） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝﹣（x+1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2+2 【分析】根据抛物线开口和形状确定二次项系数，再将顶点坐标代入顶点式，即可得出解析式． 【解答】解：设抛物线y1为y＝a（x﹣h）2+k， 由题意可得：a＝1， ∴将（﹣1，2）代入可得y＝（x+1）2+2． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 2．（2026春•沈丘县月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），（1，2），且对称轴为直线x＝1，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数对称轴的性质，已知条件列方程组求解系数即可得到结果． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1， ∴由对称轴公式可得 ，即b＝﹣2a， 由条件可得， 解得 ， ∴该二次函数的解析式为． 故选：A． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握该知识点是关键． 3．（2026•阳谷县模拟）顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数的图象相同的抛物线对应的解析式为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，可设抛物线解析式为y＝a（x+6）2，再由条件可求得a的值，可求得答案． 【解答】解：由题意，∵顶点为（﹣6，0）， ∴可设抛物线解析式为y＝a（x+6）2， ∵开口向下，形状与函数yx2的图象相同， ∴a， ∴抛物线解析式为y（x+6）2． 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 4．（2025秋•建华区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．下列结论：①；②c＝2b；③若抛物线上有点，则y2＜y1＜y3；④当﹣2＜x＜3时，；⑤点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线上，且，当m1+m2＞1时，n1＞n2．其中正确结论的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据二次函数图象可知：a＜0，，c＞0，得出，故①正确；将点（﹣2，0），（3，0）代入，得出：a+b＝0，再求出c＝﹣6b，故②不正确；根据函数图象可得y2＜y1＜y3，故③正确；根据对称轴为直线，求函数最大值，结合函数图象求得最小值即可判断④，根据抛物线开口向下，离对称轴较近的函数值大，即可求解． 【解答】解：根据二次函数图象可知：a＜0，，c＞0， ∴b＞0， ∴，故①正确，符合题意； 由条件可得：， ②﹣①得出：a+b＝0， ∴a＝﹣b， 再代入①得出：c＝6b，故②不正确，不符合题意； 由图象可知：抛物线开口向下，与x轴交点为（﹣2，0），（3，0）， ∵， ∴y2＜0，y3＞0，y1＞0， ∵抛物线对称轴为直线， ∵，， ∴y3＞y1＞0， ∴y2＜y1＜y3，故③正确，符合题意； ④∵a＝﹣b，c＝6b， ∴b＝﹣a，c＝﹣6a， 当时，取得最大值，最大为， 当x＝﹣2或x＝3时，取得最小值为0， ∴当﹣2＜x＜3时，，故④错误，不符合题意； ⑤点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线上，且， 当m1+m2＞1时， 即， 又∵抛物线开口向下， ∴n1＞n2，故⑤正确，符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．（2025秋•和平区校级期末）下表记录了二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）中两个变量x与y的3组对应值， x … ﹣5 ﹣1 3 … y … m m … 根据表中信息，当﹣5＜x＜0时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．﹣5＜k≤3 D．﹣5＜k＜3 【分析】先由表格中x＝﹣5和x＝3时y值相等，可知对称轴为x＝﹣1，结合对称轴公式得出b＝2a，再结合x＝﹣1时，可求出二次函数解析式，根据二次函数的解析式可得其顶点及与y轴的交点，从而得到答案． 【解答】解：∵点（﹣5，m）和（3，m）关于对称轴对称， ∴对称轴， ∴， ∴b＝2a， ∴y＝ax2+bx+3化简为y＝ax2+2ax+3． 当x＝﹣1时，，抛物线经过点， 得：， ， ∴，， ∴， ∵， ∴二次函数开口向上， 当﹣5＜x＜0时， 当x＝0时，y＝3， 当x＝﹣5时，y＝8， 当x＝﹣1时，有最小值， ∵直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点， ∴． 故选：B． 【点评】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 6．（2026•恩平市二模）若二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2），且经过点（2，﹣3），则该二次函数的关系式为y＝﹣（x﹣1）2﹣2（或y＝﹣x2+2x﹣3）　 ． 【分析】设该二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2﹣2，利用待定系数法进行计算即可． 【解答】解：若二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2），且经过点（2，﹣3），则： 设该二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2﹣2，由题意可得： ﹣3＝a（2﹣1）2﹣2， 解得：a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣1）2﹣2（或y＝﹣x2+2x﹣3）， 故答案为：y＝﹣（x﹣1）2﹣2（或y＝﹣x2+2x﹣3）． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，正确进行计算是解题关键． 7．（2026•河南模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是 y＝x2﹣4x+3　 ． 【分析】分别把三个点的坐标代入解析式列方程组求解即可． 【解答】解：根据题意得， 解得． ∴二次函数的解析式是y＝x2﹣4x+3． 【点评】主要考查用待定系数法求二次函数的解析式．当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y＝ax2+bx+c（a≠0）．把三组值代入列出三元一次方程组求解即可． 8．（2026•滨海新区校级开学）已知二次函数的图象经过A（﹣1，0）、B（1，2）两点，且对称轴为直线x＝2，则该二次函数的表达式为　　 ． 【分析】设二次函数的一般式y＝ax2+bx+c（a≠0），利用待定系数法即可得到二次函数表达式． 【解答】解：∵二次函数的图象经过A（﹣1，0）、B（1，2）两点，且对称轴为直线x＝2， ∴图象过点（5，0）， ∴设函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）， 将B（1，2）代入得2＝﹣8a， 解得a， ∴y（x+1）（x﹣5）， ∴该二次函数的表达式为． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 9．（2025秋•黄浦区期末）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，2）和（0，4）． （1）求此抛物线的表达式； （2）指出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明这条抛物线的变化情况． 【分析】（1）把（1，2）和（0，4）代入y＝x2+bx+c求出b，c，从而可得二次函数解析式； （2）根据a的值可确定开口方向，并将抛物线的解析式配方后可得对称轴和顶点坐标，进而得解． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，2）和（0，4）， ∴． ∴b＝﹣3，c＝4． ∴此抛物线的表达式为y＝x2﹣3x+4； （2）由题意，∵y＝x2﹣3x+4＝（x）2， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线x，顶点为（，）； 当x时，y随x的增大而减小，当x时，y随x的增大而增大． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 10．（2025秋•上海校级月考）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）． （1）求二次函数的解析式； （2）用配方法把该二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【分析】（1）将两点坐标代入解析式，解得b，c的值，求出二次函数的解析式即可； （2）将二次函数的解析式进行配方写成顶点式，得出顶点坐标和对称轴即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）， 将A（0，1）、B（1，﹣5）代入y＝﹣2x2+bx+c得： ， 解得：， ∴y＝﹣2x2﹣4x+1． （2）y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3， ∴顶点式为：y＝﹣2（x+1）2+3，顶点坐标为（﹣1，3）；对称轴为直线x＝﹣1． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，正确求出函数解析式． 11．（2025•徐汇区模拟）已知一条抛物线的顶点为A（1，3），且经过点B（0，2）． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点C（3，t）在该抛物线上，求△ABC的面积． 【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣1）2+3，然后把B点坐标代入求出a，从而确定抛物线解析式； （2）先利用抛物线解析式确定C点坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣2x+5，则可确定直线AC与y轴的交点D的坐标，然后根据三角形面积公式，利用S△ABC＝S△CBD﹣S△ABD进行计算即可． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3， 把B（0，2）代入得2＝a（0﹣1）2+3， 解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3； （2）把抛C（3，t）代入y＝﹣（x﹣1）2+3得t＝﹣（3﹣1）2+3＝﹣1， ∴C（3，﹣1）， 延长CA交y轴于D点，如图， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 把A（1，3），C（3，﹣1）分别代入得， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+5， 当x＝0时，y＝﹣2x+5＝5， ∴D（0，5）， ∴S△ABC＝S△CBD﹣S△ABD（5﹣2）×3（5﹣2）×1＝3． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 12．（2026•佳木斯校级三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，求点P的坐标； 【分析】（1）将A（4，0），C（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，利用待定系数法确定函数解析式； （2）根据图形得到：S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5，即S△APC＝S△ABC+5．运用三角形的面积公式求得点P的纵坐标y＝6，然后由二次函数图像上点的坐标特征求得点P的横坐标即可； 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4； （2）∵S1﹣S2＝5， ∴S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5 ∴S△ACP﹣S△ABC＝5． 令x＝0，则y＝4， ∴B（0，4）． ∵C（﹣1，0），A（4，0）， ∴AC＝5，OB＝OA＝4， ∴， ∴S△ACP＝15． 设P（t，﹣t2+3t+4）， ∴， ∴t＝1或t＝2， ∴设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，则P（1，6）或P（2，6）． 【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，以及三角形面积公式等知识点． 【考点2】抛物线与x轴的交点 （第13—22题） 📌 方法总结： · 令 y=0，转化为一元二次方程求解。 · 利用判别式判断交点个数，用于参数范围问题。 · 结合韦达定理（根与系数关系）可求对称式。 13．（2025秋•单县期末）已知抛物线y＝x2﹣bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），则关于x的方程x2﹣bx+c＝0的解是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝3 【分析】一元二次方程的根与抛物线与x轴的交点的横坐标的关系，二次函数的性质等知识点，利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程根的联系即可得出结论． 【解答】解：∵与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴方程x2﹣bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3． 故选：B． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握其性质，利用数形结合法是解决此题的关键． 14．（2026•新城区校级模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A（1，m），B（3，m），则△AOB的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【分析】根据A、B两点纵坐标相等求出二次函数对称轴，进而得到b的值，再利用二次函数与x轴只有一个交点的性质求出c的值，得到函数解析式后求出m，最后计算△AOB的面积． 【解答】解：由题意可得：二次函数的对称轴为直线， ∵对称轴公式为，a＝1， ∴，解得b＝﹣4， 又∵二次函数图象与x轴只有一个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×c＝0， 解得c＝4， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+4， 将A（1，m）代入解析式，得m＝12﹣4×1+4＝1， ∴A（1，1），B（3，1）， ∴AB＝3﹣1＝2，原点O到直线AB的距离为1， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键． 15．（2026•龙海区校级模拟）对于方程mx2+2x+2m＝0的说法正确的是（　　） ①当m＝1时，方程有两个不相等的实数根． ②当时，记方程两个不相等的根为x1，x2，则（x1﹣1）（x2﹣1）＝7． ③当m的值为抛物线y＝x2的图象在直线下方的部分的任意一点的横坐标的值时方程有实数根． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据题意，需要分m＝0和m≠0两种情况，利用根的判别式判断根的存在性，逐一验证每个说法． 【解答】解：当m≠0时，根的判别式Δ＝22﹣4•m•2m＝4﹣8m2＝4（1﹣2m2）； 当m＝0时，方程化为一元一次方程2x＝0，存在实数根． ①当m＝1时，方程为x2+2x+2＝0，Δ＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0，方程无实数根，故①错误； ②当时，方程为， 整理得x2+4x+2＝0， x1+x2＝﹣4，x1x2＝2， 故（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝2﹣（﹣4）+1＝7，结论成立，故②正确； ③抛物线y＝x2在直线下方的点，横坐标m满足， 若m＝0，方程2x＝0有实根； 若m≠0，Δ＝4（1﹣2m2），由得1﹣2m2＞0，即Δ＞0， 方程有两个不相等的实数根， 因此所有满足条件的m都使方程有实数根，故③正确， 故选：C． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键． 16．（2026•湖南模拟）二次函数y＝x2+2x+1与x轴交于（﹣a，0），则a的值为　1　 ． 【分析】二次函数图象与x轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于a的一元二次方程即可得到a的值． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+1与x轴交于点（﹣a，0）， ∴将x＝﹣a，y＝0代入y＝x2+2x+1，得（﹣a）2+2×（﹣a）+1＝0， 解得a1＝a2＝1， ∴a的值为1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． 17．（2026•莘县校级模拟）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（﹣1，0），则m的值为 　3　 ． 【分析】利用抛物线解析式与一元二次方程之间的转化关系以及一元二次方程根与系数的关系求得答案即可． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（﹣1，0）， ∴令ax2﹣2ax﹣3＝0，则m，﹣1为方程ax2﹣2ax﹣3＝0的两个根， ∴， ∴m＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． 18．（2025秋•崇明区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（3，﹣1）、B（0，﹣4）． （1）求抛物线的表达式； （2）若将该抛物线向上平移m（m＞0）个单位长度，使得平移后的抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值． 【分析】（1）直接将点A（3，﹣1）、B（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c，解得b、c的值即可求得表达式； （2）求得抛物线的顶点，再判断顶点经过怎样的平移能到x轴上即可． 【解答】解：（1）由题意可得： 得， 解得． ∴抛物线的表达式y＝x2﹣2x﹣4； （2）∵y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5， ∴该抛物线的顶点为（1，﹣5）． ∵要使抛物线与x轴只有一个公共点，即要求顶点在x轴上， ∴顶点纵坐标应为0． ∴将该抛物线向上平移5个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． ∴m的值是5． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的平移，解决本题的关键是掌握待定系数法求解析式和函数的图象特征及平移规律． 19．（2025秋•长宁区期末）宁宁同学用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列表如下： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 5 0 3 4 3 0 ﹣5 … （1）由于计算粗心，宁宁算错了其中的一个y值，请指出这个算错的y值所对应的x＝　﹣2　 ． （2）上述函数图象的对称轴是　直线x＝1　 ，且当y≥0时，x的取值范围是　﹣1≤x≤3　 ． （3）若、B（﹣3，n）都在这个函数图象上，比较m、n的大小，并说明为什么？ 【分析】（1）根据表格容易判断出这个二次函数的对称轴与增减性，逐个判断即可； （2）根据表格判断出这个二次函数的对称轴与增减性，从而判断出x的取值范围； （3）结合二次函数的对称轴和增减性，判断m和n的大小即可． 【解答】解：（1）由表格中的坐标可知，这个二次函数的图象关于直线x＝1对称， 点（4，﹣5）关于对称轴直线x＝1的对称点为（﹣2，﹣5）， 因此x＝﹣2对应的y值应为﹣5而非5； 故答案为：﹣2． （2）由表格中的坐标可知，函数图象的对称轴为直线x＝1，且开口向下； 当y≥0时，﹣1≤x≤3； 故答案为：直线x＝1；﹣1≤x≤3． （3）由表格中的坐标可知，这个二次函数的图象关于直线x＝1对称，且当x＜1时，y随x的增大而增大； 当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴函数图象上的点离对称轴越近，其函数值越大， ，|﹣3﹣1|＝4， ∵， ∴点A比点B更接近对称轴， ∴若、B（﹣3，n）都在这个函数图象上，则m＞n． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 20．（2025秋•上海期中）如图，已知抛物线y＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）与x轴交于原点O与点A，顶点为点B． （1）求抛物线的表达式以及点A、B的坐标； （2）已知点P（﹣1，t）在抛物线上，联结PB交x轴于E，求面积比的值． 【分析】（1）根据抛物线y＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）与x轴交于原点O，可知点O（0，0）在该函数图象上，从而可以求得a的值，再令y＝0求出相应的x的值，即可得到点A、B的坐标； （2）根据点P（﹣1，t）在抛物线上，即可求得t的值，从而得出点P的坐标，然后利用三角形面积公式求得的值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）与x轴交于原点O， ∴0＝a（0﹣2）2﹣4， 解得a＝1， ∴抛物线的表达式为y＝（x﹣2）2﹣4， ∴顶点B为（2，﹣4）， 当y＝0时，0＝（x﹣2）2﹣4， 解得x1＝0，x2＝4， ∴点A的坐标为（4，0）； （2）∵点P（﹣1，t）在抛物线上， ∴t＝（﹣1﹣2）2﹣4＝5， ∴P（﹣1，5）， ∵B（2，﹣4）， ∴． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得抛物线的解析式是解答本题的关键． 21．（2025春•虹口区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c在x＝﹣1时，y有最小值﹣4，它的图象与x轴交点的横坐标分别为x1和x2，且10，求该二次函数的解析式． 【分析】先设此抛物线的解析式y＝a（x+1）2﹣4＝ax2+2ax+a﹣4，然后由根与系数关系，x1+x22，x1•x2，然后根据10，求出a的值即可． 【解答】解：设此抛物线的解析式y＝a（x+1）2﹣4＝ax2+2ax+a﹣4， 由根与系数关系：x1+x22，x1•x2， ∴xx（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（﹣2）2﹣2， 依题意得：10， 解得a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练运用根与系数关系是解题的关键． 22．（2024春•崇明区月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+3x+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且AB＝5． （1）求点A、B的坐标以及该抛物线的表达式； （2）如图，如果点D是抛物线的顶点，过点D作y轴的平行线，交BC于点E，联结BD，求△BDE的面积； （3）如果P（x1，y1）、Q（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+3x+c上，我们将称为P、Q两点的函数值的平均变化率，并记为Δ（P，Q），即．当x1+x2＜2时，求Δ（P，Q）的取值范围． 【分析】（1）依据题意，抛物线y＝﹣x2+3x+c的对称轴为直线，又 AB＝5，依据抛物线的对称性，从而可得A（﹣1，0）、B（4，0），将A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+3x+c，求出c＝4，即可得解； （2）依据题意，由y＝﹣x2+3x+4可得C（0，4），设直线BC的表达式为y＝kx+b，将C（0，4）、B（4，0）代入y＝kx+b，可得直线BC的表达式为y＝﹣x+4，又由抛物线y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x）2，可得顶点坐标为，又DE与y轴平行，从而可得DE，进而求出△BDE的面积； （3）依据题意，由P（x1，y1）、Q（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+3x+4上，从而结合所给信息求出Δ（P，Q＝﹣（x1+x2）+3，再结合x1+x2＜2，即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，抛物线y＝﹣x2+3x+c的对称轴为直线． 又 AB＝5，依据抛物线的对称性， ∴1或2． ∴A（﹣1，0）、B（4，0）． 将A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+3x+c， ∴c＝4． ∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+4． （2）由题意，∵y＝﹣x2+3x+4， ∴C（0，4）． 设直线BC的表达式为y＝kx+b． 将C（0，4）、B（4，0）代入y＝kx+b， 得， ∴． ∴直线BC的表达式为y＝﹣x+4． 又抛物线y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x）2， ∴顶点坐标为． ∵DE与y轴平行， ∴点E横坐标与点D的横坐标相等． 将代入y＝﹣x+4， ∴． ∴． ∴△BDE的面积为． （3）∵P（x1，y1）、Q（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+3x+4上， ∴Δ（P，Q）（x1+x2）+3． 又∵x1+x2＜2， ∴﹣（x1+x2）＞﹣2． ∴Δ（P，Q）＝﹣（x1+x2）+3＞1． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【考点3】图象法求一元二次方程的近似根 （第23—29题） 📌 方法总结： · 根据函数值正负变化确定根所在区间。 · 近似根通常取使函数值绝对值最小的那个点。 · 可利用对称性减少计算量。 23．（2026•建华区三模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①bc＜0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在2和3之间；④若m为任意实数，则a（m﹣1）（m+1）≤b（1﹣m）；⑤．其中正确结论的个数为（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， 又∵b＝﹣2a， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴c＞0， ∴bc＞0，故①错误，不符合题意； ∵对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故②正确，符合题意； ∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在﹣1和0之间， ∴与x轴的另一个交点在2和3之间， ∴方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在2和3之间，故③正确，符合题意； ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当x＝1时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为a+b+c， ∴对于任意实数m，都有am2+bm+c≤a+b+c， ∴对于任意实数m，am2﹣a≤b﹣bm，即a（m+1）（m﹣1）≤b（1﹣m），故④正确，符合题意； ∵抛物线与x轴的另一个交点在﹣1，0之间， ∴a﹣b+c＜0， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴c＝2， ∴a﹣b+2＜0， 又b＝﹣2a， ∴a﹣（﹣2a）+2＜0， ∴，故⑤正确，符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 24．（2026•项城市校级模拟）下列表格中是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似根是（　　） x 6.7 6.8 6.9 7.0 y＝ax2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.6 A．6.7 B．6.8 C．6.9 D．7.0 【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0的根对应二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间6.8＜x＜6.9，再结合区间内函数值与0的接近程度，判断近似根更靠近6.8． 【解答】解：观察表格： 当x＝6.8时，y＝﹣0.1，最接近0； 当x＝6.9 时，y＝0.2，距离0比﹣0.1更远； 又∵y在x＝6.8到x＝6.9之间由负变正，说明y＝0的根在6.8和6.9之间， ∴x＝6.8对应的函数值更接近0， ∴一元二次方程的一个近似根是6.8． 故选：B． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握该知识点是关键． 25．（2025秋•高平市期末）设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），下表列出了x与y的6对对应值： x ﹣1 0 1 2 3 4 y ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（　　） A．﹣7＜x＜﹣5 B．1＜x＜2 C．﹣5＜x＜﹣1 D．﹣1＜x＜0 【分析】根据二次函数图象的连续性，当两个x值对应的函数值异号时，这两个x值之间的区间内存在一元二次方程的解，通过表格数据找出y异号的x区间即可． 【解答】解：根据二次函数图象的连续性可知当x＝1时，y＝﹣1＜0；当x＝2时，y＝5＞0； 又∵二次函数的图象是连续的抛物线； ∴在1＜x＜2的区间内，存在x使得y＝0，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是1＜x＜2． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，解本题的关键在找出当函数值y为0时，对应的一元二次方程的一个解的取值范围． 26．（2025秋•上城区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的取值范围为（　　） x 2.01 2.02 2.03 2.04 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 A．2.01＜x＜2.02 B．2.02＜x＜2.03 C．2.03＜x＜2.04 D．x＞2.04 【分析】利用二次函数和一元二次方程的关系． 【解答】解：观察表格可知：当x＝2.02时，y＝﹣0.01；当x＝2.03时，y＝0.02， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是2.02＜x＜2.03． 故选：B． 【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可． 27．（2026•河南二模）数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程x2+2x﹣2＝0的实数根时，先画出函数y＝x2+2x﹣2的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程x2+2x﹣2＝0的负的实数根可能是　﹣2.7　 （结果保留小数点后一位）． 【分析】先根据图象求出抛物线的对称轴，再根据其对称性求出另一个交点的横坐标，即可得出方程的解． 【解答】解：函数y＝x2+2x﹣2的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7， 根据图象可知抛物线与x轴的交点的横坐标是x＝0.7，且对称轴是直线x＝﹣1， 则抛物线与x轴的另一个交点得横坐标是x＝﹣1×2﹣0.7＝﹣2.7， 所以方程x2+2x﹣2＝0的负实数根可能是﹣2.7． 故答案为：﹣2.7． 【点评】本题考查图象法求一元二次方程的近似根，正确进行计算是解题关键． 28．（2025秋•岑溪市期末）如图是函数y＝x2﹣4x+3的图象，则方程x2﹣4x+3＝0的近似解是x1＝1，x2＝3　 ． 【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标是方程的解，可得答案． 【解答】解：观察函数y＝x2﹣4x+3的图象，得图象与x轴的交点分别是（1，0），（3，0）， 方程函数x2﹣4x+3＝0的解是x1＝1，x2＝3． 故答案为：x1＝1，x2＝3． 【点评】本题考查了图象法求方程的近似解，函数图象与x轴交点的横坐标是方程的解． 29．（2025秋•东明县月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是　1.2＜x＜1.3　 ． x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 … 【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解，从而利用二次函数的性质确定方程的解的范围． 【解答】解：从表中可以看出， ∴当y＝0对应的x的值一定有1.2＜x＜13， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解x的范围是1.2＜x＜1.3． 故答案为：1.2＜x＜1.3． 【点评】本题考查了用二次函数确定一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时自变量的取值即可． 【考点4】二次函数与不等式 （第30—37题） 📌 方法总结： · 画出对应函数图象，确定上下位置。 · 注意端点值的取舍（等号对应交点）。 · 对于含参数不等式，常转化为图象交点问题。 30．（2024秋•嘉定区校级期中）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数部分自变量和对应的函数值如表：当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（　　） x … ﹣1 0 2 4 5 … y1 … 0 1 3 5 6 … y2 … 0 ﹣1 0 5 9 … A．﹣1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞5 【分析】由表格可知一次函数过 （﹣1，0）、（0，1）两点，得出一次函数y1解析式为：y1＝x+1，二次函数与x轴交点为（﹣1，0）、（2，0），得出二次函数解析式为：， 因为y2＞y1，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围． 【解答】解：由表格可知一次函数过 （﹣1，0）、（0，1）两点， ∴， ∴， ∴一次函数y1解析式为：y1＝x+1， ∴二次函数与x轴交点为（﹣1，0）、（2，0）， ∴y2＝a（x+1）（x﹣2）， ∵二次函数经过点（0，﹣1）， ∴a（0+1）×（0﹣2）＝﹣1， 解得 ， 则二次函数解析式为：， 当y2＞y1时， ∴y2﹣y1x﹣1﹣（x+1）， ∴（x﹣4）（x+1）＞0， ∴或， 解不等式得：x＞4或x＜﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 31．（2025秋•静安区校级期中）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①abc＞0；②方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b． 其中正确的结论的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据抛物线对称轴方程，由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，对①进行判断；根据顶点坐标可对②进行判断；根据抛物线的对称性③进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对④进行判断，根据抛物线顶点坐标对⑤进行判断． 【解答】解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3）， ∴抛物线的对称轴为直线x1， ∴2a+b＝0， ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，所以①错误； ∵抛物线的顶点坐标A（1，3）， ∴x＝1时，二次函数有最大值， ∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以②正确； ∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）， 而抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以③错误； ∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）， ∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以④错误； ∵ax2+bx+3≤a+b+3， ∴x（ax+b）≤a+b，所以⑤正确， 综上所述：正确的结论是②⑤，共2个， 故选：B． 【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 32．（2026春•浦东新区校级期中）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点分别是A（﹣1，0），B（3，0），此时一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0有两个不相等的实数根x1＝﹣1，x2＝3；由此观察图象可知：不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为x＜﹣1或x＞3；类似地：不等式﹣2x2﹣4x+7≥1的解集是　﹣3≤x≤1　 ． 【分析】由﹣2x2﹣4x+7≥1，得x2+2x﹣3≤0．画出抛物线y＝x2+2x﹣3的图象，观察图象可得答案． 【解答】解：由﹣2x2﹣4x+7≥1，得x2+2x﹣3≤0． 画出抛物线y＝x2+2x﹣3的图象如图所示， 可知抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴的两个交点分别是A（﹣3，0），B（1，0）， 则x2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根x1＝﹣3，x2＝1． 由此观察图象可知：不等式x2+2x﹣3≤0的解集为：﹣3≤x≤1． 故答案为：﹣3≤x≤1． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组）、抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 33．（2024秋•虹口区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是 　﹣1＜x＜3　 ． 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式ax2﹣mx+c＜n的解集，本题得以解决． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点， ∴ax2+c＜mx+n的解集是﹣1＜x＜3， ∴ax2﹣mx+c＜n的解集是﹣1＜x＜3， 故答案为：﹣1＜x＜3． 【点评】本题考查二次函数与不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 34．（2025春•浦东新区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），且0＜x1＜1，下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式的解集为0＜x＜2．其中一定正确的是 　①③④　 （填写序号）． 【分析】利用二次函数的图象和性质依次判断即可． 【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴， ∴a＞0，b＜0，c＞0， ∴abc＜0， ∴①正确． ∵当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， ∴②错误． ∵抛物线过点（2，0）， ∴4a+2b+c＝0， ∴b＝﹣2a，abc， ∵a+b+c＜0， ∴a﹣2ac＜0， ∴2a﹣c＞0， ∴﹣bc﹣c＞0， ∴﹣2b﹣3c＞0， ∴2b+3c＜0， ∴③正确． 如图： 设y1＝ax2+bx+c，y2x+c， 由图知，y1＜y2时，0＜x＜2， 故④正确． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． 35．（2026•嘉定区）在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——应用函数解决问题”的学习过程，并会通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象，结合经历的学习过程，我们来研究函数并完成下列填空： （1）函数的定义域是x≠0　 ； （2）用“描点法”画出函数的图象： ①列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝　5　 ； x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 … … 2 m 2 … ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如图． （3）结合函数图象，写出函数中y随x的变化特征：　当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小　 ； （4）请结合图象直接写出不等式的解集：x＜﹣1或x＞1　 ． 【分析】（1）依据题意得，函数的定义域是x≠0，从而得解； （2）①依据题意得，当x时，y＝m＝5，从而可以得解； ②根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中可以描出了各点； ③依据题意，用平滑的曲线顺次连接各点，可以作图得解； （3）依据题意，结合函数图象，可以得解； （4）依据题意，结合图象可以得解． 【解答】解：（1）由题意得，函数的定义域是x≠0． 故答案为：x≠0； （2）①由题意得，当x时，y＝m＝5． 故答案为：5； ②由题意，根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如图． （3）结合函数图象，可得：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小． 故答案为：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小； （4）由题意，不等式的解集是图象在直线y＝2下方部分的自变量的取值范围， ∴结合图象可得，x＜﹣1或x＞1． 故答案为：x＜﹣1或x＞1． 【点评】本题主要考查了二次函数与不等式（组），解题时要熟练掌握并能结合图象分析是关键． 36．（2026春•海淀区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0），B（2，8），C（4，0），直线y＝mx+n（m≠0）经过点B，C，则： （1）该抛物线的对称轴为直线x＝1　 ； （2）关于x的方程ax2+bx+c＝8的解为x＝0或x＝2　 ； （3）关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+n的解为　2＜x＜4　 ； （4）若关于x的方程ax2+bx+c+k＝0在﹣1≤x≤5的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是　﹣9＜k≤﹣5　 ． 【分析】（1）依据题意，由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0），C（4，0），则根据对称性可得，对称轴是直线x1，从而得解； （2）依据题意，方程ax2+bx+c＝8的解可以看作是抛物线y＝ax2+bx+c的函数值为8的自变量的值，结合抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点B（2，8），从而根据对称性可得，另一个纵坐标为8的点为（0，8），进而可以得解； （3）依据题意，设y＝ax2+bx+c＝a（x﹣4）（x+2），又抛物线过B（2，8），则a×（﹣2）×4＝8，可得a＝﹣1，故y＝﹣（x﹣4）（x+2）＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，又直线y＝mx+n（m≠0）经过点B（2，8），C（4，0），可得该直线为y＝﹣4x+16，然后同一坐标系作出y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝mx+n的图象，结合图象可以判断得解； （4）依据题意，由关于x的方程ax2+bx+c+k＝0在﹣1≤x≤5的范围内有两个不相等实数根，则直线y＝﹣k与抛物线y＝ax2+bx+c（﹣1≤x≤5）有两个交点，进而结合图象可得，5≤﹣k＜9，则﹣9＜k≤﹣5，即可得解． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0），C（4，0）， ∴根据对称性可得，对称轴是直线x1． 故答案为：x＝1； （2）由题意，方程ax2+bx+c＝8的解可以看作是抛物线y＝ax2+bx+c的函数值为8的自变量的值， 又∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点B（2，8）， ∴根据对称性可得，另一个纵坐标为8的点为（0，8）， ∴方程ax2+bx+c＝8的解是x＝0或x＝2． 故答案为：x＝0或x＝2； （3）由题意，设y＝ax2+bx+c＝a（x﹣4）（x+2）， 又∵抛物线过B（2，8）， ∴a×（﹣2）×4＝8． ∴a＝﹣1． ∴y＝﹣（x﹣4）（x+2）＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9， ∵直线y＝mx+n（m≠0）经过点B（2，8），C（4，0）， ∴该直线为y＝﹣4x+16． 同一坐标系作出y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝mx+n的图象如下： 又∵不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集是y＝ax2+bx+c（a≠0）图象在直线y＝mx+n的图象上方对应的自变量的取值范围， ∴结合图象可得，不等式ax2+bx+c＞mx+n的解是2＜x＜4． 故答案为：2＜x＜4； （4）由题意，∵关于x的方程ax2+bx+c+k＝0在﹣1≤x≤5的范围内有两个不相等实数根， ∴直线y＝﹣k与抛物线y＝ax2+bx+c（﹣1≤x≤5）有两个交点， ∴结合图象可得，5≤﹣k＜9，则﹣9＜k≤﹣5． 故答案为：﹣9＜k≤﹣5． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与x轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特点、一次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 37．（2026•如皋市二模）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2+a（a为常数，a≠0）的图象与一次函数y＝2x﹣a的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2． （1）若该二次函数的图象经过原点，求a的值； （2）线段AB的长是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． （3）已知点C（x3，y3）为二次函数图象上一点，当时，1＜y3﹣y1＜4，求a的取值范围． 【分析】（1）依据题意，由（0，0）在函数图象上，则a2+a＝0，从而计算可以得解； （2）依据题意，联立方程组，则x2﹣2ax+a2+a＝2x﹣a，可得x1＝a，x2＝a+2，从而y1＝a，y2＝a+4，故A（a，a），B（a+2，a+4）， 过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两条平行线相交于点C，则AC＝a+2﹣a＝2，BC＝a+4﹣a＝4，进而，即可得解； （3）由（2）可知，y1＝a，则1＜y3﹣a＜4，解得a+1＜y3＜a+4，又令y＝a+1，得x2﹣2ax+a2+a＝a+1，可得x2﹣2ax+a2＝1，则（x﹣a）2＝1，故x＝a+1或x＝a﹣1，令y＝a+4，得x2﹣2ax+a2+a＝a+4，则x2﹣2ax+a2＝4，从而（x﹣a）2＝4，可得x＝a+2或x＝a﹣2，进而或最后计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵（0，0）在函数图象上， ∴将（0，0）代入解析式，得a2+a＝0， ∴a＝﹣1或a＝0， ∵a≠0， ∴a＝﹣1； （2）线段AB的长度为定值，理由如下： 联立方程组， ∴x2﹣2ax+a2+a＝2x﹣a，则x2﹣（2a+2）x+a2+2a＝0， ∴（x﹣a）[x﹣（a+2）]＝0． ∴x1＝a，x2＝a+2， ∴y1＝a，y2＝a+4． ∴A（a，a），B（a+2，a+4）， 过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两条平行线相交于点C， ∴AC＝a+2﹣a＝2，BC＝a+4﹣a＝4， ∴； （3）由（2）可知，y1＝a， ∴1＜y3﹣a＜4，解得a+1＜y3＜a+4， 令y＝a+1，得x2﹣2ax+a2+a＝a+1， ∴x2﹣2ax+a2＝1，则（x﹣a）2＝1． ∴x＝a+1或x＝a﹣1， 令y＝a+4，得x2﹣2ax+a2+a＝a+4， ∴x2﹣2ax+a2＝4， ∴（x﹣a）2＝4． ∴x＝a+2或x＝a﹣2， ∴或 ∴或． 【点评】本题主要考查了二次函数与不等式（组）、二次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 随堂检测 · 精选练习 练习1 等腰三角形与二次函数 练习2 平移与交点坐标 练习3 开口方向与取值范围 练习4 多结论判断 练习5 对称与不等式 【练习1】（2026春•虹口区校级期末）已知二次函数y＝ax2+6ax+6的图象与x轴交于点A和点B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，△ABC是以BC为底的等腰三角形，则a的值为　　 ． 【分析】依据题意，令二次函数y＝ax2+6ax+6＝0，可得含参数a的A、B点的公式，再由△ABC是以BC为底的等腰三角形，可知|AB|＝|AC|，根据两点间距离公式可算出a的值． 【解答】解：由题意，a≠0， 令y＝ax2+6ax+6＝0， ∴Δ＝36a2﹣24a＞0， ∴a＜0或a， 又∵对称轴是直线x3， ∴a时，不合题意， ∴，， 再令x＝0，y＝6，则可以得出点C（0，6）， ∵△ABC是以BC为底的等腰三角形， ∴AB＝AC，则|AB|＝|AC|， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【练习2】（2026•静安区）如果抛物线y＝a（x+m）2+k（其中a、m、k是常数，且a≠0）经过点A（﹣1，0）、B（3，0），那么抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k与x轴的交点坐标是 　（0，0），（4，0）　 ． 【分析】先利用抛物线的变换规律得到抛物线y＝a（x+m）2+k先右平移1个单位得到抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k，然后把点A、B向右平移1个单位得到抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k与x轴的交点坐标． 【解答】解：∵抛物线y＝a（x+m）2+k先右平移1个单位得到抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k， 而抛物线y＝a（x+m）2+k与x轴的交点坐标为A（﹣1，0）、B（3，0）， ∴抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k与x轴的交点坐标是（0，0），（4，0）． 故答案为：（0，0），（4，0）． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． 【练习3】（2025秋•浦东新区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，且与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点．若点P（m，n）在该函数图象上，且﹣1＜m＜3，则n的取值范围是　0＜n≤﹣4a ． 【分析】根据二次函数与坐标轴的交点，得出解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），结合开口方向，得出a＜0，结合点P的坐标和﹣1＜m＜3，得出点P在x轴的上方，结合二次函数的顶点坐标，即可求解． 【解答】解：由题意可得：故设函数式为y＝a（x+1）（x﹣3），对称轴为， ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下， ∴a＜0， ∵点P（m，n）在该函数图象上，且﹣1＜m＜3， 故点P在x轴的上方， 即n＞0， 当x＝1时，y＝a（1+1）（1﹣3）＝﹣4a， 即二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4a）， 故n≤﹣4a； 故n的取值范围是0＜n≤﹣4a． 故答案为：0＜n≤﹣4a． 【点评】本题考查了二次函数的性质，正确进行计算是解题关键． 【练习4】（2025秋•武汉期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过（﹣1，﹣2），（1，0），（m，0）三点，其中m≠1．下列结论：①b＝1；②若抛物线与y轴的交点在正半轴，则﹣1＜m＜0；③若关于x的不等式ax2+（b﹣1）x+c+1＞0的解集是﹣1＜x＜1，则a＞0；④若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（h，k），则k＞0或k≤﹣2；⑤抛物线上有两点，满足当l＞0时，恒有y1＞y2成立，则a＜﹣1．其中正确的是　①②④⑤　 （填写序号）． 【分析】把（﹣1，﹣2），（1，0）代入解析式求出b的值，判断①，把（m，0）代入y＝ax2+x+c，推出，求出m的范围，判断②，根据函数与不等式的关系，推出a＜0，判断③，求出顶点坐标，分a＞0，a＜0两种情况判断④，求出y1﹣y2，推出a的范围，判断⑤． 【解答】解：把（﹣1，﹣2），（1，0）代入y＝ax2+bx+c，得： ， ②﹣①，得2b＝2，解得b＝1；故①正确； 由①可知：b＝1且a+b+c＝0，则c＝﹣1﹣a，y＝ax2+x+c， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴，则：c＞0， ∴c＝﹣1﹣a＞0，解得a＜﹣1， 把（m，0）代入y＝ax2+x+c，得am2+m+c＝0，则am2+m﹣1﹣a＝0， ∴a（m2﹣1）+（m﹣1）＝0， ∴（m﹣1）[a（m+1）+1]＝0， ∵m≠1， ∴a（m+1）+1＝0， ∴， ∵a＜﹣1， ∴， ∴﹣1＜m＜0；故②正确； ∵ax2+（b﹣1）x+c+1＞0，即ax2+c+1＞0的解集为﹣1＜x＜1， ∴抛物线y＝ax2+c+1的开口向下， ∴a＜0；故③错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2+x﹣1﹣a ， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∵当a＞0时， ∴， ∴； 当a＜0时，（2a+1）2≥0，4a＜0， ∴k≥0， 当k＝0时，，抛物线与x轴只有一个交点，不符合题意； 故k＞0；综上：若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（h，k），则k＞0或k≤﹣2；故④正确； ∵y＝ax2+bx+c＝ax2+x﹣1﹣a， ∵抛物线y＝ax2+bx+c上有两点，满足当l＞0时，恒有y1＞y2成立， ∴ ＝﹣2la﹣2l ＝﹣2l（a+1）＞0， ∵l＞0， ∴﹣2l＜0， ∴a+1＜0， ∴a＜﹣1；故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【练习5】（2026•东海县模拟）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣3，m），B（1，n）两点，则不等式ax2+kx+c＜b的解集是 　﹣1＜x＜3　 ． 【分析】先确定直线y＝kx+b关于y轴对称的直线解析式为y＝﹣kx+b，再确定点A、B关于y轴的对称点的坐标，然后写出直线y＝﹣kx+b在抛物线上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：∵直线y＝kx+b关于y轴对称的直线解析式为y＝﹣kx+b， ∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣kx+b的交点坐标为（3，m），（﹣1，n）， ∴当﹣1＜x＜3时，ax2+c＜﹣kx+b， ∴不等式ax2+kx+c＜b的解集是﹣1＜x＜3． 故答案为：﹣1＜x＜3． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 对称轴与参数范围 作业2 添加条件求对称轴 作业3 图象性质判断 作业4 特征数与结论 作业5 函数值比较 作业6 直角三角形与参数 作业7 待定系数法 作业8 对称轴与方程根 作业9 根的范围 作业10 面积与参数 作业11 孪生抛物线 作业12 对称性与四边形面积 作业13 顶点与交点 作业14 最值与区间 作业15 数形结合解不等式 💡 复习建议 熟记三种解析式形式：一般式、顶点式、交点式，并能灵活转换。 理解“三个二次”关系：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式相互转化。 强化数形结合：画图时注意标出关键点（顶点、交点、与y轴交点）。 善用判别式：解决交点个数、参数范围等问题。 规范解题步骤：待定系数法列方程要准确，解不等式注意端点值。 【作业1】（2026•长宁区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，1+2t），B（m，2t），当y＞y0时，x的取值范围是n﹣6＜x＜4﹣n，那么m的值可能是 （　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出m的范围，进而选出符合条件的选项． 【解答】解：如图， ∵当y＞y0时，x的取值范围是n﹣6＜x＜4﹣n， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵1+2t＞2t， ∴点A较点B更靠近对称轴，即1﹣（﹣1）＜|m﹣（﹣1）|， 整理得|m+1|＞2， 当m+1≥0时，即m≥﹣1，有m+1＞2， 解得m＞1， 当m+1＜0时，即m＜﹣1，有﹣（m+1）＞2， 解得m＜﹣3， 综上，m＞1或m＜﹣3， ∴只有D选项符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点等，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业2】（2025秋•上海校级月考）老师出示了下面方框内的题后．甲说：过点（3，0）；乙说：过点（4，3）；丙说：a＝1；丁说：抛物线被x轴截得的线段长为2，你认为四个人的回答中，正确的有（　　） 已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于（1，0），试再添加一个条件，由此条件可得抛物线对称轴为直线x＝2，这个条件可以是什么？ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【分析】分析题目信息，要判断每个人的说法是否正确，不妨分别计算在四种说法下抛物线的对称轴，看其是否是直线x＝2． 【解答】解：当添加的条件为甲的说法时， ∵抛物线y＝ax2+bx+3过点（3，0）、（1，0）， ∴根据对称性可知对称轴为，与题目中结论一致； 故甲的说法正确； 当添加的条件为乙的说法时， ∵抛物线过（4，3）、（1，0）， ∴， 解得a＝1、b＝﹣4， ∴y＝x2﹣4x+3， 因此对称轴为，与题目中结论一致； 故乙的说法正确； 当添加的条件为丙的说法时，y＝x2+bx+3， ∵抛物线过点（1，0）， ∴1+b+3＝0， 解得b＝﹣4， ∴y＝x2﹣4x+3，此时对称轴为x＝2，与题目中结论一致； 故丙的说法正确； 当添加的添加为丁的说法时， ∵抛物线被x轴截得的线段长为2，抛物线与x轴的一个交点为（1，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0）或（3，0），所以对称轴为y轴或直线x＝2，与题目中的结论不符； 故丁的说法错误． 因此前面三个人的说法正确，只有丁的说法错误． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，对称轴，与x轴的交点坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业3】（2024•杨浦区三模）关于抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a＜0），下列说法错误的是（　　） A．该抛物线的对称轴是直线x＝1 B．该抛物线的顶点坐标是（1，﹣4） C．该抛物线与x轴有两个交点 D．该抛物线在对称轴的左侧部分，y随x的增大而增大 【分析】依据题意，由抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a＜0），从而对称轴是直线x1，故可判断A；又当x＝1时，y＝a﹣2a+a﹣4＝﹣4，则顶点坐标是（1，﹣4），故可判断B；又Δ＝4a2﹣4a（a﹣4）＝16a，再结合a＜0， 可得Δ＜0，进而判断C；又抛物线开口向下，从而在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故可判断D． 【解答】解：由题意，∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a＜0）， ∴对称轴是直线x1，故A正确，不合题意． 由题意，当x＝1时，y＝a﹣2a+a﹣4＝﹣4， ∴顶点坐标是（1，﹣4），故B正确，不合题意． 又Δ＝4a2﹣4a（a﹣4）＝16a， ∵a＜0， ∴Δ＜0． ∴该抛物线与x轴没有交点，故C错误，符合题意． ∵抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故D正确，不合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【作业4】（2024秋•虹口区校级月考）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：（1）当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是；（2）当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；（3）当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；（4）当m≠0时，无论m取何值函数图象经过定点．其中正确的结论有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】①依据题意，把m＝﹣3代入[2m，1﹣m，﹣1﹣m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可； ②依据题意，令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题； ③依据题意，首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可； ④依据题意，根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答． 【解答】解：①当m＝﹣3时，特征数为[﹣6，4，2]， ∴，． ∴函数图象的顶点坐标是：（，），故①正确； ②当m＞0时，令y＝0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝0， ∴x． ∴x1＝1，x2． ∴|x2﹣x1|． ∴当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，故②正确． ③当m＜0时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是直线，在对称轴的右边y随x的增大而减小， ∵当m＜0时，，即对称轴在x右边， ∴函数在x右边先递增到对称轴位置，再递减，故③错误； ④∵y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝2mx2﹣mx﹣m+x﹣1＝m（2x2﹣x﹣1）+x﹣1， 令2x2﹣x﹣1＝0， 解得x＝1或x， 将x＝1代入y＝m（2x2﹣x﹣1）+x﹣1得y＝0， 将x代入y＝m（2x2﹣x﹣1）+x﹣1得y． ∴m≠0时，函数图象经过定点（1，0），（，），故④正确． 综上，正确的有①②④，共3个． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【作业5】（2024秋•宝山区校级期中）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量与对应的函数值如下表 x … ﹣1 0 2 4 5 … y1 … 0 1 3 5 6 … y2 … 0 ﹣1 0 5 9 … 当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（　　） A．﹣1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜﹣1或x＞5 D．x＜﹣1或x＞4 【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（﹣1，0）和（4，5），﹣1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围． 【解答】解：∵当x＝﹣1时，y1＝y2＝0；当x＝4时，y1＝y2＝5； ∴直线与抛物线的交点为（﹣1，0）和（4，5）， 而﹣1＜x＜4时，y1＞y2， ∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞4． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 【作业6】（2026•静安区校级模拟）设抛物线y＝x2+k的顶点为A，与x轴分别交于B、C两点，如果△ABC是直角三角形，那么k的值为　﹣1　 ． 【分析】根据抛物线的解析式，它的开口向上，由于与x轴分别交于B、C两点，得k＜0，△ABC是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的纵坐标的绝对值与点A横坐标的绝对值相等，以此作为等量关系来列方程解出的值． 【解答】解：∵抛物线解析式为y＝x2+k， ∴该抛物线的顶点（0，k），对称轴为y轴， ∴AB＝AC， ∵△ABC是直角三角形， ∴△ABC是直角顶点为A的等腰直角三角形， ∵抛物线和x轴有两个交点， ∴﹣4k＞0， ∴k＜0， 令y＝0，得， 又∵抛物线y＝x2+k与x轴的两个交点以及顶点围成的△ABC是直角三角形， ∴． 解得k＝﹣1或k＝0（不合题意，舍去）， 即k的值为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，以及勾股定理，解题的关键是熟练运用以上知识点． 【作业7】（2026春•虹口区校级期末）抛物线y＝ax2上有一点的横坐标是3，且这点到x轴的距离为5，则函数解析式为yx2或yx2．　 ． 【分析】根据题意求出这个点的坐标为（3，5）或（3，﹣5），然后分别把坐标代入解析式得出a即可． 【解答】解：根据题意知，这个点的坐标为（3，5）或（3，﹣5） 把（3，5）代入y＝ax2，得9a＝5， 解得a， ∴二次函数的解析式是yx2； 把（3，﹣5）代入y＝ax2，得9a＝﹣5， 解得a， ∴二次函数的解析式是yx2； 综上所述，二次函数的解析式是yx2或yx2． 故答案为：yx2或yx2． 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，关键是根据题意得到抛物线上这一点的坐标． 【作业8】（2025秋•浦东新区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，2），其部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝2的根是x1＝0，x2＝1　 ． 【分析】根据对称轴得到（0，2）关于直线x＝0.5的对称点为（1，2），结合函数图象作答即可． 【解答】解：由图可知对称轴为直线x＝0.5， 则（0，2）关于直线x＝0.5的对称点为（1，2）， 可知根是x1＝0，x2＝1， 如图所示的图象，则关于x的方程ax2+bx+c＝2的根是x1＝0，x2＝1， 故答案为：x1＝0，x2＝1． 【点评】本题考查了根据函数图象求一元二次方程的根，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业9】（2025秋•普陀区期末）设方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根x1和x2，且1＜x1＜2＜x2＜4，那么方程cx2﹣bx+a＝0的较小根x3的范围为 　﹣1　 ． 【分析】由根与系数的关系得出x1+x2，x1•x2，再设方程cx2﹣bx+a＝0的为x3，x4，根据根与系数的关系得出x3+x4＝﹣（），x3x4，从而得出方程cx2﹣bx+a＝0的两根为，，然后由1＜x1＜2＜x2＜4，求出，的取值范围，从而得出结论． 【解答】解：∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根x1和x2， ∴x1+x2，x1•x2， 设方程cx2﹣bx+a＝0的为x3，x4， 则x3+x4，x3x4， ∵x3+x4•（），x3x4， ∴x3+x4＝﹣（x1+x2）•（）， ∴方程cx2﹣bx+a＝0的两根为，， ∵1＜x1＜2＜x2＜4， ∴1，， ∴﹣1， ∴方程cx2﹣bx+a＝0的较小根x3的范围为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是正确记忆相关知识点． 【作业10】（2025秋•浦东新区校级月考）如图所示，二次函数y＝x2+bx﹣4的图象与x轴分别交于A，D两点，与y轴交于点C，点E坐标（﹣2，0），过点E且垂直x轴的直线EB交抛物线于点B，若S△BCD＝3，则b＝　3　 ． 【分析】连接CE，假设D（x，0），根据二次函数图象和性质表示出相关点的坐标，利用等面积法，列出方程求解即可． 【解答】解：如图所示，连接CE， 由点E坐标（﹣2，0），得B（﹣2，﹣2b）， 当x＝0时，y＝﹣4，即C（0，﹣4）， 假设D（x，0）， ∴， ， ， ∴S△BCD＝S△BCE+S△DCE﹣S△BDE＝3， 即2b+2x+4﹣bx﹣2b＝3， 整理得， 将代入x2+bx﹣4＝0得， ， 解得b＝3或， ∵点D位于正半轴， ∴， 解得b＞2， ∴若S△BCD＝3，则b＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用三角形的面积求参数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 【作业11】（2026•浦东新区校级竞赛）定义：把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“孪生抛物线”，例如，抛物线y＝4x2+3x+5的“孪生抛物线”为y＝3x2+4x+5．已知抛物线的“孪生抛物线”为C2，C1与y轴交于点E． （1）直接写出抛物线C2的表达式y＝ax2+4ax+4a﹣3　 ； （2）若点E的坐标为（0，﹣1），求抛物线C1的解析式； （3）记C2在a﹣4≤x≤a﹣2时的最大值为M，最小值为m，且M﹣m＝2a，请你求出a的值． 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）根据题意可得方程4a﹣3＝﹣1，求出a的值即可求函数解析式； （3）根据对称轴和范围的位置关系分类讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a＞0）的“孪生抛物线”为C2， ∴y＝ax2+4ax+4a﹣3； 故答案为：y＝ax2+4ax+4a﹣3； （2）当x＝0时，y＝4a﹣3， ∴E（0，4a﹣3）， ∵E（0，﹣1）， ∴4a﹣3＝﹣1， 解得a， ∴yx2+2x﹣1； （3）∵C2的解析式为y＝a（x+2）2﹣3， ∴当x＝﹣2时，y＝﹣3， 当x＝a﹣4时，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3； 当x＝a﹣2时，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3． 根据题意可知，需要分三种情况讨论： Ⅰ，当a﹣4＜﹣2＜a﹣2时，0＜a＜2，且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3； 函数的最小值为﹣3． ∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a， 解得a＝2或a＝2（舍）或a＝0（舍）； 当1＜a＜2时，函数的最大值为a3﹣3，函数的最小值为﹣3． ∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a， 解得a或a（舍）或a＝0（舍）； II，当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，a≥2，函数的最大值为a3﹣3；函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3， ∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a， 解得a（舍）或a＝0（舍）； III，当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去． 综上，a的值为2或． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄懂定义是解题的关键． 【作业12】（2024秋•宝山区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，n），B（5，n）是抛物线y＝a（x﹣m）2+k（a＞0）上的两点． （1）m＝ 　2　 ； （2）如果该抛物线与x轴交于点C、D（点C在点D的右侧），且CD＝4，四边形ABCD的面积是25，求这个抛物线的表达式． 【分析】（1）结合抛物线的对称性可得m2． （2）根据题意合抛物线的对称性可得D（0，0），C（4，0），由已知条件可得n＞0，AB＝6，AB∥CD，进而可得25，求得n＝5，即A（﹣1，5），再利用待定系数法求二次函数解析式即可． 【解答】解：（1）∵A（﹣1，n），B（5，n）是抛物线y＝a（x﹣m）2+k上的两点， ∴m2． 故答案为：2． （2）由（1）得，抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+k，对称轴为直线x＝2， ∵该抛物线与x轴交于点C、D， ∴点C，D关于直线x＝2对称， ∵CD＝4， ∴D（0，0），C（4，0）． ∵A（﹣1，n），B（5，n）， ∴n＞0，AB＝6，AB∥CD． ∵四边形ABCD的面积是25， ∴25， 解得n＝5， ∴A（﹣1，5）． 将D（0，0），A（﹣1，5）代入y＝a（x﹣2）2+k， 得， 解得， ∴这个抛物线的表达式为y＝（x﹣2）2﹣4． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【作业13】（2025秋•徐汇区校级月考）二次函数y＝a（x﹣2）2+c的部分图象如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是（6，0）． （1）填空： ①抛物线的对称轴为直线 x＝2　 ； ②图象与x轴的另一个交点坐标为 　（﹣2，0）　 ． （2）如果该函数图象经过点（0，﹣3），求它的顶点坐标． 【分析】（1）①根据所给解析式可直接得出答案． ②根据抛物线的对称性可得答案． （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可得答案． 【解答】解：（1）①∵y＝a（x﹣2）2+c， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2． 故答案为：x＝2． ②∵抛物线的对称轴为直线x＝2，它与x轴的一个交点坐标是（6，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0）． （2）将（6，0），（0，﹣3）代入y＝a（x﹣2）2+c， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为y（x﹣2）2﹣4， ∴它的顶点坐标为（2，﹣4）． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【作业14】（2026•驻马店校级四模）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点（2，3）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（x1，0）和B（x2，0）两点（x1＜x2）且x2﹣x1＝4，求该抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+3（t为任意实数）时，二次函数y＝ax2+bx+3有最大值为3，直接写出t的值． 【分析】（1）根据二次函数性质进行解答即可； （2）利用抛物线对称轴结合一元二次方程根与系数的关系可得到a的值，从而求得b的值，进而推导出二次函数解析式； （3）理解二次函数在特定区间上取得最大值的几何意义，分情况讨论：当t≤x≤t+3时，y有最大值为3，可得t≤1≤t+3不成立，则t＞1或者t+3＜1，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点（2，3）． ∴把点（2，3）代入y＝ax2+bx+3， 得4a+2b+3＝3， 整理得：b＝﹣2a， ∴对称轴为直线． （2）由（1）可得，b＝﹣2a，而抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（x1，0）和B（x2，0）， 当y＝0时，ax2+bx+3＝0， ∴，， ∴， ∴a＝﹣1， ∴b＝2， ∴解析式为y＝﹣x2+2x+3． （3）由（2）可得：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3， ∴当x＝1时，y有最大值为4， ∵当t≤x≤t+3时，y有最大值为3， ∴t≤1≤t+3不成立， ∴t＞1或者t+3＜1： 当t+3＜1，即t＜﹣2时，y随x的增大而增大， 当x＝t+3时，y有最大值为3， 把x＝t+3，y＝3代入y＝﹣x2+2x+3得：﹣（t+3）2+2（t+3）+3＝3， 解得t＝﹣3或﹣1， ∵t＜﹣2， ∴t＝﹣3， 当t＞1时，y随x的增大而减小， 当x＝t时，y有最大值为3， 把x＝t，y＝3代入y＝﹣x2+2x+3得：﹣t2+2t+3＝3， 解得t＝0或2， ∵t＞1， ∴t＝2， 综上所述，t＝2或﹣3． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业15】（2026春•柘城县校级月考）数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式x2﹣x﹣6＞0，我们构造函数y＝x2﹣x﹣6，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为（﹣2，0）和（3，0），结合图象易得不等式x2﹣x﹣6＞0的解集为x＞3或x＜﹣2，同时易知函数与x轴交点的横坐标﹣2和3为方程x2﹣x﹣6＝0的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： （1）不等式﹣x2+2x+3≥0的解集为　﹣1≤x≤3　 ； （2）对任意实数b，关于x的一元二次方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 【分析】（1）根据【特例感知】结合图象解答即可； （2）根据一元二次方程恒有两个不等的实数根，得到判别式并化简，即b2﹣4a（b﹣1）＞0，然后令y＝b2﹣4a（b﹣1）＝b2﹣4ab+4a，看成y关于b的二次函数，结合图象求解即可． 【解答】解：（1）解不等式﹣x2+2x+3≥0，我们构造函数y＝﹣x2+2x+3， 作出它的图象如图所示，可知它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0）和（3，0）， 结合图象可知不等式﹣x2+2x+3≥0的解集为﹣1≤x≤3； 故答案为：﹣1≤x≤3； （2）∵对于任意实数b，关于x的方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根， ∴方程ax2+bx+b﹣1＝0恒有两个不等实数根对任意的b恒成立． ∴b2﹣4a（b﹣1）＞0对任意的实数b恒成立． 令y＝b2﹣4a（b﹣1）＝b2﹣4ab+4a，则有（﹣4a）2﹣4×4a＜0，即a2﹣a＜0． 令y＝a2﹣a作出其函数图象如图所示， 对任意实数b，关于x的一元二次方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根，当a2﹣a＜0时，实数a的取值范围为0＜a＜1． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组），抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． ( 第 7 页 共 61 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.3-27.4 二次函数表达式&一元二次方程 新沪教版（五四制）数学九年级上册（知识梳理+典例+练习） 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 二次函数的三种表达式（一般式、顶点式、交点式）及其相互转化，能根据条件灵活选择合适的形式。 · 掌握 二次函数与一元二次方程的关系，能利用判别式判断抛物线与 x 轴的交点个数，并利用交点坐标解决相关问题。 · 理解 图象法求一元二次方程近似根的原理（零点存在性定理），能利用二分法思想逐步逼近精确解。 · 熟练运用 二次函数的对称性、顶点坐标、交点坐标等解决综合问题（含参讨论、新定义等）。 · 体会 数形结合、分类讨论、方程与函数相互转化的数学思想。 ✨ 核心思想：函数与方程紧密联系，通过图象直观理解方程的解。 知识梳理 · 核心知识点 ☆知识点1 确定二次函数的表达式 1．二次函数表达式的三种形式 （1）一般式：为常数，且a≠0) （2）顶点式：为常数，且a≠0)·, （3）交点式：是抛物线与x轴的交点的横坐标）. 求二次函数表达式的方法：待定系数法. 2．三点式求法 如图1，已知二次函数图像上三个点的坐标，可设二次函数表达式为 (a≠0)，其中a、b、c是待定系数.由图像上三点的坐标，得到关于a、b、c的三元一次方程组，并通过求解方程组得到a、b、c的值. ( 图 1 图2 图3 ) 3．顶点式求法 如图2，已知二次函数图像的顶点坐标（或对称轴、最值），可设二次函数表达式为.此情况下，通常需要补充适当的条件，得到关于待定系数的方程（组），以此确定未知系数的值. 4．交点式求法 （1）如图3，已知抛物线与x轴的两个交点坐标及经过一点，可设二次函数表达式为，再列方程求解确定a的值； （2）已知抛物线与x轴的一个交点坐标、对称轴及另一个点，选利用抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再设二次函数表达式为，最后列方程求解确定a的值. 例 已知抛物线与x轴的交点是A(-2,0)、B(1,0)，且抛物线经过点C(2,8)，求该抛物线的表达式. 解：方法一：设抛物线的表达式为 ·抛物线过点A(-2,0）、B(1,0）、C(2,8)，解得 抛物线的表达式为 方法二：设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x-1)(a≠0)，将点C(2,8)的坐标代入上式，解得a=2 抛物线的表达式为 方法三：设抛物线的表达式为 点A(-2,0）、B(1,0）关于直线对称， .对称轴为直线 将A(-2,0）、C(2,8）的坐标代入，得 解得，即 ☆知识点2 二次函数与一元二次方程的关系 1．二次函数的图像与x轴交点的横坐标与相应一元二次方程根的关系 二次函数的图像与x轴（直线y=0)交点的横坐标是相应的一元二方程的实数根，反之亦然. 提醒 二次函数的图像与直线y=m的交点的横坐标就是一元二次方程的实数根，反之亦然. 2．二次函数的图像与x轴交点的情况和相应一元二次方程根的情况的关系 的取值 二次函数的图像与x 轴的交点 有两个交点 有一个交点 无交点 有两个交点 有一个交点 无交点 一元二次方程的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 提醒 抛物线与x轴的交点为和 ) A、B两点间的距离 .抛物线的对称轴为直线，，对称轴与x轴的交点恰为线段AB的中点。 例1 如图，若二次函数的图像与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C. （1）求A、B两点的坐标； （2）若P(m,-2)为二次函数图像上一点，求m的值. 解：(1）当y=0时解得 ．点A的坐标为（-1,0)，点B的坐标为（2,0)． (2))∵P(m,-2为二次函数图像上一点， 解得 ．m的值为0或1． 例1 如图，若二次函数的图像与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C. （1）求A、B两点的坐标； （2）若P(m,-2)为二次函数图像上一点，求m的值. 解：(1）当y=0时解得 ．点A的坐标为（-1,0)，点B的坐标为（2,0)． (2))∵P(m,-2为二次函数图像上一点， 解得 ．m的值为0或1． 3．用图像法求解一元二次方程 通过观察抛物线与直线交点情况确定一元二次方程的根的情况. 例2 已知二次函数的图像如图所示，请判断下列关于x的方程的根的情况： (1)、 (2)。 (3) 解：(1）把原方程变形为 由图像可知抛物线顶点的纵坐标为2， 所以此方程有两个相等的实数根. （2）把原方程变形为 如图1，由图像可知抛物线上的点的纵坐标不可能等于5，所以此方程没有实数根． （3）把原方程变形为 如图2，由图像可知抛物线上有两个纵坐标为-1的点，所以此方程有两个不相等的实数根. ☆知识点3 借助二次函数的图像求解一元二次方程的近似根 1．利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的一般步骤 （1）画出二次函数的图像. （2）确定抛物线与x轴交点的个数，看交点的横坐标在哪两个数之间． （3）列表，在两个数之间取值估计，并用计算器估算近似根，近似根在对应y值的正负（或负正）过渡的地方。 当x由取到时，若对应的y值出现或，则中必有一个是方程的近似根， 再比较和.若，则是方程的近似根；若，则是方程的近似根.一般需要我们求近似根的方程的根往往是无理数，所以列表时不可能取到实数根的精确值. 2．利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的常用方法 方法 结论 直接作出二次函数的图像 图像与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根 先将一元二次方程变为，再在同一平面直角坐标系中画出抛物线和直线 两图像交点的横坐标就是一元二次方程的根 先将一元二次方程变形为，再在同一平面直角坐标系中画出抛物线和直线 两图像交点的横坐标就是一元二次方程的根 例3 利用函数图像求一元二次方程的根的近似值．（结果精确到0.1） 解：方法一：将原方程变形为 画出函数的图像，如图所示. 由图像可知，抛物线与x轴公共点的横坐标分别在-2与-1之间，3与4之间，大约为-1.4,3.4， 即方程的两实数根分别为 方法二：用取平均数的方法不断缩小根所在的范围，从而确定方程的根的近似值. 将原方程可变形为 如：由的图像可知，当x=3时,y>0；当x=4时,y<0. 取3和4的平均数3.5．当x=3.5时,y=-0.25，与x=3时的函数值异号，所以方程的这个根在3和3.5之间．取3和3.5的平均数3.25．当x=3.25时，y=0.9375,，与x=3.5时的函数值异号. 所以方程的这个根在3.25和3.5之间．取3.25和3.5的平均数3.375．当x=3.375时,y=0.359375，与x=3.5时的函数值异号，所以方程的这个根在3.375和3.5之间． 由此方法可得到原方程的一个根的近似值为3.4． 用同样的方法可得到原方程的另一个根的近似值为-1.4． 所以方程的实数根为 总结 用图像法求一元二次方程根的近似值 1．直接求解法：画出函数和y=-8的图像，它们公共点的横坐标的近似值即该方程根的近似值. 2．间接求解法：将方程适当整理为，可以像方法一那样画函数 的图像，图像与x轴公共点的横坐标的近似值即一元二次方程根的近似值；也可以像方法二那样通过画出图像并用取平均数的方法不断缩小横坐标的取值范围，进而算出方程根的近似值. ☆知识点4 二次函数与一元二次不等式之间的关系（拓展） 抛物线在x轴上方的点对应的x的所有值是不等式的解集；抛物线在x轴下方的点对应的x的所有值是不等式的解集。 二次函数与不等式及的关系如下表： 的 取值 抛物线 不等式的解集 或 全体实数 不等式的解集 无解 无解 ( 第 1 页 共 23 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 的 取值 抛物线 不等式 的解集 无解 无解 不等式 的解集 或 全体实数 例4 已知二次函数 （1）当x取什么值时y=0？ （2）当x取什么值时，y>0？ （3）当x取什么值时,y<0？ 解析：先画出二次函数的图像，找出图像与x轴的交点，再根据交点横坐标及二次函数图像写出x的取值或取值范围. 解：如图，画出二次函数的图像. 根据图像可知： （1）当x=1或x=3时,y=0 （2）当x<1或x>3时,y>0; （3）当1<x<3时,y<0. 点拨：利用二次函数图像解一元二次不等式，关键是画出二次函数图像的示意图［常用“五点”法，如此题可选择（1,0）、（3,0）、（2,-1）、（0,3）、（4,3）五点］，确定二次函数的图像与x轴的交点的横坐标. 📊 知识总结表 类别 表达式 关键信息 与方程的关系 一般式 轴交点 (0,)，对称轴 令 得一元二次方程 顶点式 顶点 ，对称轴 最值即 ，方程解与 有关 交点式 与 轴交点 ， 直接给出方程的两个根 判别式 Δ>0 两个交点；Δ=0 一个交点；Δ<0 无交点 判断方程根的情况 韦达定理 ， 用于求对称轴、两根之和/积 已知根求系数或对称轴 图象法求根 二分法逼近 零点存在性定理 求近似根，精度可控 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】待定系数法求二次函数解析式 （第1—12题） 📌 方法总结： · 已知顶点坐标或对称轴，用顶点式；已知与x轴交点，用交点式；已知任意三点，用一般式。 · 注意题目中的隐含条件（如开口方向、形状相同确定|a|）。 · 列方程（组）时，代入点的坐标要准确。 1．（2026•仪征市一模）已知抛物线y1顶点坐标为（﹣1，2），且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线y1的解析式为（　　） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝﹣（x+1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2+2 2．（2026春•沈丘县月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），（1，2），且对称轴为直线x＝1，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 3．（2026•阳谷县模拟）顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数的图象相同的抛物线对应的解析式为（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•建华区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），（3，0）．下列结论：①；②c＝2b；③若抛物线上有点，则y2＜y1＜y3；④当﹣2＜x＜3时，；⑤点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线上，且，当m1+m2＞1时，n1＞n2．其中正确结论的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（2025秋•和平区校级期末）下表记录了二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）中两个变量x与y的3组对应值， x … ﹣5 ﹣1 3 … y … m m … 根据表中信息，当﹣5＜x＜0时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．﹣5＜k≤3 D．﹣5＜k＜3 6．（2026•恩平市二模）若二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2），且经过点（2，﹣3），则该二次函数的关系式为　 　 ． 7．（2026•河南模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是 　 　 ． 8．（2026•滨海新区校级开学）已知二次函数的图象经过A（﹣1，0）、B（1，2）两点，且对称轴为直线x＝2，则该二次函数的表达式为　 　 ． 9．（2025秋•黄浦区期末）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，2）和（0，4）． （1）求此抛物线的表达式； （2）指出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明这条抛物线的变化情况． 10．（2025秋•上海校级月考）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）． （1）求二次函数的解析式； （2）用配方法把该二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 11．（2025•徐汇区模拟）已知一条抛物线的顶点为A（1，3），且经过点B（0，2）． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点C（3，t）在该抛物线上，求△ABC的面积． 12．（2026•佳木斯校级三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，求点P的坐标； 【考点2】抛物线与x轴的交点 （第13—22题） 📌 方法总结： · 令 y=0，转化为一元二次方程求解。 · 利用判别式判断交点个数，用于参数范围问题。 · 结合韦达定理（根与系数关系）可求对称式。 13．（2025秋•单县期末）已知抛物线y＝x2﹣bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），则关于x的方程x2﹣bx+c＝0的解是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝3 14．（2026•新城区校级模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A（1，m），B（3，m），则△AOB的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 15．（2026•龙海区校级模拟）对于方程mx2+2x+2m＝0的说法正确的是（　　） ①当m＝1时，方程有两个不相等的实数根． ②当时，记方程两个不相等的根为x1，x2，则（x1﹣1）（x2﹣1）＝7． ③当m的值为抛物线y＝x2的图象在直线下方的部分的任意一点的横坐标的值时方程有实数根． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 16．（2026•湖南模拟）二次函数y＝x2+2x+1与x轴交于（﹣a，0），则a的值为　 　 ． 17．（2026•莘县校级模拟）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（﹣1，0），则m的值为 　 　 ． 18．（2025秋•崇明区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（3，﹣1）、B（0，﹣4）． （1）求抛物线的表达式； （2）若将该抛物线向上平移m（m＞0）个单位长度，使得平移后的抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值． 19．（2025秋•长宁区期末）宁宁同学用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列表如下： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 5 0 3 4 3 0 ﹣5 … （1）由于计算粗心，宁宁算错了其中的一个y值，请指出这个算错的y值所对应的x＝　 　 ． （2）上述函数图象的对称轴是　 　 ，且当y≥0时，x的取值范围是　 　 ． （3）若、B（﹣3，n）都在这个函数图象上，比较m、n的大小，并说明为什么？ 20．（2025秋•上海期中）如图，已知抛物线y＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）与x轴交于原点O与点A，顶点为点B． （1）求抛物线的表达式以及点A、B的坐标； （2）已知点P（﹣1，t）在抛物线上，联结PB交x轴于E，求面积比的值． 21．（2025春•虹口区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c在x＝﹣1时，y有最小值﹣4，它的图象与x轴交点的横坐标分别为x1和x2，且10，求该二次函数的解析式． 22．（2024春•崇明区月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+3x+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且AB＝5． （1）求点A、B的坐标以及该抛物线的表达式； （2）如图，如果点D是抛物线的顶点，过点D作y轴的平行线，交BC于点E，联结BD，求△BDE的面积； （3）如果P（x1，y1）、Q（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+3x+c上，我们将称为P、Q两点的函数值的平均变化率，并记为Δ（P，Q），即．当x1+x2＜2时，求Δ（P，Q）的取值范围． 【考点3】图象法求一元二次方程的近似根 （第23—29题） 📌 方法总结： · 根据函数值正负变化确定根所在区间。 · 近似根通常取使函数值绝对值最小的那个点。 · 可利用对称性减少计算量。 23．（2026•建华区三模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①bc＜0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在2和3之间；④若m为任意实数，则a（m﹣1）（m+1）≤b（1﹣m）；⑤．其中正确结论的个数为（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 24．（2026•项城市校级模拟）下列表格中是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似根是（　　） x 6.7 6.8 6.9 7.0 y＝ax2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.6 A．6.7 B．6.8 C．6.9 D．7.0 25．（2025秋•高平市期末）设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），下表列出了x与y的6对对应值： x ﹣1 0 1 2 3 4 y ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（　　） A．﹣7＜x＜﹣5 B．1＜x＜2 C．﹣5＜x＜﹣1 D．﹣1＜x＜0 26．（2025秋•上城区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的取值范围为（　　） x 2.01 2.02 2.03 2.04 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 A．2.01＜x＜2.02 B．2.02＜x＜2.03 C．2.03＜x＜2.04 D．x＞2.04 27．（2026•河南二模）数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程x2+2x﹣2＝0的实数根时，先画出函数y＝x2+2x﹣2的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程x2+2x﹣2＝0的负的实数根可能是　 　 （结果保留小数点后一位）． 28．（2025秋•岑溪市期末）如图是函数y＝x2﹣4x+3的图象，则方程x2﹣4x+3＝0的近似解是　 　 ． 29．（2025秋•东明县月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是　 　 ． x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 … 【考点4】二次函数与不等式 （第30—37题） 📌 方法总结： · 画出对应函数图象，确定上下位置。 · 注意端点值的取舍（等号对应交点）。 · 对于含参数不等式，常转化为图象交点问题。 30．（2024秋•嘉定区校级期中）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数部分自变量和对应的函数值如表：当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（　　） x … ﹣1 0 2 4 5 … y1 … 0 1 3 5 6 … y2 … 0 ﹣1 0 5 9 … A．﹣1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞5 31．（2025秋•静安区校级期中）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①abc＞0；②方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b． 其中正确的结论的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 32．（2026春•浦东新区校级期中）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点分别是A（﹣1，0），B（3，0），此时一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0有两个不相等的实数根x1＝﹣1，x2＝3；由此观察图象可知：不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为x＜﹣1或x＞3；类似地：不等式﹣2x2﹣4x+7≥1的解集是　 　 ． 33．（2024秋•虹口区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是 　 　 ． 34．（2025春•浦东新区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），且0＜x1＜1，下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式的解集为0＜x＜2．其中一定正确的是 　 　 （填写序号）． 35．（2026•嘉定区）在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——应用函数解决问题”的学习过程，并会通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象，结合经历的学习过程，我们来研究函数并完成下列填空： （1）函数的定义域是　 　 ； （2）用“描点法”画出函数的图象： ①列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝　 　 ； x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 … … 2 m 2 … ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如图． （3）结合函数图象，写出函数中y随x的变化特征：　 　 ； （4）请结合图象直接写出不等式的解集：　 　 ． 36．（2026春•海淀区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0），B（2，8），C（4，0），直线y＝mx+n（m≠0）经过点B，C，则： （1）该抛物线的对称轴为直线　 　 ； （2）关于x的方程ax2+bx+c＝8的解为　 　 ； （3）关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+n的解为　 　 ； （4）若关于x的方程ax2+bx+c+k＝0在﹣1≤x≤5的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是　 　 ． 37．（2026•如皋市二模）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2+a（a为常数，a≠0）的图象与一次函数y＝2x﹣a的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2． （1）若该二次函数的图象经过原点，求a的值； （2）线段AB的长是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． （3）已知点C（x3，y3）为二次函数图象上一点，当时，1＜y3﹣y1＜4，求a的取值范围． 随堂检测 · 精选练习 练习1 等腰三角形与二次函数 练习2 平移与交点坐标 练习3 开口方向与取值范围 练习4 多结论判断 练习5 对称与不等式 【练习1】（2026春•虹口区校级期末）已知二次函数y＝ax2+6ax+6的图象与x轴交于点A和点B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，△ABC是以BC为底的等腰三角形，则a的值为　 　 ． 【练习2】（2026•静安区）如果抛物线y＝a（x+m）2+k（其中a、m、k是常数，且a≠0）经过点A（﹣1，0）、B（3，0），那么抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k与x轴的交点坐标是 　 　 ． 【练习3】（2025秋•浦东新区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，且与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点．若点P（m，n）在该函数图象上，且﹣1＜m＜3，则n的取值范围是　 　 ． 【练习4】（2025秋•武汉期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过（﹣1，﹣2），（1，0），（m，0）三点，其中m≠1．下列结论：①b＝1；②若抛物线与y轴的交点在正半轴，则﹣1＜m＜0；③若关于x的不等式ax2+（b﹣1）x+c+1＞0的解集是﹣1＜x＜1，则a＞0；④若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（h，k），则k＞0或k≤﹣2；⑤抛物线y＝ax2+bx+c上有两点，满足当l＞0时，恒有y1＞y2成立，则a＜﹣1．其中正确的是　 　 （填写序号）． 【练习5】（2026•东海县模拟）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣3，m），B（1，n）两点，则不等式ax2+kx+c＜b的解集是 　 　 ． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 对称轴与参数范围 作业2 添加条件求对称轴 作业3 图象性质判断 作业4 特征数与结论 作业5 函数值比较 作业6 直角三角形与参数 作业7 待定系数法 作业8 对称轴与方程根 作业9 根的范围 作业10 面积与参数 作业11 孪生抛物线 作业12 对称性与四边形面积 作业13 顶点与交点 作业14 最值与区间 作业15 数形结合解不等式 💡 复习建议 熟记三种解析式形式：一般式、顶点式、交点式，并能灵活转换。 理解“三个二次”关系：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式相互转化。 强化数形结合：画图时注意标出关键点（顶点、交点、与y轴交点）。 善用判别式：解决交点个数、参数范围等问题。 规范解题步骤：待定系数法列方程要准确，解不等式注意端点值。 【作业1】（2026•长宁区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，1+2t），B（m，2t），当y＞y0时，x的取值范围是n﹣6＜x＜4﹣n，那么m的值可能是 （　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【作业2】（2025秋•上海校级月考）老师出示了下面方框内的题后．甲说：过点（3，0）；乙说：过点（4，3）；丙说：a＝1；丁说：抛物线被x轴截得的线段长为2，你认为四个人的回答中，正确的有（　　） 已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于（1，0），试再添加一个条件，由此条件可得抛物线对称轴为直线x＝2，这个条件可以是什么？ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【作业3】（2024•杨浦区三模）关于抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a＜0），下列说法错误的是（　　） A．该抛物线的对称轴是直线x＝1 B．该抛物线的顶点坐标是（1，﹣4） C．该抛物线与x轴有两个交点 D．该抛物线在对称轴的左侧部分，y随x的增大而增大 【作业4】（2024秋•虹口区校级月考）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：（1）当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是；（2）当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；（3）当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；（4）当m≠0时，无论m取何值函数图象经过定点．其中正确的结论有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【作业5】（2024秋•宝山区校级期中）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量与对应的函数值如下表 【作业5】（2024秋•宝山区校级期中）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量与对应的函数值如下表： x … ﹣1 0 2 4 5 … y1 … 0 1 3 5 6 … y2 … 0 ﹣1 0 5 9 … 当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（　　） A．﹣1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜﹣1或x＞5 D．x＜﹣1或x＞4 【作业6】（2026•静安区校级模拟）设抛物线y＝x2+k的顶点为A，与x轴分别交于B、C两点，如果△ABC是直角三角形，那么k的值为　 　 ． 【作业7】（2026春•虹口区校级期末）抛物线y＝ax2上有一点的横坐标是3，且这点到x轴的距离为5，则函数解析式为　 　 ． 【作业8】（2025秋•浦东新区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，2），其部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝2的根是　 　 ． 【作业9】（2025秋•普陀区期末）设方程ax2+bx+lVas＝0（a≠0）有两个根x1和x2，且1＜x1＜2＜x2＜4，那么方程cx2﹣bx+a＝0的较小根x3的范围为 　 　 ． 【作业9】（2025秋•普陀区期末）设方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根x1和x2，且1＜x1＜2＜x2＜4，那么方程cx2﹣bx+a＝0的较小根x3的范围为 　 　 ． 【作业10】（2025秋•浦东新区校级月考）如图所示，二次函数y＝x2+bx﹣4的图象与x轴分别交于A，D两点，与y轴交于点C，点E坐标（﹣2，0），过点E且垂直x轴的直线EB交抛物线于点B，若S△BCD＝3，则b＝　 　 ． 【作业11】（2026•浦东新区校级竞赛）定义：把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“孪生抛物线”，例如，抛物线y＝4x2+3x+5的“孪生抛物线”为y＝3x2+4x+5．已知抛物线的“孪生抛物线”为C2，C1与y轴交于点E． （1）直接写出抛物线C2的表达式　 　 ； （2）若点E的坐标为（0，﹣1），求抛物线C1的解析式； （3）记C2在a﹣4≤x≤a﹣2时的最大值为M，最小值为m，且M﹣m＝2a，请你求出a的值． 【作业12】（2024秋•宝山区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，n），B（5，n）是抛物线y＝a（x﹣m）2+k（a＞0）上的两点． （1）m＝ 　 　 ； （2）如果该抛物线与x轴交于点C、D（点C在点D的右侧），且CD＝4，四边形ABCD的面积是25，求这个抛物线的表达式． 【作业13】（2025秋•徐汇区校级月考）二次函数y＝a（x﹣2）2+c的部分图象如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是（6，0）． （1）填空： ①抛物线的对称轴为直线 　 　 ； ②图象与x轴的另一个交点坐标为 　 　 ． （2）如果该函数图象经过点（0，﹣3），求它的顶点坐标． 【作业14】（2026•驻马店校级四模）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点（2，3）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（x1，0）和B（x2，0）两点（x1＜x2）且x2﹣x1＝4，求该抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+3（t为任意实数）时，二次函数y＝ax2+bx+3有最大值为3，直接写出t的值． 【作业15】（2026春•柘城县校级月考）数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式x2﹣x﹣6＞0，我们构造函数y＝x2﹣x﹣6，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为（﹣2，0）和（3，0），结合图象易得不等式x2﹣x﹣6＞0的解集为x＞3或x＜﹣2，同时易知函数与x轴交点的横坐标﹣2和3为方程x2﹣x﹣6＝0的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： （1）不等式﹣x2+2x+3≥0的解集为　 　 ； （2）对任意实数b，关于x的一元二次方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． ( 第 7 页 共 23 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $