精品解析：福建省龙岩市上杭县2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

上杭县2025-2026学年第一学期半期质量检查考试 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下依次是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则的度数是（　　）． A. B. C. D. 3. 已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（ ） A. B. C. D. 4. 下列生活中的实例应用了三角形的稳定性的是（ ） A. 学校大门口的伸缩门 B. 用两颗钉子把木条固定在墙上 C. 自行车的三角车架 D. 把弯曲的河道改直 5. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与相交于点，，若用“”证明≌，还需添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 直角三角形的两个锐角互余 8. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC，BC分别交于点D，点E，连结AE，当AB＝5，BC＝9时，则△ABE的周长是（ ） A. 19 B. 14 C. 4 D. 13 9. 将点向上平移个单位后得点，若点关于轴对称，则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 10. 如图所示，在中，垂直平分为边上一点，且，过点D作且，连接交于点M，连接．下列说法：①；②；③平分；④．其中正确的说法有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 直角三角形的一个锐角为，则它的另一个锐角度数为___________． 12. 如图，在中，，，，则___________． 13. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是_____． 14. 如图，平面直角坐标系中，点C在第一象限，轴于点A，B是上一点，和是的三等分线，若，，则点C的坐标为___________． 15. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，点P是直线上动点，连接，，当最小时，的度数为___________． 16. 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，我们可以认为物体所受重力的合力集中于该物体的某一点，这一点叫物体的重心．如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心G处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．如图，的中线，，相交于点G，三角形被三条中线分成六个小三角形，这六个小三角形（，，，，，）的面积相等.已知在中，中线，，若，则的面积为___________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，已知为边延长线上一点，于交于，，，求的度数． 18. 如图：与交于点O，，，．求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在正方形网格的格点上． （1）请你画出关于y轴对称的； （2）请你在x轴上找到一点P，使得最小，并写出点P的坐标为________． （3）连接，以为边作等腰直角，且，直接写出点D的坐标为________． 20. 如图，中，，于点D，平分，交于点． 求证： （1）； （2）． 21. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等． 已知：如图，中，，和是中线． 求证： ． 证明： （请你补全求证所应填写的结论，并完成证明） 22. 如图，，点B的对应点D在边上． （1）求证：平分； （2）若点A，B，E在同一条直线上，且，求的度数． 23. 如图，中，，，是角平分线． （1）过点C作，垂足为点E；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求的面积． 24. 实践与探究 素材1：不等关系和等量关系都是数学中常见的研究对象，不等式的性质是我们解决不等关系问题的工具，我们学过了不等式的性质，此外，不等式还有如下性质：①传递性，如果，，则；②方向相同的不等式可以相加，如果，，那么. 素材2：学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等.那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？爱思考的小宇同学对这个问题进行了探究，证明了三角形中，大边所对的角也大． 如图（1），中，.求证：. 证明；在上截取，连接， 则有，， …… （剩余证明待完成） 素材3：如图（2），在中，当点P位于边上（不与B、C重合）时，根据“三角形任意两边之和大于第三边”的性质；容易得出： ． 请你完成下列任务： 任务1：完成素材2中小宇同学的证明； 任务2：从下面两小题任选一题完成解答. ①求证：在三角形中，较大的角所对的边也较大； ②如图（3），点P是内部任一点．求证：； 任务3：如图（4），P是内任意一点．比值，即三角形内一点到三个顶点的距离和与三角形周长的比值．根据你前面的学习经验，直接写出k的取值范围 ． 25. 等边中，D是直线上一点． （1）如图1，点D在边上，点E在边上，且，连接，相交于点F，过点A作，垂足为点G． ①求证：； ②若，求的长． （2）如图2，D在延长线上，连接，以为边在右侧作，且，连接交于点N，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上杭县2025-2026学年第一学期半期质量检查考试 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下依次是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．据此解答即可． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一个直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：C． 2. 在中，，则的度数是（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角、三角形内角和定理等知识点，掌握等边对等角是解题的关键． 根据等边对等角得到，再由三角形内角和定理可求解即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3. 已知一个三角形的两边长分别是和，则它的第三边长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据已知两边长和，求出第三边的取值范围，再判断选项是否在该范围内． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为和， ∴第三边x需满足：， 即． 只有C在3和7之间，满足条件． 故选：C． 4. 下列生活中的实例应用了三角形的稳定性的是（ ） A. 学校大门口的伸缩门 B. 用两颗钉子把木条固定在墙上 C. 自行车的三角车架 D. 把弯曲的河道改直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用．根据三角形的特性，判断各选项是否利用了三角形的稳定性． 【详解】解：A． 学校大门口的伸缩门应用了四边形的不稳定性； B． 用两颗钉子把木条固定在墙上应用了两点确定一条直线； C． 自行车的三角车架应用了三角形的稳定性； D． 把弯曲的河道改直应用了两点之间线段最短； ∴ 应用了三角形的稳定性的是C， 故选：C． 5. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是△ABC的高． 【详解】解：由图可得，线段是△ABC的高的图是D选项． 6. 如图，与相交于点，，若用“”证明≌，还需添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． ，由于对顶角相等得到，然后根据“”添加条件即可． 【详解】解：，， A、当添加时，不能证明； B、当添加时，，不能用证明； C、当添加时，，不能用证明； D、当添加时，能证明． 故选：D． 7. 下列命题中，其逆命题是假命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 直角三角形的两个锐角互余 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了写逆命题，判断命题的真假，几何的相关概念． 先写出每个命题的逆命题，然后判断其真假． 【详解】解：A、原命题的逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题； B、原命题的逆命题为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题； C、原命题的逆命题为同位角相等，则两直线平行，是真命题； D、原命题的逆命题为两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题； 故选：A． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC，BC分别交于点D，点E，连结AE，当AB＝5，BC＝9时，则△ABE的周长是（ ） A. 19 B. 14 C. 4 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AC，则EA＝EC，然后利用等线段代换得到△ABE的周长＝AB+BC． 【详解】解：由作法得MN垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+BE+CE＝AB+BC＝5+9＝14． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质应用，准确计算是解题的关键． 9. 将点向上平移个单位后得点，若点关于轴对称，则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的平移规律． 根据平移性质，点向上平移时横坐标不变，纵坐标增加；关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数．利用这些关系列方程求解． 【详解】解：∵点向上平移个单位后得点， ∴，且． 又∵点A与点B关于x轴对称， ∴， 解得． 代入得：， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图所示，在中，垂直平分为边上一点，且，过点D作且，连接交于点M，连接．下列说法：①；②；③平分；④．其中正确的说法有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 证明，可得，故①正确；证明，，，可证明，可得，然后根据，可得，从而得到，进而得到，故②正确；证明，可得平分，故③正确；证明，可得， 从而得到，故④错误，即可． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，即平分，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④错误； 所以正确的为①②③，有3个． 故选：C 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 直角三角形的一个锐角为，则它的另一个锐角度数为___________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的一个锐角为， ∴另一个锐角的度数为． 故答案为：40． 12. 如图，在中，，，，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一的性质可知，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故答案为：6． 13. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；由三角形内角和可知，然后问题可求解． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴； 故答案为． 14. 如图，平面直角坐标系中，点C在第一象限，轴于点A，B是上一点，和是的三等分线，若，，则点C的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角的三等分概念，直角三角形的性质及平面直角坐标系中点的坐标特征．先根据和是的三等分线求出的度数，再结合轴求出与的长度，进而得到点C的坐标． 【详解】解：∵和是的三等分线， ∴， 又∵， ∴， 在中，，则， ∵， ∴， 在，由勾股定理得，， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，点P是直线上动点，连接，，当最小时，的度数为___________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理．先利用垂直平分线性质得出当B、E、P、C共线时，最小，此时点P与点E重合，求出和的度数，再求出的度数，最终求出的度数即可． 【详解】解：∵点E在的垂直平分线上， ∴，即点A是点B关于直线的对称点， ∴， 如图，当B、E、P、C共线时，最小，此时点P与点E重合， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，我们可以认为物体所受重力的合力集中于该物体的某一点，这一点叫物体的重心．如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心G处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．如图，的中线，，相交于点G，三角形被三条中线分成六个小三角形，这六个小三角形（，，，，，）的面积相等.已知在中，中线，，若，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，三角形中线的性质，三角形中位线定理，相似三角形的性质及三角形面积公式．先利用三角形中线性质和重心性质分析面积关系，再分析与、与的面积组成，紧接着利用中位线定理和相似三角形性质再计算四边形和的面积，最后根据计算S的值后继而求得的面积． 【详解】解：由题意知，设每个小三角形的面积为S， ∵是的中线， ∴， ∴，， 同理：是的中线， ∴， ∴，, 如图，连接， ∵D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，且相似比为， ∴， 此时， 又∵，且， ∴， ∵，，， ∴， 即，解得， ∴． 故答案为：16． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，已知为边延长线上一点，于交于，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为．直角三角形两内角互余．根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 即． 18. 如图：与交于点O，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 根据题意可证，再利用证明即可得到． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在正方形网格的格点上． （1）请你画出关于y轴对称的； （2）请你在x轴上找到一点P，使得最小，并写出点P的坐标为________． （3）连接，以为边作等腰直角，且，直接写出点D的坐标为________． 【答案】（1）作图见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征， 轴对称-最短路径问题及等腰直角三角形的性质． （1）先确定各顶点坐标，再根据关于y轴对称点的坐标特征得到，，的坐标并在平面直角坐标系中找到这三个点，然后依次连接即可； （2）先作点A关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为所求的点P，此时即为最短，在平面直角坐标系中可直接找到点P的坐标即可； （3）在平面直角坐标系中连接，再根据平面直角坐标系中的网格图特征找出以为边作等腰直角时点D的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求． 【小问2详解】 解：如图所示，点P即为所求，点P的坐标， 故答案为：． 【小问3详解】 解：点D的坐标为或， 故答案为：或． 20. 如图，中，，于点D，平分，交于点． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形外角的性质及等腰三角形的判定等知识，熟悉以上知识点是解题的关键． （1）根据，得，从而； （2）由是的外角，可得再由，，可得最后由等腰三角形的判定可得结论． 【小问1详解】 证明：， ， ； 【小问2详解】 证明：是的外角， ， 平分， ， 又，， ， ． 21. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等． 已知：如图，中，，和是中线． 求证： ． 证明： （请你补全求证所应填写的结论，并完成证明） 【答案】，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，中线的定义及全等三角形的判定与性质．先补全求证内容，根据题意，要证明等腰三角形两腰上的中线相等，已知和是等腰两腰上的中线，所以求证的结论为；再具体进行证明：先利用等腰三角形的性质和中线的定义得到边的关系，再证明，最后根据全等三角形的性质得出结论． 【详解】求证：. 证明：∵和是中线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 22. 如图，，点B的对应点D在边上． （1）求证：平分； （2）若点A，B，E在同一条直线上，且，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的定义及三角形内角和定理． （1）根据全等三角形的性质得到相关角的关系，再结合角平分线的定义进行证明即可； （2）设，则，先根据全等三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理列出方程解出x的值，最后再利用全等三角形的性质推出的度数即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∴， ∴，即平分． 【小问2详解】 解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 如图，中，，，是角平分线． （1）过点C作，垂足为点E；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求的面积． 【答案】（1）作图见解析 （2）9 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-作垂线，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质及三角形面积的计算． （1）以点C为圆心，适当长度为半径画弧，使弧与相交于两点，分别以这两点为圆心，大于两点距离的的长度为半径画弧，两弧相交于一点，连接点C至该点，交于点E，则； （2）延长交直线于点F，利用“”证明，得到，进而推出，再利用“”证明，得出，最后计算的面积即可． 【小问1详解】 解：如图所示，直线CE即为所求： 【小问2详解】 解：延长交直线于点F， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 24. 实践与探究 素材1：不等关系和等量关系都是数学中常见的研究对象，不等式的性质是我们解决不等关系问题的工具，我们学过了不等式的性质，此外，不等式还有如下性质：①传递性，如果，，则；②方向相同的不等式可以相加，如果，，那么. 素材2：学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等.那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？爱思考的小宇同学对这个问题进行了探究，证明了三角形中，大边所对的角也大． 如图（1），中，.求证：. 证明；在上截取，连接， 则有，， …… （剩余证明待完成） 素材3：如图（2），在中，当点P位于边上（不与B、C重合）时，根据“三角形任意两边之和大于第三边”的性质；容易得出： ． 请你完成下列任务： 任务1：完成素材2中小宇同学的证明； 任务2：从下面两小题任选一题完成解答. ①求证：在三角形中，较大的角所对的边也较大； ②如图（3），点P是内部任一点．求证：； 任务3：如图（4），P是内任意一点．比值，即三角形内一点到三个顶点的距离和与三角形周长的比值．根据你前面的学习经验，直接写出k的取值范围 ． 【答案】任务1：证明见解析；任务2：①证明见解析，②证明见解析；任务3： 【解析】 【分析】任务1：利用三角形的外角定义来进行证明即可； 任务2：①已知：中，，求证：. 详解中提供了两种证法：证法一：以为边在内部作，交射线于点D，利用等腰三角形的性质及三角形三边关系进行证明即可；证法二：以为边在内部作，交射线于点D，作的平分线交于E，利用等腰三角形的性质，角平分线定义进行证明即可； ②延长交于点E，在和中利用三角形的三边关系进行证明得到； 任务3：由已知条件得，，，进而得出，即，在，，中，分别得出三边关系，进而推导出，即，综上所述得出最终结论即可． 【详解】任务1：证明：在上截取，连接， 则有，， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴． 任务2：①求证：三角形中，较大的边所对的角也较大； 证法一： 已知：中，，求证：. 以为边在内部作，交射线于点D， 则有， ∵， ∴点D在边上， ∴． 证法二： 已知：中，，求证：. 以为边在内部作，交射线于点D，作的平分线交于E， 则， ∵， ∴点D，E都在边上，即， ∵，， ∴， ∴． ②证明：如图，延长交于点E， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴ 即． 任务3：由任务2②得， ，，， ∴， ∴， 即， 在中，； 在中，； 在中，； ∴， ∴， 即， 综上，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义，三角形三边关系及三角形中边与角的不等关系． 25. 等边中，D是直线上一点． （1）如图1，点D在边上，点E在边上，且，连接，相交于点F，过点A作，垂足为点G． ①求证：； ②若，求的长． （2）如图2，D在延长线上，连接，以为边在右侧作，且，连接交于点N，求证：． 【答案】（1） ①证明：在等边中，，， 在和中， ， ∴； ②4 （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 如图，延长到H，使得， 在等边中，， ∴，即， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识点． （1）①根据等边三角形的性质得出，，通过已知条件利用“”证明即可；②由全等三角形的性质得出，在中利用特殊角得出； （2）根据已知条件利用角度的和差关系得出，延长到H，使得，根据等边三角形的性质及线段的和差关系得出，通过证明得出，，进一步推导出，，再通过证明得出，进一步证得． 【小问1详解】 解：①略 ②∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $