专项突破04 平方根和立方根（期末复习-知识回顾+13个重难点培优题型+真题演练 共41题）-2025-2026学年苏科版数学八年级上册精讲练

专项突破04 平方根和立方根 （知识回顾+13种重难点培优题型+真题演练 共41题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：算术平方根 2 知识点梳理02：平方根 2 知识点梳理03：开平方 3 知识点梳理04：立方根的定义 3 知识点梳理05：立方根的特征 3 知识点梳理06：立方根的性质 3 知识点梳理07：立方根小数点位数移动规律 3 重点难点 培优讲练 3 题型1 利用算术平方根的非负性解题 3 题型2 估计算术平方根的取值范围 4 题型3 与算术平方根有关的规律探索题 5 题型4 算术平方根的实际应用 5 题型5 求一个数的平方根 7 题型6 求代数式的平方根 8 题型7 已知一个数的平方根，求这个数 8 题型8 利用平方根解方程 9 题型9 求一个数的立方根 10 题型10 已知一个数的立方根，求这个数 10 题型11 与立方根有关的规律探索 11 题型12 立方根的实际应用 11 题型13 算术平方根和立方根的综合应用 12 期末真题 实战演练 13 知识点梳理01：算术平方根 1. 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即：，那么这个正数x叫做a的算术平方根.规定：0的算术平方根是0. 【要点提示】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 2、 表示方法：非负数a的算术平方根记作“”读作“根号a”，其中a叫做被开方数. 【要点提示】： （1） 被开方数a0; (2）其本身非负； （2） 只有正数和0才有算术平方根，负数没有算术平方根； （3） 即表示一种运算，又表示一个运算的结果，当表示一个运算时，就是求a的算术平方根；当表示运算结果时，就是指a的算术平方根为. 知识点梳理02：平方根 1.定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即如果，那么x叫做a的平方根. 2.表示方法：一个数a(a ≽0）的正的平方根，用符号“”表示，a叫被开方数，2叫做根指数，这时根指数2常常忽略不写，a的负的平方根记做读作“负根号a”，因此非负数a的平方根常常记作，读作：“正负根号a” 3.平方根的性质： （1）一个正数a有两个平方根，它们互为相反数，记作 （2）0的平方根为0； （3）负数没有平方根. 【要点提示】平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：一个正数的算术平方根只有一个，平方根有两个，它们互为相反数； 联系：一个正数的算术平方根是其平方根中的一个，0的算术平方根与平方根都是0. 知识点梳理03：开平方 求一个数a()的平方根的运算，叫做开平方，a()开平方用“”表示，“”是一种运算符号. 知识点梳理04：立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。这就是说，如果，那么叫做的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 【要点提示】一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 知识点梳理05：立方根的特征 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【要点提示】任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点梳理06：立方根的性质 （1）； （2）； （3）. 【要点提示】第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 知识点梳理07：立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 题型1 利用算术平方根的非负性解题 【精讲】（25-26八年级上·四川乐山·期中）若，则的值为 ． 【变式】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）若实数x、y满足，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为 ． 题型2 估计算术平方根的取值范围 【精讲】（25-26八年级上·吉林长春·期中）【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以． 【尝试探究】用②的形式求的近似值．（结果保留位小数） 【问题解决】用①、②两种形式求的近似值．（结果保留位小数） 【比较分析】用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 【变式】（25-26八年级上·山西运城·期中）观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在 之间． 题型3 与算术平方根有关的规律探索题 【精讲】（25-26九年级上·河南南阳·月考）如表是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对表示第行，从左到右第个数，如表示实数3，则表示的实数是 ． 1 第1行 第2行 2   第3行 3    第4行 … … 【变式】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）观察下列各式，，，则依次第四个式子是 ． 题型4 算术平方根的实际应用 【精讲】（25-26八年级上·上海闵行·期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 【变式】（25-26八年级上·河南开封·期中）综合与实践 课题 洛阳市景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… 【任务驱动】某数学兴趣小组制做了精美的洛阳市景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色包装封皮． 【实践操作】小组成员制作正方形卡片，小组成员制作长方形包装封皮． 【解决问题】请你通过计算，判断正方形卡片能否直接装进长方形封皮中． 题型5 求一个数的平方根 【精讲】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）阅读与理解： 小明在学习了有关平方根的知识后，知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于-1，所以-1没有平方根．有一天，善于思考的小明想：如果存在一个数i，使，那么，因此就有两个平方根了．进一步，小明想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根就是．请你根据上面的信息解答下列问题： (1)求，的平方根（写成因为……，所以……的形式）； (2)求的值； (3)利用所学公式求和的值． 【变式】（25-26八年级上·海南海口·期中）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)图2的阴影部分的正方形的边长是 ． (2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 【方法1】 ； 【方法2】 ． (3)观察图2，写出，，这三个代数式之间的等量关系． (4)根据（3）题中的等量关系，解决问题：若，，求的值． 题型6 求代数式的平方根 【精讲】（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【变式】（23-24七年级下·四川南充·期中）k为正整数，已知关于x，y的二元一次方程组 有整数解，求的平方根． 题型7 已知一个数的平方根，求这个数 【精讲】（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【变式】（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知和互为相反数，且的平方根是它本身，求的平方根． 题型8 利用平方根解方程 【精讲】（25-26八年级上·福建泉州·期中）阅读理解：由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时，取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)的最小值为_____； (2)当时，式子的最小值为_____； (3)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的、各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ 【变式】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）求下列各式中的值． (1)； (2)． 题型9 求一个数的立方根 【精讲】（25-26八年级上·上海·期中）如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）解方程： (1) ； (2)． 题型10 已知一个数的立方根，求这个数 【精讲】．（25-26八年级上·河北沧州·期中）已知：的平方根是它本身，的立方根是3，的算术平方根是4．求的平方根． 【变式】（25-26八年级上·河南南阳·期中）计算： (1)已知的平方根是，的立方根是2，整数满足，求的算术平方根； (2)用简便算法计算：． 题型11 与立方根有关的规律探索 【精讲】（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 题型12 立方根的实际应用 【精讲】（25-26八年级上·广东河源·阶段练习）【情境导入】据说我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道求大数的立方根的题目，并很快给出了正确答案． 【知识储备】开立方和立方互为逆运算．请补全下面表格： 整数 [应用]根据以下步骤尝试求出的立方根： 步骤一：根据，，得到的立方根是 位数； 步骤二：根据个位上的数是，得到的立方根个位上的数是 ； 步骤三：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数是 ，因此的立方根是 ． （1）将上述过程补充完整； （2）请用同样的方法求的立方根． 【变式】（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号），因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他． （1）函数的最大值为______． （2）求函数的最小值，并写出取最小值时x的值． 【猜想提升】小明由上述的是出猜想：（当且仅当时取到等号）．通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题． （3）设a，b，c是正实数，求的最小值． 题型13 算术平方根和立方根的综合应用 【精讲】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知的算术平方根为，的立方根为，求的立方根． 【变式】（25-26八年级上·陕西·阶段练习）已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 1．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法正确的是（   ） A． B．0的平方根是0 C． D．的平方根是2 2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知，那么的值为（   ） A．1 B． C． D． 3．（23-24八年级上·广西·期末）下列四个结论中，错误的有（  ） （1）负数没有立方根；     （2）一个数的立方根不是正数就是负数； （3）一个正数的平方根一定是它的算术平方根； （4）一个数的平方根一定有两个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4 4．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·甘肃白银·期末）下列命题中的假命题是（    ） A．在同一平面内，若，则 B．若，则 C．立方根等于本身的数有0和 D．两直线平行，同旁内角相等 6．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果等式成立，那么应满足的条件是 ． 7．（23-24八年级上·江苏·期末）若a，b为实数，且满足，则的值为 ． 8．（23-24八年级上·河南南阳·期末）已知．则 ． 9．（2024八年级·广东茂名·竞赛）有一个数值转换器，原理如图：那么输入的x为64时，输出的y是 ． 10．（21-22七年级下·福建福州·期中）如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 ． 11．（23-24八年级上·江苏·期末）（1）计算：； （2） 解方程：． 12．（23-24八年级上·江苏·期末）已知：的平方根是，的立方根是3，求的平方根和立方根． 13．（24-25八年级下·陕西安康·期末）海啸是由海底地震、火山爆发、海底滑坡或气象变化所产生的破坏性海浪，海啸的波速高达每小时700－800千米，在几小时内就能横渡大洋．海啸的行进速度可按公式计算，其中v表示海啸的速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度．若在海洋深度处发生海啸，求海啸在海洋深度为处的行进速度． 14．（23-24八年级上·福建泉州·期末）一个正数的两个平方根分别是与． (1)求和正数的值． (2)求的立方根． 15．（23-24七年级下·河南信阳·期末）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． (1)这个魔方的棱长为________； (2)图中四边形为正方形，求出此正方形的面积及其边长； (3)如图2把正方形放到数轴上，使得与重合，那么在数轴上表示的数为________． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破04 平方根和立方根 （知识回顾+13种重难点培优题型+真题演练 共41题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 2 知识点梳理01：算术平方根 2 知识点梳理02：平方根 2 知识点梳理03：开平方 3 知识点梳理04：立方根的定义 3 知识点梳理05：立方根的特征 3 知识点梳理06：立方根的性质 3 知识点梳理07：立方根小数点位数移动规律 3 重点难点 培优讲练 3 题型1 利用算术平方根的非负性解题 3 题型2 估计算术平方根的取值范围 4 题型3 与算术平方根有关的规律探索题 7 题型4 算术平方根的实际应用 8 题型5 求一个数的平方根 10 题型6 求代数式的平方根 13 题型7 已知一个数的平方根，求这个数 14 题型8 利用平方根解方程 15 题型9 求一个数的立方根 17 题型10 已知一个数的立方根，求这个数 18 题型11 与立方根有关的规律探索 20 题型12 立方根的实际应用 20 题型13 算术平方根和立方根的综合应用 23 期末真题 实战演练 24 知识点梳理01：算术平方根 1. 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即：，那么这个正数x叫做a的算术平方根.规定：0的算术平方根是0. 【要点提示】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 2、 表示方法：非负数a的算术平方根记作“”读作“根号a”，其中a叫做被开方数. 【要点提示】： （1） 被开方数a0; (2）其本身非负； （2） 只有正数和0才有算术平方根，负数没有算术平方根； （3） 即表示一种运算，又表示一个运算的结果，当表示一个运算时，就是求a的算术平方根；当表示运算结果时，就是指a的算术平方根为. 知识点梳理02：平方根 1.定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即如果，那么x叫做a的平方根. 2.表示方法：一个数a(a ≽0）的正的平方根，用符号“”表示，a叫被开方数，2叫做根指数，这时根指数2常常忽略不写，a的负的平方根记做读作“负根号a”，因此非负数a的平方根常常记作，读作：“正负根号a” 3.平方根的性质： （1）一个正数a有两个平方根，它们互为相反数，记作 （2）0的平方根为0； （3）负数没有平方根. 【要点提示】平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：一个正数的算术平方根只有一个，平方根有两个，它们互为相反数； 联系：一个正数的算术平方根是其平方根中的一个，0的算术平方根与平方根都是0. 知识点梳理03：开平方 求一个数a()的平方根的运算，叫做开平方，a()开平方用“”表示，“”是一种运算符号. 知识点梳理04：立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。这就是说，如果，那么叫做的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 【要点提示】一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 知识点梳理05：立方根的特征 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【要点提示】任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点梳理06：立方根的性质 （1）； （2）； （3）. 【要点提示】第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 知识点梳理07：立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 题型1 利用算术平方根的非负性解题 【精讲】（25-26八年级上·四川乐山·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查偶次幂与算术平方根的非负性及二元一次方程组的解法，熟练掌握偶次幂与算术平方根的非负性是解题的关键；根据非负数的性质，平方项和算术平方根均为非负数，它们的和为零，则每个部分均为零，从而得到方程组，解方程组求出x和y的值，再计算的值． 【规范解答】解：∵，且， ∴， 解得， ∴； 故答案为． 【变式】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）若实数x、y满足，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为 ． 【答案】15 【思路引导】本题考查了非负数的性质，三角形三边的关系，以及等腰三角形的定义． 根据非负数的性质，求出和的值，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系确定三角形的边长，最后计算周长． 【规范解答】解：∵，，且， ∴，， 解得，． 当腰长为6，底边长为3时，三边长为6、6、3，满足三角形三边关系，周长为； 当腰长为3，底边长为6时，三边长为3、3、6，但，不满足三角形三边关系，故不成立． 因此，等腰三角形的周长为15． 故答案为：15． 题型2 估计算术平方根的取值范围 【精讲】（25-26八年级上·吉林长春·期中）【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以． 【尝试探究】用②的形式求的近似值．（结果保留位小数） 【问题解决】用①、②两种形式求的近似值．（结果保留位小数） 【比较分析】用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 【答案】尝试探究：；问题解决：方法①；方法②；比较分析用②的形式求的近似值的精确度更高，理由见解析 【思路引导】尝试探究：根据例题方法解答即可； 问题解决：根据例题方法解答即可； 比较分析：求出两个近似值的平方，跟原数比较即可判断求解； 本题考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． 【规范解答】解：尝试探究： 因为， 所以， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以； 问题解决： 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中； 用①的形式求的近似值： 因为， 所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得， 所以； 用②的形式求的近似值： 因为， 所以， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得， 所以； 比较分析： 用②的形式求的近似值的精确度更高，理由如下： ∵，， ∴用②的形式求的近似值的精确度更高． 【变式】（25-26八年级上·山西运城·期中）观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在 之间． 【答案】 【思路引导】本题考查了算术平方根的估算，解题的关键是将被开方数与表格中的数值对应，确定其对应的的范围． 将转化为，结合表格中的数值找到1269对应的范围，进而得到的范围． 【规范解答】解：， 由表格知，，且， 故， 两边除以10得 故答案为：． 题型3 与算术平方根有关的规律探索题 【精讲】（25-26九年级上·河南南阳·月考）如表是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对表示第行，从左到右第个数，如表示实数3，则表示的实数是 ． 1 第1行 第2行 2   第3行 3    第4行 … … 【答案】 【思路引导】本题考查了算术平方根的规律性．理解题意找出规律是解题关键． 根据表格可知规律为每行数的个数与行数相同，被开方数为正整数，按顺序排列，由此可求出第八行第1个数，从而即可求出第八行第5个数． 【规范解答】解：根据给出的数的摆放规律得， 前7行的数的总数为， 第8行第5个数为， ∴表示的实数是， 故答案为：． 【变式】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）观察下列各式，，，则依次第四个式子是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查算术平方根的规律问题，解题的关键是得到数字的一般规律；由，，，……；可知第n个式子是，然后当时即可求得第四个式子． 【规范解答】解：∵，，，……； ∴第n个式子是， ∴当时，第四个式子是； 故答案为． 题型4 算术平方根的实际应用 【精讲】（25-26八年级上·上海闵行·期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 【答案】（1）；；（2）；（3）欢欢的想法不对，理由见解析 【思路引导】本题主要考查算术平方根的应用． （1）由题意得出大正方形的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的方法画出图形，得出大正方形的面积，即可得出答案； （3）设长为，则宽为，则得出，解出，则可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个正方形 ∴这个正方形的面积为的大正方形，边长为； 故答案为：；；． （2）如图， ∵用10个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， 拼成的大正方形的边长为； 故答案为：． （3）欢欢的想法不对，理由如下， 假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为，设长为，则宽为，则有： ， 解得，， 为长方形的长， ， ， 则长为， 要求长方形的四周至少留出的边框， 长方形的长应当为， ， 假设错误，不能． 【变式】（25-26八年级上·河南开封·期中）综合与实践 课题 洛阳市景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… 【任务驱动】某数学兴趣小组制做了精美的洛阳市景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色包装封皮． 【实践操作】小组成员制作正方形卡片，小组成员制作长方形包装封皮． 【解决问题】请你通过计算，判断正方形卡片能否直接装进长方形封皮中． 【答案】正方形卡片不能直接装进长方形封皮中 【思路引导】此题考查了算术平方根的实际应用，设长方形封皮的宽为，则长为，根据长方形封皮的面积为列出方程，求出，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可． 【规范解答】解：设长方形封皮的宽为，则长为， 根据题意可列方程， 解得， ， ， 正方形卡片的面积为， 正方形卡片的边长为， ， 故正方形卡片不能直接装进长方形封皮中． 题型5 求一个数的平方根 【精讲】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）阅读与理解： 小明在学习了有关平方根的知识后，知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于-1，所以-1没有平方根．有一天，善于思考的小明想：如果存在一个数i，使，那么，因此就有两个平方根了．进一步，小明想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根就是．请你根据上面的信息解答下列问题： (1)求，的平方根（写成因为……，所以……的形式）； (2)求的值； (3)利用所学公式求和的值． 【答案】(1)的平方根就是；的平方根就是 (2) (3)； 【思路引导】本题主要考查平方根及乘法公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给运算可进行求解； （2）由题意易得，，，，进而问题可求解； （3）根据平方差公式及完全平方公式可进行求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴的平方根就是， ∵， ∴的平方根就是． （2）解：∵，，，， ∴， ∵， ∴． （3）解：， ． 【变式】（25-26八年级上·海南海口·期中）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)图2的阴影部分的正方形的边长是 ． (2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 【方法1】 ； 【方法2】 ． (3)观察图2，写出，，这三个代数式之间的等量关系． (4)根据（3）题中的等量关系，解决问题：若，，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【思路引导】本题考查了完全平方公式的应用，平方根的应用； （1）阴影正方形的边长恰好是长与宽b的差，计算即可． （2）【方法1】用正方形的面积等于边长的平方计算；【方法2】用大正方形的面积减去4个长方形的面积计算； （3）根据面积之间的关系确定即可． （4）变形公式，求，代入计算即可． 【规范解答】（1）阴影正方形的边长恰好是长与宽的差，即， 故答案为：； （2）方法1∵正方形的边长为， ， 故答案为：； 方法2 大正方形的边长为， 大正方形的面积为， 长方形的长为，宽为， 长方形的面积为， ∴ ， 故答案为：； （3）根据（2），知图中阴影部分的面积是相等的， ∴； （4）根据（3），得，代入计算即可． 当，时， = ． ∴ 题型6 求代数式的平方根 【精讲】（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【思路引导】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【规范解答】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 【变式】（23-24七年级下·四川南充·期中）k为正整数，已知关于x，y的二元一次方程组 有整数解，求的平方根． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的解法以及整数解问题，求一个数的平方根．得，然后根据为正整数，k为正整数，求出或2，然后分别代入求解即可． 【规范解答】解： 得， 解得， ∵为正整数， ∴或或或 ∴或或或或或或或 ∵k为正整数， ∴或2 当时， 将代入②得， 解得 ∴ ∴的平方根是； 当时， 将代入②得， 解得（舍去）， 综上所述，的平方根是． 题型7 已知一个数的平方根，求这个数 【精讲】（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查的是整式的运算，掌握多项式与多项式的乘法法则和完全平方公式是解题的关键； （1）先根据多项式与多项式的乘法法则计算，再将，代入进行计算即可； （2）先根据完全平方公式将变形为，再将，代入计算即可． 【规范解答】（1）解：， ∴ ． （2）解：， ∴ ， ∴． 【变式】（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知和互为相反数，且的平方根是它本身，求的平方根． 【答案】的平方根为 【思路引导】本题考查了相反数、平方根、解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出方程． 根据题意可得和，分别求出x、y，将其代入进行计算即可． 【规范解答】解：∵和互为相反数， ∴ ， 解得， ∵的平方根是它本身， ∴， ∴， ∴ ， ∴的平方根为． 题型8 利用平方根解方程 【精讲】（25-26八年级上·福建泉州·期中）阅读理解：由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时，取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)的最小值为_____； (2)当时，式子的最小值为_____； (3)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的、各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ 【答案】(1) (2) (3)为10米，为5米时，所用篱笆最短，最短篱琶为20米． 【思路引导】本题主要考查基本不等式的应用，利用平方根的含义解方程，解题的关键是运用题中，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号． （1）当时，按照公式（当且仅当时取到等号）来计算即可． （2）当时，则，则也可以按公式（当且仅当时取到等号）来计算． （3）设，，则，再照公式（当且仅当时取到等号）来计算求出的值，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，的最小值为6． （2）解：∵， ∴， ， 当时，式子的最小值为． （3）解：设，， 则，欲使最小， ， ， 当且仅当时取得等号， 由， 解得或（舍去） 即为10米，为5米时，所用篱笆最短，最短篱琶为20米． 【变式】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题主要考查了求平方根的方法解方程，熟知求平方根的方法是解题的关键． （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求平方根的方法解方程即可． 【规范解答】（1）解： ， 解得：，； （2）解： 或， 解得，； 题型9 求一个数的立方根 【精讲】（25-26八年级上·上海·期中）如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【规范解答】解： ，且，， ． 故选：A． 【变式】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) 或 (2) 【思路引导】本题考查解平方根，立方根，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先将方程变形为完全平方式等于常数的形式，再利用平方根的定义求解； （2）先将方程变形为，再利用立方根的定义求解． 【规范解答】（1）解： 或 或 ； （2）解： ． 题型10 已知一个数的立方根，求这个数 【精讲】．（25-26八年级上·河北沧州·期中）已知：的平方根是它本身，的立方根是3，的算术平方根是4．求的平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，熟练掌握这几个知识点是解题的关键． 根据平方根的性质求出的值，根据立方根的定义求出的值，根据算术平方根的定义求出的值，再计算，最后根据平方根的定义计算即可． 【规范解答】解：的平方根是它本身， ． 的立方根是， ， ． 的算术平方根是， ， ． ，，， ． 的平方根为． 【变式】（25-26八年级上·河南南阳·期中）计算： (1)已知的平方根是，的立方根是2，整数满足，求的算术平方根； (2)用简便算法计算：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了平方根和立方根的定义和性质及平方差公式的应用，正确理解平方根和算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义及不等式的性质，结合已知条件求出，然后将其代入到所求代数式即可求解； （2）将2025化为，2023化为，利用平方差公式进行计算求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意知，，， ，， 的算术平方根是 （2）解： 题型11 与立方根有关的规律探索 【精讲】（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴． 故选A． 【变式】（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【规范解答】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 题型12 立方根的实际应用 【精讲】（25-26八年级上·广东河源·阶段练习）【情境导入】据说我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道求大数的立方根的题目，并很快给出了正确答案． 【知识储备】开立方和立方互为逆运算．请补全下面表格： 整数 [应用]根据以下步骤尝试求出的立方根： 步骤一：根据，，得到的立方根是 位数； 步骤二：根据个位上的数是，得到的立方根个位上的数是 ； 步骤三：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数是 ，因此的立方根是 ． （1）将上述过程补充完整； （2）请用同样的方法求的立方根． 【答案】[知识储备]，，，，，；[应用]（）两，，，；（）． 【思路引导】本题考查了有理数乘方，立方根及尾数特征，理解题干中求一个数的立方根的步骤是解题的关键． [知识储备]根据有理数乘方即可求解； [应用]根据有理数乘方，立方根即可求解； （）根据有理数乘方，立方根即可求解； （）根据有理数乘方，立方根即可求解． 【规范解答】解：[知识储备] ∵，，，，，； 补全表格如下： 整数 故答案为：，，，，，； [应用]（）步骤一：根据，，得到的立方根是两位数； 步骤二：根据个位上的数是，得到的立方根个位上的数是； 步骤三：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数是，因此的立方根是； 故答案为：两，，，， （）因为，， 所以的立方根是两位数， 因为的个位上的数是，， 所以的立方根个位上的数是， 如果划去后面的三位数，得到数， 而，， 所以的立方根十位上的数是， 所以的立方根为． 【变式】（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号），因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他． （1）函数的最大值为______． （2）求函数的最小值，并写出取最小值时x的值． 【猜想提升】小明由上述的是出猜想：（当且仅当时取到等号）．通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题． （3）设a，b，c是正实数，求的最小值． 【答案】（1）；（2）当时，最小值为8；（3）5 【思路引导】本题主要考查了完全平方公式的应用，算术平方根的应用，不等式性质，熟练掌握完全平方公式和基本不等式的性质是解题的关键． （1）将原式变形为，再根据“基本不等式”的性质求解即可； （2）将原式变形为，再根据“基本不等式”的性质求解即可； （3）原式变形为，再根据“基本不等式”的性质得到，即可求解． 【规范解答】由题意，， 又， ∴， ∴ 有最大值； 故答案为：； 由题意， ∵， ∴ ∴， 当时，即舍去或时，y有最小值， 答：当时，最小值为8； 由题意，， ，b，c是正实数， ， ， 的最小值为5， 的最小值为． 题型13 算术平方根和立方根的综合应用 【精讲】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）已知的算术平方根为，的立方根为，求的立方根． 【答案】2 【思路引导】本题考查了算术平方根和立方根．利用算术平方根和立方根的定义列出方程，求出a和b的值，再计算的值，最后求其立方根． 【规范解答】解：由题意，∵的算术平方根为， ∴， 解得． 又∵的立方根为， ∴， 解得． ∴， ∴的立方根为． 【变式】（25-26八年级上·陕西·阶段练习）已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查了立方根，算术平方根，平方根，先根据的算术平方根是，得出；再结合的立方根是，得出，最后求出的值为，即可作答． 【规范解答】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 即：的平方根为． 1．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法正确的是（   ） A． B．0的平方根是0 C． D．的平方根是2 【答案】B 【思路引导】本题考查平方根和算术平方根的概念.算术平方根是非负的，平方根有两个值（0除外）. 选项A混淆了平方根与算术平方根；选项C算术平方根结果应为正；选项D忽略了负平方根；选项B正确. 【规范解答】解：∵ 算术平方根表示非负值，平方根有正负两个值（时）或0（时）. 对于A：表示算术平方根，应为8，而非，所以此项错误； 对于B：0的平方根是0，正确，所以此项正确； 对于C：，而非，所以此项错误； 对于D：，4的平方根是，选项说“是2”不完整，所以此项错误. 故选：B. 2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知，那么的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，代数式求值，解题的关键是熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性． 利用非负数的性质（算术平方根和绝对值均非负），它们的和为零则每个必须为零，从而求出x和y的值，再计算表达式． 【规范解答】解：∵且，且， ∴ 且， ∴ ，即， ，即， ∴， ∴ ， 故选：D． 3．（23-24八年级上·广西·期末）下列四个结论中，错误的有（  ） （1）负数没有立方根；     （2）一个数的立方根不是正数就是负数； （3）一个正数的平方根一定是它的算术平方根； （4）一个数的平方根一定有两个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4 【答案】D 【思路引导】此题考查了立方根，以及平方根，熟练的各自的定义是解本题的关键．各项利用立方根及平方根定义判断即可． 【规范解答】解：（1）负数有立方根，错误； （2）一个数的立方根不是正数就是负数或0，错误； （3）一个正数的正的平方根是它的算术平方根，错误； （4）0的平方根只有一个，故一个数的平方根不一定有两个，错误， 则错误的个数为4个， 故选：D． 4．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【规范解答】解：当时，算术平方根为，是有理数， 再取立方根，是有理数， 倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：B． 5．（24-25八年级上·甘肃白银·期末）下列命题中的假命题是（    ） A．在同一平面内，若，则 B．若，则 C．立方根等于本身的数有0和 D．两直线平行，同旁内角相等 【答案】D 【思路引导】本题考查了命题的真假，根据平行线的性质以及平行公理的推论，平方根与立方根的定义，逐项分析判断，即可求解． 【规范解答】解：A．在同一平面内，若，，则；是真命题，故A不符合题意； B．若，则，是真命题，故B不符合题意； C．立方根等于本身的数有0和，是真命题，故C不符合题意； D．两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，故D符合题意． 故选：D． 6．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果等式成立，那么应满足的条件是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查算术平方根的非负性，掌握知识点是解题的关键． 根据算术平方根的非负性，表示的算术平方根，其值总是非负的，因此等式成立的条件是为非负数． 【规范解答】解：由算术平方根的定义可知，．等式即，根据绝对值的性质，当且仅当时，成立．因此，应满足的条件是． 故答案为． 7．（23-24八年级上·江苏·期末）若a，b为实数，且满足，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a，b的值，即可求解．本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键． 【规范解答】解：∵a，b为实数，且满足， ∴， 解得， 则 故答案为：． 8．（23-24八年级上·河南南阳·期末）已知．则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式乘多项式，合并同类项，立方根，熟练掌握这些知识是解题的关键． 先将展开，根据，可得，求出a和b的值，进一步求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 9．（2024八年级·广东茂名·竞赛）有一个数值转换器，原理如图：那么输入的x为64时，输出的y是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了立方根、算术平方根，根据数值转换器的原理，结合立方根、算术平方根的计算方法计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：，， 故输出的y是， 故答案为：． 10．（21-22七年级下·福建福州·期中）如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 ． 【答案】0 【思路引导】本题考查了平方根和立方根，掌握的平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义即可求解． 【规范解答】解：设这个实数为， 当时，它的平方根是0，立方根是0，二者相等，符合题意； 当时，它的平方根是，立方根是,不符合题意； 综上，这个数是0. 故答案为：0. 11．（23-24八年级上·江苏·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）或 【思路引导】本题考查算术平方根、立方根、用平方根解方程，理解一个正数有两个平方根，且互为相反数是解答的关键． （1）利用算术平方根和立方根的定义求解即可； （2）利用平方根的定义解方程即可． 【规范解答】解：（1） ； （2）开平方，得 即或 ∴或． 12．（23-24八年级上·江苏·期末）已知：的平方根是，的立方根是3，求的平方根和立方根． 【答案】 【思路引导】本题考查平方根和立方根．根据题意求出x和y的值，再求出的值，从而可求其平方根和立方根． 【规范解答】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∴， ∵的立方根是3， ∴， ∴， ∴， ∴100的平方根和立方根分别是． 13．（24-25八年级下·陕西安康·期末）海啸是由海底地震、火山爆发、海底滑坡或气象变化所产生的破坏性海浪，海啸的波速高达每小时700－800千米，在几小时内就能横渡大洋．海啸的行进速度可按公式计算，其中v表示海啸的速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度．若在海洋深度处发生海啸，求海啸在海洋深度为处的行进速度． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键． 直接根据已知数据代入，化简得出答案． 【规范解答】解：由题意可得：，， 则． 答：其行进的速度为． 14．（23-24八年级上·福建泉州·期末）一个正数的两个平方根分别是与． (1)求和正数的值． (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)2 【思路引导】本题考查了平方根和立方根的定义． （1）根据平方根的定义可得一个正数的两个平方根互为相反数，则有，解方程得，即一个正数的两个平方根分别为和1，利用平方根的定义即可求解； （2）根据立方根的定义解答即可． 【规范解答】（1）解：一个正数的两个平方根分别为和， ， ， 这个正数为． ； （2）解：，， ， 的立方根为． 15．（23-24七年级下·河南信阳·期末）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． (1)这个魔方的棱长为________； (2)图中四边形为正方形，求出此正方形的面积及其边长； (3)如图2把正方形放到数轴上，使得与重合，那么在数轴上表示的数为________． 【答案】(1)4 (2)正方形的面积是8，边长是； (3) 【思路引导】本题考查的是立方根、算术平方根在实际生活中的运用，实数与数轴，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长． （1）根据正方体的体积公式可求这个魔方的棱长； （2）根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长； （3）根据两点间的距离公式可得出D在数轴上表示的数． 【规范解答】（1）解：由题意得，这个魔方的棱长为． 故答案为：4； （2）解：∵魔方的棱长为4， ∴小立方体的棱长为2， ∴正方形的面积为：， 边长为：， 答：正方形的面积是8，边长是； （3）解：∵A与重合，， ∴D在数轴上表示的数为． 故答案为：． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $