第07讲 平方根（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材苏科版

第07讲 平方根（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+4个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 算术平方根 学校即将举办校园文化艺术节，班级计划在地面上铺设一块面积为 25 平方米的正方形红地毯作为舞台背景.作为班级的“小小设计师”，小明很快就算出了这块地毯的边长应该是 5 米，因为= 25. 可是，班主任紧接着又提出了一个新的要求：“为了视觉效果更震撼，我们决定把这块正方形地毯的面积扩大到 50 平方米.” 这下小明犯难了：边长是多少呢？他拿着计算器按了半天，发现没有一个整数或者分数的平方刚好等于 50.究竟什么样的数，它的平方会等于 50 呢？这个未知的边长到底该怎么表示？ 今天，就让我们一起走进数学世界，去认识一位能帮我们解决这个难题的新朋友——平方根. 【知识点1 算术平方根的概念及性质】 1. 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫作a的算术平方根． 2. a的算术平方根记为，读作“根号a”． 3. 性质：（1）正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根． （2）当时，． （3）算术平方根具有双重非负性：①；②． 【题型1 算术平方根】 【例1】（25-26八年级上·全国·期末）求下列各数的算术平方根： (1)； (2)； (3)． 【变式1-1】（25-26八年级上·广东揭阳·期中）下列说法正确的是（　　） A．的算术平方根是2 B．一定没有算术平方根 C．表示5的算术平方根的相反数 D．0.9的算术平方根是0.3 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·单元测试）如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（   ） A．n+1 B．+1 C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）已知的算术平方根是3，，求的算术平方根． 【题型2 算术平方根的非负性】 【例2】（25-26八年级下·云南昭通·期中）已知实数满足，则的值为（    ） A．3 B． C．0 D．1 【变式2-1】（2025·山东潍坊·一模）若实数a，b满足，则ab的值为_____． 【变式2-2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若实数x、y、z满足，则的算术平方根是（　　） A．36 B． C．6 D． 【变式2-3】（25-26九年级下·湖北荆门·自主招生）若与互为相反数，则的值为______． 【题型3 算术平方根的应用】 【例3】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，每个小正方形的边长为，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，侧这个大正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·福建厦门·模拟预测）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别是和4，那么阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26七年级上·山东东营·期中）若，则以，为边长的等腰三角形的周长是______． 【变式3-3】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，由内到外依次为正方形，，．若的面积为，的面积为15，且的边长是整数，则的边长为______． 【题型4 算术平方根的规律探究】 【例4】（25-26七年级下·广西南宁·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知：，那么_______． 【变式4-3】（25-26七年级下·福建龙岩·阶段检测）已知，则___________． 模块三 平方根 【知识点2 平方根的概念及表示】 1. 定义：一般地，如果，那么x叫作a的平方根，也称为二次方根． 2. 如果a为正数，那么a有两个平方根，其中，正的平方根是算术平方根，负的平方根是． 【知识点3 平方根的性质】 1. 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 2. 0的平方根是0． 3. 负数没有平方根． 【知识点4 开平方】 1. 定义：求一个数的平方根的运算叫作开平方． 2. 表示方法：开平方用符号“”表示． 3. 性质：开平方是求一个非负数的平方根的运算．开平方与平方互为逆运算，只不过一个数的平方是一个数，而一个数（正数）的平方根是两个数，且互为相反数． 【题型5 平方根】 【例5】（25-26七年级下·云南·期中）9的平方根是（   ） A．3 B． C． D． 【变式5-1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．正数的平方根是它本身 B．100的平方根是10 C．是100的一个平方根 D．的平方根是 【变式5-2】（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）的平方根是______． 【变式5-3】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）若m是169的正的平方根，n是121的负的平方根，求： (1)m＋n的值； (2)的平方根． 【题型6 平方根的性质】 【例6】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法中错误的是（      ） A．是0.25的一个平方根 B．正数a的两个平方根的和为0 C．的平方根是 D．当时，没有平方根 【变式6-1】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如果一个正数的一个平方根是5，那么这个正数的另一个平方根是__________． 【变式6-2】（2025九年级·全国·专题练习）若单项式−5x4y2m+n与2017xm−ny2是同类项，则m−7n的算术平方根是_________. 【变式6-3】（25-26七年级下·北京海淀·阶段检测）已知正实数x的两个平方根是m和m+b．当b＝8时，m的值是_____；若m2x+（m+b）2x＝4，则x＝_____． 【题型7 开平方】 【例7】（25-26七年级下·全国·暑假作业）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为_________． 【变式7-1】（25-26八年级上·河南南阳·期中）将0.01开平方，其结果是___________________． 【变式7-2】（25-26七年级下·四川泸州·期中）用开平方运算求x的值： 【变式7-3】（25-26七年级下·河南信阳·期末）小天学完平方根和开平方运算后，发现可以运用这些知识解形如（为常数）的这类方程． (1)小天先尝试解了下面两个方程： ①，解得或；②，此方程无实数解． 方程①有两个解的依据是：正数有两个平方根，它们互为相反数； 方程②无实数解的依据是：___________； (2)小天进一步探究了解方程③和④： ③ 解：． 或． ④． 解：或． 或． 请你参考小天的方法，解下列两个方程： ⑤； ⑥． 【题型8 算术平方根与平方根的综合运用】 【例8】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）一个正数的两个平方根分别是和，且． (1)求和的值； (2)求的值． 【变式8-1】（25-26八年级上·河北沧州·期中）已知一个正数的两个平方根分别为和，则这个数的算术平方根是______． 【变式8-2】（2025·广西·模拟预测）平方根等于它本身的数为a，算术平方根等于它本身的数为b，则的和为________． 【变式8-3】（25-26八年级上·河南平顶山·阶段检测）已知一个数的平方根是，算术平方根是，且，求这个数. 模块四 课后作业 1．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）下列结论中，正确的是（  ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 2．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（     ） A．8 B． C．4 D．2 3．（25-26七年级下·河北保定·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D．8 4．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）制作一个表面积为的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·北京大兴·期中）已知，，，，则（   ） A．22.36 B．223.6 C．70.71 D．707.1 6．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知，则的平方根是______． 7．（25-26七年级下·北京海淀·期中）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的值是___________． 8．（25-26七年级下·全国·寒假作业）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简=_________． 9．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）用“”表示一种新运算：对于任意正实数a、b，都有，例如，那么的值为______． 10．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形；通过动手操作，小张同学把长为，宽为的长方形如图2所示进行裁剪拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为________． 11．（25-26七年级下·青海西宁·期中） 12．（25-26七年级下·湖北宜昌·期中）求该式子中x的值． 13．（25-26八年级下·广东江门·期中）已知为实数，且满足． (1)求的值； (2)求的平方根． 14．（25-26七年级下·河北唐山·期中）已知实数满足：． (1)求和的值； (2)若正实数的两个不相同的平方根分别为和，求和的值． 15．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）某火星探测车在火星着陆点进行地形勘测，其车载系统利用公式评估行驶速度安全阈值．其中v表示车速（单位：），d为模拟沙地滑距（单位：m），f为沙地摩擦系数．已知探测车在某段沙地测试中，测得，，求此次测试中的探测车的速度v． 16．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径（单位：厘米），t代表自冰川消失时起经过的时间（单位：年）．如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 平方根（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+4个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 算术平方根 学校即将举办校园文化艺术节，班级计划在地面上铺设一块面积为 25 平方米的正方形红地毯作为舞台背景.作为班级的“小小设计师”，小明很快就算出了这块地毯的边长应该是 5 米，因为= 25. 可是，班主任紧接着又提出了一个新的要求：“为了视觉效果更震撼，我们决定把这块正方形地毯的面积扩大到 50 平方米.” 这下小明犯难了：边长是多少呢？他拿着计算器按了半天，发现没有一个整数或者分数的平方刚好等于 50.究竟什么样的数，它的平方会等于 50 呢？这个未知的边长到底该怎么表示？ 今天，就让我们一起走进数学世界，去认识一位能帮我们解决这个难题的新朋友——平方根. 【知识点1 算术平方根的概念及性质】 1. 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫作a的算术平方根． 2. a的算术平方根记为，读作“根号a”． 3. 性质：（1）正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根． （2）当时，． （3）算术平方根具有双重非负性：①；②． 【题型1 算术平方根】 【例1】（25-26八年级上·全国·期末）求下列各数的算术平方根： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)算术平方根为 (2)算术平方根为 (3)算术平方根为 【分析】本题主要考查了算术平方根． 【详解】解：(1)因为，可知算术平方根是； (2)因为，可知算术平方根是； (3)因为，可知算术平方根为． 【变式1-1】（25-26八年级上·广东揭阳·期中）下列说法正确的是（　　） A．的算术平方根是2 B．一定没有算术平方根 C．表示5的算术平方根的相反数 D．0.9的算术平方根是0.3 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义逐项判断即得答案. 【详解】解：A、，2的算术平方根是，故本选项说法错误； B、当时，，0的算术平方根是0，故本选项说法错误； C、表示5的算术平方根的相反数，故本选项说法正确； D、0.09的算术平方根是0.3，故本选项说法错误； 故选：C. 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，属于基础题目，熟练掌握算术平方根的概念是解题关键. 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·单元测试）如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（   ） A．n+1 B．+1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的定义．注意一个正数的正的平方根，是这个数的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根． 首先根据算术平方根的概念先求得这个自然数为，再根据算术平方根的定义即可求得与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根是n， ∴这个自然数为， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数为， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是． 故选：D． 【变式1-3】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）已知的算术平方根是3，，求的算术平方根． 【答案】的算术平方根是3． 【分析】根据算术平方根和平方根的定义得到关于m、n的方程，解得m和n的值，然后再求得代数式的值，再求其算术平方根可得答案． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴的算术平方根是3． 【点睛】本题主要考查有关平方根、算术平方根的有关计算，解决本题的关键是掌握平方根的定义和算术平方根的定义． 【题型2 算术平方根的非负性】 【例2】（25-26八年级下·云南昭通·期中）已知实数满足，则的值为（    ） A．3 B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】先根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”求出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ，， 解得，． ∴． 【变式2-1】（2025·山东潍坊·一模）若实数a，b满足，则ab的值为_____． 【答案】12 【分析】首先根据，可得：，应用算术平方根、偶次方的非负性质，可得：；然后求出a、b的值各是多少，并求出它们的积即可． 【详解】解：∵, ∴, ∴ 解得 ∴ab＝3×4＝12． 故答案为12． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的非负性质的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握． 【变式2-2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若实数x、y、z满足，则的算术平方根是（　　） A．36 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】根据非负数的性质列方程求出x、y、z的值，然后代入代数式进行计算，再根据算术平方根的定义解答． 【详解】解：由题意得，， 解得， 所以，， 所以，的算术平方根是6． 故选：C． 【点睛】本题主要考查非负性的运用，平方根，能够利用非负性求出数值是解题关键． 【变式2-3】（25-26九年级下·湖北荆门·自主招生）若与互为相反数，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，非负数的性质，代数式求值，利用相反数和非负数的性质可得，解方程组求出的值代入计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【题型3 算术平方根的应用】 【例3】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，每个小正方形的边长为，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，侧这个大正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的实际运用，根据题意得到五个小正方形面积，进而可得到大正方形的边长，即可解题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：分割图形如下： 故这个正方形的边长是：， 故选：． 【变式3-1】（2025·福建厦门·模拟预测）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别是和4，那么阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两正方形面积，利用算术平方根定义求出各自的边长，表示出阴影部分面积即可． 【详解】解：根据题意得：2（x−2）＝2x−4， 故选：B． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式3-2】（25-26七年级上·山东东营·期中）若，则以，为边长的等腰三角形的周长是______． 【答案】11或13 【分析】本题考查了等腰三角形的概念，非负数的性质，以及三角形的三边关系，注意利用分类讨论思想解题．根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a，b的值，根据等腰三角形的概念进行分类讨论，可得答案． 【详解】解：，且， 解得：， 设三角形的第三边为， 当时，，能构成三角形， 此时，三角形的周长； 当时，，能构成三角形； 此时，三角形的周长， 综上，该等腰三角形的周长是11或13， 故答案为：11或13． 【变式3-3】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，由内到外依次为正方形，，．若的面积为，的面积为15，且的边长是整数，则的边长为______． 【答案】3 【分析】再结合整数条件求解．先根据正方形面积公式得到边长的范围，再利用“由内到外的嵌套关系”得到边长的大小关系，结合无理数的估算在范围内找出整数边长． 【详解】解：设正方形、、的边长分别为、、， 由题意，，， ，． 正方形由内到外依次嵌套， ，即． ，，且为整数， ． 【题型4 算术平方根的规律探究】 【例4】（25-26七年级下·广西南宁·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据被开方数的小数点向左(或向右)移动两位，算术平方根的小数点向左(或向右)移动一位求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式4-1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【答案】 【分析】本题考查与算术平方根有关的规律探索题．根据已知等式总结规律，然后化简并计算即可． 【详解】解：， ， ， … ， ． 原式 ． 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知：，那么_______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，利用平方根的性质和给定的近似值，通过小数点移动的关系求解． 【详解】解：由，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】（25-26七年级下·福建龙岩·阶段检测）已知，则___________． 【答案】 【分析】被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，那么其算术平方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案． 【详解】， ． 模块三 平方根 【知识点2 平方根的概念及表示】 1. 定义：一般地，如果，那么x叫作a的平方根，也称为二次方根． 2. 如果a为正数，那么a有两个平方根，其中，正的平方根是算术平方根，负的平方根是． 【知识点3 平方根的性质】 1. 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 2. 0的平方根是0． 3. 负数没有平方根． 【知识点4 开平方】 1. 定义：求一个数的平方根的运算叫作开平方． 2. 表示方法：开平方用符号“”表示． 3. 性质：开平方是求一个非负数的平方根的运算．开平方与平方互为逆运算，只不过一个数的平方是一个数，而一个数（正数）的平方根是两个数，且互为相反数． 【题型5 平方根】 【例5】（25-26七年级下·云南·期中）9的平方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根的定义求解即可； 【详解】解：∵， ∴ 9的平方根是； 【变式5-1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．正数的平方根是它本身 B．100的平方根是10 C．是100的一个平方根 D．的平方根是 【答案】C 【分析】根据平方根的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、正数的平方根有2个，它们是互为相反数，故错误； B、100的平方根是，故错误； C、∵，∴是100的一个平方根，正确； D、没有平方根，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根，记作．0的平方根是0；正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． 【变式5-2】（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）的平方根是______． 【答案】 【分析】先计算出的值，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解：∵， ∴的平方根为． 【变式5-3】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）若m是169的正的平方根，n是121的负的平方根，求： (1)m＋n的值； (2)的平方根． 【答案】(1)2 (2)±2 【分析】（1）根据平方根的定义求出m、n的值，然后代入计算即可求解； （2）先求出的值，然后再根据平方根的定义进行求解． 【详解】（1）∵，m是169的正的平方根， ∴m＝13， ∵，n是121的负的平方根， ∴n＝﹣11， ∴m+n＝13+（﹣11）＝2； （2）∵m+n＝2 ∴， ∴的平方根是±2． 【点睛】本题考查了平方根的定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根，熟记一些常用的平方数是解题的关键． 【题型6 平方根的性质】 【例6】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法中错误的是（      ） A．是0.25的一个平方根 B．正数a的两个平方根的和为0 C．的平方根是 D．当时，没有平方根 【答案】C 【详解】A选项中，因为“”，所以A中说法正确； B选项中，因为“正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两数和为0”，所以B中说法正确； C选项中，因为“的平方根是”，所以C中说法错误； D选项中，因为“当时，的值是负数，而负数没有平方根”，所以D中说法正确； 故选C. 【变式6-1】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如果一个正数的一个平方根是5，那么这个正数的另一个平方根是__________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵一个正数有两个平方根，它们互为相反数，这个正数的一个平方根是， ∴另一个平方根为． 故答案为：． 【变式6-2】（2025九年级·全国·专题练习）若单项式−5x4y2m+n与2017xm−ny2是同类项，则m−7n的算术平方根是_________. 【答案】4 【详解】根据同类项定义由单项式−5x4y2m+n与2017xm−ny2是同类项，可以得到关于m、n的二元一次方程4=m−n，2m+n=2，解得m=2，n=−2，因此可求得m−7n=16，即m−7n的算术平方根==4，故答案为4． 【考点】本题考查：1、算术平方根；2、同类项；3、解二元一次方程组. 【变式6-3】（25-26七年级下·北京海淀·阶段检测）已知正实数x的两个平方根是m和m+b．当b＝8时，m的值是_____；若m2x+（m+b）2x＝4，则x＝_____． 【答案】 -4 【分析】（1）由题意直接利用正实数平方根互为相反数即可求出m的值； （2）根据题意利用平方根的定义得到（m+b）2＝x，m2＝x，代入式子m2x+（m+b）2x＝4即可求出x值． 【详解】解：（1）∵正实数x的平方根是m和m+b ∴m+m+b＝0， ∵b＝8， ∴2m+8＝0 ∴m＝﹣4； 故答案为：-4； （2）∵正实数x的平方根是m和m+b， ∴（m+b）2＝x，m2＝x， ∵m2x+（m+b）2x＝4， ∴x2+x2＝4， ∴x2＝2， ∵x＞0， ∴x＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 【题型7 开平方】 【例7】（25-26七年级下·全国·暑假作业）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为_________． 【答案】 【分析】根据题意，得，当时，代入计算即可． 本题考查了程序式代数式的计算，平方根的计算，熟练掌握平方根的计算是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 当时，． 故答案为：． 【变式7-1】（25-26八年级上·河南南阳·期中）将0.01开平方，其结果是___________________． 【答案】±0．1 【分析】根据平方根的定义进行解答． 【详解】∵（±.1）2=0.01， ∴±=±0.1． 故答案为：±0.1． 【点睛】本题考查的是平方根的定义，解答此题的关键是熟知一个正数的平方根有两个，这两个数互为相反数． 【变式7-2】（25-26七年级下·四川泸州·期中）用开平方运算求x的值： 【答案】或 【分析】利用平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即：或， 解得：或． 【点睛】本题考查利用平方根解方程．熟练掌握平方根的定义，是解题的关键． 【变式7-3】（25-26七年级下·河南信阳·期末）小天学完平方根和开平方运算后，发现可以运用这些知识解形如（为常数）的这类方程． (1)小天先尝试解了下面两个方程： ①，解得或；②，此方程无实数解． 方程①有两个解的依据是：正数有两个平方根，它们互为相反数； 方程②无实数解的依据是：___________； (2)小天进一步探究了解方程③和④： ③ 解：． 或． ④． 解：或． 或． 请你参考小天的方法，解下列两个方程： ⑤； ⑥． 【答案】(1)负数没有平方根 (2)⑤或；⑥或 【分析】本题考查利用平方根解方程，读懂题意，按照阅读材料中的方法求解是解决问题的关键． （1）根据平方根的性质即可得到答案； （2）仿照③、④，利用平方根解方程即可． 【详解】（1）解：方程②无实数解的依据是：负数没有平方根， 故答案为：负数没有平方根； （2）⑤解：． ． 或 ⑥解：． 或． 或． 【题型8 算术平方根与平方根的综合运用】 【例8】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）一个正数的两个平方根分别是和，且． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)和的值分别为1和 (2)5 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，结合，进行求解即可； （2）先求出x的值，然后求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得： 和的值分别为1和； （2）解：∵， ， ， ∴， ∴． 【变式8-1】（25-26八年级上·河北沧州·期中）已知一个正数的两个平方根分别为和，则这个数的算术平方根是______． 【答案】8 【分析】本题考查了平方根，算术平方根的定义，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．由题意得，求出，继而得到这个数，继而可求算术平方根． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别为和， ， 解得：， ， 这个数是 ∴这个数算术平方根为8， 故答案为：8． 【变式8-2】（2025·广西·模拟预测）平方根等于它本身的数为a，算术平方根等于它本身的数为b，则的和为________． 【答案】0或1 【分析】本题考查的是平方根，算术平方根，解答本题的关键是熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做它的算术平方根．同时注意0和的特殊性． 根据平方根，算术平方根的定义即可得到结果． 【详解】解：∵平方根等于它本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0和1， ∴或1， ∴或1， 故答案为：0或1． 【变式8-3】（25-26八年级上·河南平顶山·阶段检测）已知一个数的平方根是，算术平方根是，且，求这个数. 【答案】81 【分析】算术平方根为这个数的平方根中的一个，则可令=和=解得a的值满足即可，再把a+4平方即可得到该数. 【详解】当=时 则，，符合. 则此时 当=时 =， ，不符合. 故答案为81 【点睛】本题考查了一个数的平方根的概念，这里需要注意的时一个数平方根有正负两个，且正数才有平方根. 模块四 课后作业 1．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）下列结论中，正确的是（  ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【答案】C 【详解】解：根据平方根定义，负数没有平方根，∵是负数，∴没有平方根，故A错误； ∵0的平方根是0，∴0有平方根，故B错误； 的算术平方根是，符合算术平方根的定义，故C正确； ，的平方根是，不是，故D错误． 2．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（     ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】C 【详解】解：． 3．（25-26七年级下·河北保定·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】根据偶次方和算术平方根的非负性，求得的值即可解答． 【详解】解：， ， 解得，， ． 4．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）制作一个表面积为的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设这个正方体的棱长为，根据已知表面积列方程求解即可． 【详解】解：设这个正方体的棱长为， ∵正方体的表面积为， ∴， ∴， ∴这个正方体的棱长为． 5．（25-26七年级下·北京大兴·期中）已知，，，，则（   ） A．22.36 B．223.6 C．70.71 D．707.1 【答案】A 【分析】根据被开方数的小数点每向左或向右移动2位，其算术平方根的小数点相应地向左或向右移动1位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 6．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知，则的平方根是______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，则有，然后根据平方根可进行求解． 【详解】解：由可知：， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵25的平方根是， ∴的平方根是． 7．（25-26七年级下·北京海淀·期中）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的值是___________． 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出方程，求出的值，再计算得到正数的值. 【详解】解：正数的两个平方根分别是和， ， 整理得：， 解得：， ， ． 8．（25-26七年级下·全国·寒假作业）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简=_________． 【答案】-2a+b/b－2a 【分析】根据数轴得出b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据算术平方根的性质和绝对值进行计算，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴a+b＜0，a﹣b＞0， ∴ ＝﹣（a+b）﹣|b|﹣|a﹣b| ＝﹣a﹣b+b﹣（a﹣b） ＝﹣a﹣b+b﹣a+b ＝﹣2a+b． 故答案为：﹣2a+b 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，算术平方根等知识点，能正确根据数轴得出b＜0＜a和|b|＞|a|是解此题的关键． 9．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）用“”表示一种新运算：对于任意正实数a、b，都有，例如，那么的值为______． 【答案】13 【分析】根据新定义将所求式子转化为常规实数运算即可求解. 【详解】解：∵， ∴. 10．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形；通过动手操作，小张同学把长为，宽为的长方形如图2所示进行裁剪拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为________． 【答案】 【分析】先求出大正方形的面积，再求边长即可． 【详解】解：由题意可知，正方形的面积为， 因此边长为． 11．（25-26七年级下·青海西宁·期中） 【答案】 【分析】根据绝对值的定义、算术平方根的性质把算式各部分计算出来，再根据运算法则进行计算． 【详解】解： ． 12．（25-26七年级下·湖北宜昌·期中）求该式子中x的值． 【答案】或 【分析】根据平方根的定义，得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； 【详解】解：， ， 或， ∴或． 13．（25-26八年级下·广东江门·期中）已知为实数，且满足． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)； (2)的平方根为． 【分析】（1）由二次根式有意义的条件，可得，，即可得的值； （2）由（1）得，结合已知可得，可得，即可得的平方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 14．（25-26七年级下·河北唐山·期中）已知实数满足：． (1)求和的值； (2)若正实数的两个不相同的平方根分别为和，求和的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据非负数的性质求解即可； （2）先根据正实数的两个不相同的平方根互为相反数列式求出，再求的值． 【详解】（1）解：∵． ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得， ∴正实数的两个不相同的平方根分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）某火星探测车在火星着陆点进行地形勘测，其车载系统利用公式评估行驶速度安全阈值．其中v表示车速（单位：），d为模拟沙地滑距（单位：m），f为沙地摩擦系数．已知探测车在某段沙地测试中，测得，，求此次测试中的探测车的速度v． 【答案】此次测试中的探测车的速度为 【详解】解：将，代入， 得， ∴或（舍去）． 答：此次测试中的探测车的速度为． 16．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径（单位：厘米），t代表自冰川消失时起经过的时间（单位：年）．如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】冰川约是在37年前消失的 【分析】先根据以及苔藓的直径是35厘米，建立，再解得，即可作答． 【详解】解：由题意得， ∴ ∴， 即， 答：冰川约是在37年前消失的． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $