专项突破10 用一次函数解决问题（期末复习-知识回顾+6个重难点培优题型+真题演练 共33题）-2025-2026学年苏科版数学八年级上册精讲练

该初中数学单元复习讲义通过知识梳理与框架图系统构建一次函数应用的知识体系，涵盖解决实际问题的“审找列解验”步骤、模型应用方法、方案选择等5大知识点，用表格对比不同题型的变量关系，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于“题型精讲+变式拓展”的分层设计，如分配方案问题通过甲、乙印刷社收费对比构建函数模型，最大利润问题结合进货单价与数量关系训练优化思维，培养用数学眼光分析现实问题的素养。真题演练覆盖期末考点，助力教师精准教学，学生分层提升。

专项突破10 用一次函数解决问题 （知识回顾+6种重难点培优题型+真题演练 共33题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：利用一次函数解决实际问题的步骤 1 知识点梳理02：一次函数模型的应用方法 2 知识点梳理03：选取合适的一次函数解决方案问题 2 知识点梳理04：利用一次函数最值解决最优化问题的方法 2 知识点梳理05：构造一次函数模型解决动态几何问题的方法 2 重点难点 培优讲练 2 题型1 分配方案问题（一次函数的实际应用） 2 题型2 最大利润问题（一次函数的实际应用） 4 题型3 行程问题（一次函数的实际应用） 7 题型4 梯度计价问题 9 题型5 其他问题（一次函数的实际应用） 11 题型6 一次函数与几何综合 13 期末真题 实战演练 15 知识点梳理01：利用一次函数解决实际问题的步骤 审—仔细审题理解题意； 找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系； 列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围； 解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程； 验—检验结果，得出符合实际的结论. 知识点梳理02：一次函数模型的应用方法 函数应用题是以贴近现实生活的话题为背景运用函数知识来解决的一类问题这类问题也是中考的热点，要求能依据问题的特点建立函数模型，收集信息，并加以解决. 知识点梳理03：选取合适的一次函数解决方案问题 方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题. 知识点梳理04：利用一次函数最值解决最优化问题的方法 最值问题是中考的热点与难点问题我们知道，一次函数()中的自变量的取值范围是全体实数,其图象是一条直线所以函数既没有最大值，也没有最小值，但由于在实际问题中，所列函数表达式中自变量的取值范围往往有一定的限制，所以函数图象为线段或射线，故函数就有了最值在求函数的最值时，我们应先求出函数的表达式，并确定其增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值. 知识点梳理05：构造一次函数模型解决动态几何问题的方法 在图形运动变化过程中，往往伴随着图形位置关系及数量关系的变化，有些能够用一次函数来反映图形运动的变化规律解决动态几何问题，要动中有静、动静结合，在运动变化中提高学生的想象能力、综合分析能力. 题型1 分配方案问题（一次函数的实际应用） 【精讲】（25-26八年级上·广东佛山·期中）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表．甲、乙印刷社收费（元）与印制数（张）的函数关系如下表： 甲印刷社 0.15元/张 乙印刷社 500张以内（含500张） 0.20元/张 超过500张部分 0.10元/张 (1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (2)若印刷费用为元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数之间的函数关系式，并说明宣传单张数为600时选择哪家印刷社比较划算． 【变式1】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）“谷雨前后，种瓜种豆”是一句广泛流传的农谚，此时春耕春播进入了关键期．琪琪家计划在某一天（一天以24小时计）租用播种机播种花生．现有两家农机公司可提供播种机租赁，按播种机租赁时间计费，每小时的租赁费标价都是40元，他们的优惠方案如下： 甲公司：按标价的8折租赁； 乙公司：一次性租赁时间不超过4小时的，按标价租赁；若超过4小时，则超过4小时的部分按标价的七折租赁． 根据以上信息，解答下列问题： (1)设租赁时间为小时，租用甲公司的播种机每日所需费用为元，租用乙公司的播种机每日所需费用为元，分别求出，与x之间的关系式； (2)当播种机的租赁时间为多少小时时，这两家公司提供的优惠方案所需租赁费用相同？ (3)琪琪家一次性拿出480元用于租赁播种机，选择哪家公司，能使租赁的时间更长？ 【变式2】（25-26七年级上·重庆·期中）某游乐园票价为每人120元，为了吸引客源，该游乐园在“双11”期间推出了针对团体的优惠活动，具体内容如下： ①若团体人数不足10人，则不享受优惠； ②若团体人数在10人及以上，则有两种优惠方案可供选择； 方案一：每人都享受七五折优惠； 方案二：其中10人享受八五折优惠，其余人享受六折优惠． 期中练习后，为了让孩子们放松一下，三个家庭准备到该游乐园游玩，已知A家庭有4人，B家庭有3人，C家庭有2人． (1)若这三个家庭直接去游乐园，则购买门票共需花费多少元？ (2)为了享受优惠，他们准备再邀请一些人组成团体一起去该游乐园，假设他们共邀请了x个人，请解决下列问题： ①若他们选择方案一，设购买门票共需花费y元．试用含x的代数式表示y； 若他们选择方案二，设购买门票共需花费w元，试用含x的代数式表示w． ②当时，选择哪种方案更合算？请通过计算说明． 题型2 最大利润问题（一次函数的实际应用） 【精讲】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）某儿童服装店准备到批发市场购买A，B两种品牌的儿童内衣．已知B品牌的进货单价是A品牌进货单价的3倍，该儿童服装店购买B品牌的数量y（件）与A品牌的数量x（件）之间的关系满足一次函数，部分数据如下表所示． x/件 … 50 60 100 … y/件 … 250 240 200 … 当购买的A，B品牌的儿童内衣中，A品牌内衣为100件时，购买这两种品牌儿童内衣共需7000元． (1)求y与x之间的函数表达式． (2)求A，B两种品牌的儿童内衣进货单价． (3)若该儿童服装店每销售1件A品牌儿童内衣可获利4元，每销售1件B品牌儿童内衣可获利9元．根据销售需求，该儿童服装店决定用不超过5400元购买A，B两种品牌的儿童内衣，该儿童服装店购买A，B两种品牌内衣各多少件才能使利润最大？最大利润为多少元？ 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）某商场购进甲、乙两种商品进行销售，设用元购进甲种商品工件，与之间的函数关系如图所示，乙种商品按元件的价格购进． (1)求当时，与之间的函数关系式； (2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种商品共件，且甲种商品不少于件，甲、乙两种商品的总进货款不少于元，求的取值范围； (3)若甲、乙两种商品的销售价格分别为元件和元件，经销商将（）中购进的甲、乙两种商品全部销售完，获得的利润最多为元，求的值． 【变式2】（25-26八年级上·安徽六安·期中）综合与实践：设计最大利润的采购方案． 某超市欲购进一批饮料，已知购进2箱可乐和3箱雪碧需要270元，购进3箱可乐和1箱雪碧需要195元．现要求： ①购进可乐和雪碧共300箱； ②可乐的购进数量最少为150箱； ③可乐的购进数量不超过雪碧的2倍． 已知可乐售价为65元/箱，雪碧售价为70元/箱．设可乐购进了箱，全部售出后的利润为元． (1)求每箱可乐和雪碧的进价各是多少元； (2)求和之间的函数关系式；（写出自变量的取值范围） (3)受市场影响，超市实际采购时，每箱可乐进货单价上调了元，每箱雪碧进货单价下调了元，其他条件不变．如何分配可乐和雪碧的购进数量，能使利润最大？并求出最大利润． 题型3 行程问题（一次函数的实际应用） 【精讲】（25-26八年级上·四川成都·期中）年月日，以“乐跑成马，畅游金秋”为主题的成都马拉松鸣枪起跑．来自全球的名选手从承载着古蜀文明的金沙遗址博物馆出发，一路穿越天府广场、春熙路、天府大道等城市地标，最终抵达世纪城新国际会展中心，完成全长的荣耀赛程．甲、乙两名选手也参加了本次比赛，两人同时抵达第一个补给点，乙在该补给点处停留休息了一会儿，，分别表示在某段时间内甲、乙两名选手距离补给点的距离与时间之间的关系．根据图象回答下列问题： (1)请求出这段时间内，，的解析式分别是多少？ (2)乙休息完后继续出发，则乙经过补给点后多长时间，甲乙两名选手相距？ 【变式1】（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇．已知慢车的速度为，两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数关系如图所示． (1)两地相距______，快车返回时速度为______； (2)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，则还需______到达甲地； (3)慢车出发多长时间后，两车相距． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）一条笔直公路上依次有A、B、C三地，甲车从B地匀速行驶到A地，到达A地因故停留1小时，然后按原路原速返回到C地（调头时间忽略不计）：乙车在甲车出发1小时后，从A地匀速行驶到C地，到达C地后停止行驶，在行驶的过程中．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与乙车行驶时间（小时）函数图象如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车行驶的速度为___________千米/时，B、C两地相距的路程是___________千米； (2)求甲车从A地驶向B地的过程中，y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)请直接写出甲车出发多少小时，两车相距40千米． 题型4 梯度计价问题 【精讲】（25-26八年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价/[元] 第一档 第二档 第三档 (1)请直接写出电费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户上一个月的用电量为，求该户上一个月的电费； (3)某户上一个月的电费是元，求该户上一个月的用电量． 【变式1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）个人工资薪金所得税征收办法规定：月收入不超过5000元的部分不收税；月收入超过5000元但不超过8000元的部分征收的所得税；月收入超过8000元但不超过17000元的部分征收的所得税；月收入超过17000元但不超过30000元的部分征收的所得税…如某人月收入15000元，他应缴个人工资、薪金所得税：（元）． (1)当月收入超过8000元但不超过17000元时，写出应缴所得税（元）与月收入（元）之间的关系式； (2)某人月收入9800元，求他应缴所得税多少元； (3)某人本月缴费540元，求此人本月的工资是多少元． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）为鼓励市民节约用电，深圳市电力公司对居民用电实行阶梯电价收费．现提供小强家某月电费发票的部分信息如下表所示： 深圳市居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 第二档： 第三档： 本月实用金额：167.5（元） （大写）壹佰陆拾柒元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，求出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请通过计算判断小强家该月的用电量处于哪个计费档，并求出该月的实际用电量； (3)若小强家8月的实际用电量为420度，则他家8月实付电费为多少元？ 题型5 其他问题（一次函数的实际应用） 【精讲】（25-26八年级上·福建三明·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位是时间的一次函数，通过观察，每分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … 0 2 4 6 8 … 2 2.8 3.6 4.0 5.2 … (1)在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表，的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第_________次数据是不准确的． (2)当记录时间为分钟时，漏刻水位是多少？ (3)求与的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？ 【变式1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）某商家在网上销售地方特色产品，需要大量包装盒，已知该种包装盒有两种进货渠道． 渠道一：从纸箱厂订购，购买所需费用（元）与包装盒数（盒）满足如图所示的函数关系； 渠道二：从纸箱厂租赁机器，自己加工制作该种包装盒，所需费用（包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用）（元）与包装盒数（盒）满足如图所示的函数关系． 根据上述信息，请回答下列问题： (1)求渠道一中包装盒的单价； (2)请分别求出，与x的函数关系式； (3)如何选择进货渠道，才能够更省钱？请说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的关系如图乙所示．下列说法①铁块的高度为；②铁块入水之前，烧杯内水的高度为；③当铁块下降的高度为时，弹簧测力计的示数为；④当弹簧测力计的示数为时，此时铁块距离烧杯底．正确的个数是（   ） A． B． C． D． 题型6 一次函数与几何综合 【精讲】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，）的图象与轴的交点为点，与轴的交点为点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值； (2)若是轴上一点，且的面积为9，求点的坐标； (3)观察图象，直接写出关于的不等式组的解集． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知：如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴、轴分别交于点、点，且的面积为9． (1)求的值； (2)如图2，若点是线段上一动点，过点作，交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）【模型发现】 （1）如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，可证明得到的全等三角形是______≌______． 【模型应用】 （2）如图2，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线经过点B和第一象限点C，且，，求点C的坐标； （3）如图3；在平面直角坐标系中，已知点，连接，在y轴左侧的平面内是否存在一点Q，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）据新闻报道，为鼓励居民节约用水，北京市将出台新的居民用水收费标准：①若每月每户居民用水不超过，则按2元/计算； ②若每月每户居民用水超过，则超过部分按元计算（不超过部分仍按2元/收费）．现假设该市某户居民某月用水，水费为元．则与的函数关系用图像表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“平衡点”．例如：都是“平衡点”．当时，直线上有“平衡点”，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 4．已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（　　） A． B． C． D． 5．（20-21八年级上·陕西咸阳·期末）如图，经过长方形的顶点B的直线l将长方形分成面积比为的两部分.已知点A在x轴上，点C在y轴上，且，，直线l与y轴的交点在线段上，则直线l的表达式为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·河北保定·期末）两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，如图，表示两人离地的距离与时间的关系，请结合图像解答下列问题： 表示乙离地的距离与时间关系的图像是 填“”或“； 甲的速度是 ，乙的速度是 ． 7．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图案，其中点，．若过原点的直线l将这个图案分成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式为 ． 8．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，之后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：）与时间x（单位：）之间的关系如图．则在第 分钟时，容器内的水量是． 9．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 时间就追上甲． 10．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，且与其中一个正方形的边交于点，则点的坐标为 ． 11．年春节假日期间，万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，以飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需元． (1)求A，B两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 12．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． (1)求A、B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标． 13．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为，求点的坐标； ②连接，如图2，若，求点的坐标． 14．“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以下信息，解答下列问题： (1)设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式； (2)当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同； (3)根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明选择怎样的出游方案更合算． 15．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元. (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价为70元，设甲种型号头盔购进了个，全部售出后的利润为元. ①求的最大值. ②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了元，同时乙种头盔进货单价下调了元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4200元，求的值. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破10 用一次函数解决问题 （知识回顾+6种重难点培优题型+真题演练 共33题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：利用一次函数解决实际问题的步骤 1 知识点梳理02：一次函数模型的应用方法 2 知识点梳理03：选取合适的一次函数解决方案问题 2 知识点梳理04：利用一次函数最值解决最优化问题的方法 2 知识点梳理05：构造一次函数模型解决动态几何问题的方法 2 重点难点 培优讲练 2 题型1 分配方案问题（一次函数的实际应用） 2 题型2 最大利润问题（一次函数的实际应用） 6 题型3 行程问题（一次函数的实际应用） 10 题型4 梯度计价问题 15 题型5 其他问题（一次函数的实际应用） 19 题型6 一次函数与几何综合 23 期末真题 实战演练 29 知识点梳理01：利用一次函数解决实际问题的步骤 审—仔细审题理解题意； 找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系； 列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围； 解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程； 验—检验结果，得出符合实际的结论. 知识点梳理02：一次函数模型的应用方法 函数应用题是以贴近现实生活的话题为背景运用函数知识来解决的一类问题这类问题也是中考的热点，要求能依据问题的特点建立函数模型，收集信息，并加以解决. 知识点梳理03：选取合适的一次函数解决方案问题 方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题. 知识点梳理04：利用一次函数最值解决最优化问题的方法 最值问题是中考的热点与难点问题我们知道，一次函数()中的自变量的取值范围是全体实数,其图象是一条直线所以函数既没有最大值，也没有最小值，但由于在实际问题中，所列函数表达式中自变量的取值范围往往有一定的限制，所以函数图象为线段或射线，故函数就有了最值在求函数的最值时，我们应先求出函数的表达式，并确定其增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值. 知识点梳理05：构造一次函数模型解决动态几何问题的方法 在图形运动变化过程中，往往伴随着图形位置关系及数量关系的变化，有些能够用一次函数来反映图形运动的变化规律解决动态几何问题，要动中有静、动静结合，在运动变化中提高学生的想象能力、综合分析能力. 题型1 分配方案问题（一次函数的实际应用） 【精讲】（25-26八年级上·广东佛山·期中）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表．甲、乙印刷社收费（元）与印制数（张）的函数关系如下表： 甲印刷社 0.15元/张 乙印刷社 500张以内（含500张） 0.20元/张 超过500张部分 0.10元/张 (1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (2)若印刷费用为元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数之间的函数关系式，并说明宣传单张数为600时选择哪家印刷社比较划算． 【答案】(1)在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张 (2)，，选择甲印刷社划算 【思路引导】本题考查二元一次方程组与一次函数的实际应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，找出题目蕴含的数量关系解决问题． （1）通过设未知数，利用数量和费用关系列方程组求解； （2）先分别建立甲、乙的费用函数，然后将分别代入求解比较即可．． 【规范解答】（1）解：设甲、乙两家印刷各印了、张宣传单， ， 解得， 答：在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张； （2）根据题意得，， 当时， 当时， ∴， 当时， ∵ ∴选择甲印刷社划算． 【变式1】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）“谷雨前后，种瓜种豆”是一句广泛流传的农谚，此时春耕春播进入了关键期．琪琪家计划在某一天（一天以24小时计）租用播种机播种花生．现有两家农机公司可提供播种机租赁，按播种机租赁时间计费，每小时的租赁费标价都是40元，他们的优惠方案如下： 甲公司：按标价的8折租赁； 乙公司：一次性租赁时间不超过4小时的，按标价租赁；若超过4小时，则超过4小时的部分按标价的七折租赁． 根据以上信息，解答下列问题： (1)设租赁时间为小时，租用甲公司的播种机每日所需费用为元，租用乙公司的播种机每日所需费用为元，分别求出，与x之间的关系式； (2)当播种机的租赁时间为多少小时时，这两家公司提供的优惠方案所需租赁费用相同？ (3)琪琪家一次性拿出480元用于租赁播种机，选择哪家公司，能使租赁的时间更长？ 【答案】(1)；当时，；当时， (2)12小时 (3)乙公司，能使租赁的时间更长 【思路引导】本题考查了一次函数的表达式，方程的应用及函数值的计算与比较． （1）根据题意分别列出与x的关系式和与x的关系式，需注意分情况讨论； （2）由于两家公司提供的方案所需租赁费用相同，列出方程，解得x的值即为播种机的租赁的时间； （3）一次性用480元租赁播种机时，租赁时间一定超过4小时，将代入到和中，通过比较选择出租赁时间更长的公司即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，， 当时，； 当时，． （2）解：∵两家公司提供的方案所需租赁费用相同， 根据题意，得，解得， ∴当播种机的租赁时间为12小时时，这两家公司提供的优惠方案所需租赁费用相同． （3）解：由题可得，一次性用480元租赁播种机时，租赁时间一定超过4小时， 在中，当时，， 在中，当时，， ∵， ∴选择乙公司，能使租赁的时间更长． 【变式2】（25-26七年级上·重庆·期中）某游乐园票价为每人120元，为了吸引客源，该游乐园在“双11”期间推出了针对团体的优惠活动，具体内容如下： ①若团体人数不足10人，则不享受优惠； ②若团体人数在10人及以上，则有两种优惠方案可供选择； 方案一：每人都享受七五折优惠； 方案二：其中10人享受八五折优惠，其余人享受六折优惠． 期中练习后，为了让孩子们放松一下，三个家庭准备到该游乐园游玩，已知A家庭有4人，B家庭有3人，C家庭有2人． (1)若这三个家庭直接去游乐园，则购买门票共需花费多少元？ (2)为了享受优惠，他们准备再邀请一些人组成团体一起去该游乐园，假设他们共邀请了x个人，请解决下列问题： ①若他们选择方案一，设购买门票共需花费y元．试用含x的代数式表示y； 若他们选择方案二，设购买门票共需花费w元，试用含x的代数式表示w． ②当时，选择哪种方案更合算？请通过计算说明． 【答案】(1)购买门票共需花费元 (2)①方案一：；方案二：；②选择方案二更划算 【思路引导】本题考查了一次函数的应用，正确表示出不同的表达式是解题的关键． （1）依据题意可得不享受优惠，计算即可； （2）①依据题意，分别根据购票方案一，方案二，表示出购买门票的费用； ②依据题意，将代入各个表达式对比即可． 【规范解答】（1）解： A家庭有4人，B家庭有3人，C家庭有2人， 则共有（人）， 购买门票共需花费（元）， 答：购买门票共需花费元； （2）解：①方案一:； 方案二： ②当时，（元）； （元）， ， 故选择方案二更划算． 题型2 最大利润问题（一次函数的实际应用） 【精讲】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）某儿童服装店准备到批发市场购买A，B两种品牌的儿童内衣．已知B品牌的进货单价是A品牌进货单价的3倍，该儿童服装店购买B品牌的数量y（件）与A品牌的数量x（件）之间的关系满足一次函数，部分数据如下表所示． x/件 … 50 60 100 … y/件 … 250 240 200 … 当购买的A，B品牌的儿童内衣中，A品牌内衣为100件时，购买这两种品牌儿童内衣共需7000元． (1)求y与x之间的函数表达式． (2)求A，B两种品牌的儿童内衣进货单价． (3)若该儿童服装店每销售1件A品牌儿童内衣可获利4元，每销售1件B品牌儿童内衣可获利9元．根据销售需求，该儿童服装店决定用不超过5400元购买A，B两种品牌的儿童内衣，该儿童服装店购买A，B两种品牌内衣各多少件才能使利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)A品牌进货单价为10元，B品牌进货单价为30元 (3)购买A品牌内衣180件，B品牌内衣120件时利润最大，最大利润为1800元 【思路引导】本题考查一次函数及其应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意并求得一次函数解析式是关键； （1）设y与 x之间的一次函数为，利用待定系数法即可求解； （2）由（1）所求可求得购买B品牌内衣的数量，根据：购买这两种品牌儿童内衣共需7000元建立方程即可求解； （3）设利润为元，则，再根据题意得，利用一次函数的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：设购买B品牌的数量y（件）与A品牌的数量x（件）之间的一次函数为， 由表格知，当时，；当时，； 则， 解得：， ∴， 答：y与x之间的函数表达式为； （2）解：∵， ∴当时，； 设A品牌进货单价为a元，则B品牌进货单价为元， 由题意得：， 解得：， 则（元）， 答：A品牌进货单价为10元，则B品牌进货单价为元； （3）解：设利润为元，则， 由题意得：， 即， 解得：， 对于，， ∴当时，函数值随自变量的增大而减小， ∴当时，取得最大值，且最大值为：， 此时（件）， 答：购买A品牌内衣180件，B品牌内衣120件时利润最大，最大利润为1800元 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）某商场购进甲、乙两种商品进行销售，设用元购进甲种商品工件，与之间的函数关系如图所示，乙种商品按元件的价格购进． (1)求当时，与之间的函数关系式； (2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种商品共件，且甲种商品不少于件，甲、乙两种商品的总进货款不少于元，求的取值范围； (3)若甲、乙两种商品的销售价格分别为元件和元件，经销商将（）中购进的甲、乙两种商品全部销售完，获得的利润最多为元，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【思路引导】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，不等式组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设与之间的函数关系式为，然后利用待定系数法即可求解； （）根据题意，得，然后结合，则得的取值范围为； （）设获得的利润为元，则，当的最大值为时，得，然后根据一次函数性质即可求解． 【规范解答】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将，代入， 得， 解得， ∴当时，与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意，得， 解得， 又∵， ∴的取值范围为； （3）解：设获得的利润为元，则， 当的最大值为时，得， ∵， ∴，即， ∴随的减小而增大， 当时，值最大，， 解得， ∴的值为． 【变式2】（25-26八年级上·安徽六安·期中）综合与实践：设计最大利润的采购方案． 某超市欲购进一批饮料，已知购进2箱可乐和3箱雪碧需要270元，购进3箱可乐和1箱雪碧需要195元．现要求： ①购进可乐和雪碧共300箱； ②可乐的购进数量最少为150箱； ③可乐的购进数量不超过雪碧的2倍． 已知可乐售价为65元/箱，雪碧售价为70元/箱．设可乐购进了箱，全部售出后的利润为元． (1)求每箱可乐和雪碧的进价各是多少元； (2)求和之间的函数关系式；（写出自变量的取值范围） (3)受市场影响，超市实际采购时，每箱可乐进货单价上调了元，每箱雪碧进货单价下调了元，其他条件不变．如何分配可乐和雪碧的购进数量，能使利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)每箱可乐的进价为45元，每箱雪碧的进价为60元 (2)（） (3)当时，购进可乐200箱、雪碧100箱，最大利润为元；当时，购进可乐150箱、雪碧150箱，最大利润为元；当时，购进可乐在150箱至200箱之间任意数量，利润均为4000元． 【思路引导】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数的应用，根据题意正确列出二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数是关键． （1）设每箱可乐和雪碧的进价分别是，元，根据题意列出方程组解方程组即可； （2）依据题意，设可乐购进了箱，则雪碧购进了箱，根据题意得到，根据可乐的购进数量最少为150箱，可乐的购进数量不超过雪碧的2倍，求出； （3）结合（2）所求解析式，从而分情况进行解答即可． 【规范解答】（1）解：设每箱可乐和雪碧的进价分别是，元， 解得 答：每箱可乐和雪碧的进价分别是45元，60元． （2）设可乐购进了箱，则雪碧购进了箱， 根据题意得：， 可乐的购进数量不超过雪碧的2倍， ，解得． 又可乐的购进数量最少为150箱， ． （）． （3）根据题意得：， 当，即时，随的增大而增大， ， 当时，最大，此时． 当，即时，随的增大而减小， ， 当时，最大，此时． 当，即时，，保持不变． 综上所述，当时，购进可乐200箱、雪碧100箱，最大利润为元；当时，购进可乐150箱、雪碧150箱，最大利润为元；当时，购进可乐在150箱至200箱之间任意数量，利润均为4000元． 题型3 行程问题（一次函数的实际应用） 【精讲】（25-26八年级上·四川成都·期中）年月日，以“乐跑成马，畅游金秋”为主题的成都马拉松鸣枪起跑．来自全球的名选手从承载着古蜀文明的金沙遗址博物馆出发，一路穿越天府广场、春熙路、天府大道等城市地标，最终抵达世纪城新国际会展中心，完成全长的荣耀赛程．甲、乙两名选手也参加了本次比赛，两人同时抵达第一个补给点，乙在该补给点处停留休息了一会儿，，分别表示在某段时间内甲、乙两名选手距离补给点的距离与时间之间的关系．根据图象回答下列问题： (1)请求出这段时间内，，的解析式分别是多少？ (2)乙休息完后继续出发，则乙经过补给点后多长时间，甲乙两名选手相距？ 【答案】(1)，； (2)或 【思路引导】本题主要考查一次函数的应用和绝对值的应用，解题的关键是明白题目时间和距离补给点距离的关系； （1）根据图像中的数据和行程关系即可求得各自的函数的解析式； （2）结合题意列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：由图可知甲乙都是匀速运动， 对于：从到时，行驶距离为， 则甲的速度为， 所以的关系式为： ， 对于：从到时，行驶距离为， 则乙的速度为， 则的关系式为：； （2）由题意得：， 即， 化简得， ①当时， 解得， ②当时， 解得， 答：乙经过补给点后或时间，甲乙两名选手相距． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇．已知慢车的速度为，两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数关系如图所示． (1)两地相距______，快车返回时速度为______； (2)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，则还需______到达甲地； (3)慢车出发多长时间后，两车相距． 【答案】(1)330；100 (2)2.8 (3)或 【思路引导】本题考查了一次函数的应用、求一次函数的解析式、一元一次方程的应用，读懂函数图象获取必要的信息是解题的关键． （1）根据图象求出快车和慢车的速度差，结合慢车的速度为，求出快车的速度，再利用公式：路程速度时间，求出两地的距离；设快车返回时速度为，根据图象的信息列出方程，求出的值即可解答； （2）计算出两车相遇时慢车行驶的距离，再用此时的距离除以快车返回的速度即可求解； （3）根据图象可知两车有2次相距的情况，故分2种情况并利用一次函数的知识求解即可． 【规范解答】（1）解：由图可得，快车和慢车的速度差为， ∵慢车的速度为， ∴快车的速度为， ∴两地相距； ， 设快车返回时速度为， 则， 解得， ∴快车返回时速度为； 故答案为：330；100； （2）解：两车相遇时，慢车行驶的距离为， ∴快车以返回的速度继续向甲地行驶，到达甲地还需时间为， 故答案为：2.8； （3）解：两车第一次相距时，慢车出发时间为； 快车到达乙地卸装货物结束时，和慢车的距离为， ∴点的坐标为， 设线段的解析式为， 代入和，得， 解得， ∴线段的解析式为， 令，则， 解得， ∴当慢车出发后，两车第二次相距； 答：慢车出发或后，两车相距． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）一条笔直公路上依次有A、B、C三地，甲车从B地匀速行驶到A地，到达A地因故停留1小时，然后按原路原速返回到C地（调头时间忽略不计）：乙车在甲车出发1小时后，从A地匀速行驶到C地，到达C地后停止行驶，在行驶的过程中．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与乙车行驶时间（小时）函数图象如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车行驶的速度为___________千米/时，B、C两地相距的路程是___________千米； (2)求甲车从A地驶向B地的过程中，y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)请直接写出甲车出发多少小时，两车相距40千米． 【答案】(1)120，120 (2)； (3)甲车出发2小时或2.4小时或小时，两车相距40千米． 【思路引导】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据图象知点表示当乙出发时，甲已经出发距B地120千米，据此可求得甲车行驶的速度；再求得各路段的距离； （2）先求得点，，利用待定系数法求解即可； （3）分四种情况讨论，根据题意结合图形列出方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得， 先明确折线N-P-R-E-F是甲车的对应图象，线段是乙车的对应图象， 其中，x(小时)表示乙车的行驶时间，y(千米)表示甲车距各自出发地的路程； 点表示当乙出发时，甲已经出发距B地120千米； 又∵乙车在甲车出发1小时后出发，则甲车行驶1小时的路程为120千米， ∴(千米/小时)， 故甲车行驶的速度为120千米/小时； 段表示甲车在A地滞留1个小时， 点P表示甲车到达乙地， 此时，则甲车的行驶时间为小时； ∴B、A两地的距离为(千米)； 点M表示乙车达终点C地，则A、C两地的距离为480千米， ∴B、C两地的距离为 (千米)； 故答案为：120，120； （2）解：点P表示甲车到达A地，B、A两地相距360千米， 则点， 段表示甲车在A地滞留1小时，则点； 点E表示甲车由A地返回B地，用时(小时)， ∴点， 则甲车从A地返回B地对应线段为， 设的解析式为， 将点，代入得，， 解得， ∴的解析式为； （3）解：由图象可知， ∴点， ∴乙车的速度为(千米/小时)， 设甲车出发t小时，两车相距40千米，则乙车行驶小时； 由（1）知，B、A两地距离360千米，B、C两地相距120千米，A、C两地相距480千米，甲车的速度为120千米/小时， ①在甲车由B→A过程中(此时两车相向而行）， 当时，甲车列达A地，（）， 由题意得或， 解得或； ②在甲车在A地滞留1小时时，此时， 当时，甲到达A地， 此时乙与A地的距离也就是它的路程为， ∴此段甲、乙两车不可能相距40千米，舍去； ③在甲车由A→C且乙车到达终点之前(两车同向而行)，乙车到达终点C时，即点M处，， 故此时，此段时，乙车先到达终点C， 由题意得， 解得，此段不符合题意舍去； ④乙车到达终点之后()， 此时乙车停在C地， 当甲，乙两车相距40千米时， 由题意得， 解得； 综上，甲车出发2小时或2.4小时或小时，两车相距40千米． 题型4 梯度计价问题 【精讲】（25-26八年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及分档计费标准： 计费档 户月用电量 单价/[元] 第一档 第二档 第三档 (1)请直接写出电费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户上一个月的用电量为，求该户上一个月的电费； (3)某户上一个月的电费是元，求该户上一个月的用电量． 【答案】(1) (2)元 (3) 【思路引导】本题考查分段函数的应用．根据不同用电量范围的单价来计算电费是解题的关键． （1）根据各档次计费方法计算即可； （2）已知某户上一个月的用电量为，判断其处于内，将代入（1）中相应的关系式计算即可； （3）先分别计算第一档最多电费为（元），再计算用电量为时的电费，然后与已知电费元比较，可知该户上一个月的用电量超过第二档，即用电量在内，最后将代入（1）中相应的关系式计算即可． 【规范解答】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴与之间的关系式为； （2）解：将代入， 得：（元）， ∴该户上一个月的电费为元； （3）解：∵，， ∴该户上一个月的用电量超过， 将代入， 得：， 解得：， ∴该户上一个月的用电量为． 【变式1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）个人工资薪金所得税征收办法规定：月收入不超过5000元的部分不收税；月收入超过5000元但不超过8000元的部分征收的所得税；月收入超过8000元但不超过17000元的部分征收的所得税；月收入超过17000元但不超过30000元的部分征收的所得税…如某人月收入15000元，他应缴个人工资、薪金所得税：（元）． (1)当月收入超过8000元但不超过17000元时，写出应缴所得税（元）与月收入（元）之间的关系式； (2)某人月收入9800元，求他应缴所得税多少元； (3)某人本月缴费540元，求此人本月的工资是多少元． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了列一次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）月收入超过元但低于元的部分征收的所得税；月收入超过元但低于元的部分征收的所得税，据此即可列出函数解析式； （2）将代入（1）中解析式，即可求解； （3）将代入（1）中解析式，即可求解． 【规范解答】（1）由题意可得， 即应缴所得税（元）与月收入（元）之间的关系式为． （2）当时，（元） 某人月收入9800元，他应缴所得税为元 （3）当时，， 解得， 此人本月的工资是元． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）为鼓励市民节约用电，深圳市电力公司对居民用电实行阶梯电价收费．现提供小强家某月电费发票的部分信息如下表所示： 深圳市居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 第二档： 第三档： 本月实用金额：167.5（元） （大写）壹佰陆拾柒元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，求出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请通过计算判断小强家该月的用电量处于哪个计费档，并求出该月的实际用电量； (3)若小强家8月的实际用电量为420度，则他家8月实付电费为多少元？ 【答案】(1) (2)小强家该月的用电量处于第二档，该月的实际用电量为250度． (3)元 【思路引导】本题主要考查了一次函数的应用、有理数混合运算的应用等知识点，根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系是解题的关键． （1）当时成一次函数关系，实付金额等于200度内的用电付出金额与超出200度的用电付出金额的和，据此列出y与x的函数关系式即可； （2）先计算出用电量200度和400度支付金额，即可确定用电量处于那一档；然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可解答． （3）根据题意列式，然后运用有理数混合运算法则计算即可． 【规范解答】（1）解：当时，则， 答：当时，y与x之间的函数关系式为． （2）解：∵200度电费为：，400度电费为：， ， ∴小强家该月的用电量处于第二档， 令，则，解得：． 答：小强家该月的用电量处于第二档，该月的实际用电量为250度． （3）解：∵， ∴小强家本月用电量属于第三档， ∴ 元． 答：小强家这一个月实付金额元． 题型5 其他问题（一次函数的实际应用） 【精讲】（25-26八年级上·福建三明·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位是时间的一次函数，通过观察，每分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … 0 2 4 6 8 … 2 2.8 3.6 4.0 5.2 … (1)在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表，的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第_________次数据是不准确的． (2)当记录时间为分钟时，漏刻水位是多少？ (3)求与的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？ 【答案】(1) (2)当记录时间为分钟时，漏刻水位是 (3)与的函数关系式为，当水位为时，对应时间是 【思路引导】本题主要考查一次函数的应用，审清题意，列出正确的函数关系式是做题的关键． （1）由表格中数据可知，时间每增加分钟，增加，据此可知错误的值； （2）由表格中数据可知，每分钟漏刻水位升高，列式计算即可解答； （3）设水位与时间的一次函数关系式为（、为常数，且），再用待定系数法求解析式，然后把代入解析式求解即可． 【规范解答】（1）解：由表格中数据可知，时间每增加分钟，增加， 当时，． 第次数据是不准确的． 故答案为： （2）解：由表格中数据可知，每分钟漏刻水位升高， ． 答：当记录时间为分钟时，漏刻水位是． （3）解：设与的函数关系式为（、为常数，且）． 将和分别代入， 得， 解得， 与的函数关系式为， 当时，得， 解得， 即当水位为时，对应时间是． 答：与的函数关系式为，当水位为时，对应时间是． 【变式1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）某商家在网上销售地方特色产品，需要大量包装盒，已知该种包装盒有两种进货渠道． 渠道一：从纸箱厂订购，购买所需费用（元）与包装盒数（盒）满足如图所示的函数关系； 渠道二：从纸箱厂租赁机器，自己加工制作该种包装盒，所需费用（包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用）（元）与包装盒数（盒）满足如图所示的函数关系． 根据上述信息，请回答下列问题： (1)求渠道一中包装盒的单价； (2)请分别求出，与x的函数关系式； (3)如何选择进货渠道，才能够更省钱？请说明理由． 【答案】(1)渠道一中包装盒的单价为3元 (2)的函数关系式为；的函数关系式为 (3)当时，两种进货渠道同样省钱； 当时，选择进货渠道一更省钱； 当时，选择进货渠道二更省钱. 【思路引导】（1）根据金额除以数量等于单价解答即可； （2）根据图象，利用待定系数法解答即可； （3）求出当x的值为多少时，两种方案同样省钱，并据此分类讨论最省钱的方案即可． 本题考查了待定系数法求解析式，省钱方案的选择，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据题意，得单价为：（元）． 答：渠道一中包装盒的单价为3元． （2）解：设的函数关系式为． 把代入，得， 解得， ∴的函数关系式为. 设的函数关系式为. 把，代入，得 解得 ∴的函数关系式为． （3）解：根据题意，得， 解得． 当时，两种进货渠道同样省钱； 当时，选择进货渠道一更省钱； 当时，选择进货渠道二更省钱． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的关系如图乙所示．下列说法①铁块的高度为；②铁块入水之前，烧杯内水的高度为；③当铁块下降的高度为时，弹簧测力计的示数为；④当弹簧测力计的示数为时，此时铁块距离烧杯底．正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数，依次判断后得出正确的个数． 【规范解答】解：当时，铁块接触水面，当时，铁块完全浸没于水中， 铁块的高度为． 故①正确； 由图像可知，当时，铁块开始接触水面， 所以铁块入水之前，烧杯内水的高度为， 故②正确； 设的解析式为，将代入得： ， ， ， 把代入，得． 故③错误； 把代入，得． 故④错误． 故选：B． 题型6 一次函数与几何综合 【精讲】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，）的图象与轴的交点为点，与轴的交点为点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值； (2)若是轴上一点，且的面积为9，求点的坐标； (3)观察图象，直接写出关于的不等式组的解集． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3) 【思路引导】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）先得出点C的坐标，然后再根据待定系数法可进行求解； （2）由（1）可知，设点的坐标为，则有，然后可得方程，进而求解即可； （3）根据一次函数的图象可进行求解． 【规范解答】（1）解：把点代入正比例函数得：，解得：， ∴， 把，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为， ∴； （2）解：由（1）可知：一次函数的解析式为， 令时，则， ∴， 设点的坐标为，则有， ∴， 解得：或8， ∴点的坐标为或； （3）解：由图象可知：一次函数与正比例函数的图象交于点，且在点C的左侧一次函数的图象在正比例函数图象的上方， ∴关于的不等式组的解集为． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知：如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴、轴分别交于点、点，且的面积为9． (1)求的值； (2)如图2，若点是线段上一动点，过点作，交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，进而求解即可； （2）由题意可设直线的表达式为，然后可得，即直线的表达式为，进而可得，最后问题可求解． 【规范解答】（1）解：直线与轴、轴分别交于点、点， ∴令时，则有，解得：；令时，则有， ， ， ， ， ， 解得：， 由题图知， ； （2）解：，设直线的表达式为， 则， ， 直线的表达式为， 令，得， ， ， 线段的长为， ． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）【模型发现】 （1）如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，可证明得到的全等三角形是______≌______． 【模型应用】 （2）如图2，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线经过点B和第一象限点C，且，，求点C的坐标； （3）如图3；在平面直角坐标系中，已知点，连接，在y轴左侧的平面内是否存在一点Q，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，点Q的坐标为或或 【思路引导】本题是坐标与图形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直线与坐标轴交点，等腰直角三角形的性质等知识，理解题意，正确应用模型是解题关键． （1）分别证明，，根据 “”即可证明； （2）过点C作轴于点H，先求出于A、B两点坐标，得到，，证明得到，，即可求出点C的坐标为； （3）设，分①点P为直角顶点，Q在上方，②点P为直角顶点，Q在下方，③O为直角顶点，三种情况讨论，逐一求解即可． 【规范解答】解：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴ ． 故答案为：，； （2）如图，过点C作轴于点H， 直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，， 解得； 当时，； ，， ，， ， ， 轴， ， ， 在和中， ， ∴ ， ，， ， 点C的坐标为； （3）在y轴左侧的平面内存在一点Q，使得是以OP为直角边的等腰直角三角形；点Q的坐标为或或 理由如下： 设， ①当点P为直角顶点，Q在上方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图， 同（1）可证≌ ， ，， 依题意得：， 解得：， ； ②当点P为直角顶点，Q在下方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图， 可得，， 依题意得：， 解得：， ； ③当O为直角顶点，过点P作轴交y轴于点K，过点作于点T，如图， 可得，， 依题意得：， 解得：， ． 综上所述，在y轴左侧的平面内存在一点Q，使得是以为直角边的等腰直角三角形；点Q的坐标为或或 1．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）据新闻报道，为鼓励居民节约用水，北京市将出台新的居民用水收费标准：①若每月每户居民用水不超过，则按2元/计算； ②若每月每户居民用水超过，则超过部分按元计算（不超过部分仍按2元/收费）．现假设该市某户居民某月用水，水费为元．则与的函数关系用图像表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了函数的图像，根据数量关系，找出关于的函数关系式是解题的关键．根据收费标准求出关于的函数关系式，对照四个选项即可得出结论． 【规范解答】解：∵每月每户居民用水不超过，按2元/计算， ∴当时，； ∵若每月每户居民用水超过，则超过部分按元计算（不超过部分仍按2元/收费） ∴当时，， 由解析式得与的函数关系用图像表示正确的是C选项． 故选：C． 2．定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“平衡点”．例如：都是“平衡点”．当时，直线上有“平衡点”，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键． 根据可得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【规范解答】解：， ，即， ， ， ， 故选：B． 3．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键，设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据各类会员卡的收费标准列出式子，再比较，即可得出答案． 【规范解答】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得， 不够买会员卡时，， 购买A类会员年卡，， 购买B类会员年卡，， 购买C类会员年卡，， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，， 此时， ∵游泳的次数介于次之间 ∴当时，， 即此时购买C类会员年卡，消费最低， ∴最省钱的方式为购买C类会员年卡， 故选：C． 4．已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 由解析式求出点，点，再根据勾股定理即可得出的长，由折叠的性质，可求得与的长，，然后设，由在中，勾股定理，建立方程，解方程即可求出M的坐标． 【规范解答】解：令，可得，即，令时，，即， ∴， 由折叠的性质，得：， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故选：B． 5．（20-21八年级上·陕西咸阳·期末）如图，经过长方形的顶点B的直线l将长方形分成面积比为的两部分.已知点A在x轴上，点C在y轴上，且，，直线l与y轴的交点在线段上，则直线l的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查一次函数与几何综合，先求出长方形的面积，根据直线l将长方形分成面积比为的两部分可求出，求得，得，即，运用待定系数法可求出直线的解析式． 【规范解答】解：如图， ∵，， ∴长方形的面积，， ∴， ∵经过长方形的顶点B的直线l将长方形分成面积比为的两部分. ∴, ∴， ∵， ， ∴， ∴， 设直线l的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线l的解析式为， 故选：B． 6．（23-24八年级下·河北保定·期末）两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，如图，表示两人离地的距离与时间的关系，请结合图像解答下列问题： 表示乙离地的距离与时间关系的图像是 填“”或“； 甲的速度是 ，乙的速度是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查一次函数的图像，从函数图像中找到正确的信息是解题的关键． 根据图像可得表示乙离地的距离与时间关系的图象是，由图像可得，甲走需要2小时，乙走需要3小时，即可解答． 【规范解答】解：由图像，可得表示乙离地的距离与时间关系的图象是； （），（）， ∴甲的速度是，乙的速度是． 故答案为：；30；20． 7．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图案，其中点，．若过原点的直线l将这个图案分成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查待定系数法求解析式，图形面积， 如图，连接中间两个小正方形构成的长方形的对角线，则经过对角线交点的直线把此长方形分成面积相等的两部分，可知此直线也把整个图形分成面积相等的两部分，根据点A，B的坐标可得C的坐标，再根据待定系数法可求直线的函数解析式． 【规范解答】解：如图，∵， ∴C的坐标为． ∵过原点的直线l将这个图案分成面积相等的两部分 ∴直线l经过点C． 设直线l的函数解析式为， ∴， 解得， ∴直线l的函数解析式为， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，之后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：）与时间x（单位：）之间的关系如图．则在第 分钟时，容器内的水量是． 【答案】3或16 【思路引导】本题考查一次函数的应用．根据图象分别求出进水速度和出水速度，从而分别写出当、时y与x之间的函数关系式，当时，求出对应x的值即可． 【规范解答】解：进水速度为， 出水速度为， 当时，y与x之间的函数关系式为， 当时，得， 解得， ， ， 当时， y与x之间的函数关系式为， 当时，得， 解得， ∴在第3分钟或第16分钟时，容器内的水量是． 故答案为：3或16． 9．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 时间就追上甲． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数的应用，读懂函数图象，熟练掌握待定系数法是解题关键．先分别求出线段所在直线的函数解析式、线段所在直线的函数解析式，再联立，求出它们的交点，则可得乙追上甲的时间点，然后减去乙出发的时间即可得． 【规范解答】解：设线段所在直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则线段所在直线的函数解析式为， 设线段所在直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则线段所在直线的函数解析式为， 联立，解得， 即乙在2点半的时候追上甲， 由函数图象可知，乙是在2点出发， 则乙从出发到追上甲所用时间为， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，且与其中一个正方形的边交于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一次函数的几何应用．过点A作轴于点C，则，结合直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，可得，从而得到点A的坐标为，进而得到直线的解析式，即可求解． 【规范解答】解：过点A作轴于点C，则， ∵直线平分这8个正方形所组成的图形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， 把代入得： ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点B的纵坐标为1， 把代入得： ，解得：， ∴点B的坐标为． 故答案为： 11．年春节假日期间，万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，以飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需元． (1)求A，B两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)元；元 (2)A种购买千克，B种购买千克；元 【思路引导】本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，最大利润问题(一次函数的实际应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克，根据题中的等量关系列出方程组求解； （2）设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元，列出一次函数关系式，再根据一次函数的增减性求出最值． 【规范解答】（1）解：设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克． 根据题意，得， 解得， A种食材的单价是每千克元，B种食材的单价是每千克元． （2）解：设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元． 根据题意，得． ， ． ， 随的增大而增大． 当时，有最小值为：（元）． A种食材购买千克，B种食材购买千克时，总费用最少，为元． 12．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． (1)求A、B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，此时M点的坐标为或． 【思路引导】本题主要考查了求一次函数值，一次函数与几何图形，全等三角形的性质和判定， 对于（1），由直线l的函数解析式，令求A点坐标，求B点坐标； 对于（2），由面积公式求出S与t之间的函数关系式； 对于（3），当时，可得并得到M点坐标． 【规范解答】（1）解：对于直线， 当时，；当时，， 则A、B两点的坐标分别为； （2）解：∵， ∴， 当时，； 当时，， 综上， ； （3）解：M点的坐标为或； 理由如下： ∵， ∴只需，则， 即， 此时，若M在x轴的正半轴时，M点的坐标为； M在x轴的负半轴，则M点的坐标为， 综上，当时，此时M点的坐标为或． 13．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为，求点的坐标； ②连接，如图2，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②或 【思路引导】本题考查一次函数的综合应用． （1）先由求得，．由点与点A关于轴对称可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式即可． （2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可； ②分点M在y轴的左侧和点M在y轴的右侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【规范解答】（1）解：对于， 由得：， 由得：， 解得， ∴，， ∵点与点A关于轴对称， ∴ ， 设直线的函数解析式为， 则， 解得． ∴直线的函数解析式为； （2）解：①设， 则、， 如图1，过点作于点， ∴，， ∴， 解得， ∴，或；        ②如图，当点在轴的左侧时，∵点与点A关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ，，， ， 解得． ． 当点在轴的右侧时，如图3， 同理可得， 综上，点的坐标为或． 14．“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以下信息，解答下列问题： (1)设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式； (2)当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同； (3)根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明选择怎样的出游方案更合算． 【答案】(1)； (2)当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同 (3)当租车时间为小时，任意选择其中的一个方案；当租车时间小于小时，选择方案二合算；当租车时间大于小时，选择方案一合算． 【思路引导】本题主要考查了一次函数的应用，解题时注意：求正比例函数，只要一对x，y的值；而求一次函数，则需要两组x，y的值． （1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得关于x的函数表达式即可； （2）当时，，可得的值； （3）当时，，当时，，当时，，分求得x的取值范围即可得出方案． 【规范解答】（1）解：设， 把点代入，可得：， 解得， ∴； 设， 把代入，可得，即， ∴； （2）解：当时，， 解得； 答：当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同； （3）解：由（2）知：当时，； 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴当租车时间为小时，任意选择其中的一个方案；当租车时间小于小时，选择方案二合算；当租车时间大于小时，选择方案一合算． 15．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元. (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价为70元，设甲种型号头盔购进了个，全部售出后的利润为元. ①求的最大值. ②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了元，同时乙种头盔进货单价下调了元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4200元，求的值. 【答案】(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，元； (2)①；② 【思路引导】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数的应用，根据题意正确列出二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数是关键． （1）设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，根据题意列出方程组解方程组即可； （2）①设甲种型号头盔购进了个，则甲种型号头盔购进了个，根据题意得到，求出，根据一次函数的性质进行解答即可；②列出一次函数解析式，分情况进行解答即可． 【规范解答】（1）解：设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元， 则， 解得 答：甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，元； （2）①设甲种型号头盔购进了个，则乙种型号头盔购进了个， ∴， 由题意可得， 解得， ∵，其中，， ∴随着x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为． ②由题意可得，， ∵， ∴当即时，随着x的增大而增大，当时，w取得最小值，最小值为， ∴， 解得， 当即时，随着x的增大而减小，当时，w取得最小值，最小值为， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $