精品解析：山东省烟台市莱山区2025-2026学年 （五四学制）九年级上学期期中数学试题

2025－2026学年度第一学期第一阶段检测练习题 初四数学 注意事项： 1.本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2.答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5.写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，那么tan B＝(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用锐角三角函数的定义求解． 【详解】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝， ∴设a=4x，则c=5x，b=3x, ∴tan B= 故选D. 【点睛】考查了锐角三角函数的定义，解题关键是通过设参数的方法，再利用锐角三角函数的定义求三角函数值． 2. 如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（ ） A. 主视图不变 B. 左视图不变 C. 俯视图不变 D. 三种视图都不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质以及几何体三视图的概念，解题的关键是理解平移过程中几何体的形状和大小不变，分析平移方向对不同视图的影响．​ 明确平移的性质：平移不改变物体的形状和大小，只改变物体的位置；分析橡皮擦的平移方向为垂直于书本右边缘，即左右方向平移；分别判断主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）在平移过程中的变化，主视图和俯视图会因位置改变而变化，左视图不受左右平移影响．​ 【详解】​选项A：主视图是从正面观察物体所得到的图形．橡皮擦沿垂直于书本右边缘的方向（即左右方向）平移时，其在正面视角中的水平位置发生了改变，导致主视图呈现的图形位置随之变化，因此主视图是会改变的，该选项错误． 选项B：左视图是从左面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，左视图主要反映的是橡皮擦的侧面高度和宽度，而平移方向（左右方向）不会影响侧面的形状和大小，左视图的形状和大小均未发生变化，因此左视图不变，该选项正确． 选项C：俯视图是从上面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，其在水平面上的位置发生了改变，俯视图中图形的位置也会随之变化，因此俯视图是会改变的，该选项错误． 选项D：由上述分析可知，主视图和俯视图会因平移导致的位置变化而改变，只有左视图不变，并非三种视图都不变，该选项错误． 故选：B． 3. 已知二次函数有最大值，则a的值为（　　） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义条件列出方程求解，再根据二次函数有最大值就说明图象开口向下，，分别解得即可． 【详解】解：由二次函数定义可知， 解得， ∵二次函数有最大值， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的定义及二次函数的最值，熟知二次函数的性质是解题的关键． 4. 如图，一座厂房屋顶人字架的跨度，上弦，．若用科学计算器求上弦AB的长，则下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过B点作BD⊥AC于D，根据等腰三角形的性质得到，在中，利用的余弦进行计算即可得到，再得到正确的按键顺序． 【详解】过B点作BD⊥AC于D， ∵AB=AC，BD⊥AC，AC=12米， ∴AD=CD=6米， 在Rt△ADB中，∠BAC=25°， ∴AB 即按键顺序正确的是． 故选： 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，在直角三角形中已知一个锐角和它的邻边，可利用这个角的余弦求出斜边，也考查了等腰三角形的性质． 5. 如图，5个边长为的立方体摆在桌子上，则露在表面的部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的表面积，解题的关键在于掌握视图的概念及定义，上面一个露出5个面，下面四个均露出3个面，还要考虑上面覆盖的一个． 【详解】解：第一层在表面的部分为，第二层在表面的部分为， 所以此几何体露出在表面的部分的面积为， 故选：B． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是二次函数和一次函数的图象，能根据函数图象所在的象限判断出，的符号是解题的关键．本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致即可． 【详解】解：A、一次函数的图象经过一二四象限，故，，由二次函数的图象可知，，此选项错误，不符合题意； B、一次函数的图象经过一二三象限，故，，由二次函数的图象可知，，此选项错误，不符合题意； C、一次函数的图象经过一二四象限，故，，由二次函数的图象可知，，此选项错误，不符合题意； D、一次函数的图象经过一二三象限，故，，由二次函数的图象可知，，此选项正确，符合题意． 故选：D． 7. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可. 【详解】解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 8. 如图，正方形的边长为2，是边的中点，把沿折叠得到（点的对应点为点），则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定，勾股定理，求正切值等，熟练掌握知识点是解题的关键．过点作，分别交于点，证明四边形是矩形和，再利用相似三角形的性质得出，再利用勾股定理求出的值，进而求解即可． 【详解】解：过点作，分别交于点， ∵四边形为正方形， ∵是边的中点，把沿折叠得到， ∴四边形是矩形， 设， 则， ， ， 在Rt中，，即，解得， ， 故选：C． 9. 如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分三种情况：点E在上时，点E在上且l与相交时，点E在上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解． 【详解】解：当点E在上时，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在上且l与相交时，作，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为直线一部分； 当点E在上且l与相交时，如图， ，，， ， ， ， 此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选A． 【点睛】本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键． 10. 已知二次函数的与的部分对应值如下表： 1 5 0 5 9 5 下列结论：①；②关于的一元二次方程有两个相等的实数根；③当时，的取值范围为；④若点，均在二次函数图象上，则；⑤满足的的取值范围是或． 其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】通过待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的图象与性质逐一验证各结论是否正确．本题考查二次函数的图象与性质． 【详解】解：由表，取点代入， 得方程组：， 解得， ∴二次函数为． ①∵， ，正确． ②方程化为，有两个相等实数根，正确． ③函数图象开口向下，顶点为， ∴当时，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小， 又∵当时，，当时，， ∴当时，，结论错误． ④∵点和的横坐标平均值， ∴两点关于对称轴对称， ∴，正确． ⑤不等式化为，即， 令得， 由二次函数图象性质可知不等式的解集是，结论错误． ∴正确结论为①②④，共3个． 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 函数中, 自变量的取值范围为_____________ 【答案】x≥2且x≠3 【解析】 【详解】由题意得 x-2≥0且x2-9≠0, 解之得 x≥2且x≠3. 点睛:本题考查了函数自变量的取值范围．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 12. 抛物线的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新图象的解析式为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据抛物线图象平移的性质，先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，应用“左加右减，上加下减”的规则求解． 【详解】解：原抛物线解析式为， 先向左平移3个单位，得：， 再向上平移4个单位，得：， 故答案为：或． 13. 如图为一机器零件的三视图，它的俯视图为正三角形，根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的体积是______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三视图、正三角形的性质、勾股定理．根据三视图可知该几何体为三棱柱，底面为高是的正三角形，根据正三角形的几何性质及勾股定理求出正三角形的边长和面积，再根据三棱柱的体积公式即可求解． 【详解】解：由三视图可知该机器零件为三棱柱，如图： 三棱柱底面是高为的正三角形： 如图，正三角形，过A作， ∴，， ∴， 设，则， 则， ∴， ∴， ∴正三角形的面积为， 故这个几何体的体积是． 故答案为：． 14. 小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，若，，，则该玻璃透镜的折射率为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 由题意得，则，所以，然后通过折射率即可求解． 【详解】解：如图，折射光线沿垂直边的方向射出， ∵法线垂直于，, ∴，， ∴， ， 折射率． 故答案为：2． 15. 台风是一种破坏性极强的自然灾害．如图，点A是东方市，台风中心位于东方市的南偏东方向，距离为240千米的点B 处，已知台风中心沿北偏西的方向移动， 一段时间后台风中心移动到东方市的南偏东方向的点C处，此时台风中心移动的路径 的长度为____千米 ． 【答案】240 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的知识是解题关键． 根据题意可得，得到，过点C作于H点，利用等腰三角形的性质结合锐角三角函数的知识求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， 则， ∴， 过点C作于H点， ∴， 则在直角三角形中，千米． 故答案为：240． 16. 二次函数，当时，若图象上的点到x轴距离的最大值为4，则m的值为______． 【答案】或3##3或 【解析】 【分析】按对称轴所在位置情况分别作图，由二次函数图象性质可知到x轴距离的最大值的点是图象顶点或两端点，分类讨论即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线．顶点记作点； 当时，；记作点； 当时，，记作点； 当时，图象上的点到x轴距离的最大值为4， Ⅰ．若图象位于抛物线对称轴右侧，即对称轴，如图1： 则点P为满足图象上的点到x轴距离的最大值为4的点， 此时有 ， 解得：， Ⅱ．若对称轴在P、Q两点之间（包含P、Q两点）时， 即：对称轴满足，如图2， ①若P为满足图象上的点到x轴距离的最大值为4的点， 则 ， 此时无解， ②若M为满足图象上的点到x轴距离的最大值为4的点， 则，， 解得：， Ⅲ．若图象位于抛物线对称轴左侧，即对称轴，如图3： 此时P为满足图象上的点到x轴距离的最大值为4的点， 则，， 此时没有符合的解， 综上，或3， 故答案为或3． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数的对称性，增减性，点到x轴距离，分类讨论，是解题关键． 三、解答题（本大题共9个小题，满分72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，并正确计算每一项． 代入特殊角的三角函数值，并化简计算每一项，最后进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 已知二次函数． （1）下表是y与x的部分对应值，请补充完整； x … 0 1 2 3 4 … y … 3 3 … （2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象． 【答案】（1）0，-1，0 （2） 如图， 【解析】 【分析】（1）将x=1，2，3代入求解． （2）通过描点，连线，作图． 【小问1详解】 分别将x=1，2，3代入得y=0，-1，0， 故答案为：0；-1；0． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 19. 小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答： （1）如图1，白天在阳光下，小彬将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段，并测量出光线与地面的夹角为．在同一时刻同一地点，将一根与长度相等的木杆直立于地面，请写出此时木杆在地面上影子的长度________； （2）如图2，夜晚在路灯下，小彬仍将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段． ①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P； ②经测量木杆距离地面1，其影子的长为3，求路灯P距离地面的高度． 【答案】（1） （2）①解：由中心投影的性质作图，如图2，点即为所求； ②3 【解析】 【分析】（1）如图1，过作交于，则，即为木杆在地面上影子，根据，计算求解即可； （2）①根据中心投影的性质作图即可；②如图3，过作于，交于，则路灯P距离地面的高度为的长，证明，则，即，计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，过作交于， ∴，即为木杆在地面上影子， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 ①略 ②解：如图3，过作于，交于，则路灯P距离地面的高度为的长， ∵， ∴，， ∴，即， 解得，， ∴路灯P距离地面的高度为3． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正切，平行投影，中心投影，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的应用，正切，平行投影，中心投影，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 20. 图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，） （1）求点到地面的高度； （2）若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 【答案】（1）点到地面的高度约为 （2）的度数约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，延长交于点，由题意得：，，，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系求得的长； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而可知的长，利用线段的和差关系求出的长， 在中，利用锐角三角函数的定义可求出的值，从而得到的度数． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， 在中，，， ， ， 点到地面的高度约为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 在中，，， ， ， ， 在中，， ， 即的度数约为． 21. 如图，已知抛物线与轴交于、两点．过点的直线与抛物线的另一个交点为． （1）当时，的取值范围是_______； （2）点为抛物线对称轴上的一点，连接、，设点的纵坐标为，当时，求的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）联立抛物线和一次函数的解析式求出A、C的坐标，数形结合即可求出x的范围； （2）根据抛物线的对称轴为设，根据和两点间距离公式即可求出m． 本题考查一次函数和二次函数图象交点的求法，二次函数图象的性质，两点间距离公式的应用． 【小问1详解】 解：由， 得或， 即； ，即，即抛物线的图象在一次函数图象下方， 由图可知，此时或； 故答案为：或； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为，故可设， ， ， ， ． 22. 如图，在中，于点，、分别为、的中点，为边上一点，，连接．若，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半证明，从而得，结合得，从而可得；根据三角形中位线的性质即可得，从而可证明四边形是平行四边形； （2）利用正切的定义设，，，根据求出x，根据平行四边形的性质和几何关系即可求出的长． 本题考查直角三角形斜边上中线的性质、三角形中位线的性质、平行四边形的判定与性质、正切函数的定义与应用． 【小问1详解】 证明：为边的中点，， 为斜边上的中线， ， ， ， ， ． 、分别为和的中点， 为的中位线， ， 四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：，，， ∴设，，， ， ， ， 为的中位线，， ∵四边形为平行四边形， ， ． 23. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． （1）求和的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】（1）； （2）水面的直径为 （3） 锅盖不能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖不能正常盖上． 【解析】 【分析】（1）已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式； （2）炒菜锅里的水位高度为，即，列方程求得x的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． 【小问1详解】 由于抛物线、都过点、，设、的解析式为：，； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线． 【小问2详解】 当炒菜锅里的水位高度为时，，即， 解得：， ∴此时水面的直径为． 【小问3详解】 略 【点睛】考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，注意数形结合思想在解题中的应用. 24. 如图，在某机场的地面雷达观测站处，观测到空中点处的一架飞机的仰角为，飞机沿水平线方向飞行到达点处，此时观测到飞机的仰角为，飞机继续沿与水平线成角的方向爬升到点处，此时观测到飞机的仰角为．已知为千米．（、、、、、在同一竖直平面内） （1）求、两点之间的距离； （2）若飞机的飞行速度保持9千米／分钟，求飞机从点飞行到点所用的时间是多少分钟？（，结果精确到0.01） 【答案】（1）18千米 （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，根据直线平行的性质、三角形内角和定理、勾股定理、三角函数等即可求出； （2）过点作于点，根据三角形内角和定理、三角函数等即可求出，从而求出所用时间． 本题考查了三角形内角和定理、三角函数、平行直线的性质、勾股定理等． 【小问1详解】 解：过点作，交的延长线于点， ， ，， ． 设， 在中， ， ， ， ， 解得：， ， ∴在中，． ∴、两点之间的距离为18千米． 【小问2详解】 解：过点作于点， ，， ， ，， ， ． 在中，千米， ． 在中，， （千米）． ∴飞机从点飞行到点所用的时间为（分钟）． 25. 如图，已知抛物线与一条直线相交于两点，与轴交于点，其顶点为． （1）求抛物线及直线的函数表达式； （2）点P为对称轴上一动点，求当最小时点P坐标，并求出最小值． （3）在抛物线对称轴上是否存在一点，使以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）的最小值为，此时点P的坐标为 （3）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，可得，则可求出；由抛物线的对称性可得，则当P、B、N三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；求出直线解析式为，对称轴为直线，据此可得答案； （3）分是斜边、是斜边、是斜边三种情况，结合勾股定理列方程，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与一条直线相交于两点， ∴， 解得 ∴抛物线的函数表达式为． 设直线的函数表达式为， 将、分别代入中可得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：设抛物线与x轴的另一个交点为B， 在中，当时，， 当时，，解得或， ∴， ∴， ∴； 如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴， ∴当P、B、N三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； 同理可得直线解析式为， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 在中，当时，， ∴的最小值为，此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：由（2）可知对称轴为直线， 设点， ∵，，， ∴，， ． 当是斜边时，则，解得； 当是斜边时，可得：或2； 当是斜边时，可得：． ∴点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期第一阶段检测练习题 初四数学 注意事项： 1.本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2.答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上． 3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5.写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，那么tan B＝(　　) A. B. C. D. 2. 如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（ ） A. 主视图不变 B. 左视图不变 C. 俯视图不变 D. 三种视图都不变 3. 已知二次函数有最大值，则a的值为（　　） A. B. C. D. 0 4. 如图，一座厂房屋顶人字架的跨度，上弦，．若用科学计算器求上弦AB的长，则下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，5个边长为的立方体摆在桌子上，则露在表面的部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 8. 如图，正方形的边长为2，是边的中点，把沿折叠得到（点的对应点为点），则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的与的部分对应值如下表： 1 5 0 5 9 5 下列结论：①；②关于的一元二次方程有两个相等的实数根；③当时，的取值范围为；④若点，均在二次函数图象上，则；⑤满足的的取值范围是或． 其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 函数中, 自变量的取值范围为_____________ 12. 抛物线的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新图象的解析式为______． 13. 如图为一机器零件的三视图，它的俯视图为正三角形，根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的体积是______．（结果保留根号） 14. 小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，若，，，则该玻璃透镜的折射率为______． 15. 台风是一种破坏性极强的自然灾害．如图，点A是东方市，台风中心位于东方市的南偏东方向，距离为240千米的点B 处，已知台风中心沿北偏西的方向移动， 一段时间后台风中心移动到东方市的南偏东方向的点C处，此时台风中心移动的路径 的长度为____千米 ． 16. 二次函数，当时，若图象上的点到x轴距离的最大值为4，则m的值为______． 三、解答题（本大题共9个小题，满分72分） 17. 计算： 18. 已知二次函数． （1）下表是y与x的部分对应值，请补充完整； x … 0 1 2 3 4 … y … 3 3 … （2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象． 19. 小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答： （1）如图1，白天在阳光下，小彬将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段，并测量出光线与地面的夹角为．在同一时刻同一地点，将一根与长度相等的木杆直立于地面，请写出此时木杆在地面上影子的长度________； （2）如图2，夜晚在路灯下，小彬仍将长度为2的木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段． ①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P； ②经测量木杆距离地面1，其影子的长为3，求路灯P距离地面的高度． 20. 图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，） （1）求点到地面的高度； （2）若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 21. 如图，已知抛物线与轴交于、两点．过点的直线与抛物线的另一个交点为． （1）当时，的取值范围是_______； （2）点为抛物线对称轴上的一点，连接、，设点的纵坐标为，当时，求的值． 22. 如图，在中，于点，、分别为、的中点，为边上一点，，连接．若，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求的长． 23. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为． （1）求和的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 24. 如图，在某机场的地面雷达观测站处，观测到空中点处的一架飞机的仰角为，飞机沿水平线方向飞行到达点处，此时观测到飞机的仰角为，飞机继续沿与水平线成角的方向爬升到点处，此时观测到飞机的仰角为．已知为千米．（、、、、、在同一竖直平面内） （1）求、两点之间的距离； （2）若飞机的飞行速度保持9千米／分钟，求飞机从点飞行到点所用的时间是多少分钟？（，结果精确到0.01） 25. 如图，已知抛物线与一条直线相交于两点，与轴交于点，其顶点为． （1）求抛物线及直线的函数表达式； （2）点P为对称轴上一动点，求当最小时点P坐标，并求出最小值． （3）在抛物线对称轴上是否存在一点，使以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $