重难点 10 直角三角形的六类综合压轴题 讲义 2025-2026学年沪教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦直角三角形综合压轴题，系统整合几何证明与计算、分类讨论、翻折、旋转、动点、新定义六类题型，搭建从直角三角形性质、全等与相似到几何变换的学习支架，梳理综合应用脉络。 以压轴题为主线，例题与跟踪训练结合，培养几何直观、推理能力与创新意识。如旋转问题发展空间观念，分类讨论提升逻辑推理，新定义问题激发探究兴趣。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固提升，弥补知识盲点。

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点12 直角三角形的六类综合压轴题 题型一、几何证明与计算综合 【例1】（2024-25闵行区八年级期末）已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． （1）如图1，当时，时，求的大小； （2）当，时， ①如图2，连接，当，求长； ②若，求的长． 【跟踪训练】 1．如图，是等腰直角三角形，， ，D在线段上，E是线段上一点．现以为直角边，C为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接． (1)如图1，求证：； (2)当A、E、F三点共线时，如图2，若，求的长； (3)如图3，若，连接，当E运动到使得时，求的面积． 2.已知在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，点F在射线AD上，连接CF，作BE∥CF交射线AD于E，∠CFA＝∠BAC＝α． （1）如图1，当α＝70°时，∠ABE＝15°时，求∠BAE的大小； （2）当α＝90°，AB＝AC＝8时， ①如图2．连接BF，当BF＝BA，求CF的长； ②若AD＝，求CF的长． 题型二、分类讨论 【例2】（23-24八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，中，， ，将一个角的顶点D放在边上移动，使这个角的两边分别与的边、交于点E、F，且． (1)如图1，当点F与点C重合时，求的长； (2)联接，若是直角三角形，直接写出的长． 【跟踪训练】 1．（23-24八年级上·上海·期末）如图，中，，，，点分别是边、上的一个动点，且，过点作交射线于点，交线段于点，设    (1)如图1，当点和点重合时，求的面积； (2)若为直角三角形，求的值． 2．（23-24八年级上·上海虹口·期末）如图，中，，点D、E分别是边上的一个动点，且,过点D作交射线于点G，交线段于点F，设． (1)如图1，当点G与点C重合时，求的面积； (2)若为直角三角形，求x的值． 3．（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知在，，点P在边上，连接． (1)如图1，如果点P在线段的垂直平分线上，求证：； (2)过点P作，交边于点D， ①如图2，如果点P是线段的中点，且，求的度数； ②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　 　． 题型三、翻折问题 【例3】（2024-25松江区八年级期末）如图，在中，，，，点为边的中点，点是边上的动点（点与点不重合），作，交线段于点，连结、、． （1）若，求的长； （2）当沿翻折，点落在点的位置，当是以点为直角顶点的直角三角形时，求的长． 【跟踪训练】 1．（2024上·上海·八年级校考开学考试）如图，在中，，点是边上的动点（不与点、重合），把沿过点的直线折叠，点的对应点是点，折痕为．    (1)若点恰好在边上． ①如图1，当时，连接，求证：． ②如图2，当，且，，求与的周长差． (2)如图3，点在边上运动时，若直线始终垂直于，的面积是否变化？请说明理由． 2．（23-24八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，，点D为线段延长线上一点，以为腰作等腰直角，使，连接． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求线段的长； (3)如图2，在（2）的条件下，将沿线段翻折，使点A与点E重合，连接，求线段的长． 题型四、旋转问题 【例4】（2024-25闵行区八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D、E在线段AB上． （1）如图1，若CD＝CE，求证：AD＝BE； （2）如图2，若∠DCE＝45°，求证：DE2＝AD2+BE2； （3）如图3，若点P是△ABC内任意一点，∠BPC＝135°，设AP＝a、BP＝b、CP＝c，请直接写出a，b，c之间的数量关系． 【跟踪训练】 1．已知中，，，点D在边上，以为腰的直角，．    (1)如图1，连接，直接写出和的关系； (2)如图2，过点A作，垂足为点G，交线段于点F，连接，探究与的数量关系． (3)如图3，若过点A作交射线于点F，交于点G，连接．若，，求的长． 2．（23-24八年级上·上海·期末）如图，在中，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连结，的延长线与的延长线相交于点，证明：； (3)在（2）的条件下，连结，当______时是等腰三角形． 3．已知四边形中，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．    (1)当绕点旋转到时（如图1），求证． (2)当绕点旋转到时， ①在图2中，上述结论是否成立？若成立，给出证明； ②在图3中，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 4．等腰直角三角形中，，，点为中点，，垂足为，连接，点为线段中点，连接，，如图①．    (1)求证：； (2)将图①中的绕点逆时针旋转，连接，点为线段中点，连接，，，如图②． ①求证：，； ②若，求的面积． 5．如图，和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，其中．    (1)如图1，点在边上，若，求的长． (2)若等腰绕点C旋转后得到等腰，如图2所示，连接，交于点O，求证：． (3)若等腰绕点旋转后得到等腰，如图3所示，连接，点是中点，连接并延长交于． ①求证：； ②若，求的面积． 6．如图，与为等腰直角三角形，，．，，，连接，．    (1)如图1，若，，则的度数为______； (2)如图2，若A，D，E三点共线，与交于点F，且，，求的面积； (3)如图3，若A，D，E三点不共线，与交于点F，连接并延长交于点G，是一个固定的值吗？若是，直接写出的度数，若不是，请说明理由． 题型五、动点问题 【例5】如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒．    (1)如图①当　 　时，的面积等于； (2)如图①，当是等腰三角形时，则符合条件的P有　 　个，并求出t的值；（求出3个即可） (3)如图②，点D在边上，点E在边上，，在的边上，若另外有一个动点Q与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点Q的运动速度． 【跟踪训练】 1．（23-24八年级上·上海徐汇·期末）某同学在一次课外活动中用硬纸片做了两个直角三角形，中，，，．中，，，．该同学将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动，在移动过程中，D、E两点始终在边上． (1)当移动至什么位置，即的长为多少时，F、C的连线与平行？ (2)当移动至什么位置，即的长为多少时，以线段、、的长为三边长的三角形是直角三角形？ (3)在的移动过程中，是否存在某个位置，使得？如果存在，求出的长；如果不存在，说明理由． 2．（2022·上海·八年级专题练习）如图1，△ABC是边长为的等边三角形，已知G是边AB上的一个动点（G点不与A、B点重合），且GEAC，GFBC，若AG＝x，S△GEF＝y． (1)求y与x的函数关系式，并写出函数定义域； (2)点G在运动过程中，能否使△GEF成为直角三角形，若能，请求出AG长度；若不能，请说明理由； (3)点G在运动过程中，能否使四边形GFEB构成平行四边形，若能，直接写出S△GEF的值；若不能，请说明由． 题型六、新定义问题 【例6】（23-24八年级上·上海普陀·期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，BD是的角平分线，是的中线，，垂足为点F． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究： （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点P，使得以为一边的“线垂”三角形为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．                  【跟踪训练】 1．（24-25八年级上·上海·期末）如果点M、N分别在角的两边上，且到该角平分线上的点P的距离相等，就称点M、N是关于点P的“制衡点”，而叫点P的“制衡三角形”，已知，如图，，G为平分线上一点，，交于点E，，垂足为H，． (1)求的长； (2)如果点E、D是关于点G的“制衡点”，请在图中画出符合条件的点D，并求出点G的“制衡三角形”的周长． 2．（2023下·上海嘉定·八年级校考开学考试）定义：如图1，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．    (1)已知点、是线段的勾股分割点，，，求的长； (2)如图2，中，，，点、在斜边上，， ①求证：点、是线段的勾股分割点； ②当，时，请直接写出线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点12 直角三角形的六类综合压轴题 题型一、几何证明与计算综合 【例1】（2024-25闵行区八年级期末）已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． （1）如图1，当时，时，求的大小； （2）当，时， ①如图2，连接，当，求长； ②若，求的长． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质求解，再利用三角形的外角的性质可得答案； （2）①证明，可得，再利用勾股定理求解即可；②如图，过作于，当在的右边时，利用勾股定理求出，可得，用等面积法可得，可得，根据，从而可得答案；当在的左边时，如图，同理可得，，，，证明，即可得到． 【小问1详解】 解：∵，， ， ∵，， ； 【小问2详解】 解：①，， ， ∵，， ，，，， ， ， ， ∴， ， ， ∵， ， 解得：（负根舍去）； ②如图，过作于，当在的右边时， ∵，， ，， ∵， ， ， ， ， ， 当在的左边时，如图， 同理可得：，，， ∴， 由（1）得：， 而，， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练掌握知识点是解本题的关键． 【跟踪训练】 1．如图，是等腰直角三角形，， ，D在线段上，E是线段上一点．现以为直角边，C为直角顶点，在的下方作等腰直角，连接． (1)如图1，求证：； (2)当A、E、F三点共线时，如图2，若，求的长； (3)如图3，若，连接，当E运动到使得时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，即可解决问题； （2）先由全等三角形的性质和三角形的外角性质，证出，再由勾股定理即可解决问题； （3）作于H．先证明是底角为30°的等腰三角形，再求出的长，然后根据计算即可． 【解析】（1）证明：∵都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点F作于H，如图3所示： ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 2.已知在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，点F在射线AD上，连接CF，作BE∥CF交射线AD于E，∠CFA＝∠BAC＝α． （1）如图1，当α＝70°时，∠ABE＝15°时，求∠BAE的大小； （2）当α＝90°，AB＝AC＝8时， ①如图2．连接BF，当BF＝BA，求CF的长； ②若AD＝，求CF的长． 解：（1）∵BE∥CF，∠CFA＝∠BAC＝α＝70°， ∴∠BED＝70°， ∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∠ABE＝15°， ∴∠BAE＝70°﹣15°＝55°； （2）①∵BF＝BA，AB＝AC， ∴BF＝AC， ∵BE∥CF，∠CFA＝∠BAC＝α＝90°， ∴BE⊥AF，AE＝EF，∠ABE＝∠FBE，∠BEF＝∠AFC＝90°， ∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠BAE+∠CAF， ∴∠ABE＝∠CAF， ∴∠CAF＝∠FBE， ∴△BEF≌△AFC（AAS）， ∴EF＝FC， ∴， ∵AB＝AC＝8， ∴CF2+（2CF）2＝64， 解得：（负根舍去）； ②如图，过A作AM⊥BC于M，当D在M的右边时， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝8， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：∠ABE＝∠CAF， 而∠AEB＝∠AFC＝90°，AB＝AC， ∴△BAE≌△ACF（AAS）， ∴， 当D在M的左边时，如图， 同理可得：，，， ∴； 综上：或． 题型二、分类讨论 【例2】（23-24八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，中，， ，将一个角的顶点D放在边上移动，使这个角的两边分别与的边、交于点E、F，且． (1)如图1，当点F与点C重合时，求的长； (2)联接，若是直角三角形，直接写出的长． 【答案】(1)4；(2)或． 【分析】（1）证明，可得结论； （2）分为两种情况：①为直角顶点时．②为直角顶点时，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （2）∵，，， ∴， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即时，是直角三角形； 当时，如图， ∵， ∴ ∴， 解得：， 即时，是直角三角形； 综上所述：当或时，是直角三角形． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了含30度角的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【跟踪训练】 1．（23-24八年级上·上海·期末）如图，中，，，，点分别是边、上的一个动点，且，过点作交射线于点，交线段于点，设    (1)如图1，当点和点重合时，求的面积； (2)若为直角三角形，求的值． 【答案】(1)；(2)或． 【分析】本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握含角的直角三角形的性质和勾股定理，进行分类讨论是解题的关键． （1）由含 角的直角三角形的性质得再由勾股定理得然后再证最后由三角形面积关系即可得出答案； （2）分两种情况： ①当时，②当时，由含角的直角三角形的性质好勾股定理分别得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解： 的面积的面积． （2）分两种情况： ①当时，如图3所示：    则 由（2）得： 解得： ②当时， 如图4所示：    是等边三角形， 解得： 综上所述，若为直角三角形，的值为或． 2．（23-24八年级上·上海虹口·期末）如图，中，，点D、E分别是边上的一个动点，且,过点D作交射线于点G，交线段于点F，设． (1)如图1，当点G与点C重合时，求的面积； (2)若为直角三角形，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)或4 【分析】（1）由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得，然后再证，最后由三角形面积关系即可得出答案； （2）分两种情况：①当时，②当时，由含角的直角三角形的性质好勾股定理分别得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的面积的面积； （2）分两种情况： ①当时，如图3所示： 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）得：， ， 解得：； ②当时，如图4所示： ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，若为直角三角形，x的值为或4． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握含角的直角三角形的性质和勾股定理，进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型． 3．（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知在，，点P在边上，连接． (1)如图1，如果点P在线段的垂直平分线上，求证：； (2)过点P作，交边于点D， ①如图2，如果点P是线段的中点，且，求的度数； ②填空：如果，，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于 　 　． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，则，再证，得，即可得出结论； （2）①取的中点E，连接，由直角三角形斜边上的中线性质得，再证，得，则，即可解决问题； ②分两种情况，a、时，b、时，由直角三角形的性质和勾股定理分别求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵点P在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图2，取的中点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，点P是线段的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即的度数为； ②∵，，， ∴， 分两种情况： a、如图3，时， 由（1）可知，， 过点P作于点M， 则， ∴， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴； b、如图4，时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 综上所述，的长等于或， 故答案为：或． 　　　　 【点睛】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 题型三、翻折问题 【例3】（2024-25松江区八年级期末）如图，在中，，，，点为边的中点，点是边上的动点（点与点不重合），作，交线段于点，连结、、． （1）若，求的长； （2）当沿翻折，点落在点的位置，当是以点为直角顶点的直角三角形时，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据题意，由勾股定理得出的长，再证明，再根据相似三角形的性质，对应边成比例，即，从而得到等式，求解即可得出答案； （2）根据沿翻折，从而得到，再根据是以点为直角顶点的直角三角形，得到点的位置，经过运算即可得到，从而证明，最后得到的长． 【小问1详解】 在中， ，，， ， 令， 点是边上的动点，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 的长为； 【小问2详解】 ，沿翻折，点B落在点G的位置， 点G在直线上，， ，， 是以点G为直角顶点的直角三角形， ， 若点G落在边的延长线上， 则如图 此时，不满足条件， 点G只能落在线段上， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形，， 点是边的中点， ， ， ，，， ， ， ， ， 的长为． 【跟踪训练】 1．（2024上·上海·八年级校考开学考试）如图，在中，，点是边上的动点（不与点、重合），把沿过点的直线折叠，点的对应点是点，折痕为．    (1)若点恰好在边上． ①如图1，当时，连接，求证：． ②如图2，当，且，，求与的周长差． (2)如图3，点在边上运动时，若直线始终垂直于，的面积是否变化？请说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)定值，理由见解析 【分析】（1）①如图1中，连接，．交于．证明点是的中点，即可解决问题．②设，则，，在中，利用勾股定理构建方程求出即可解决问题． （2）如图3中，连接，证明，利用等高模型解决问题即可． 【详解】（1）解：①如图1中，连接，．交于．    是由翻折得到， 垂直平分线段， ，， ， ，， ， ， ， ， ． ②如图2中，设，则 ， ，    ，， ， ， ， 解得， ， 的周长的周长． （2）解：如图3中，结论：定值． 理由：连接，    与关于直线对称， ， ， ， 定值． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，翻折变换，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练掌握轴对称的性质． 2．（23-24八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，，点D为线段延长线上一点，以为腰作等腰直角，使，连接． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求线段的长； (3)如图2，在（2）的条件下，将沿线段翻折，使点A与点E重合，连接，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，则，如图1，记的交点为，根据，，可得，进而可得； （2）如图2，过作于，则，，由勾股定理得，，计算求解即可； （3）由翻折的性质可知，，，，如图3，过作于，过作于，证明，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵等腰直角，， ∴， 又∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 如图1，记的交点为， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 如图2，过作于， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴线段的长为； （3）解：由翻折的性质可知，，， ∴， 如图3，过作于，过作于， ∴， 同理（2）可知，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，折叠的性质是解题的关键． 题型四、旋转问题 【例4】（2024-25闵行区八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D、E在线段AB上． （1）如图1，若CD＝CE，求证：AD＝BE； （2）如图2，若∠DCE＝45°，求证：DE2＝AD2+BE2； （3）如图3，若点P是△ABC内任意一点，∠BPC＝135°，设AP＝a、BP＝b、CP＝c，请直接写出a，b，c之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析 【解析】 【分析】（1）由CA＝CB得∠A＝∠B，由CD＝CE得∠CEA＝∠CDB，则△ACE≌△BCD，得AE＝BD，即可转化为AD＝BE； （2）将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△BCF，联结EF，则BF＝AD，证明△FCE≌△DCE，得FE＝DE，再证明∠EBF＝90°，则FE2＝BF2+BE2，即可证得DE2＝AD2+BE2； （3）将△CAP绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△CBG，联结PG，则BG＝AP，GC＝PC，∠PCG＝90°，所以PG2＝PC2+GC2＝2PC2，再证明∠BPG＝90°，则BG2＝BP2+PG2，可证得AP2＝BP2+2PC2，即a2＝b2+2c2． 【详解】解：（1）证明：如图1，∵CA＝CB， ∴∠A＝∠B， ∵CD＝CE， ∴∠CEA＝∠CDB， ∴△ACE≌△BCD（AAS）， ∴AE＝BD， ∴AE﹣DE＝BD﹣DE， ∴AD＝BE． （2）证明：如图2，将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△BCF，联结EF， ∵∠ACB＝90°，CA＝CB， ∴∠CBA＝∠A＝45°， 由旋转得CF＝CD，∠BCF＝∠ACD， ∵∠DCE＝45°， ∴∠FCE＝∠BCF+∠BCE＝∠ACD+∠BCE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠FCE＝∠DCE， ∵CE＝CE， ∴△FCE≌△DCE（SAS）， ∴FE＝DE， ∵∠CBF＝∠A＝∠CBA＝45°， ∴∠EBF＝90°， ∴FE2＝BF2+BE2， ∵BF＝AD， ∴DE2＝AD2+BE2． （3）a2＝b2+2c2， 理由如下： 如图3，将△CAP绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△CBG，联结PG， 由旋转得GC＝PC，∠PCG＝90°， ∴∠CPG＝∠CGP＝45°，PG2＝PC2+GC2＝2PC2， ∵∠BPC＝135°， ∴∠BPG＝135°﹣45°＝90°， ∴BG2＝BP2+PG2， ∵BG＝AP， ∴AP2＝BP2+2PC2， ∴a2＝b2+2c2． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，根据旋转的性质作辅助线是解题的关键． 【跟踪训练】 1．已知中，，，点D在边上，以为腰的直角，．    (1)如图1，连接，直接写出和的关系； (2)如图2，过点A作，垂足为点G，交线段于点F，连接，探究与的数量关系． (3)如图3，若过点A作交射线于点F，交于点G，连接．若，，求的长． 【答案】(1)BD与CE相等且垂直 (2)，理由见解析 (3)满足条件的长为或． 【分析】（1）证明，推出，，据此即可得到与相等且垂直； （2）先证明是等腰直角三角形，推出，再由直角三角形的性质求得，据此即可求解； （3）分两种情况讨论，点F在线段上和点F在线段的延长线上，利用全等三角形的判定和性质以及勾股定理求解即可． 【解析】（1）结论：与相等且垂直． 证明：∵，，    ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴与相等且垂直； （2）解：； 证明：连接， 由（1）知，是等腰直角三角形，    ∵平分， ∴，， ∴是的垂直平分线，是等腰直角三角形， ∴， 由知，， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵F在射线上， ∴存在两种情况： 第一种情况：如图，点F在线段上，    ∴，， 设，则， ∵ ∴，，连接， ∵，，， ∴ ∴， 在中，由勾股定理得，，即， 解得，， ； 在中，由勾股定理得，， ∴； 第二种情况：如图，点F在线段的延长线上，    由，， 设，则，，，， 由前面可知，， ∴， 在中，由勾股定理得，，即， 解得，即， ∴， 在中，， ，， ∴满足条件的长为或． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是是解题的关键，属于中考常考题型． 2．（23-24八年级上·上海·期末）如图，在中，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连结，的延长线与的延长线相交于点，证明：； (3)在（2）的条件下，连结，当______时是等腰三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或 【分析】（1）可证得，，从而，进而证得； （2）可证得，从而，进而证得，从而得出； （3）由题意可分①当时，②当时，③当时，（此种情况不成立），然后分类进行求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ； （2）证明：是的平分线， ， 由（1）知， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：由题意可分：①当是以的等腰三角形时，则有：， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ②当是以的等腰三角形时，如图所示： ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③当时，则， ∴， ∵，且点P在的延长线上， ∴此种情况是不成立的； 综上所述：当或时，是等腰三角形； 故答案为或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、旋转的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、旋转的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 3．已知四边形中，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．    (1)当绕点旋转到时（如图1），求证． (2)当绕点旋转到时， ①在图2中，上述结论是否成立？若成立，给出证明； ②在图3中，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)①成立，理由见解析；②结论不成立，，理由见解析 【分析】（1）证，得，进而证为等边三角形，从而得，同理，，于是即可得证； （2）①图2，结论仍然成立，延长至点，使，连接，证，得，再证，，得，即可得解；②图3，结论不成立，， 理由如下：延长至，使，由，得，从而得，进而证，得，即可得解。 【解析】（1）证明：如图1，，    ， ， ， ， ， 为等边三角形， ∴, ， ， ， 同理，， ． （2）解：①图2，结论仍然成立，    理由如下：延长至点，使，连接， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； ②图3，结论不成立，， 理由如下：延长至，使，    由（2）可知，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形的性质以及垂线性质．正确作出辅助线，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 4．等腰直角三角形中，，，点为中点，，垂足为，连接，点为线段中点，连接，，如图①．    (1)求证：； (2)将图①中的绕点逆时针旋转，连接，点为线段中点，连接，，，如图②． ①求证：，； ②若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解； （2）①根据等腰直角三角形的性质，旋转的性质可得是等腰直角三角形，如图所示，延长交于，连接，可证，，可得是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可求解；②根据上述证明，分别求出的值，如图所示，过点作于，根据勾股定理可求出的值，由此即可求解． 【解析】（1）证明：∵， ∴是直角三角形， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． （2）解：①根据题意可知，在图①中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， 如图所示，延长交于，连接，    由旋转知，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，； ②在中，， ∴，， 在图①中，点是的中点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 由①知，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∵是的斜边上的中线， ∴， ∴， 如图所示，过点作于，    ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形中斜边中线等于斜边一半等知识的综合运用，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键． 5．如图，和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，其中．    (1)如图1，点在边上，若，求的长． (2)若等腰绕点C旋转后得到等腰，如图2所示，连接，交于点O，求证：． (3)若等腰绕点旋转后得到等腰，如图3所示，连接，点是中点，连接并延长交于． ①求证：； ②若，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）求证，进一步可证，于是； （2）求证，进一步可证，过点作，则，得是的平分线，求证，于是，得． （3）①延长至使，连接，可证，得，进一步求证，于是，得，可证；②由①知：，得，而，于是 【解析】（1） ， 在和中 （2）， 即 在和中 ∴ 过点作，则， ∴ 是的平分线 故    （3）①延长至使，连接， ∵ ∴ 又， 在和中 即 ②由①知： 故    【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定；添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 6．如图，与为等腰直角三角形，，．，，，连接，．    (1)如图1，若，，则的度数为______； (2)如图2，若A，D，E三点共线，与交于点F，且，，求的面积； (3)如图3，若A，D，E三点不共线，与交于点F，连接并延长交于点G，是一个固定的值吗？若是，直接写出的度数，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值， 【分析】（1）证明，可得，，求解，可得； （2）如图2中，过点C作于Q．证明，同理可得：，可得，，证明，证明，可得，，可得，再利用三角形的面积公式进行计算即可； （3）如图3，过点C作，，垂足分别为M、N，同理可得：，证明，证明平分，记，交于点K，证明，可得，从而可得结论． 【解析】（1）解：如图1中，    ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）如图2中，过点C作于Q．而，，    ∴， 同理可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）如图3，过点C作，，垂足分别为M、N，    同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， 记，交于点K， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 题型五、动点问题 【例5】如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为t秒．    (1)如图①当　 　时，的面积等于； (2)如图①，当是等腰三角形时，则符合条件的P有　 　个，并求出t的值；（求出3个即可） (3)如图②，点D在边上，点E在边上，，在的边上，若另外有一个动点Q与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点Q的运动速度． 【答案】(1)3或10 (2)4个，的值为或或18或19 (3)，，， 【分析】（1）由题意知，，分当在上，点在上，两种情况求解：情况一、当在上时，则，计算求解即可；情况二、当点在上，，则，计算求解即可； （2）由是等腰三角形，可知分当，，，三种情况求解：情况1：当，且点在上时，，则，计算求解即可；当，且点在上时，，如图①，作于，则，由，求得，由勾股定理得，，则，根据，计算求解即可；情况2：当，则，计算求解即可；情况3：当时，如图②，过作于，则，，由，，可得，则，，根据，计算求解即可； （3）设点Q的运动速度为，，，勾股定理得，，由题意知，分，，两种情况求解：情况①：当且在上，在上时，，，则，，即，，计算求解即可；当且在上，在上时，，，则，，即，，计算求解即可；情况②：当且在上，在上时，，，则，，即，，计算求解即可；当且在上，在上时，，，则，，即，，计算求解即可． 【解析】（1）解：由题意知，，分当在上，点在上，两种情况求解： 情况一、当在上时， ∴， 解得，； 情况二、当点在上，， ∴， 解得，； 综上所述，的值为3或10， 故答案为：3或10； （2）解：∵是等腰三角形， ∴分当，，，三种情况求解： 情况1： 当，且点在上时，， ∴， 解得，； 当，且点在上时，， 如图①，作于，    ∴， ∵， ∴，解得， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 解得，； ∴当时，的值为或； 情况2： 当，则，解得，； 情况3： 当时，如图②，过作于，    ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； 综上所述，符合条件的P有4个，的值为或或18或19； （3）解：设点Q的运动速度为， ∵，，， ∴，， 由勾股定理得，， 由题意知，分，，两种情况求解： 情况①： 当且在上，在上时，，， ∴，，即，， 解得，， 当且在上，在上时，，， ∴，，即，， 解得，， ∴当时， 点Q的运动速度为或； 情况②： 当且在上，在上时，，， ∴，，即，， 解得，， 当且在上，在上时，，， ∴，，即，， 解得，， ∴当时， 点Q的运动速度为或； 综上所述，点Q的运动速度为或或或 ． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用．解的关键在于分类讨论． 【跟踪训练】 1．（23-24八年级上·上海徐汇·期末）某同学在一次课外活动中用硬纸片做了两个直角三角形，中，，，．中，，，．该同学将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动，在移动过程中，D、E两点始终在边上． (1)当移动至什么位置，即的长为多少时，F、C的连线与平行？ (2)当移动至什么位置，即的长为多少时，以线段、、的长为三边长的三角形是直角三角形？ (3)在的移动过程中，是否存在某个位置，使得？如果存在，求出的长；如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析． 【分析】本题主要考查平移的性质以及勾股定理的应用，结合已知条件应用相关性质解题即可． （1）因为，，所以，又因为，，，所以，连接，设，则可求证，故的长可求； （2）设，则，再分情况讨论∶为斜边；为斜边；为斜边，综合分析即可求得的长； （3）假设，因为，作的平分线，交于点P，则，所以，，则的值大于边长12，故不存在． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵中，，， ∴， 如图1，连接， 当时， ， ∴ ∴ ∴ ∴当时，． （2）设，在中， 当为斜边时， 由得， 解得：， 当为斜边时，由 得， 解得： ∵ ∴， ∴（不合题意舍去） 当为斜边时，由 得， ， 整理得出∶ ∵ ∴此方程无解， 综上所述：当时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形． （3）不存在这样的位置，使得 理由如下∶ 假设（如上图2） ∵ 作的平分线，交于点P， 则，， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴不存在这样的位置，使得． 【点睛】本题考查的是平移的性质、勾股定理的应用，以及角平分线的性质，平行的性质等等知识点，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键，解答时，注意勾股定理的应用和正确解出一元二次方程． 2．（2022·上海·八年级专题练习）如图1，△ABC是边长为的等边三角形，已知G是边AB上的一个动点（G点不与A、B点重合），且GEAC，GFBC，若AG＝x，S△GEF＝y． (1)求y与x的函数关系式，并写出函数定义域； (2)点G在运动过程中，能否使△GEF成为直角三角形，若能，请求出AG长度；若不能，请说明理由； (3)点G在运动过程中，能否使四边形GFEB构成平行四边形，若能，直接写出S△GEF的值；若不能，请说明由． 【答案】(1)（） (2)或 (3)能， 【分析】（1）如图，过点F作FD⊥GE于点D．由题意易得△AFG，△BEG都是等边三角形，则可得及FG、EG，可求得FD，则可得y与x的关系； （2）点G在运动过程中，能使△GEF成为直角三角形；分两种情况考虑：；，利用30度角直角三角形的性质即可求得AG的值； （3）若四边形GFEB构成平行四边形，则△CEF是等边三角形，△FEG是等边三角形，由等边三角形的性质可求得△FEG的边长，则可求得其面积． (1) 如图，过点F作FD⊥GE于点D． ∵△ABC是边长为的等边三角形，且GE∥AC，GF∥BC， ∴△AFG是等边三角形，△BEG是等边三角形， ∴，，， ∴在中，∠DFG=30°， ∴，由勾股定理得：， ∴（）； (2) 当时， ∵， ∴， 即，解得：； 当时， ∵， ∴， 即，解得：； 综上所述：或； (3) 若四边形GFEB构成平行四边形， 则△CEF是等边三角形，△FEG是等边三角形， ∴， 由（1）知， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和直角三角形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用． 题型六、新定义问题 【例6】（23-24八年级上·上海普陀·期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系． 如图1，已知在中，BD是的角平分线，是的中线，，垂足为点F． （1）根据图1，写出中小普同学所发现的结论，并给出证明； 【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究： （2）在如图1中，“线垂”三角形是否可以是直角三角形？如果可以，求的度数；如果不可以，请说明理由； （3）已知线段，是否存在一点P，使得以为一边的“线垂”三角形为等腰三角形？如果存在，请在图2中用直尺和圆规做出为“分角”的“线垂”等腰三角形（不写作法，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关的真命题；如果不存在，请说明理由．                  【答案】（1），证明见解析；（2）可以，的度数为或；（3）存在，见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理 【分析】本题考查新定义，尺规作图，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，角平分线定义，中线定义等知识点，理解新定义，熟练掌握相关知识，合理分类讨论是解题的关键． （1）利用角平分线性质及垂直的定义得到，即为等腰三角形，再根据中线定义即可得到本题答案； （2）分，，三种情况讨论，根据（1）中结论即角平分线性质即可得到本题答案； （3）作线段的垂直平分线交线于O，以M为圆心，为半径画弧，以N为圆心，为半径画弧，两弧相交点，连接，即可． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴； （2）解：可以， 理由如下： ①当时，如图， ∵，是中线， ∴， 在“线垂”三角形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵是的角平分线， ∴； ②当时，如图， ∵是中线， ∴， 在“线垂”三角形中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ③当，，与“线垂”三角形中，，相矛盾，故舍去； 综上，的度数为或； （3）解：存在，如图，即为所求， 由作图知：O为中点，，，平分， ∴， ∴等腰是以为“分角”的“线垂”三角形， “线垂”等腰三角形的两底角相等． 【跟踪训练】 1．（24-25八年级上·上海·期末）如果点M、N分别在角的两边上，且到该角平分线上的点P的距离相等，就称点M、N是关于点P的“制衡点”，而叫点P的“制衡三角形”，已知，如图，，G为平分线上一点，，交于点E，，垂足为H，． (1)求的长； (2)如果点E、D是关于点G的“制衡点”，请在图中画出符合条件的点D，并求出点G的“制衡三角形”的周长． 【答案】(1) (2)画图见解析，点G的“制衡三角形”的周长为6或 【知识点】化为最简二次根式、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）在上取一点D，使得．利用全等三角形的性质证明即可； （2）分两种情形：D在线段或在的延长线上两种情形分别求解． 【详解】（1）解：在上取一点D，使得． ∵，，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴，； （2）解：如图，在上截取，而， ∴，而， ∴， ∴点D，即为所求． 连接． 由题意，点E、D是关于点G的“制衡点”， ∵，而， ∴是等边三角形， ∴的周长为6； 当时， 同理：为等边三角形，而， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 综上所述，点G的“制衡三角形”的周长为6或． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，化为最简二次根式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（2023下·上海嘉定·八年级校考开学考试）定义：如图1，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．    (1)已知点、是线段的勾股分割点，，，求的长； (2)如图2，中，，，点、在斜边上，， ①求证：点、是线段的勾股分割点； ②当，时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)或 (2)①见解析；② 【分析】（1）分是直角三角形的斜边和直角边两种情况，分运用由勾股分割点的求解即可； （2）①过点A作，且，则，先证可得，再证可得，然后在中，最后由勾股定理得即可证明结论．②如图，过点C作，垂足为D，结合已知条件可得，再由直角三角形的性质和勾股定理可得，进而求得、；再根据图形可得，然后代入可求得，最后再求得即可． 【详解】（1）解：∵点M，N是线段的勾股分割点，，， ∴①当是直角三角形的斜边时，； ②当是直角三角形的直角边时，； 故答案为：或； （2）①证明：如图，过点A作，且，则，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴点M，N是线段的勾股分割点． ②如图，过点C作，垂足为D    ∵ ∴，， ∵, ∴， ∴由直角三角形的性质和勾股定理可得：, ∴, ∵ ∴，解得：, ∴， ∵,, ∴，解得：, ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，正确添加辅助线、构造全等三角形解决问题是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $