重难点09 直角三角形中的几何证明问题 讲义 2025-2026学年沪教版八年级数学上册

本讲义聚焦直角三角形几何证明核心知识点，系统整合性质判定、角平分线应用、勾股定理及逆定理、猜想证明等内容。通过基础例题到上海各区期末真题的梯度设计，构建从单一知识点到综合应用的学习支架，帮助学生逐步掌握证明方法。 资料亮点在于例题典型且贴近考情，融入地方期末真题培养推理能力，题型分层递进助力几何直观形成。猜想证明题型激发创新意识，课中辅助教师实施分层教学，课后便于学生梳理思路、查漏补缺，强化几何证明核心素养。

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点09 直角三角形中的几何证明问题 题型一、直角三角形性质与判定的应用 【例1】如图ABC中，AD是高，CE为中线，DC=BE，DG⊥CE于G点，求证： （1）G为CE的中点． （2）∠B=2∠BCE． 【例2】（2024-25八年级上·上海·期末）已知，，，点、分别在边、上，连接、． (1)如图，若，，求证：； (2)如图，连接，若，点为的中点，连接、，求的大小． 【例3】已知如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D为AB上一点， 且BD =AB．求证：CD⊥AB． 【例4】（2024-25八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，点D在边上，点E在的延长线上，，，交延长线于点F，．    (1)求证：； (2)求证：． 【例5】（2024·上海松江·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E． (1)求证：CE=CDBE； (2)如果CE=3BE，求的值． 【例6】如图所示，点M是线段上一点，是过点M的一条直线，连接，过点B作交于F，且． (1)若，求的长； (2)若，求证：． 【例7】如图，在和中，，，，CE的延长线交BD于点F． (1)求证：． (2)若，请直接写出的度数． (3)过点A作于点H，求证：． 【例8】（2024-25八年级上·上海普陀·期末）已知：如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且． (1)求证：． (2)取边的中点F，连接，求证：平分． 【例9】（2024秋•浦东新区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D在射线AC上（点D不与点A重合） （1）若点D在边AC时，延长AC至点G，CG＝AD，过点D作DE⊥BD，交BC于点E，过G作HG⊥AG交DE延长线于点H．求证：BD＝DH． （2）过点A作AF⊥BD，垂足为F，射线AF交BC于点N，点Q在射线CA上，且∠QNC＝∠ANB．求证：AQ＝CD． 题型二、角平分线性质与判定的应用 【例10】（2023上海大同中学校考期中）如图，在中，平分交BC于点D，，，垂足为E、F．    (1)若，，求的长度； (2)连接，求证：． 【例11】（2024-25八年级上·上海金山·期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．    (1)求证：； (2)连接，求证：． 【例12】（22-23八年级上·上海长宁·期末）如图，平分，，点在线段上，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【例13】（2023八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，垂足分别为E、F，再过点D作，交于点G，且． 求证： (1)； (2)． 【例14】如图，与中，，，，过A作垂足为F，交的延长线于点G，连接．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 题型三、勾股定理的应用 【例15】（2024-25闵行区八年级期末） 已知：在中，，．点、在线段上． （1）如图1，如果，求证：． （2）如图2，如果，求证：． 【例16】（2023上·山东泰安·七年级统考期中）如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点． (1)找出图中的一对全等三角形，并说明理由； (2)求证：． 【例17】如图，已知和中，，，，连接．交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)连接，，求证 【例18】（2024上·浦东新·期末）中，，点D、E分别为边AB、BC上的点，且，，联结AE交CD与点F，点M是AE的中点，联结CM并延长与AB交于点H． （1）点F是CD中点时，求证：； （2）求证： 【例19】（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）问题呈现：如图1，在中，，以为边向外作等边，求的长．    操作探索：小明同学为了寻找与已知线段、之间的数量关系，他将问题特殊化，将线段绕点顺时针旋转到上，如图，进而联想到自己非常熟悉的图模型，以为边作等边，连． (1)如图3，直接写出与间的数量关系_________； (2)如图1，求的长． 理解运用： (3)根据以上探索，如图4，在四边形中，．若，，求的长． 延伸拓展： (4)已知，如图5，为正内一点，．直接写出以，、为边构成的三角形各个内角的度数． 题型四、勾股定理逆定理的应用 【例20】如图，已知的三边满足，，，其中都是正整数，且．是过点的一条直线，过点作直线的垂线，垂足为点，是线段上一点，且． （1）求证：； （2）取边的中点，求证：． 【例21】（2024-25八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图是直角三角形，，点分别在边上，且，，．    (1)证明：线段能组成直角三角形； (2)当是边上的中点时，判断：的位置关系． 题型五、猜想证明 【例22】在中，，是边的中点，于点H，平分． (1)求证：平分； (2)过点作的垂线交的延长线于点，求证：＝； (3)是什么三角形？证明你的猜想． 【例23】在中，点P在平面内，连接并将线段绕点A顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接 【发现问题】（1）如图1，如果点P是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是______； 【探究猜想】（2）如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）； 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，，P是线段上的任意一点连接，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【例24】已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN． （1）在图1中，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC； （2）在图2中，若∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【例25】如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)如图2，其余条件不变，若______． (3)如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 【例26】（1）阅读理解：如图①，在中，，，，垂足分别为，，且，与交于点．图中与全等的三角形是 ，与全等的三角形是 ； （2）问题探究：如图②，在中，，，平分，，垂足为．探究线段，，之间的关系，并证明； （3）问题解决：如图③，在中，，，平分，交的延长线于点．求证：．    1.已知：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥AC于A，交BC于D． 求证：CD=2AB． 2．如图，已知、交于点，，，点是的中点，点、分别是、的中点，联结、，试探讨、的大小关系，并说明理由. 3.如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD=CD，BE∥AC，DE⊥BE， 求证：4BE=AC.A B C D E 4．如图，已知：在△ABC中，AB= AC， ∠BAC =30°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF∥AB交AC于F． 求证：DE =DF． 5.已知：如图在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB上的中线，DC=BE， DG⊥CE，垂足为点G． 求证：∠AEC=3∠DCE． A B C D E G 6．如图已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,边AB的垂直平分线交边BC 于点E,垂足为点D，取线段BE的中点F,联结 DF,求证:AC=DF。 7．如图1，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点． （1）求证：MN⊥DE． （2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想． （3）当∠A变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由． 8．在中，． （1）如图1、求证：： （2）如图2，D为AB上一点，连接CD，E为CD中点，过点E作于点E，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点F作于点H，连接AF，若AF∥BC，FH=4，CH=20，BD=10，求的面积 9．已知和，其中，．    (1)将和按如图1所示位置摆放，点落在上，的延长线交于点，连接，且平分． ①求证； ②猜想，与之间的数量关系是__________； (2)若将图1中的按如图2所示位置摆放，交于点，的延长线交于点，，连接，且平分．试判断（1）中②猜想的结论还成立吗？并说明理由； (3)若将图1中的按如图3所示位置摆放，，分别交的延长线于点，，连接，且平分．你认为（1）中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出，与之间的数量关系． 10．（22·23上·宝山·期末）如图，在中，于点D，，点E、F分别是、的中点且，求证：． 11．（22·23上·徐汇·期末）如图，已知锐角中、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点．求证： (1)． (2)若，求证：是等边三角形 12．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）以的、为边作和，且，，与相交于M，． (1)如图1，求证：； (2)在图1中，连接，则 ， ；（都用含α的代数式表示） (3)如图2，若，G、H分别是、的中点，求的度数． 13．（2023上·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考期中）（1）如图1，，平分，，且与、分别交于点、，求证：无论点怎样移动，总有． （2）如图2，其他条件不变，将图1的绕点逆时针旋转使得点落在的反向延长线上时， ①求证：是等边三角形． ②你能得出线段，，之间的数量关系吗？请写出数量关系并就图2的情形证明你的结论． 14．（2023上·重庆长寿·九年级重庆市长寿中学校校考期中）如图，在中，，，点D是边上一动点，连接．将绕点A顺时针旋转，得到，连接． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，连接，交于点N，过点B作交延长线于点M，求证：； (3)在（2）的条件下，若，点D在上运动过程中，当最小时，请直接写出的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点09 直角三角形中的几何证明问题 题型一、直角三角形性质与判定的应用 【例1】如图ABC中，AD是高，CE为中线，DC=BE，DG⊥CE于G点，求证： （1）G为CE的中点． （2）∠B=2∠BCE． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】 （1）证是的中点，即，可证它们所在的三角形全等，即连接，证； （2）由（1）知：是等腰三角形，则，根据三角形外角的性质可得． 【详解】 证明：（1）连接， ，是的中点， 是斜边上的中线，即； ； 又， ， ， 是的中点． （2）由（1）知：； ，； ． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，作出辅助线是解题的关键． 【例2】（2024-25八年级上·上海·期末）已知，，，点、分别在边、上，连接、． (1)如图，若，，求证：； (2)如图，连接，若，点为的中点，连接、，求的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）如图，设与相交于点，由等腰直角三角形的性质可得，设，，则，，由可求得，进而可得，由直角三角形的性质即可求证； （）连接，由直角三角形的性质可得，进而可得，，，得到，，可得，进而即可求解． 【详解】（1）证明：如图，设与相交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴可设，，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【例3】已知如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D为AB上一点， 且BD =AB．求证：CD⊥AB． A B C D E 【答案】见解析 【解析】取AB的中点E，连接CE ∵，BD =AB， ∴，∴ ∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴ ∵∠ACB=90°，，∴，∴ ∵，，∴CD⊥AB． 【例4】（2024-25八年级上·上海长宁·期末）如图，在中，，点D在边上，点E在的延长线上，，，交延长线于点F，．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质和外角性质可证，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【例5】（2024·上海松江·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，过点A作AE⊥BC，垂足为点E． (1)求证：CE=CDBE； (2)如果CE=3BE，求的值． 【答案】(1)证明见详解； (2)=． 【分析】（1）过点A作AF⊥CD交CD延长线于F，先根据AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，得出AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，再证Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），得出BE=DF，然后证明Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）即可； （2）先求出BC= 4BE， CD= 2BE,，然后S△ABC=，S△ADC=即可． (1) 证明：过点A作AF⊥CD交CD延长线于F， ∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD， ∴AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF， 在Rt△ACE和Rt△ACF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）， ∴CE=CF， ∴CE=CF=CD+DF=CD+BE； (2) 解：BC=BE+EC=BE+3BE=4BE， ∴S△ABC=， ∴CD=CF-FD=CE-BE=3BE-BE=2BE， ∴S△ADC=， ∴=． 【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，三角形面积，线段和差倍分，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，三角形面积，线段和差倍分是解题关键． 【例6】如图所示，点M是线段上一点，是过点M的一条直线，连接，过点B作交于F，且． (1)若，求的长； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据题意证明，根据全等三角形的性质可得结果； （2）根据题意证明，根据全等三角形的性质可得结果． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键． 【例7】如图，在和中，，，，CE的延长线交BD于点F． (1)求证：． (2)若，请直接写出的度数． (3)过点A作于点H，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)50° (3)见解析 【分析】(1)根据SAS可证得； （2）由，可得，故，即可得出的度数； （3）连接AF，过点A作于点J．由可得：，，即可得出．可证得，得：，由，可得出，即可证得结论． （1） 证明：∵． ∴． 在和中， ， ∴． （2） ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． 故答案为：50°． （3） 证明：如图，连接AF，过点A作于点J． ∵， ∴，， ∵，． ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等的证明和性质，掌握全等的证明和性质是解题的关键． 【例8】（2024-25八年级上·上海普陀·期末）已知：如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且． (1)求证：． (2)取边的中点F，连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，结合已知条件可证； （2）设l交于点Q，连接，过作于， 于，根据（1）结论可得，推出，可得为等腰直角三角形，推出，证，可得，得到，即得． 【详解】（1）∵，， ∴，与为直角三角形， ∵点A在边垂直平分线上， ∴， 在也中， ， ∴， 即； （2）设l交于点Q，连接，过作于，作于， ∴ 由（1）知， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线，全等三角形，等腰直角三角形，角平分线等，熟练掌握线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的判定，是解决问题的关键． 【例9】（2024秋•浦东新区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D在射线AC上（点D不与点A重合） （1）若点D在边AC时，延长AC至点G，CG＝AD，过点D作DE⊥BD，交BC于点E，过G作HG⊥AG交DE延长线于点H．求证：BD＝DH． （2）过点A作AF⊥BD，垂足为F，射线AF交BC于点N，点Q在射线CA上，且∠QNC＝∠ANB．求证：AQ＝CD． 【分析】（1）利用ASA证明△ABD≌△GDH即可得结论； （2）过C作CE⊥AC交AN延长线于点E，先利用ASA证明△QNC≌ENC，可得CQ＝CE，再证明△ABD≌△CAE，可得AD＝CE；进而根据线段的和差即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵CG＝AD， ∴CG+DC＝AD+DC， ∴DG＝AC＝AB， ∵DE⊥BD， ∴∠BDE＝∠A＝90°， ∴∠ADB+∠GDH＝∠ADB+∠ABD， ∴∠ABD＝∠GDH， 在△ABD和△GDH中， ， ∴△ABD≌△GDH（ASA）， ∴BD＝DH； （2）证明：如图，过C作CE⊥AC交AN延长线于点E， ∴∠ECQ＝90°， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ACB＝45°， ∴∠ECN＝45°， ∴∠QCN＝∠ECN， ∵∠QNC＝∠ANB．∠ENC＝∠ANB． ∴∠QNC＝∠ENC． 在△QNC和ENC中， ， ∴△QNC≌ENC（ASA）， ∴CQ＝CE， ∵AF⊥BD， ∴∠AFD＝∠BAC＝90°， ∴∠ADB+∠FAD＝∠ADB+∠ABD， ∴∠ABD＝∠FAD， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（ASA）， ∴AD＝CE； ∵CQ＝CE， ∴AD＝CQ， ∴AD+DQ＝CQ+CQ， ∴AQ＝CD． 【点评】本题属于三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 题型二、角平分线性质与判定的应用 【例10】（2023上海大同中学校考期中）如图，在中，平分交BC于点D，，，垂足为E、F．    (1)若，，求的长度； (2)连接，求证：． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，等边对等角性质，三角形面积公式等知识， （1）首先根据三角形面积公式求出，然后利用角平分线的性质定理求解即可； （2）连接，根据等边对等角得到，然后结合得到，即可证明． 解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理：角的内部到角两边相等的点在角的平分线上． 【详解】（1）∵，， ∴，即 解得 ∵平分交BC于点D，，， ∴， （2）如图所示，连接，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 【例11】（2024-25八年级上·上海金山·期末）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．    (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （1）过点E作于点H，利用角平分线的性质即得证； （2）通过证明即可． 【详解】（1）作，垂足为点    平分，，（已知） （在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等） 平分，，（已知） （在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等） （等量代换） （2），（已知） ，（垂直的意义） 在和中， （全等三角形对应角相等） 【例12】（22-23八年级上·上海长宁·期末）如图，平分，，点在线段上，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】二次根式的加减运算、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，熟记全等三角形的判定与性质，角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得出，从而可证明，得出，，得出，即可推出结论； （2）根据等面积法求出的长，从而得出的长，得出的面积，可推出结果． 【详解】（1）证明：如图，过点作于， 又，平分， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 由（1）知，， 的面积为． 【例13】（2023八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，垂足分别为E、F，再过点D作，交于点G，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理、根据等角对等边证明边相等 【分析】（1）连接，先根据，且， 可知，再根据即可得出，进而可得出，由等角对等边可知； （2）先证明，得出，根据，，得出． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵，且， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在和中 ， ∴，     ∴，         ∵， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的判定，等边对等角，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 【例14】如图，与中，，，，过A作垂足为F，交的延长线于点G，连接．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先过点作于，判定，得出，再判定，即可得出； （2）先判定，得出，再根据，求得的面积，进而得到的长． 【详解】（1）过点作于， ∵与中，， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分； （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等． 题型三、勾股定理的应用 【例15】（2024-25闵行区八年级期末） 已知：在中，，．点、在线段上． （1）如图1，如果，求证：． （2）如图2，如果，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得． 【小问1详解】 证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 【例16】（2023上·山东泰安·七年级统考期中）如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点． (1)找出图中的一对全等三角形，并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由与都是等腰直角三角形，，可知，，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）由等腰直角三角形的性质得，由，得，，则，根据勾股定理得，则． 【详解】（1）解：， 理由：与都是等腰直角三角形，， ，，， 在和中， ， ． （2）证明：，， ， ， ，， ， ， ． 【例17】如图，已知和中，，，，连接．交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)连接，，求证 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据证明即可． （2）设交于点．利用全等三角形的性质解决问题即可． （3）连接，利用勾股定理解决问题即可． 【详解】（1）解：证明：， ， ，， ． （2）设交于点． ， ， ，， ， ， ． （3）证明：连接． ， ，， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【例18】（2024上·浦东新·期末）中，，点D、E分别为边AB、BC上的点，且，，联结AE交CD与点F，点M是AE的中点，联结CM并延长与AB交于点H． （1）点F是CD中点时，求证：； （2）求证： 【分析】（1）联结MD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得,根据点F是CD中点，即可判断是的垂直平分线； （2）证明是的垂直平分线，可得，进而在中，，等量代换即可得 【详解】（1）证明：联结MD． ∵， ∴ ∵点M是AE的中点， ∴．同理可证：， ∴． ∵点F是CD中点， ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵点M是AE的中点， ∴． ∵， ∴点M，点C在线段AD的垂直平分线上． ∴CM是线段AD的垂直平分线． ∴，． ∴． ∴中， ∴． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握垂直平分线的性质与判定是解题的关键． 【例19】（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）问题呈现：如图1，在中，，以为边向外作等边，求的长．    操作探索：小明同学为了寻找与已知线段、之间的数量关系，他将问题特殊化，将线段绕点顺时针旋转到上，如图，进而联想到自己非常熟悉的图模型，以为边作等边，连． (1)如图3，直接写出与间的数量关系_________； (2)如图1，求的长． 理解运用： (3)根据以上探索，如图4，在四边形中，．若，，求的长． 延伸拓展： (4)已知，如图5，为正内一点，．直接写出以，、为边构成的三角形各个内角的度数． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)，， 【分析】（1）根据等边三角形的性质证明，得即可； （2）以为边作等边三角形，连接，过点作垂直于延长线于点，由可证，可得，利用勾股定理可求，，即可求解； （3）连接、，在四边形的外部以为一边作等边，连接，证明，得，然后证明，根据勾股定理求出，进而可以解决问题； （4）将绕点顺时针旋转得，可以证明是等边三角形则，则就是以，，三边为边的三角形，然后分别求出的三个内角的度数即可． 【详解】解：（1），理由如下： AI   与是等边三角形， ，， ， ， 即． 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，以为边作等边三角形，连接，过点作垂直于延长线于点， AI   与是等边三角形， ，， ， ， 即． 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，连接，在四边形的外部以为一边作等边，连接，    在中，，， 是等边三角形， ，， 又是等边三角形， ，， ， 即， )， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，， ， ； （4）将绕点逆时针旋转得，则，    ，，， 是等边三角形， ，， 就是以，，三边为边的三角形， ， ， ， ， ， 以，，为边的三角形的三内角的度数分别为，，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，旋转的性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键． 题型四、勾股定理逆定理的应用 【例20】如图，已知的三边满足，，，其中都是正整数，且．是过点的一条直线，过点作直线的垂线，垂足为点，是线段上一点，且． （1）求证：； （2）取边的中点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质： （1）勾股定理逆定理，结合完全平方公式进行判定即可； （2）延长交于点G，证明，，得到，根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得证． 【小问1详解】 证明：， ． （勾股定理的逆定理）； 【小问2详解】 证明：延长交于点G， ，， ． 又， ． ， ． ． ． ． 又，， ． ． 又， （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）． 【例21】（2024-25八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图是直角三角形，，点分别在边上，且，，．    (1)证明：线段能组成直角三角形； (2)当是边上的中点时，判断：的位置关系． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（）根据勾股逆定理即可求证； （）延长，使得，连接，证明，得到，，得到，根据平行线的性质得到，由勾股定理得到，进而得到，由等腰三角形三线合一即可求证； 本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴线段能组成直角三角形； （2）解：． 理由：延长，使得，连接，    ∵是边上的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 题型五、猜想证明 【例22】在中，，是边的中点，于点H，平分． (1)求证：平分； (2)过点作的垂线交的延长线于点，求证：＝； (3)是什么三角形？证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由等腰三角形到性质得到，由余角的性质得到，等量代换得到，根据角平分线得到结论； （2）根据得到，由平行线的性质得到，再进行角度的转换即可得到结论； （3）根据，于是得到，推出是等腰三角形，结合垂直，得结论． 【详解】（1）证明：在中，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 即， 平分； （2）证明：， ， ， ， ， ； （3）是等腰直角三角形，理由如下： ， ， 是等腰三角形， ， 是等腰直角三角形， 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，理解出题意思，利用（1）中的条件解接下来的题，是解题的关键． 【例23】在中，点P在平面内，连接并将线段绕点A顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接 【发现问题】（1）如图1，如果点P是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是______； 【探究猜想】（2）如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）； 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，，P是线段上的任意一点连接，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1）；（2）仍然成立；理由见解析；（3）． 【分析】本题考查三角形旋转变换的性质，全等三角形判定与性质，角直角三角形性质，掌握旋转变换的性质，根据垂线段最短确定线段位置是解本题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）证明，即可得出结论； （3）在上取一点E，使，连接，过点E作于F，证明，得到，进而得到最小时，最小，利用垂线段最短和含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1）； 由旋转知，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）前面发现的结论仍然成立；理由如下： 由旋转知，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图，在上取一点E，使，连接，过点E作于F， 由旋转知，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 要使最小，则有最小，而点E是定点，点P是上的动点， ∴当（点P和点F重合）时，最小， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， 故线段长度最小值是 【例24】已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN． （1）在图1中，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC； （2）在图2中，若∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【分析】 （1）根据角平分线的性质可得∠DAC=∠BAC=60°，又已知∠ABC=∠ADC=90°，所以∠DCA=∠BCA=30°，根据直角三角形的性质可证AC=2AD，AC=2AB，所以AD+AB=AC． （2）根据已知条件可在AN上截取AE=AC，连接CE，根据AAS可证△ADC≌△EBC，得到DA=BE，所以AD+AB=AB+BE=AE，即AD+AB=AC． 【详解】 解：（1）在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30° ∴AC=2AD，AC=2AB， ∴2AD=2AB ∴AD=AB ∴AD+AB=AC． （2）（1）中的结论AD+AB=AC成立， 理由如下：解法1:如图2，在AN上截取AE=AC，连接CE， ∵∠CAE=60°， ∴△ACE是等边三角形， ∴∠DAC=∠CEB=60°， ∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°， ∴∠ADC=∠EBC， ∵在△ADC和△EBC中， ， ∴△ADC≌△EBC ∴DA=BE ∵△CAE为等边三角形， ∴AC=AE， ∴AD+AB=AB+BE=AE=AC， ∴AD+AB=AC． 解法2:过C作CE⊥AM，过C作CF⊥AN，垂足分别为E、F ∵AC平分∠MAN，CE⊥AM，CF⊥AN， ∴ ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠MDC+∠ADC=180°， ∴∠EDC=∠ABC ∵∠EDC=∠ABC，， ∴，∴ ∴ ∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN， ∴ ∵∠ABC=∠ADC=90°， ∴∠ACE=∠ACF=30°， ∴， ∴ 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，和全等三角形的判定等知识综合运用，是一道由浅入深的训练题． 【例25】如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)如图2，其余条件不变，若______． (3)如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)60 (3)，见解析 【分析】（1）过点C作于点E，交延长线于点F，角平分线的性质，得到，证明，即可得证； （2）延长交于点E，证明，得到，证明，进而求出，即可得出结果； （3）过点C作交延长线于点E，于点F，先证明，得到，再证明，得到，根据线段的和差关系，以及含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论． 【解析】（1）证明：如图，过点C作于点E，交延长线于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：60； （3）解：，理由如下： 如图，过点C作交延长线于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 【例26】（1）阅读理解：如图①，在中，，，，垂足分别为，，且，与交于点．图中与全等的三角形是 ，与全等的三角形是 ； （2）问题探究：如图②，在中，，，平分，，垂足为．探究线段，，之间的关系，并证明； （3）问题解决：如图③，在中，，，平分，交的延长线于点．求证：．    【答案】（1），；（2），见解析；（3）见解析 【分析】（1）由“”可证，由“”可证； （2）由“”可证，可得，，可得结论； （3）由“”可证，可得，由“”可证，可得，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：，； （2），理由如下： ，， ， ， ， ， 平分， ， 又，， ， ，， ； （3）如图，延长，交于点，    平分， ， 又，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1.已知：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥AC于A，交BC于D． 求证：CD=2AB． 【答案】答案见解析 【分析】 取CD的中点E，连接AE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=CE=CD，根据等边对等角可得∠C=∠CAE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEB=2∠C=∠B，根据等角对等边可得AE=AB，即可得证． 【详解】 如图，取CD的中点E，连接AE， ∵AD⊥AC， ∴AE=CE=CD， ∴∠C=∠CAE， ∴∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C， ∵∠B=2∠C， ∴∠AEB=∠B， ∴AE=AB， ∴AB=CD， ∴CD=2AB． 【点睛】 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，作辅助线利用性质并构造出等腰三角形是解题的关键． 2．如图，已知、交于点，，，点是的中点，点、分别是、的中点，联结、，试探讨、的大小关系，并说明理由. 【答案】QE=QF，理由见解析. 【分析】 连接CE，BF，根据“三线合一”可得，，再根据直角三角形斜边上的中线性质可得，，即可得证. 【详解】 ．理由如下： 连接、， ∵，，点、分别是、的中点， ∴，， ∵点是的中点， ∴，， ∴． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，作适当辅助线帮助解题. 3.如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD=CD，BE∥AC，DE⊥BE， 求证：4BE=AC.A B C D E 【答案】见解析． 【解析】连接AD ∵AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形，∴BC=AC ∵AB=AC，BD=CD，∴ ∵，，∴ ∵BD=CD，∴ ∵BE∥AC，∴ ∵DE⊥BE，∴ ∵，∴， 即4BE=AC． 4．如图，已知：在△ABC中，AB= AC， ∠BAC =30°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF∥AB交AC于F． 求证：DE =DF． 【答案】答案见解析 【分析】 利用等腰三角形三线合一的性质得知AD是△ABC的对称轴，利用三角形中位线定理推出F点是线段AC的中点，取AB的中点G，利用三角形中位线定理推出DF=DG，∠DGB =∠BAC =30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可证明结论． 【详解】 ∵AB= AC，D是BC的中点，∠BAC =30°， ∴AD是△ABC的对称轴，AD⊥BC， ∵DF∥AB，且D是BC的中点， ∴F点是线段AC的中点， ∴DF=AC， 取AB的中点G，连接DG， ∴DG是△ABC的中位线， ∴DG=AC= DF，∠DGB =∠BAC =30°， ∵DE⊥AB， ∴∠GED=90°， 在Rt△DEG中，∠DGE=30°， ∴DE=DG =DF． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质，作出辅助线证得DF=DG，∠DGB =∠BAC =30°是解题的关键． 5.已知：如图在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB上的中线，DC=BE， DG⊥CE，垂足为点G．A B C D E G 求证：∠AEC=3∠DCE． 【答案】见解析 【解析】联结ED ∵AD是BC边上的高，CE是AB上的中线， ∴ ∵DC=BE，∴，∴ ∴ ∵，∴，∴ ∴ 6．如图已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,边AB的垂直平分线交边BC 于点E,垂足为点D，取线段BE的中点F,联结 DF,求证:AC=DF。 【答案】见解析. 【分析】 先根据线段垂直平分线的性质得AE=BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得DF=BE，最后根据直角三角形30度的性质得AC=AE，从而得出结论． 【详解】 证明：如图，连接AE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE,∠EDB=90°， ∴∠EAB=∠EBA=15°， ∴∠AEC=30°， Rt△EDB中,∵F是BE的中点， ∴DF=BE， Rt△ACE中,∵∠AEC=30°， ∴AC=AE， ∴AC=DF. 【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质以及30°所对的直角边的性质，熟练掌握这些基本性质得出线段关系是解题的关键. 7．如图1，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点． （1）求证：MN⊥DE． （2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想． （3）当∠A变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）∠DME=180°-2∠A；详见解析；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，详见解析 【分析】 （1）连接，，根据直角三角形的性质得到，，得到，根据等腰直角三角形的性质证明； （2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算； （3）仿照（2）的计算过程解答． 【详解】 （1）证明：如图，连接，， 、分别是、边上的高，是的中点， ，， ， 又为中点， ； （2）在中，， ， ∴，， ， ， ， ， ； （3）结论（1）成立，结论（2）不成立， 理由如下：如图， 同理（1）可知：，故结论（1）正确； ， ∴，， 在中，， ， ，故结论（2）不正确． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 8．在中，． （1）如图1、求证：： （2）如图2，D为AB上一点，连接CD，E为CD中点，过点E作于点E，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点F作于点H，连接AF，若AF∥BC，FH=4，CH=20，BD=10，求的面积 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）30 【分析】（1）过点A作于点，只需要证明即可得到答案； （2）只需要证明即可得到答案； （3）过点作延长线于点，然后证明， ，然后计算求解即可得到答案. 【解析】解：（1）证明：过点A作于点， ， ， 在和中， （2）证明： ， ， 为中点， 在和中， （3）过点作延长线于点， ， ， ， ， 在和中， 在和中， ， ， ， 的面积． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形的面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定. 9．已知和，其中，．    (1)将和按如图1所示位置摆放，点落在上，的延长线交于点，连接，且平分． ①求证； ②猜想，与之间的数量关系是__________； (2)若将图1中的按如图2所示位置摆放，交于点，的延长线交于点，，连接，且平分．试判断（1）中②猜想的结论还成立吗？并说明理由； (3)若将图1中的按如图3所示位置摆放，，分别交的延长线于点，，连接，且平分．你认为（1）中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】(1)①证明见解析，②，证明见解析； (2)结论成立，证明见解析 (3)②的结论不成立，结论为：，证明见解析 【分析】（1）①由角平分线的性质可得结论；②先证明，证明，可得，从而可得结论； （2）证明，再证明，可得．证明，可得，从而可得结论； （3）证明，，可得，证明，可得．再证明，可得，结合，而，从而可得结论． 【解析】（1）证明：①∵平分，， ∴，． ②∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，而， ∴； （2）∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵，而， ∴； （3）②的结论不成立，结论为：，理由如下： ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵，而， ∴； 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记角平分线的性质，全等三角形的判定方法是解本题的关键． 10．（22·23上·宝山·期末）如图，在中，于点D，，点E、F分别是、的中点且，求证：． 【分析】利用证明，即可解决问题． 【详解】证明： ， ． ∵点E、F分别是、的中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，正确证明三角形全等是解题的关键． 11．（22·23上·徐汇·期末）如图，已知锐角中、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点．求证： (1)． (2)若，求证：是等边三角形 【分析】（1）连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，然后由等腰三角形“三线合一”即可得到答案； （2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出即可证明． 【详解】（1）如图：连接、， 、分别是、边上的高， ,， 在与中， M是线段的中点， ,， ， 是等腰三角形， 又因为N是线段的中点， ； （2）在中，， ， 由（1）可知： ， ，， ， ， ， 由（1）可知是等腰三角形， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和，等边三角形的证明；掌握基本性质是解题的关键． 12．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）以的、为边作和，且，，与相交于M，． (1)如图1，求证：； (2)在图1中，连接，则 ， ；（都用含α的代数式表示） (3)如图2，若，G、H分别是、的中点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】（1）根据证明三角形全等即可； （2）连接，过点A作于P，于N，根据全等三角形的性质和对顶角相等求解即可； （3）连接，根据全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 如图3，连接，过点A作于P，于N，    ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴， ∵ ∴． 故答案为：；． （3）解：连接，    由（1）可得：， ∴，， ∵G、H分别是EC、BD的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理和对顶角相等，解决本题的关键是掌握全等判定和性质． 13．（2023上·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考期中）（1）如图1，，平分，，且与、分别交于点、，求证：无论点怎样移动，总有． （2）如图2，其他条件不变，将图1的绕点逆时针旋转使得点落在的反向延长线上时， ①求证：是等边三角形． ②你能得出线段，，之间的数量关系吗？请写出数量关系并就图2的情形证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②，见解析 【分析】（1）过点作于点，于点，由“”可证，可得； （2）①由“”可证，可得，由等边三角形的判定可得结论； ②由含30度角的直角三角形的性质可得，由线段关系可求解． 【详解】（1）证明：过点作于点，于点，如下图， ∵平分，，， ∴， ∵，由四边形的内角和等于， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴无论点怎样移动，总有； （2）①证明：过点作于，于，如下图， ∵平分，，， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； ②，理由如下： ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，根据角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键． 14．（2023上·重庆长寿·九年级重庆市长寿中学校校考期中）如图，在中，，，点D是边上一动点，连接．将绕点A顺时针旋转，得到，连接． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，连接，交于点N，过点B作交延长线于点M，求证：； (3)在（2）的条件下，若，点D在上运动过程中，当最小时，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点A作于H，根据勾股定理得出，进而得出即可； （2）过点E作交于点F，根据全等三角形的判定和性质得出，进而利用证明，进而解答即可； （3）由垂线段最短，当时，最小，由勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：过点A作于H， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， 即， ∴， ∵， 在中，； （2）证明：过点E作交于点F， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得，， ∴，， ∵D在线段上， 由垂线段最短，当时，最小，这时最小，此时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理、垂线段最短等知识，关键是作辅助线构建全等三角形解答． 1 学科网（北京）股份有限公司 $