专题08 直角三角形章末77道压轴题型专训（11大题型）-2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题08 直角三角形章末77道压轴题型专训（11大题型） 题型一 勾股定理的证明方法 题型二 勾股定理的折叠问题 题型三 勾股树（数）问题 题型四 以弦图为背景的计算题 题型五 根据直角三角形斜边上的中线定理求最值 题型六 根据30度角直角三角形的性质证明 题型七 角平分线的判定与性质综合应用 题型八 勾股定理逆定理综合应用 题型九 勾股定理的应用综合应用 题型十 蚂蚁爬行—最短路径问题 题型十一 勾股定理中的旋转问题 【经典例题一 勾股定理的证明方法】 1．（2025八年级上·上海嘉定·专题练习）面积法是最常见的验证勾股定理的方法．用两个全等的直角三角形的纸板拼出如图所示的图形，，设，请结合图形验证勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查勾股定理；结合两个全等的直角三角形，分别列出的式子，再结合，列出等式即可求出结果． 【详解】解：根据题意可得， 所以． 因为，所以， 所以，即， 所以． 因为，易得在中，边上的高与相等， 所以， 所以． 因为， ， 所以， 所以， 整理，得． 2．（25-26八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，为上一点，，，，，交于点，且． (1)判断线段，，的数量关系，并说明理由； (2)连接，，若设，，，利用此图验证勾股定理． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明过程见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的证明，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据可证明，则，．又因为，代换线段可得答案； （2）根据列出等式，化简即可得到答案． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图， ，， ． 又， ． ，， ． 在和中， ， ， ，． 又， ． （2）证明：， ∴， 由（1）得，， 作于， ，， ， ， 由平行线间距离处处相等可知， ∴， ， ． 3．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）如图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，图②是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． (1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形； (2)用这个图形证明勾股定理． 【答案】(1)见解析，梯形 (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，此题的关键是找等量关系，由等量关系求证勾股定理． （1）由图中给出的三个三角形组成一个梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为； （2）此题主要是利用梯形的面积和三角形的面积公式进行计算，根据图中可知，由此列出等式即可求出勾股定理 【详解】（1）解：如图所示，是梯形； （2）证明：由图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积 从图我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积和，即， ∴ 整理得：． 4．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论． 【方法运用】（1）千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的，，用两种方法表示出梯形的面积，说明勾股定理； 【方法迁移】（2）如图3，每个小方格的边长为1，点，，分别在格点上，连接点，，可得，求边上的高； 【方法拓展】（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，掌握利用面积证明勾股定理是解本题的关键． （1）利用直角梯形的面积的两种表示，列式化简即可得证； （2）设中边上的高为，计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵ ； 又， ， ∴， ； （2），， 设中边上的高为， ， ∴，即边上的高是； （3）在中， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴． 5．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）综合与实践 【材料阅读】图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成（三角形的三边长分别为，，），用它可以证明勾股定理，思路是利用大正方形面积的两种求法，一种是边长的平方，即，另一种是四个直角三角形与中间小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简后得到．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式的方法，我们称为“算两次”． 【方法运用】小明通过查阅资料得知了勾股定理的另一种证法：把两个全等的三角形（和）按照如图②所示的方式放置，三角形的三边长分别为，，，，于点． （1）在此基础上，请用，，分别表示出四边形、梯形和的面积，并通过探究这三个图形的面积之间的关系，得出． 【方法迁移】（2）如图③，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，连接网格的三个格点，，，得到，则边上的高为______． （3）如图④，在中，，，，是边上的高，求的长． 【答案】（1），，，探究见解析；（2）；（3） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）利用割补法求得的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴， ∴； （2）， ， ， ， 即边上的高是； （3）设，在中，由勾股定理得 ， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴． ∴． 6．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因验证方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． 【验证方法】如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论． 这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法应用】千百年来，人们对勾股定理的验证趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)【数学思想】在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有___________．（填序号） ①方程思想②数形结合思想③分类讨论思想 【答案】(1)见解析； (2)； (3)①②． 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是： （1）根据梯形面积公式求得，根据割补法求出，联立等式并化简即可； （2）根据勾股定理可得，，据此即可求得答案． （3）结合解题过程即可求得答案． 【详解】（1）证明：观察图形可知或． 所以． 整理，得，即； （2）解：因为，所以． 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 所以， 解得； （3）解：在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有①方程思想，②数形结合思想， 故答案为：①②. 7．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）阅读下列材料，并按要求完成相应任务． 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国古代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今，在这幅“弦图”中，以c为边长的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，每个直角三角形的面积为，中间的小正方形的边长为，则其面积为．由面积关系可． 任务一：（1）请利用图②中的数据验证勾股定理． （2）如图③④⑤．以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个． 任务二：（3）如图⑥所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，直角三角形的面积为，请判断的关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理与图形的面积，等边三角形的性质： （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得证； （2）设直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，分别求出，利用勾股定理进行判断即可； （3）用两种方法表示出整个图形的面积，结合勾股定理即可得出结论． 【详解】解：（1）由图可知：大正方形的面积， ∴， ∴， （2）设直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，则：； 对于③：， ∴； 对于④：， ∴ 对于⑤：如图，过点作，则：， ∴， ∴， 同理：， ∴； 故面积关系满足的有3个； （3），理由如下： 由图可知：， ， ∵ ， ∴． 【经典例题二 勾股定理的折叠问题】 8．（24-25八年级上·上海长宁·期中）如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为， (1)求的长； (2)求点B到斜边的距离； 【答案】(1)； (2)点B到斜边的距离为． 【分析】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质． （1）根据勾股定理求出，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）利用等积法求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：点B到斜边的距离为， ∵， ∴， 答：点B到斜边的距离为． 9．（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，将矩形纸片沿对角线对折，点落在点的位置，与相交于点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． （1）证明，得出，则结论得证； （2）设，则，，在中，根据勾股定理有，解方程得出的长为，进而根据三角形的面积公式，即可得解． 【详解】（1）证明：由折叠可知， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）设，则，， 在中，根据勾股定理有． 解得：， 的长为， ∴ 10．（24-25八年级上·上海宝山·期中）八年级开展了手工制作模拟预测，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可知，， ，由勾股定理得，则，设，由勾股定理得，即，计算求解然后作答即可． 【详解】解：∵长方形， ∴，， 由折叠的性质可知，， ， 由勾股定理得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴． 11．（24-25八年级上·上海金山·期中）（1）在中，，，过点作直线的垂线，垂足为． （i）如图1，若，求线段的长； （ii）若，求线段的长． （2）如图2，在中，，过点作直线的垂线，交线段于点．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长． 【答案】（1）（i）12；（ii）14或4；（2）． 【分析】此题考查了勾股定理、折叠问题等知识． （1）（i）设，则，利用勾股定理得到，则，求出，则； （i）分为锐角和钝角两种情况进行解答即可； （2）连接交于点，则，过点作于，在中，，在中，，根据折叠得到，设，则，由勾股定理得到，求出，进一步由勾股定理进行解答即可． 【详解】解：（1）（i）设，则， ， ， 在中，， 在中，， ， ，， ， ， ， ； （i）在中，， 在中，， 当为锐角时，如图，， 当为钝角时，如图，； （2）如图2，连接交于点，则，过点作于， 在中， 在中， 垂直平分， ∴ ， ， ， 设，则 ， ， ， 12．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）折纸，操作简单，富有数学趣味，，现将纸片按如图1折叠，折痕为（点、分别在边上且、不与端点重合）．    (1)当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且（保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则为所求作； （2）连接；设，则，在中由勾股定理建立方程求出的值，再在中由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：作图如下：作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则关于对称，且是等腰三角形，，则为所求作折痕；    （2）解：如图，连接；    设， ∵是等腰三角形， ∴； 由折叠知，， ∴； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： 【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理、线段垂直平分线的作图和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，准确作图是解题的关键． 13．（24-25八年级上·上海金山·期中）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，最大值为 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质与判定； （1）设，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示；此时最小；当折痕所在直线经过点时，如图2所示：此时最大，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； （2）解：设， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ． （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点时，如图2所示： 此时最大，， 由勾股定理得：； 综上所述，的最小值为，最大值为． 14．（24-25八年级上·上海青浦·期中）学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题．大家知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即长方形中，，，，，．   请你运用所学知识，解决下面的问题： (1)如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点E在边上），点B落在点处，求的长度； (2)如图2，有一张长方形纸片，，，F为边上一点，，E为上一点．将纸片折叠，折痕为，使点B恰好落在线段上的点处，点A落在点处．求线段的长度． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理与折叠的问题，等角对等边等知识． （1）由长方体形的性质可知，，由勾股定理得出，由折叠的性质可得出，，，进一步可得出，，再利用勾股定理可得出，代入求解即可得出． （2）由长方体形的性质可知，，，，，进而可得出，由折叠得，，等量代换可得出，由等角对等边可得出，由勾股定理可得出，进一步可得出，最后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，， ∴，， ∴， 由折叠得，，， ∴，， 在中，， 即 解得： ∴的长是． （2）解：∵四边形是长方形，，，， ∴，，，，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴的长是5． 【经典例题三 勾股树（数）问题】 15．（24-25八年级上·上海普陀·期中）观察下列勾股数： ①3，4，5，且； ②5，12，13，且； ③7，24，25，且； ④9，b，c，且； … (1)请你根据上述规律，并结合相关知识求：______，______； (2)猜想第n组勾股数，并说明你的猜想正确． 【答案】(1)40；41 (2)，，，见解析 【分析】此题考查勾股数有关的规律探究． （1）由规律可得，然后再由勾股定理得：，再计算即可； （2）认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第组数为，，，由此规律解决问题． 【详解】（1）解：由规律可得， 由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 故答案为：40，41； （2）解：根据规律设第组勾股数为：，，． ∴， 解得， ∴猜想第组勾股数为：，，． 证明：， ， ， 是整数， ，，，是一组勾股数． 16．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五．定义：如果三个正整数能够成为直角三角形的三条边长，那么这三个正整数称为一组勾股数．例如：3，4，5三个正整数，有，我们就说3，4，5是一组勾股数．请你认真观察3，4，5这组勾股数的变化规律并填空： (1)勾股数①3，4，5；②6，8，10；③9，12，15；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数） (2)勾股数①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数） (3)勾股数①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④_______，_______，_______；…请用含n的式子表示这类勾股数的规律：_______，_______，_______．（，且n为正整数） 【答案】(1)12，16，20；，， (2)9，40，41；，， (3)10，24，26；，， 【分析】本题考查勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键． （1）先观察已有的勾股数，得到第④组，进一步总结规律求解即可； （2）先观察已有的勾股数，得到第④组，进一步总结规律求解即可； （3）先观察已有的勾股数，得到第④组，进一步总结规律求解即可； 【详解】（1）解：由题意可得： 勾股数①3，4，5；②6，8，10；③9，12，15；④，，；…第n组：，，；（，且n为正整数） （2）解：由题意可得： 勾股数①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④，，；…第n组：，，；（，且n为正整数） （3）解：由题意可得： 勾股数①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…请用含n的式子表示这类勾股数的规律：，，．（，且n为正整数） 17．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，那么这三个整数叫做一组“勾股数”． (1)请把下列三组勾股数补充完整： ①________，8，10；②5，________，13；③7，24，________． (2)小铭发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成，，如，，． ①请你帮小铭证明这三个数2mn，，是勾股数组； ②如果24，45，51是满足上述小铭发现的规律的勾股数组，求的值． 【答案】(1)6，12，25 (2)① 见解析；② 5 【分析】本题考查勾股数的定义，以及整式的运算等，理解题意，准确结合材料定义进行分析是解题关键． （1）根据勾股数的定义求解即可； （2）①根据勾股数的定义，分别计算各整式的平方，然后判断等式是否成立即可； ②先对原三个数约去公因数化简，然后拆分化简后的偶数，根据化简后剩余的两个数依次确定出m，n的值即可求解． 【详解】（1）解：①6，8，10；②5，12，13；③7，24，25． 故答案为：6，12，25； （2）①证明：，， ， ∴，，2mn是勾股数； ②解：把24，45，51约去，化简得：8，15，17， 偶数，， ，， ． 18．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题： 12+1＝2，S1＝，+1＝3，S2＝，+1＝4，S3＝ （1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律． （2）推算出OA10的长． （3）求出S12+S22+S32+…+S1002的值． 【答案】（1）OAn2＝n ，Sn＝；（2）OA10＝；（3） 【分析】（1）利用已知可得OAn2，注意观察数据的变化， （2）结合（1）中规律即可求出OA102的值即可求出， （3）将前10个三角形面积相加，利用数据的特殊性即可求出． 【详解】解：（1）结合已知数据，可得：OAn2＝n；Sn＝； （2）∵OAn2＝n， ∴OA10＝． （3） ＝+… ＝ ＝＝． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．也考查了三角形的面积公式以及图形类规律探究. 19．（2025·上海金山·模拟预测）已知：整式，整式． 尝试: 化简整式． 发现: ，求整式． 联想:由上可知，，当n＞1时为直角三角形的三边长，如图．填写下表中的值： 直角三角形三边 勾股数组Ⅰ / 8 　 　 勾股数组Ⅱ / 　 　 【答案】尝试：；发现：；联想：17，37. 【分析】先根据完全平方公式和整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答． 【详解】A=（n2﹣1）2+（2n）2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2． ∵A=B2，B＞0，∴B=n2+1，当2n=8时，n=4，∴n2+1=42+1=17； 当n2﹣1=35时，n2+1=37． 故答案为17；37． 【点睛】本题考查了勾股数的定义．掌握勾股数的定义是解答本题的关键． 20．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）阅读材料：勾股定理本身就是一个关于、、的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学刘老师给出下面的两个表格．（以下，，为的三边，且） 表1               表2 (1)请你根据上述表格的规律写出勾股数：11、________、________； (2)当（为奇数，且）时，若________，________时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想； (3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当或时，________．（写出所有满足条件的）． 【答案】(1)， (2)，，证明见解析 (3)，， 【分析】本题考查了勾股数，整式的乘法； （1）根据表格找到规律，即可求解； （2）根据勾股定理可以写乘，根据平方差公式因式分解，即可求解． （3）根据（2）的方法，得出，结合，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴勾股数：，， （2）解：根据表，，，，…… ∴，且， ∴当时，又， ∴，， 故答案为：，． 证明：∵，， ∴ ∴ ∴； （3）解：当时，∵， ∵， ∴，，，，…… ∴，，，（舍去）， 当时， 同理可得，，， 故答案为：，，． 21．（24-25八年级上·上海嘉定·单元测试）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（ 如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)请叙述勾股定理； 勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；以下图形均满足证明勾股定理所需的条件 (2)如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； 如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：结果可用含的式子表示 则：______； 【答案】(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么，（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）；②证明见解析； (2)①3，②结论； (3) 【分析】本题考查了勾股定理的证明及勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用． （1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可； ②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立； （2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案； ②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案； （3）由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，． 【详解】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么． （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．） ②证明： 在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即， 化简得． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即，化简． （2）解：①根据题意，如下图所示： 在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则 由勾股定理，得， ∴； 在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则 ，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则 ，，， ∵，， ∴， ∴； ∴满足的有3个， 故答案为：3； ②结论； ， ； （3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有 由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：， ∴，，， ∴ 故答案为： 【经典例题四 以弦图为背景的计算题】 22．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(如图1)拼成的一个大正方形和中间一个小正方形(如图2)．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，若，较短直角边与较长直角边和为5，求正方形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，求得，，得到，解方程组得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 正方形的面积． 23．（2025·上海闵行·模拟预测）三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用 4 个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图 ”．中，， ，， ，大正方形的面积小正方形的面积 个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：． (1)若 ，则 ； (2)如果大正方形的面积是 13， ，求小正方形的面积． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了勾股定理的证明，和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． （1）根据题意得大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，然后根据，，即可解决问题； （2）根据大正方形的面积，，得，求出，进而可得小正方形的面积． 【详解】（1）∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∵，， ∴ ∴， 故答案为：； （2）∵大正方形的面积，， ∴， ∴（负值已经舍去）， ∴小正方形的面积． 24．（24-25八年级上·上海嘉定·课后作业）（1）数学家大会将在北京召开，大会会标如图①所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积为26，每个直角三角形的面积为4，求中间小正方形的边长； （2）现有一张长为，宽为的纸片，如图②所示，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．（要求：先在图②中画出分剖线，再画出拼成的正方形，并标明相应数据） 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）设直角三角形的两条边分别为a、b(a＞b)，根据题意得到，求出，则中间小正方形的边长即可求解； （2）由长为6.5cm、宽为2cm可知长方形的面积为13cm2，得到正方形的边长为，故将长方形分割出四个全等的直角边长为2cm、3cm的直角三角形，剩余部分分割出两个长为1cm，宽为0.5cm的长方形. 【详解】解：(1) 设直角三角形的两条边分别为a、b(a＞b)， 根据题意得到， ∴， ∴， ∴； 答：中间小正方形的边长为； (2)如图所示： 【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正方形与直角三角形的数量关系，分割图形的思考方法，正确理解勾股定理及其背景是解题的关键. 25．（24-25八年级上·上海静安·期中）【背景介绍】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 请你用“双求法”解决下面两个问题： (1)如图2，在中，，是边上的高，，求的长度； (2)如图3，在中，是边上的高，，设，求的值； 【答案】(1) (2)9 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）由勾股定理得到，根据等面积法即可求解； （2）在中，由勾股定理，得 ，在中，由勾股定理，得，由此列式即可求解． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， 解得，； （2）解：在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得， ∴， 整理得，， 解得，． 26．（24-25八年级上·上海松江·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)27 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键． （1）方法1：求得小正方形的边长为，方法2：大正方形的面积减4个直角三角形的面积，据此计算即可； （2），列式计算即可证明； （3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可． 【详解】（1）解：方法1：； 方法2：； ∵，即， 故； 根据以上信息，可以得到等式：； 故答案为：；；； （2）解：∵， 即， 整理得， 故； （3）解：如图，， ∵，， ∴， 则， ∴， 故阴影部分的面积为27． 27．（24-25八年级上·上海闵行·期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请你从图1，图2，图3中任选一个图形来证明该定理； (2)①如图4，图5，图6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个； ②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为，直角三角形面积为，请判断的关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①；②．见解析 【分析】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识； （1）根据面积法即可证明勾股定理； （2）①设面积为的正方形边长为，面积为的正方形边长为，面积为的正方形边长为；根据题意得：，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解； ②结合题意，首先分别以为直径的半圆面积、以为直径的半圆面积、非阴影部分去除三角形后的面积，再根据阴影部分面积（）以为直径的半圆面积以为直径的半圆面积非阴影部分去除三角形后的面积，结合勾股定理，即可得到答案． 【详解】（1）证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正形面积的和． 即， 化简得：． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 大正方形面积为： 小正方形面积为： 四个直角三角形面积之和为： ∵大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积之和 ∴ ∴，满足直角三角形勾股定理； 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即， 化简得：． （2）①三个图形中面积关系满足的有3个； 设面积为的正方形边长为，面积为的正方形边长为，面积为的正方形边长为； 根据题意得： 如图4： ，， ∴； 如图5： ，， ∵ ∴； 如图6： ，， ∵ ∴； ∴三个图形中面积关系满足的有3个 故答案为：3； ②； 以为直径的半圆面积为： 以为直径的半圆面积为： 非阴影部分去除三角形后的面积为： ∵阴影部分面积以为直径的半圆面积以为直径的半圆面积非阴影部分去除三角形后的面积 ∴ 结合（1）的结论： ∴ ∴． 28．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）课本再现 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成－一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明： 类比迁移 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为 ． 方法运用 （3）小贤将四个全等的直角三角形拼成图3的“帽子”形状，若，，请求出“帽子”外围轮廓（实线）的周长． （4）如图4，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，则，，之间的关系为 ． 【答案】（1）见解析；（2）13；（3）20；（4） 【分析】（1）用两种方法求出正方形的面积，即可求解； （2）根据，即可求解； （3）求出，进而求出，，即可求解； （4）过点E作，过点G作，表示出，，即可求解． 【详解】（1） ∴ ∴ （2）∵， ∴ ∴ （3）∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 由图易证： ∴ 即： ∴ ∴根据勾股定理得： ∴ ∴ ∴根据对称性可知：“帽子”外围轮廓（实线）的周长为： （4）如图：过点E作，过点G作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查勾股定理的几何应用，解题的关键是能够根据题目的条件，进行推理． 【经典例题五 根据直角三角形斜边上的中线定理求最值】 29．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，射线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)16 【分析】（1）由旋转性质得到，，从而确定，进而结合邻补角定义，等量代换确定，再结合四边形内角和确定，即可得证； （2）延长至使，连接，如图所示，由旋转性质得到，，进而由三角形全等判定得到，结合全等性质判定是等腰直角三角形，由等腰直角三角形性质及勾股定理即可得证； （3）过点作于点，取的中点，连接，如图所示，由等腰直角三角形性质得到，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半确定，在中，由，可得的最大值为，再由可知，当时，有最大值为． 【详解】（1）证明：绕点顺时针旋转得到， ，， ． ， ． 在四边形中，， ， ； （2）证明：延长至使，连接，如图所示： 绕点顺时针旋转得到， ，， 由（1）得， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； （3）解：过点作于点，取的中点，连接，如图所示： 是等腰直角三角形，， ， 是的中线， ． 在中，，即，则的最大值为． 由可知，当时，的最大值为． 【点睛】本题考查几何综合，综合性强，难度很大，涉及旋转性质、全等三角形的性质、邻补角定义、四边形内角和为、等腰直角三角形性质、勾股定理、直角三角形性质、三角面积等知识，灵活运用几何性质，根据问题准确作出辅助线求证是解决问题的关键． 30．（2025·上海宝山·模拟预测）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边，的中点，．    (1)将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值； (2)将绕顶点逆时针旋转（如图），求的长． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2) 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出的值，进而根据题意求得最大值与最小值即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，根据旋转的性质求得，进而得出，进而可得，勾股定理解，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，， 当在的延长线上时，的距离最大，最大值为， 当在线段上时，的距离最小，最小值为；    （2）解：如图所示，过点作，交的延长线于点，    ∵绕顶点逆时针旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 31．（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图1，在中，，，点D为AB边上一点． (1)若，则______； (2)如图2，将线段CD绕着点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接AE，求证：； (3)如图3，过点A作直线CD的垂线AF，垂足为F，连接BF．直接写出BF的最小值． 【答案】(1)5 (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)过C作CM⊥AB于M，根据等腰三角形的性质求出CM和DM，再根据勾股定理计算即可； (2)连BE，先证明,即可得到直角三角形ABE，利用勾股定理证明即可； （3）取AC中点N，连接FN、BN，根据三角形BFN中三边关系判断即可． 【详解】（1）过C作CM⊥AB于M， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴在Rt中 （2）连接BE， ∵，，， ∴, ∴ ∴， ∴ 在Rt中 ∴ ∴ （3）取AC中点N，连接FN、BN， ∵，， ∴ ∵AF垂直CD ∴ ∵AC中点N， ∴ ∴ ∵三角形BFN中 ∴ ∴当B、F、N三点共线时BF最小，最小值为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的常用辅助线以及直角三角形斜边上的中线，解题的关键是根据等腰直角三角形作斜边垂线或者构造“手拉手模型”． 32．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）阅读理解关作答： 若，定义为的算术平均值，为的几何平均值，关于它们有著名的均值不等式．请你采用下面的方法来探究这一问题： (1)已知为线段上的一点，于点，且，连接， 尺规作图：作的边上的中线； 判断并证明的形状，再利用中作出的图形证明． (2)应用该不等式解决问题：已知矩形周长为，求其面积的最大值． 【答案】(1)作图见解析；是直角三角形，证明见解析； (2)面积的最大值为． 【分析】（）如图，分别以，为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点，，连接交于点，连接即可； 利用勾股定理及逆定理即可求解； （）根据的结论即可； 此题考查了尺规作图，勾股定理及逆定理，直角三角形的中线性质，熟练掌握以上以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图，分别以，为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点，，连接交于点，连接， ∴即为所求； 是直角三角形，理由： ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由勾股定理得：，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，，即， 当与重合时，， ∴； （2）解：设矩形的长为，宽为， ∵周长为， ∴， 由（）得， 则，即， ∴面积的最大值为． 33．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，在边长为2的正方形中，E为边上一动点（点E不与B、C重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形，与正方形边相交于点N，连接． (1)求证：； (2)当E运动到的中点时，求线段的长； (3)如图2，连接交于点P，G是的中点，连接、，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等腰直角三角形和正方形的性质，得出，根据同角的余角相等，得到，即可证明结论； （2）设，则．延长至，使，连接．先证明，再结合等腰直角三角形的性质，证明出，则，再利用勾股定理列方程求解即可； （3）过F作于H点，连接，设与交于O点．先证明，进而证明是等腰直角三角形．再证明出点是的中点，得到，即，则当、、共线时，有最小值，最小值为的长，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴． ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵点E是的中点， ∴． 设，则． 如图，延长至，使，连接． ∵正方形， ∴． ∴． ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴． ∴． ∴，即． 又∵， ∴． ∴． 在中，，即， 解得， ∴线段的长度为． （3）解：如图，过F作于H点，连接，设与交于O点． 由（1），又，， ∴． ∴，． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴， ∵在正方形中，， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即点是的中点， ∴在和中，，， ∴． ∴， ∴当、、共线时，有最小值，最小值为的长， ∵G是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，作辅助线构造特殊三角形是解题关键． 34．（24-25八年级上·上海闵行·期中）在中，，，将绕顶点C按顺时针方向旋转，旋转角为，得到．    (1)如图1，当，且与相交于点D时，求证：； (2)如图2，当时，设与交于点P，求的值； (3)如图3，设的中点为点E，的中点为点F，，连接．在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值与最小值？如果存在，请求出这个最大值与最小值，并说明此时旋转角θ的度数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)线段的长度存在最大值，此时；线段的长度存在最小值，此时 【分析】（1）求出，证明是等边三角形，可得，再根据含直角三角形的性质求出，即可得出结论； （2）过点P作于点Q，利用勾股定理求出，再根据含直角三角形的性质求出，进而可得答案； （3）连接，当旋转到点F在的延长线上时，最长，证明是等边三角形，即可求出此时的值和的大小；而当旋转到点F在的延长线上时，最小，根据是等边三角形，可求出此时的值和的大小． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵在中，， ∴． ∴； （2）如图2，过点P作于点Q，    ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴在中，根据勾股定理可得， ∵， ∴， ∴； （3）如图3，连接，当旋转到点F在的延长线上时，最长，    ∵的中点为点F， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，；                                  如图4，当旋转到点F在的延长线上时，最小，    此时，， 综上，线段的长度存在最大值，此时；线段的长度存在最小值，此时． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，含直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，画出图形，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 35．（2025·上海松江·模拟预测）问题提出 （1）如图①，线段，点为平面内一动点，连接．若，则线段的最小值为_____（用含的式子表示）． 问题探究 （2）如图②，某村街道的右侧有一块开阔的空地，当地政府为了弘扬传统文化、打造当地旅游特色村，将在此处建设一处文化街区．已知：空地边界与街道的夹角为，且，，，计划在空地的一角打造以“非遗文化创意手工展”为主题的长廊，长度为，若空地边界上的点为出入口，点分别为两个休息点，且为的中点，出入口到休息点各有一条通道．请问：是否存在满足条件的点，使得通道的长度之和最短？若存在，求此时的长度之和；若不存在，请说明理由．（图中各点均在同一平面内，街道与通道的宽、休息点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可； （2）如图所示，延长，交于点O，连接，求出，得到点N在以点O为圆心，以为半径的圆弧上运动，在上取点，使，连接交于点，连接，得到，如图，当点，P，N，O四点共线时，取得最小值，即的长度，然后解直角三角形和勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵线段，点为平面内一动点，， ∴ ∴当点A，C，B三点共线时，有最小值，即； （2）如图所示，延长，交于点O，连接 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为的中点 ∴ ∴点N在以点O为圆心，以为半径的圆弧上运动 在上取点，使，连接交于点，连接， ∵ ∴点和点M关于对称 ∴ ∴ ∴如图，当点，P，N，O四点共线时，取得最小值，即的长度 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴的最小值为 ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理，求圆外一点到圆上最值问题，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【经典例题六 根据30度角直角三角形的性质证明】 36．（24-25八年级上·上海静安·期末）如图，在等边中，，是中线，与交于点M．猜想与的数量关系，并证明． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，进而可得，再结合含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：，理由如下： ∵在等边中，，是中线， ∴，，，， ∴，， ∴． 37．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，是等边三角形，是边上任意一点（与、两点不重合），是延长线上一点，且始终满足条件，过作交于点，连接交于． (1)求证：． (2)当时，猜想并写出与所满足的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了用（）证明三角形全等（或者），等边三角形的性质，含度角的直角三角形，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先根据等边三角形的性质得出，再利用平行线的性质得出，从而可得，结合，可得，再利用平行线的性质得出，，从而可利用得出； （2）先利用含有度角的直角三角形的性质证得，再由（1）得，得出，从而可得，于是可证得． 【详解】（1）证明： 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在与中， ； （2），证明如下： ，， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ． 38．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）在中，，，点在边上，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在边上． (1)如图1，点与点重合，，求证：是的中点； (2)如图2，点在的延长线上时，作交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据直角三角形的两锐角互余求出，再根据30°角的直角三角形的性质解答即可； （2）在于取一点M，使得，连，取的中点N，连接，即可得到，，然后证明，得到，，即可得到，解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴点是的中点； （2）解：，理由为： 在于取一点M，使得，连，取的中点N，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 39．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在中，，，垂足为E，，垂足为F，点D是的中点，，交于点M． (1)如果，求证：是等边三角形； (2)如果，试猜想是不是等边三角形？如果是等边三角形，请加以证明；如果不是等边三角形，请说明理由； (3)如果，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 (3)12 【分析】（1）先判定是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而可得是等边三角形； （2）先根据直角三角形两锐角互余的性质求出，再根据三角形的内角和定理求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，从而得到，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可证明； （3）根据角所对的直角边等于斜边的一半可得，，然后代入数据进行计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形，     ∵，垂足为E，，垂足为F， ∴E、F分别是、边的中点， ∴， 又∵点D是的中点， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：是等边三角形． 理由如下：∵，，， ∴， 在中，， ∵点D是的中点，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：∵，，， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键． 40．（2025·上海青浦·模拟预测）综合与探究 【提出问题】数学课上，王老师展示了这样一个问题：如图①，在中，，点是边上一点，点是延长线上的一点，连接交于点，若，求证：． 【问题解决】（1）如图②，小乐同学从中点的角度，给出了一种解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，可得出结论，证明过程如下： 证明：∵， ∴， ∴， ∴，即， 请补全余下的证明过程． 【学以致用】（2）如图③，在中，，平分，点在的延长线上，过点作，交于点，交于点，且．若，则的长为__________． 【答案】（1）见解析（2） 【分析】（1）等量代换，结合等角对等边得到，等量代换得到即可； （2）取的中点，连接，易得，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而得到的长，证明为等腰直角三角形，得到，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 取的中点，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形，是解题的关键． 41．（24-25八年级上·上海长宁·期末）已知：，点P是平分线上的一点，点A在射线上，作，交直线于点B，作于点C． (1)观察猜想：如图1，当时，和的数量关系是 ． (2)探究证明：如图2，当，点B在射线上时， ①（1）中的结论还成立吗？成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，之间另外的数量关系． ②若，猜想线段和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①成立，理由见解析；②，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质定理，准确作出辅助线为解题关键 （1）作于点D，根据角平分线的性质结合题意证明，即可得出结论； （2）①同（1）的方法证明即可；②先证明，得到得到，，结合题意利用含30度角的直角三角形性质得到，，进而推出结论 【详解】（1），理由如下： 如图，作于点D， ∵点P在的角平分线上，且于C， ， ， ， ， 又， 在和中， ， ； （2）①（1）中的结论还成立，理由如下： 如图，作于点D， ∵点P在的角平分线上，且于C， ， ， ， ， 又， 在和中， ， ． ②∵点P在的角平分线上，， ， ， ， ，， ， , ， 又，， ，即 42．（24-25八年级上·上海静安·期末）在学习《三角形的证明》这一章的内容时，小强认为“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°，为了证明这个命题的准确性，他画出了如图1所示的图形，并写出了已知和求证． (1)在证明这个命题时，小强联想到“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”这个命题，由于这两个命题是互逆命题，就想着在方法上有可借鉴的地方，尝试着做了下面的辅助线：延长到，使，连接．请在小强思路的基础上完成证明过程． 已知：中，，， 求证：， 证明：延长到，使，连接． … (2)如图2，小强取了一张长方形纸片，且，沿过点的折痕将翻折，使得点落在上的点处，折痕交于点，则的度数为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查翻折的性质，等边三角形的性质与判定，命题与定理，含度的直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）延长到，使，连接．证明是等边三角形可得结论； （2）证明可得结论． 【详解】（1）证明：延长到，使，连接． ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）解：四边形是长方形， ，，， ，， ， 由（1）可得， ， ． 故答案为：． 【经典例题七 角平分线的判定与性质综合应用】 43．（25-26八年级上·上海静安·开学考试）如图，是的角平分线，是的垂直平分线．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质证明，进而得到，再利用角平分线的性质可得到，利用等量代换可得，再根据平行线的判定即可得到； （2）根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端的距离相等可得到，再根据三角形全等得到；根据三角形内角与外角的关系可得到结论． 本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，中垂线的性质，证明时如只利用线段垂直平分线或角平分线的性质定理证不出结论时，常结合全等三角形证明等量关系． 【详解】（1）∵是的垂直平分线， ∴， 在和中，， ∴， ∴ 是的角平分线， ∴ ， ； （2）∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ， ， ． 44．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）【习题回顾】（1）如下左图，在中，平分平分，则_________．    【探究延伸】在中，平分、平分、平分相交于点，过点作，交于点． （2）如上中间图，求证：； （3）如上右图，外角的平分线与的延长线交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，试说明：． 【答案】（1）122；（2）证明见详解；（3）①，理由见解析；②理由见解析. 【分析】（1）根据三角形内角和为和角平分线的定义，可得，再利用三角形内角和，即可求得的大小； （2）根据根据三角形内角和为和角平分线的定义，可表达出，再用同样的方法表达出，即可证明； （3）①根据角平分线的定义，用等量代换的方法，分别表达出和，再根据内错角相等，两直线平行，即可得到结论； ②根据角平分线的定义，用等量代换的方法，分别表达出和,根据等腰三角形的要相等，即可得到结论. 【详解】（1）在中，平分平分 . （2）平分、平分， ，，          在中， ， 平分， ， ，， ， . （3）①与相平行， 平分， ， 又， ， . ② ， . 【点睛】本题考查三角形内角和、角平分线性质、三角形的外角性质的问题，主要用等量代换的思想，属中档题. 45．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）角平分线的轴对称性可以为解题提供思路和方法：    (1)如图1，在的两边上取两点A、B，使，点P为角平分线上任意一点，连接、，根据角的轴对称性易得______； (2)如图2，中，，求证：． 证明：作的平分线交边于点D，在边上截取，连接．（请完成证明） (3)如图3，在中，，为的角平分线，写出、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据角的轴对称性，即可得到； （2）证明，得到，根据三角形的外角的性质，即可得出结论； （3）在上截取，证明，得到，，利用外角的性质，得到，进而得到，于是，利用即可得出． 【详解】（1）解：∵角关于角平分线所在的直线对称，， ∴点A、B关于直线对称， ∴； 故答案为：； （2）证明：作的平分线交边于点D，在边上截取，连接，则：，    又， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴； （3）；理由如下： 在上截取，连接，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 46．（24-25八年级上·上海松江·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 47．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)连接，求证：平分． (4)如图2，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)或或 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形判定及性质，角平分线判定定理． （1）利用即可证明出； （2）先得到是等边三角形，利用全等性质可得，后利用即可计算出； （3）过点作于点，于点，利用全等性质可得 再证明出，继而得到； （4）分三种情况讨论：当在线段上，点在的右侧或左侧时，证明，继而得到，当在的延长线上时，证明，继而得到，后即可得到本题答案． 【详解】（1）解：证明：， ， 又，， 在和中， ， ； （2）解：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （3）解：过点作于点，于点， ， ， ， ， ， ， ， 又， 平分． （4）解：如图所示，当在线段上，点在的右侧时， ， 是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ，， 又，， ， ， ， ，， ， 如图所示，当在线段上，点在的左侧时，连接， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴,， 又∵,, ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴,， ∴， ∵,， ∴; 在直角三角形中，根据勾股定理可得，即 解得， 如图所示，当在的延长线上时， ， 同理， ， ，， ， 综上所述，或或． 48．（24-25八年级上·上海金山·期末）【问题呈现】 （1）如图1，是的平分线，是上的任意一点，于点，于点，则线段和的数量关系是_____． 【知识应用】 （2）如图2，在中，，平分交于点，于点，为上一点，连接，且．试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，为的中点，交于点，连接．试说明． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的性质即可得出答案； （2）先证明，得到，再证明，得到，即可得出答案； （3）过点作，交的延长线于点，先证明，得到，，进而得到，再证明，得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵是的平分线，，， ∴， 故答案为：； （2）∵平分，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）过点作，交的延长线于点，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 49．（24-25八年级上·上海宝山·期中）【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，，见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形有关的内容，利用全等三角形性质解题． （1）可证，得，由对顶角相等得，可得． （2）可证，得，，在四边形中， ，又因为，得出 ，可得． （3）可证，得，易证，则，过点作，由，可知全等三角形面积相等则对应高相等，可得，由角平分线的判定定理，知点在的角平分线上，则，所以． 【详解】（1）解：，设与交于点O． ． ， 即． 在和中 ， ． ， ． （2）解：① 证明如下：如图2 ， 即 在和中 ② 证明如下：如图2 （已证） 在四边形中， 又， ， ． （3）解：． 如图3，过点作．设与交于， 则． ， ． 即 在和中 ，． 又， ， ， ，． 又 ． ． ， 平分． ． 【经典例题八 勾股定理逆定理综合应用】 50．（2025八年级上·上海嘉定·专题练习）如图，长方形是某公园的荷花观赏池，对角线为观赏浮桥，点为公园小门，，为两条小路，图中阴影部分为草坪，测得米，米，米，米． (1)求观赏池边的长； (2)求草坪的面积． 【答案】(1)20米 (2)600平方米 【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理的应用等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用勾股定理求解即可； （2）连接,根据勾股定理求出米,然后证明出是直角三角形，且，然后利用代数求解即可. 【详解】（1）解：因为四边形为长方形， 所以． 在Rt中，米，米， 由勾股定理，得，即， 所以米． 答：观赏池边的长为20米; （2）解：连接． 因为,米，米， 根据勾股定理，得， 所以米． 因为在中，，， 所以， 所以是直角三角形，且， 所以（平方米）． 答：草坪的面积为600平方米． 51．（24-25八年级上·上海松江·期末）口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园B在A入口的正南方向处，C入口在桂花园B的正东方向处，玫瑰园D与C入口相距，玫瑰园D与A入口相距．求某市口袋公园的面积； 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、三角形的面积等知识点，能求出是解此题的关键． 连接．根据勾股定理求得的长，从而根据勾股定理的逆定理得到，进而求得该四边形的面积． 【详解】解：连接． 由题意得， ∴． ∴． ∵，， ∴． 这块地的面积的面积的面积 （）． 52．（25-26八年级上·上海普陀·开学考试）如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价70元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 【答案】(1)12 (2) (3)5880元 【分析】(1)利用勾股定理直接计算求解即可． (2) 根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式计算即可． (3) 根据面积乘以单价计算即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故的长为12米． （2）∵，，， 且， ∴， ∴四边形面积为： =． （3）解：根据题意，得（元）． 53．（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：∵， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 54．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）如图，在一条东西走向的公路一侧有两个新能源车的充电站A，B，点C处是一个小区，其中．由于道路施工，由点C到A充电站的道路无法正常通行．该小区为了方便居民充电，决定在公路旁的点D处新建一个充电站（点A，B，D在同一条直线上）并新修一条公路，工作人员测得，，． (1)是不是从小区C到公路最近的路？请通过计算说明； (2)新修的公路比原来的公路短多少千米？ 【答案】(1)是最近的路；说明见解析； (2)新路比原路少千米． 【分析】本题考查了垂线段最短、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能结合题意列出适当的方程求值是解本题的关键． （1）点到直线的距离，垂线段最短，根据勾股定理，判断是否垂直于即可； （2）根据勾股定理，列方程，算出的值，再求与的差即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴是从小区C到公路最近的路； （2）解：设，则，， 在中，根据勾股定理有， ，即， 解得：， ∴， ∴， ∴新路比原路少千米． 55．（24-25八年级上·上海普陀·期末）小明喜欢自制航天飞行模拟器．在某次制作模拟器前，对模拟器某个部位所需要材料的形状进行设计，根据实际需要，该材料的形状设计为一个四边形，其平面示意图如图所示，其中，，，，按要求完成下列问题． (1)连接，并求的长； (2)小明按照设计订制了一块这样的四边形金属材料，为防止材料氧化，需对材料表面（四边形）镀一层防氧化膜，请根据题中的信息，求出应镀氧化膜的面积． 【答案】(1) (2)应镀氧化膜的面积为 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键． （1）如图：连接，直接根据勾股定理求解即可； （2）先由勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据以及三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵在中，，，， ． （2）解：， 是直角三角形， ， 应镀氧化膜的面积为． 56．（24-25八年级上·上海松江·期中）【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一章学习时，老师带领同学们进行探究活动：如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形（两条直角边长分别为a，，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证勾股定理． 【任务】 (1)如图2，这是小敏同学拼成的图形．请你利用图2验证勾股定理． (2)一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中和都是直角，才是合格零件．如图4所示，工人师傅测得零件，，，，，这个零件符合要求吗？请判断并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)这个零件符合要求，理由见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的证明、勾股定理逆定理的应用等知识点，掌握勾股定理逆定理的作用是解题的关键． （1）①根据图2用两种方法表示出大正方形的面积，然后进行整理即可解答； （2）根据勾股定理的逆定理验证和是否为直角即可判断这个零件是否符合要求． 【详解】（1）解：∵根据图2：大正方形面积可表示为：或， ∴，即， ∴． （2）解：这个零件符合要求，理由如下：         在中，根据勾股定理，可得： ，     在中， ∴．                     ∴是直角三角形，是直角．且 ∴这个零件符合要求． 【经典例题九 勾股定理的应用综合应用】 57．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． (1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ (2)当这架云梯的顶端从A处下滑到达处时，它的底端从B处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是吗？ 【答案】(1)这架云梯的顶端到地面的距离是 (2)云梯底端在水平方向滑动的距离为，不是 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）根据梯子的长度不变，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，，， 由勾股定理，得； 答：这架云梯的顶端到地面的距离是； （2）由题意，得，， 由勾股定理，得， ∴， 故云梯底端在水平方向滑动的距离为，不是． 58．（2025八年级上·上海虹口·专题练习）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇，城镇到轨道的垂直距离为．城镇到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米． (1)求城镇之间的距离； (2)现要在线段上修建一个货运中转站，使得中转站到城镇的距离相等，此时中转站应修建在离点多远处？ 【答案】(1)13千米 (2)千米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，连接，可证明四边形为矩形，得到千米，千米，求出（千米），由勾股定理可得（千米）； （2）连接，，设千米，则千米．由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接． ． ，， ，， 四边形为矩形， 千米，千米， （千米）， 在中，（千米）， 答：城镇，之间的距离为13千米； （2）解：如图，连接，，设千米，则千米． ， ， ∴， 解得， 中转站应修建在离点的距离为千米处． 59．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺） 解决下列问题： （1）示意图中，线段AF的长为　 　尺，线段EF的长为　 　尺； （2）求芦苇的长度． 【答案】（1）5，1；（2）芦苇长13尺． 【分析】（1）直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，且边长为10尺的正方形，F为AB中点，即可得出答案； （2）根据题意，可知AB的长为10尺，则AF=5尺，设芦苇长EG=AG=x尺，表示出水深FG，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：（1）由题意可得：EF=1尺，AF==5尺； 故答案为：5，1； （2）设芦苇长EG=AG=x尺， 则水深FG=（x-1）尺， 在Rt△AGF中， 52+（x-1）2=x2， 解得：x=13， ∴芦苇长13尺． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合以及表示出直角三角形的各边长． 60．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知________（填“”“”“”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)男孩需向右移动的距离为米 【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解； （2）由勾股定理求出、的长，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变， ， （2）解：连接，则点、、三点共线， 在中，（米， （米， 在中，（米， ， （米， 男孩需向右移动的距离为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出、的长是解题的关键． 61．（24-25八年级上·上海青浦·期末）如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m.    （1）求旗杆距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【答案】（1）旗杆距地面3m处折断；（2）距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险． 【分析】（1）由题意可知：AC+BC=8米，根据勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，又因为AB=4米，即可求得AC的长；（2）易求D点距地面3-1.25=1.75米，BD=8-1.75=6.25米，再根据勾股定理可以求得AB=6米，所以6米内有危险． 【详解】（1）由题意可知：AC+BC=8米， ∵∠A=90°， ∴AB2+AC2=BC2， 又∵AB=4米， ∴AC=3米，BC=5米， ∴旗杆距地面3m处折断； （2）如图，    ∵D点距地面AD=3-1.25=1.75米， ∴BD=8-1.75=6.25米， ∴AB==6米， ∴距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 62．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某船正以每小时20海里的速度向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向． (1)求A、D两点间的距离； (2)当船行驶到D处时，船长收到预警信息，在北偏东方向，离船20海里的点M处，形成了热带风暴中心，该热带风暴影响距它中心海里的圆形海域，假设该船不改变航行路线，问：该船会不会受到影响，如果会，求出受到影响的时长；如果不会，请说明理由． 【答案】(1)（海里） (2)会，影响的时间为1小时 【分析】本题主要考查方位角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合，理解图示，掌握勾股定理的运用是关键． （1）根据方位角的定义，结合图形得到，是等腰直角三角形，是等腰三角形，，设，则，由此得到数量关系列式求解即可； （2）如图所示，设圆M与直线相交于点P，Q，作于点H，根据题意，，（海里），则，由含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，，，过点作于点， ∴是等腰直角三角形，是等腰三角形，， 设，则， ∵（海里），， ∴， ∴， ∴（海里）． （2）解：如图所示，设圆M与直线相交于点P，Q，作于点H，根据题意，，（海里），则， ∴圆心M到直线的距离（海里）（海里）， ∴该船会受到影响， ∵，， ∴H为中点，且， ∴， ∴船受到影响时间为小时． 63．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 【答案】(1)共用时4秒 (2)该车超速，理由见详解 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可 【详解】（1）解：依题意可得，， ∴，为直角三角形 ∵米，米， ∴米， ， ∴ 答∶共用时4秒； （2）解：超速，理由如下∶ ， ∵， ∴该车超速． 【经典例题十 蚂蚁爬行—最短路径问题】 64．（2025八年级上·上海嘉定·专题练习）如图，教室的墙面与地面垂直，点P在墙面上．若，点P到的距离是，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，求它的最短行程． 【答案】这只蚂蚁的最短行程是 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决． 可将教室的墙面与地面展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将墙面展开与地面处于同一平面内，过点P作于点G，连接． 由题意，得， ∴由勾股定理，得． ∵， ∴由勾股定理，得， ∴． 故这只蚂蚁的最短行程是． 65．（25-26八年级上·上海嘉定·单元测试）如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为多少？ 【答案】10 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，把长方体的侧面展开，然后求出其对角线的长度，即可求得最短路程． 【详解】解：由题意，得蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示． 因为， 则， 所以，即蚂蚁爬行的最短距离为10． 66．（2025八年级上·上海金山·专题练习）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线（）长为． (1)求圆锥形纸杯的侧面积． (2)若在母线上的点A处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，求此蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】(1)平方厘米 (2) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． （1）根据圆锥侧面积公式计算即可得到结果； （2）要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，求出长即可，在中，，，根据勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：（平方厘米）； （2）解：圆锥侧面沿母线展开可得下图： 则圆锥底面周长的一半， ∴，即， 在中，， 根据勾股定理可得：， 所以蚂蚁爬行的最短距离为． 67．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处． (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能途径； (2)当，求蚂蚁爬过的最短路径的长． 【答案】(1)见解析 (2)蚂蚁爬过的最短路径的长是5 【分析】（1）先在备用图中画出柜子的展开图，再找出最快到达目的地的可能路径； （2）根据已知结合勾股定理求出蚂蚁爬过的最短路径长． 【详解】（1）解：木柜的表面展开图是两个矩形和，蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的和，如图所示： （2）解：蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长是： ， 蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长是， ∵， ∴最短路径的长是5． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意画出长方体的展开图，找出蚂蚁可能爬行的最短路径，是解题的关键． 68．（24-25八年级上·上海宝山·开学考试）我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一、古人将直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名．勾股定理：若直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则有，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 请运用“勾股定理”解决下列问题． (1)如图1，直角三角形的两条直角边分别是9厘米和12厘米，则这个直角三角形的斜边长___________厘米． (2)如图2，分别以直角三角形的边为边长作正方形，则___________，___________．根据勾股定理可知，，所以___________=___________． (3)如图3，圆柱的高为4厘米、底面半径为1厘米．在圆柱底面A点有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少厘米？（取3） 下面是小林的思考过程，请你帮他补充完整． ①将该圆柱的侧面展开后得到一个长方形，如图4所示（A点的位置已经给出），请在图中标出B点的位置并连接． ②小林认为线段的长度是蚂蚁爬行的最短路程，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【答案】(1)15 (2)；；， (3)①见解析，②5厘米 【分析】本题考查了正方形面积的计算以及勾股定理的应用，平面展开最短路径问题，关键是把立体图形能够展成平面图形求解． （1）根据勾股定理计算即可； （2）利用勾股定理，易得； （3）①圆柱的平面展开图上面长的中点即为B点，连接； ②利用勾股定理可求出的长，即可求出蚂蚁沿侧面爬行时最短的路程． 【详解】（1）解：， ∴斜边为：厘米； 故答案为：15； （2）解：， ， ； 故答案为：；；，； （3）解：①如图，B点长方形上面长的中点，连接， ②圆柱高厘米，底面半径厘米， （厘米）， 故（厘米）， 答：蚂蚁爬行的最短路程是5厘米． 69．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）【实践发现】数学兴趣小组在研究蚂蚁在圆柱侧面爬行问题时，发现蚂蚁沿圆柱侧面从一点爬到另一点的最短路径问题与圆柱的展开图有关． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：测量圆柱的底面半径，测得圆柱底面半径是2厘米； 第二步：测量圆柱的高，测得圆柱的高为4厘米； 第三步：如图，假设蚂蚁在圆柱侧面从点A爬到点B，研究其最短路径情况． 【问题解决】设蚂蚁爬行的最短路径长度为厘米，通过计算即可求得最短路径长度． (1)根据题意知圆柱底面半径厘米，圆柱的侧面展开后是一个长方形（取3），其中一条直角边（圆柱侧面展开后长方形的高）为　　　厘米，另一条直角边（底面圆周长的一半）为　　　厘米； (2)在展开图中，蚂蚁的最短路径是连接的线段长，请你计算蚂蚁从点爬到点的最短路程． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查圆柱侧面展开图与勾股定理的应用，解题的关键是将圆柱侧面展开，把立体图形上的最短路径问题转化为平面图形中直角三角形的斜边求解问题． （1）先根据圆柱的相关数据求出侧面展开图长方形的两条直角边的长度， （2）利用勾股定理求出展开图中连接A、B两点线段的长度，即蚂蚁爬行的最短路程． 【详解】（1）解：已知圆柱的高为4厘米，圆柱侧面展开后长方形的高就等于圆柱的高，所以其中一条直角边为4厘米， 已知圆柱底面半径厘米，取3，根据圆的周长公式，则底面圆周长的一半为厘米，即另一条直角边为6厘米， 故答案为：，； （2）解：（厘米）， 答：蚂蚁从点爬到点的最短路程厘米． 70．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，长方体中，，，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点．    (1)请你在所给的网格中，画出蚂蚁爬行的所有不同的直线路径； (2)分别求出这几种路径的距离； (3)求蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)从正面和上面：5；从左面和上面：；从正面和右面： (3)5 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用， （1）按照从正面和上面；左面和上面；右面和上面，画出图形即可； （2）根据勾股定理即可解答； （3）将（2）中求得的距离进行比较，即可，本题的重点在于准确进行展开，将立体图形转化为平面图形进行计算，进行分类讨论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：从正面和上面：； 从左面和上面：； 从正面和右面：； （3）解：根据（2）中可得，最短路径为5．    【经典例题十一 勾股定理中的旋转问题】 71．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）如图，已知是等边三角形，在外有一点，连接，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，与交于点，． (1)求的大小； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等，灵活运用相关定理、添加辅助线是解题的关键． （1）由旋转的性质及等边三角形的性质可得，，，由对顶角相等可得，再根据三角形的内角和定理可得，从而可得； （2）连接，结合（）的结论根据等边三角形的性质、全等三角形的性质、角的和差等可求得，再利用勾股定理可求得，从而可得． 【详解】（1）解：∵将绕点按顺时针方向旋转得到，为等边三角形 ∴，，， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 72．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）（1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为 ． （2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）6 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）连接，根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）过点A作，使，连接，证明，得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）， 理由如下：连接， 由题意得：，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）， 理由如下：连接， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， 在中，，又， ∴； （3）过点A作，使，连接，， ∵， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及旋转变换的性质，二次根式的乘法等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 73．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）【问题背景】如图①，在和中，，，，连接，． 【特例研究】 （1）当点D在上，时，与的数量关系为______； 【拓展探究】 （2）将绕点A旋转至图②位置，（1）中结论是否成立？说明理由； 【迁移应用】 （3）将绕点A旋转，当时，若，，______． 【答案】（1）；（2）成立；理由见解析；（3） 【分析】（1）根据，，得出，即可得出答案； （2）证明，得出即可； （3）过点A作于点H，证明为等腰直角三角形，得出，根据勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，点D在上， ∴点E在上， ∵，， ∴， 即； （2）（1）中的结论成立；理由如下： ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴； （3）过点A作于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 根据解析（2）可知：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 74．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计，小鸣在设计的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究． 已知和都是等腰直角三角形，且． (1)小鸣将绕点A在平面内自由旋转，连接后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段的数量关系，并说明理由； (2)若，旋转过程中，当点D、点E和的中点O三点共线时，如图2，探究线段和的数量关系，并说明理由． (3)如图2，在（2）的条件下，若，则_________（直接写出结果）． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明即可； （2）过C作；证明，则；由已知易得，；由勾股定理得，进而得； （3）由直角三角形的性质可分别求得，进而求得，由即可求得结果． 【详解】（1）解：；理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 如图，过C作， 则； ∵O为的中点， ∴； 在和中，， ∴， ∴； 由（1）知，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴； 由勾股定理得， ∴； （3）解：∵， ∴， 由勾股定理得：， 由勾股定理得：； 由（2）知，， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识；有一定的综合性，证明三角形全等是解题的关键． 75．（24-25八年级上·上海虹口·期中）【问题发现】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： (1)如图①，在等边三角形中，点在其内部，且，，，求的长．经过观察、分析、思考，小明对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，即可实现边的关系的转化．经过推理计算_____．请你根据上述分析过程，完成该问题的解答过程． (2)【学以致用】参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：如图②，在等边三角形中，，点在内，且，，求的面积； (3)如图③，在中，，，点在内，且，，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，根据旋转得出，，，，证明是等边三角形，求出，根据勾股定理求出结果即可； （2）将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，根据旋转得出，，，求出，，根据直角三角形性质和勾股定理得出，，根据勾股定理列出方程，求出，得出，最后根据三角形面积公式求出结果即可； （3）把绕点按逆时针方向旋转得到，连接，根据旋转得出，，，，根据勾股定理求出，证明，求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：将绕点按顺时针方向旋转得到，连接， 则，，，， 是等边三角形， ，， ， ； （2）解：将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，如图①所示， 则，，， 是等边三角形， ，， 又，， ，， ， ， 即， ， ，即， ，负值舍去， ， ． （3）解：如图②，把绕点按逆时针方向旋转得到，连接， 则，，，， ，， ，， ， ， ， ， 又， ， ，，三点共线， ， 在中，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 76．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙． 已知：如图，在和中，，，． 【初识图形】 （1）如图，在绕点A旋转过程中，当点E恰好落在的边上时，连接、．则的长为，的长为． 【深度探析】 如图，在绕点A旋转过程中，当时，连接，延长交于点F． （2）的度数为，的度数为； （3）求证：点F为线段的中点． 【拓展探究】 （4）在绕点A旋转过程中，试探究B、D、E三点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求写出线段的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析；（4）能，或或． 【分析】（1）连接，可求得，然后利用勾股定理求得，接着可证明，为等边三角形，从而求得； （2）先通过两直线平行内错角相等，得到，接着求得，，接着利用，那么有，接着利用求得答案； （3）延长相交于点，先利用两直线平行内错角相等，证明，从而推出，又因为，推出，结合，证明，从而得出结论； （4）由（1）时，，在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接，；在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接，先证明为等边三角形，再证明，接着利用勾股定理求得答案． 【详解】解：（1）连接，如图所示： ∴在和中，，，，，， ， ， ， ， ，， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴ ， 故答案为：； （3）证明：延长相交于点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点为线段的中点； （4）由（1）和图可知，时，， 在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接，如图所示： 由题意可知，， ，， ∴； 在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接，如图所示： ，， 为等边三角形， ，， ， ， ，； 综上，或或． 【点睛】本题考查了含的直角三角板，图形的旋转，勾股定理，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，平行的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 77．（24-25八年级上·上海静安·期中）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们利用两张全等的直角三角形纸片进行图形变换的操作探究． 已知，，，． 操作探究1： （1）小韩将和按图的方式在同一平面内放置，其中和重合，此时B、C、E三点恰好共线，点B、E在点C的两侧，则线段的长为______； 操作探究2： （2）如图，小卫在图的基础上进行了如下操作：保持不动，将沿方向平移，得到，且点在线段上，和交于点G．求证：是等腰三角形； 操作探究3： （3）小闫在图的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点A按顺时针方向旋转角度，线段和线段交于点P．如图，在旋转的过程中，小闫提出如下问题：当时，画出图形，并求出此时旋转角的度数及与重叠部分的面积． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）图见解析，，重叠部分的面积为 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，平移的性质，等腰三角形的判定，认真阅读理解题意，并正确画图是关键． （1）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解； （2）利用平移的性质得到，，推出，据此即可证明结论； （3）先根据题意画出图形，再求出的长，再根据列式求解即可． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵和重合，B、C、E三点恰好共线， ∴； （2）由平移的性质可得，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）当时，，（如图） ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 直角三角形章末77道压轴题型专训（11大题型） 题型一 勾股定理的证明方法 题型二 勾股定理的折叠问题 题型三 勾股树（数）问题 题型四 以弦图为背景的计算题 题型五 根据直角三角形斜边上的中线定理求最值 题型六 根据30度角直角三角形的性质证明 题型七 角平分线的判定与性质综合应用 题型八 勾股定理逆定理综合应用 题型九 勾股定理的应用综合应用 题型十 蚂蚁爬行—最短路径问题 题型十一 勾股定理中的旋转问题 【经典例题一 勾股定理的证明方法】 1．（2025八年级上·上海嘉定·专题练习）面积法是最常见的验证勾股定理的方法．用两个全等的直角三角形的纸板拼出如图所示的图形，，设，请结合图形验证勾股定理． 2．（25-26八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，为上一点，，，，，交于点，且． (1)判断线段，，的数量关系，并说明理由； (2)连接，，若设，，，利用此图验证勾股定理． 3．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）如图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，图②是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． (1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形； (2)用这个图形证明勾股定理． 4．（25-26八年级上·上海宝山·阶段练习）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论． 【方法运用】（1）千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的，，用两种方法表示出梯形的面积，说明勾股定理； 【方法迁移】（2）如图3，每个小方格的边长为1，点，，分别在格点上，连接点，，可得，求边上的高； 【方法拓展】（3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 5．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）综合与实践 【材料阅读】图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成（三角形的三边长分别为，，），用它可以证明勾股定理，思路是利用大正方形面积的两种求法，一种是边长的平方，即，另一种是四个直角三角形与中间小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简后得到．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式的方法，我们称为“算两次”． 【方法运用】小明通过查阅资料得知了勾股定理的另一种证法：把两个全等的三角形（和）按照如图②所示的方式放置，三角形的三边长分别为，，，，于点． （1）在此基础上，请用，，分别表示出四边形、梯形和的面积，并通过探究这三个图形的面积之间的关系，得出． 【方法迁移】（2）如图③，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，连接网格的三个格点，，，得到，则边上的高为______． （3）如图④，在中，，，，是边上的高，求的长． 6．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因验证方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． 【验证方法】如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论． 这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法应用】千百年来，人们对勾股定理的验证趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)【数学思想】在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有___________．（填序号） ①方程思想②数形结合思想③分类讨论思想 7．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）阅读下列材料，并按要求完成相应任务． 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国古代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今，在这幅“弦图”中，以c为边长的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，每个直角三角形的面积为，中间的小正方形的边长为，则其面积为．由面积关系可． 任务一：（1）请利用图②中的数据验证勾股定理． （2）如图③④⑤．以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个． 任务二：（3）如图⑥所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，直角三角形的面积为，请判断的关系，并说明理由． 【经典例题二 勾股定理的折叠问题】 8．（24-25八年级上·上海长宁·期中）如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为， (1)求的长； (2)求点B到斜边的距离； 9．（24-25八年级上·上海松江·期中）如图，将矩形纸片沿对角线对折，点落在点的位置，与相交于点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求． 10．（24-25八年级上·上海宝山·期中）八年级开展了手工制作模拟预测，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 11．（24-25八年级上·上海金山·期中）（1）在中，，，过点作直线的垂线，垂足为． （i）如图1，若，求线段的长； （ii）若，求线段的长． （2）如图2，在中，，过点作直线的垂线，交线段于点．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长． 12．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）折纸，操作简单，富有数学趣味，，现将纸片按如图1折叠，折痕为（点、分别在边上且、不与端点重合）．    (1)当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且（保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 13．（24-25八年级上·上海金山·期中）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 14．（24-25八年级上·上海青浦·期中）学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题．大家知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即长方形中，，，，，．   请你运用所学知识，解决下面的问题： (1)如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点E在边上），点B落在点处，求的长度； (2)如图2，有一张长方形纸片，，，F为边上一点，，E为上一点．将纸片折叠，折痕为，使点B恰好落在线段上的点处，点A落在点处．求线段的长度． 【经典例题三 勾股树（数）问题】 15．（24-25八年级上·上海普陀·期中）观察下列勾股数： ①3，4，5，且； ②5，12，13，且； ③7，24，25，且； ④9，b，c，且； … (1)请你根据上述规律，并结合相关知识求：______，______； (2)猜想第n组勾股数，并说明你的猜想正确． 16．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五．定义：如果三个正整数能够成为直角三角形的三条边长，那么这三个正整数称为一组勾股数．例如：3，4，5三个正整数，有，我们就说3，4，5是一组勾股数．请你认真观察3，4，5这组勾股数的变化规律并填空： (1)勾股数①3，4，5；②6，8，10；③9，12，15；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数） (2)勾股数①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数） (3)勾股数①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④_______，_______，_______；…请用含n的式子表示这类勾股数的规律：_______，_______，_______．（，且n为正整数） 17．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，那么这三个整数叫做一组“勾股数”． (1)请把下列三组勾股数补充完整： ①________，8，10；②5，________，13；③7，24，________． (2)小铭发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成，，如，，． ①请你帮小铭证明这三个数2mn，，是勾股数组； ②如果24，45，51是满足上述小铭发现的规律的勾股数组，求的值． 18．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题： 12+1＝2，S1＝，+1＝3，S2＝，+1＝4，S3＝ （1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律． （2）推算出OA10的长． （3）求出S12+S22+S32+…+S1002的值． 19．（2025·上海金山·模拟预测）已知：整式，整式． 尝试: 化简整式． 发现: ，求整式． 联想:由上可知，，当n＞1时为直角三角形的三边长，如图．填写下表中的值： 直角三角形三边 勾股数组Ⅰ / 8 　 　 勾股数组Ⅱ / 　 　 20．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）阅读材料：勾股定理本身就是一个关于、、的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学刘老师给出下面的两个表格．（以下，，为的三边，且） 表1               表2 (1)请你根据上述表格的规律写出勾股数：11、________、________； (2)当（为奇数，且）时，若________，________时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想； (3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当或时，________．（写出所有满足条件的）． 21．（24-25八年级上·上海嘉定·单元测试）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（ 如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)请叙述勾股定理； 勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；以下图形均满足证明勾股定理所需的条件 (2)如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； 如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：结果可用含的式子表示 则：______； 【经典例题四 以弦图为背景的计算题】 22．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(如图1)拼成的一个大正方形和中间一个小正方形(如图2)．设直角三角形的较短的直角边为，较长的直角边为，若，较短直角边与较长直角边和为5，求正方形的面积． 23．（2025·上海闵行·模拟预测）三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用 4 个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图 ”．中，， ，， ，大正方形的面积小正方形的面积 个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：． (1)若 ，则 ； (2)如果大正方形的面积是 13， ，求小正方形的面积． 24．（24-25八年级上·上海嘉定·课后作业）（1）数学家大会将在北京召开，大会会标如图①所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积为26，每个直角三角形的面积为4，求中间小正方形的边长； （2）现有一张长为，宽为的纸片，如图②所示，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．（要求：先在图②中画出分剖线，再画出拼成的正方形，并标明相应数据） 25．（24-25八年级上·上海静安·期中）【背景介绍】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 请你用“双求法”解决下面两个问题： (1)如图2，在中，，是边上的高，，求的长度； (2)如图3，在中，是边上的高，，设，求的值； 26．（24-25八年级上·上海松江·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 27．（24-25八年级上·上海闵行·期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请你从图1，图2，图3中任选一个图形来证明该定理； (2)①如图4，图5，图6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个； ②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为，直角三角形面积为，请判断的关系并证明． 28．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）课本再现 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成－一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明： 类比迁移 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为 ． 方法运用 （3）小贤将四个全等的直角三角形拼成图3的“帽子”形状，若，，请求出“帽子”外围轮廓（实线）的周长． （4）如图4，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，则，，之间的关系为 ． 【经典例题五 根据直角三角形斜边上的中线定理求最值】 29．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，射线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的最大值． 30．（2025·上海宝山·模拟预测）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边，的中点，．    (1)将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值； (2)将绕顶点逆时针旋转（如图），求的长． 31．（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图1，在中，，，点D为AB边上一点． (1)若，则______； (2)如图2，将线段CD绕着点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接AE，求证：； (3)如图3，过点A作直线CD的垂线AF，垂足为F，连接BF．直接写出BF的最小值． 32．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）阅读理解关作答： 若，定义为的算术平均值，为的几何平均值，关于它们有著名的均值不等式．请你采用下面的方法来探究这一问题： (1)已知为线段上的一点，于点，且，连接， 尺规作图：作的边上的中线； 判断并证明的形状，再利用中作出的图形证明． (2)应用该不等式解决问题：已知矩形周长为，求其面积的最大值． 33．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，在边长为2的正方形中，E为边上一动点（点E不与B、C重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形，与正方形边相交于点N，连接． (1)求证：； (2)当E运动到的中点时，求线段的长； (3)如图2，连接交于点P，G是的中点，连接、，求的最小值． 34．（24-25八年级上·上海闵行·期中）在中，，，将绕顶点C按顺时针方向旋转，旋转角为，得到．    (1)如图1，当，且与相交于点D时，求证：； (2)如图2，当时，设与交于点P，求的值； (3)如图3，设的中点为点E，的中点为点F，，连接．在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值与最小值？如果存在，请求出这个最大值与最小值，并说明此时旋转角θ的度数；如果不存在，请说明理由． 35．（2025·上海松江·模拟预测）问题提出 （1）如图①，线段，点为平面内一动点，连接．若，则线段的最小值为_____（用含的式子表示）． 问题探究 （2）如图②，某村街道的右侧有一块开阔的空地，当地政府为了弘扬传统文化、打造当地旅游特色村，将在此处建设一处文化街区．已知：空地边界与街道的夹角为，且，，，计划在空地的一角打造以“非遗文化创意手工展”为主题的长廊，长度为，若空地边界上的点为出入口，点分别为两个休息点，且为的中点，出入口到休息点各有一条通道．请问：是否存在满足条件的点，使得通道的长度之和最短？若存在，求此时的长度之和；若不存在，请说明理由．（图中各点均在同一平面内，街道与通道的宽、休息点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 【经典例题六 根据30度角直角三角形的性质证明】 36．（24-25八年级上·上海静安·期末）如图，在等边中，，是中线，与交于点M．猜想与的数量关系，并证明． 37．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，是等边三角形，是边上任意一点（与、两点不重合），是延长线上一点，且始终满足条件，过作交于点，连接交于． (1)求证：． (2)当时，猜想并写出与所满足的数量关系，并证明你的猜想． 38．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）在中，，，点在边上，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在边上． (1)如图1，点与点重合，，求证：是的中点； (2)如图2，点在的延长线上时，作交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 39．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在中，，，垂足为E，，垂足为F，点D是的中点，，交于点M． (1)如果，求证：是等边三角形； (2)如果，试猜想是不是等边三角形？如果是等边三角形，请加以证明；如果不是等边三角形，请说明理由； (3)如果，，求的长度． 40．（2025·上海青浦·模拟预测）综合与探究 【提出问题】数学课上，王老师展示了这样一个问题：如图①，在中，，点是边上一点，点是延长线上的一点，连接交于点，若，求证：． 【问题解决】（1）如图②，小乐同学从中点的角度，给出了一种解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，可得出结论，证明过程如下： 证明：∵， ∴， ∴， ∴，即， 请补全余下的证明过程． 【学以致用】（2）如图③，在中，，平分，点在的延长线上，过点作，交于点，交于点，且．若，则的长为__________． 41．（24-25八年级上·上海长宁·期末）已知：，点P是平分线上的一点，点A在射线上，作，交直线于点B，作于点C． (1)观察猜想：如图1，当时，和的数量关系是 ． (2)探究证明：如图2，当，点B在射线上时， ①（1）中的结论还成立吗？成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，之间另外的数量关系． ②若，猜想线段和之间的数量关系，并说明理由． 42．（24-25八年级上·上海静安·期末）在学习《三角形的证明》这一章的内容时，小强认为“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°，为了证明这个命题的准确性，他画出了如图1所示的图形，并写出了已知和求证． (1)在证明这个命题时，小强联想到“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”这个命题，由于这两个命题是互逆命题，就想着在方法上有可借鉴的地方，尝试着做了下面的辅助线：延长到，使，连接．请在小强思路的基础上完成证明过程． 已知：中，，， 求证：， 证明：延长到，使，连接． … (2)如图2，小强取了一张长方形纸片，且，沿过点的折痕将翻折，使得点落在上的点处，折痕交于点，则的度数为 ． 【经典例题七 角平分线的判定与性质综合应用】 43．（25-26八年级上·上海静安·开学考试）如图，是的角平分线，是的垂直平分线．求证： (1)； (2)． 44．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）【习题回顾】（1）如下左图，在中，平分平分，则_________．    【探究延伸】在中，平分、平分、平分相交于点，过点作，交于点． （2）如上中间图，求证：； （3）如上右图，外角的平分线与的延长线交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，试说明：． 45．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）角平分线的轴对称性可以为解题提供思路和方法：    (1)如图1，在的两边上取两点A、B，使，点P为角平分线上任意一点，连接、，根据角的轴对称性易得______； (2)如图2，中，，求证：． 证明：作的平分线交边于点D，在边上截取，连接．（请完成证明） (3)如图3，在中，，为的角平分线，写出、、之间的数量关系并说明理由． 46．（24-25八年级上·上海松江·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 47．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)连接，求证：平分． (4)如图2，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，请直接写出的值． 48．（24-25八年级上·上海金山·期末）【问题呈现】 （1）如图1，是的平分线，是上的任意一点，于点，于点，则线段和的数量关系是_____． 【知识应用】 （2）如图2，在中，，平分交于点，于点，为上一点，连接，且．试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，为的中点，交于点，连接．试说明． 49．（24-25八年级上·上海宝山·期中）【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 【经典例题八 勾股定理逆定理综合应用】 50．（2025八年级上·上海嘉定·专题练习）如图，长方形是某公园的荷花观赏池，对角线为观赏浮桥，点为公园小门，，为两条小路，图中阴影部分为草坪，测得米，米，米，米． (1)求观赏池边的长； (2)求草坪的面积． 51．（24-25八年级上·上海松江·期末）口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形是某市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园B在A入口的正南方向处，C入口在桂花园B的正东方向处，玫瑰园D与C入口相距，玫瑰园D与A入口相距．求某市口袋公园的面积； 52．（25-26八年级上·上海普陀·开学考试）如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价70元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 53．（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 54．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）如图，在一条东西走向的公路一侧有两个新能源车的充电站A，B，点C处是一个小区，其中．由于道路施工，由点C到A充电站的道路无法正常通行．该小区为了方便居民充电，决定在公路旁的点D处新建一个充电站（点A，B，D在同一条直线上）并新修一条公路，工作人员测得，，． (1)是不是从小区C到公路最近的路？请通过计算说明； (2)新修的公路比原来的公路短多少千米？ 55．（24-25八年级上·上海普陀·期末）小明喜欢自制航天飞行模拟器．在某次制作模拟器前，对模拟器某个部位所需要材料的形状进行设计，根据实际需要，该材料的形状设计为一个四边形，其平面示意图如图所示，其中，，，，按要求完成下列问题． (1)连接，并求的长； (2)小明按照设计订制了一块这样的四边形金属材料，为防止材料氧化，需对材料表面（四边形）镀一层防氧化膜，请根据题中的信息，求出应镀氧化膜的面积． 56．（24-25八年级上·上海松江·期中）【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一章学习时，老师带领同学们进行探究活动：如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形（两条直角边长分别为a，，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证勾股定理． 【任务】 (1)如图2，这是小敏同学拼成的图形．请你利用图2验证勾股定理． (2)一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中和都是直角，才是合格零件．如图4所示，工人师傅测得零件，，，，，这个零件符合要求吗？请判断并说明理由． 【经典例题九 勾股定理的应用综合应用】 57．（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． (1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ (2)当这架云梯的顶端从A处下滑到达处时，它的底端从B处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是吗？ 58．（2025八年级上·上海虹口·专题练习）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇，城镇到轨道的垂直距离为．城镇到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米． (1)求城镇之间的距离； (2)现要在线段上修建一个货运中转站，使得中转站到城镇的距离相等，此时中转站应修建在离点多远处？ 59．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺） 解决下列问题： （1）示意图中，线段AF的长为　 　尺，线段EF的长为　 　尺； （2）求芦苇的长度． 60．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知________（填“”“”“”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 61．（24-25八年级上·上海青浦·期末）如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m.    （1）求旗杆距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 62．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某船正以每小时20海里的速度向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向． (1)求A、D两点间的距离； (2)当船行驶到D处时，船长收到预警信息，在北偏东方向，离船20海里的点M处，形成了热带风暴中心，该热带风暴影响距它中心海里的圆形海域，假设该船不改变航行路线，问：该船会不会受到影响，如果会，求出受到影响的时长；如果不会，请说明理由． 63．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 【经典例题十 蚂蚁爬行—最短路径问题】 64．（2025八年级上·上海嘉定·专题练习）如图，教室的墙面与地面垂直，点P在墙面上．若，点P到的距离是，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，求它的最短行程． 65．（25-26八年级上·上海嘉定·单元测试）如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为多少？ 66．（2025八年级上·上海金山·专题练习）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线（）长为． (1)求圆锥形纸杯的侧面积． (2)若在母线上的点A处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，求此蚂蚁爬行的最短距离． 67．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处． (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能途径； (2)当，求蚂蚁爬过的最短路径的长． 68．（24-25八年级上·上海宝山·开学考试）我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一、古人将直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名．勾股定理：若直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则有，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 请运用“勾股定理”解决下列问题． (1)如图1，直角三角形的两条直角边分别是9厘米和12厘米，则这个直角三角形的斜边长___________厘米． (2)如图2，分别以直角三角形的边为边长作正方形，则___________，___________．根据勾股定理可知，，所以___________=___________． (3)如图3，圆柱的高为4厘米、底面半径为1厘米．在圆柱底面A点有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少厘米？（取3） 下面是小林的思考过程，请你帮他补充完整． ①将该圆柱的侧面展开后得到一个长方形，如图4所示（A点的位置已经给出），请在图中标出B点的位置并连接． ②小林认为线段的长度是蚂蚁爬行的最短路程，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 69．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）【实践发现】数学兴趣小组在研究蚂蚁在圆柱侧面爬行问题时，发现蚂蚁沿圆柱侧面从一点爬到另一点的最短路径问题与圆柱的展开图有关． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：测量圆柱的底面半径，测得圆柱底面半径是2厘米； 第二步：测量圆柱的高，测得圆柱的高为4厘米； 第三步：如图，假设蚂蚁在圆柱侧面从点A爬到点B，研究其最短路径情况． 【问题解决】设蚂蚁爬行的最短路径长度为厘米，通过计算即可求得最短路径长度． (1)根据题意知圆柱底面半径厘米，圆柱的侧面展开后是一个长方形（取3），其中一条直角边（圆柱侧面展开后长方形的高）为　　　厘米，另一条直角边（底面圆周长的一半）为　　　厘米； (2)在展开图中，蚂蚁的最短路径是连接的线段长，请你计算蚂蚁从点爬到点的最短路程． 70．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，长方体中，，，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点．    (1)请你在所给的网格中，画出蚂蚁爬行的所有不同的直线路径； (2)分别求出这几种路径的距离； (3)求蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 【经典例题十一 勾股定理中的旋转问题】 71．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）如图，已知是等边三角形，在外有一点，连接，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，与交于点，． (1)求的大小； (2)若，，，求的长． 72．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）（1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为 ． （2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长． 73．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）【问题背景】如图①，在和中，，，，连接，． 【特例研究】 （1）当点D在上，时，与的数量关系为______； 【拓展探究】 （2）将绕点A旋转至图②位置，（1）中结论是否成立？说明理由； 【迁移应用】 （3）将绕点A旋转，当时，若，，______． 74．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计，小鸣在设计的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究． 已知和都是等腰直角三角形，且． (1)小鸣将绕点A在平面内自由旋转，连接后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段的数量关系，并说明理由； (2)若，旋转过程中，当点D、点E和的中点O三点共线时，如图2，探究线段和的数量关系，并说明理由． (3)如图2，在（2）的条件下，若，则_________（直接写出结果）． 75．（24-25八年级上·上海虹口·期中）【问题发现】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： (1)如图①，在等边三角形中，点在其内部，且，，，求的长．经过观察、分析、思考，小明对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，即可实现边的关系的转化．经过推理计算_____．请你根据上述分析过程，完成该问题的解答过程． (2)【学以致用】参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：如图②，在等边三角形中，，点在内，且，，求的面积； (3)如图③，在中，，，点在内，且，，，求的长． 76．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙． 已知：如图，在和中，，，． 【初识图形】 （1）如图，在绕点A旋转过程中，当点E恰好落在的边上时，连接、．则的长为，的长为． 【深度探析】 如图，在绕点A旋转过程中，当时，连接，延长交于点F． （2）的度数为，的度数为； （3）求证：点F为线段的中点． 【拓展探究】 （4）在绕点A旋转过程中，试探究B、D、E三点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求写出线段的长；若不能，请说明理由． 77．（24-25八年级上·上海静安·期中）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们利用两张全等的直角三角形纸片进行图形变换的操作探究． 已知，，，． 操作探究1： （1）小韩将和按图的方式在同一平面内放置，其中和重合，此时B、C、E三点恰好共线，点B、E在点C的两侧，则线段的长为______； 操作探究2： （2）如图，小卫在图的基础上进行了如下操作：保持不动，将沿方向平移，得到，且点在线段上，和交于点G．求证：是等腰三角形； 操作探究3： （3）小闫在图的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点A按顺时针方向旋转角度，线段和线段交于点P．如图，在旋转的过程中，小闫提出如下问题：当时，画出图形，并求出此时旋转角的度数及与重叠部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $