重难点06 一元二次方程的六类参数问题 【精英班课程】2025-2026学年沪教版（五四制 ）八年级数学上册同步培优讲义

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点06 一元二次方程的六类参数问题 题型一、由一元二次方程的定义求参数 【例1】若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程叫做一元二次方程，由此得出，，求解即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【解析】解：由题意得：，， 解得：， 故答案为：． 【例2】某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： （1）是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值； （2）是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程． 【答案】（1）1   （2），；， 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得可求得m的值； （2）当m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程，求出m的值，进一步解方程即可． 【详解】解：（1）根据一元二次方程的定义，得 解得． （2）由题可知，当即时，方程为一元一次方程． 此时方程为，解得； 当即时，方程为一元一次方程， 此时方程为，解得． 【点睛】本题主要考查一元二次方程和一元一次方程的定义，（2）中容易漏掉m2+1=1的情况，应考虑全面． 【跟踪训练】 1．关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件．据此即可得到，且，即可求得的值． 【解析】解：由题意得， ， ， 时，原方程是一元二次方程， 故答案为：． 2．关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】直接利用一元二次方程的定义得出最高次数为2，最高次项系数不为0进而求出即可． 【解析】解： 关于x的方程是一元二次方程， 由①得： 由②得： 所以 故答案为： 3．关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】直接利用一元二次方程的定义得出最高次数为2，最高次项系数不为0进而求出即可． 【解析】解： 关于x的方程是一元二次方程， 由①得： 由②得： 所以 故答案为： 题型二、由一元二次方程的根求参数或代数式值 【例3】已知关于x的方程的一个根为0，则m的值为（　　） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】D 【分析】把代入一元二次方程后得到有关m的方程，求解即可得到m的值． 【解析】解：将代入一元二次方程得， ， 解得，或0， ∵，即， ∴， 故选：D． 【例4】若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论． 【解析】解：∵， 把代入得：， 即方程的一个解是， 把代入得：， 即方程的一个解是； 故选：C． 【例5】如果a，b，k均为整数，则满足下面等式的所有k的取值有( ) A．2个 B．3个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】先把等式左边展开，由对应相等得出a+b=k，ab=18；再由a，b，k均为整数，求出k的值即可． 【解析】解：∵（x+a）（x+b）=x2+kx+18， ∴x2+（a+b）x+ab=x2+kx+18， ∴a+b=k，ab=18， ∵a，b，k均为整数， ∴a=±1，b=±18，k=±19； a=±2，b=±9，k=±11； a=±3，b=±6，k=±9； 故k的值共有6个， 故选C． 【例6】若关于的方程满足，称此方程为“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，求的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“月亮”方程的定义得出，变形为，代入计算即可． 【详解】解：∵方程是“月亮”方程， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边都相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【跟踪训练】 1．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【解析】解：是一元二次方程0的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．关于的方程的两个实数根为，，若，，满足和，则方程的根是（    ） A．0 B．1， C．2， D．无法确定 【答案】C 【分析】根据关于的方程的两个实数根为，，若，，满足和，即可确定方程的根． 【详解】解：关于的方程的两个实数根为，，若，，满足和， 方程的根为，， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的特征是解题的关键． 3．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，进而得到，再把所求式子转化为，据此整体代入求解即可． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4.已知是方程的一个根．求： (1)的值． (2)代数式的值． 【答案】(1)； (2)2019． 【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后把代入原式即可求解； （2）可化简得原式，然后通分后再次代入后化简即可． 【详解】（1）解：是方程的一个根， ， ， ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是把根据方程的解的定义得到的式子进行变形． 5.若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2020 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，则，然后整体代入化简求值即可． 【详解】解：由题意得， 则， ∴， ∴ 故答案为：2020． 6.已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】 由是方程的一个根，得到，将化为，代入后，即可求解， 本题考查了一元二次方程的解，代数式的化简求值，解题的关键是：应用提公因式法，将代数式进行转化． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴，即：， ∴ ， 故答案为：． 题型三、由一元二次方程根的判别式求参数范围 【例7】若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列出不等式求解即可． 【解析】由题意得： 解得：且 故选：B． 【例8】如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，则，以及二次根式有意义的条件，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围． 【详解】解：由题意知： ∴，且． 故选：D． 【跟踪训练】 1.已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围是 ． 【答案】m＜且m≠0/m≠0且m＜ 【分析】根据判别式△＞0时一元二次方程有两个不相等的实数根求解不等式即可． 【解析】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴△=（2m-3）2-4m（-2+m）=-4m+9＞0，且m≠0， 解得：m＜且m≠0， 故答案为：m＜且m≠0． 2.已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程有实数根的条件：二次项系数不为0，根的判别式大于等于0；即可进行解答． 【解析】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：且． 故选：D． 3.已知关于的方程有两个不相等的实数根，则可取的最大整数是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分，最后解得可取的最大整数． 【解析】解：已知关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∵，，， ∴， 即， 解得且， ∴其中可取的最大整数是， 故答案为：． 4.对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当时， 方程一定没有实数根 ②当时，方程一定有实数根 ③当时， 方程一定没有实数根 ④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此逐一判断即可． 【解析】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ②∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴方程一定有实数根，原说法正确； ③时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ④∵， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根，原说法错误； 故选：B． 题型四、由一元二次方程根与系数的关系求参数 【例9】已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，由根与系数的关系和题目中的关系可知和，但根据可知，m只能等于3． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴ 即 解得：或， ∵， ∴， 故选：A． 【例10】若实数a，b（a≠b）分别满足方程a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，则的值为（ ）． A． B． C．或2 D．或2 【答案】A 【详解】解：由实数a，b满足条件a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，可把a，b看成是方程x2﹣7 x+2=0的两个根，所以a+b=7，ab=2，所以=== ． 故选A． 【例11】已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个根为，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系以及其判别式的相关知识，将待求式根据完全平方公式适当的变形是解答本题的关键． （1）根据一元二次方程有两个根，可以知道其判别式大于或等于0，据此作答即可； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系，有，，再将转化为，再代入计算即可． 【详解】（1）解：原方程可化为：， 一元二次方程有两个实数根， 且， 即且， 解得：； （2）根据根与系数的关系得：，， ， ， 解得，（舍去）， 经检验是方程的解， 的值为． 【跟踪训练】 1.已知，是关于的一元二次方程的两实数根，且满足，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系，得，，代入已知等式可得到关于的方程，可求得的值，再根据方程根的判别式进行取舍． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两实数根， ，， ， ， 解得：， ， ，均符合题意， 故选： A． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，利用表示出两根之和是解题的关键． 2.已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到，，，再根据，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵、是关于x的方程的实数根， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得，， 经检验或为原方程的解， ∵， ∴， ∴k的值为4． 故答案为：4． 3.实数x、y分别满足99x2+2021x＝﹣1，y2+2021y＝﹣99，且xy≠1，则＝ ． 【答案】 【分析】将变形为，因为且 xy≠1，则实数、可看作是方程的两个不等实数根，利用根与系数的关系得到，，再把原式变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：， ， ， 即， 实数、可看作方程的两实数根， ，， 原式 ． 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的变形应用以及根与系数的关系．根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 3.已知关于的一元二次方程 (1)若方程有实数根，求实数 的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足， 求实数的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，解不等式即可得到的范围； （）根据一元二次方程 的根与系数的关系得到， ，则，即 ，利用因式分解法解得，，然后由（）中的的取值范围即可得到的值； 此题考查了一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记，一元二次方程的两个根为，，则，，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】（1）解：， 若方程有实数根，则， 解得； （2）由根与系数的关系可知：， ， ∵， ∴， ∴ 整理得：， 解得，， ∵， ∴． 4.已知关于的一元二次方程． (1)若方程的一个根是，求方程的另一个根； (2)若该一元二次方程的两个根分别为，，当时，求的值． 【答案】(1)方程的另一个根为； (2)． 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系以及解一元二次方程． （1）将代入中，得，再解方程即可； （2）先根据判别式求得m的取值范围，再根据根与系数的关系代入求值即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的一个根是， ∴将代入中，得，解得， ∴解一元二次方程，得或， ∴方程的另一个根为； （2）解：由题意知， ∴， ∵， ∴且； ∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴，，， ∴，可化为， 解得或（舍去）， ∴． 题型五、可化为一元二次方程的分式方程参数问题 【例12】已知关于的方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程，求出分式方程的解，再求出分式方程的增根，进而由分式方程的解等于增根即可求解，理解分式方程有增根即最简公分母的值等于是解题的关键． 【解析】解：方程两边乘以得，， ∴， ∵方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例13】若关于x的一元二次方程有两个不相等实数解，且关于y的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数m的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先根据一元二次方程有两个不相等实数解可得m的取值范围，再解分式方程得到且，最后结合整数解可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等实数解， ∴，且， 即且， 解关于y的分式方程，可得； ∴或或， ∵且，，y为整数，即， ∴或或， ∴足条件的所有整数m的和为：． 故答案为：． 【例14】关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．根据分式方程无解的两种情况即可求出的值． 【解析】解： 去分母得， ， 当增根为或时， 或 解得或， 即或时，分式方程无解， 当时，即时，整式方程无解，分式方程无解， 综上可知，当的值为或或． 故答案为：或或 【跟踪训练】 1．若关于的分式方程有增根，则的值为 【答案】 【分析】本题考查分式方程有增根的问题，去分母将方程转化为整式方程，将代入整式方程，进行求解即可． 【解析】解：方程去分母，得：， ∵方程有增根， ∴把代入，得：， 解得：； 故答案为：1． 2．若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查分式方程，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值了． 【解析】解： 方程两边都乘以，得： ∵方程有增根， ∴最简公分母，即增根是． 把代入整式方程，得： 解得，． 故答案为：3． 3．若关于x的分式方程无解，则k的值是 ． 【答案】或 【分析】先将分式方程去分母，化为整式方程，再进行分类讨论：①当整式方程无解时，②当分式方程有增根时，即可求解． 【解析】解：去分母得：， 整理得：， ①当整式方程无解时：，解得：； ②当分式方程有增根时：， 则，解得：， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了解分式方程无解的情况，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式方程无解的情况． 4．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查分式方程无解，无解包含两种情况：一种是解为增根，一种是在解方程的过程中未知数被消掉的情况，根据两种情况分析得到包含m的方程即可求解．先假设方程有解，利用含有m的代数式表示方程的解，再根据解可判断出该方程无解符合根为增根的情况，将方程中的分母等于0，算出增根，得到m的方程即可求解． 【解析】解：假设方程有解，解得：， ∵该方程无解， ∴， ∴， ∵， ∴是该方程的增根， ∴， ∴． 综上，m的值为或． 故答案为：或． 5．若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，求出方程的解是解题的关键．先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可． 【解析】解：由，得：且， ∵关于的方程的解是正数， ∴且， 解得：且， 故答案是：且． 题型六、一元二次方程新定义问题 【例15】如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于x的一元二次方程（a是常数，且）是“差1方程”，则a的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意可得，可得，求得，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，求得，从而可得，再解分式方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程是“差1方程”， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴，即， 解得或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查新定义、一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程、完全平方公式，理解新定义求得，，是解题的关键． 【例16】定义新运算“※”：对于实数m、n、p、q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决． 【详解】解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0， ∴． 整理得，． ∵方程有两个实数根， ∴判别式且． 由得，， 解得，． ∴k的取值范围是且． 故选：C 【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视． 【跟踪训练】 1．对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为快乐数”、例如，，因为，所以是“快乐数”．则最大的“快乐数”是 ：若一个“快乐数”（、b、，a、b、c为自然数），且使关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式．理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据“快乐数”的定义，可求最大的“快乐数”， 由，可得，由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，可得，即，进而可求，由，、b、，a、b、c为自然数，可求，然后作答即可． 【解析】解：由题意知，， ∴是最大的“快乐数”， ∵， ∴， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∵，， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∵、b、，a、b、c为自然数， ∴， ∴k的值为， 故答案为：；． 2．【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式、求代数式的值、“对称方程”的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式以及理解“对称方程”的定义． （1）根据“对称方程”的定义解答即可； （2）根据“对称方程”的定义可得，求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：，， 方程的“对称方程”是， 故答案为：； （2）解：由，移项可得：， 方程与为对称方程， ， 解得：， ． 3.定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②；③ 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程． （1）解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标； （2）①根据判别式即可判断方程的根的情况；②解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标；③将变形，可得过定点，根据题意方程的两个根为，根据根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴该方程的衍生点M的坐标为 （2）①∵方程为， ∴ ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ② ∴， ∴该方程的衍生点M的坐标为； ③解∶直线，过定点， ∴两个根为， ∴， ∴． 一、选择题 1．关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A．2或 B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，要注意系数不为0，这是比较容易漏掉的条件． 根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，即，且，解出m的值即可． 【详解】解：由题意可知：，且， 所以且．所以． 故选：B． 2．关于x的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数是解题关键．由一元二次方程的定义列方程求出即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：且， ， 故选：C． 3．若方程中，满足和，则方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论． 【详解】解：∵， 把代入得：， 即方程的一个解是， 把代入得：， 即方程的一个解是； 故选：A． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键． 3．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，以及一元二次方程定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据关于x的一元二次方程有实数根，得，且，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得， ∴a的取值范围是且， 故选：C． 4．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 故选：A． 5．已知、是关于的方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于，求出的范围，再利用根与系数的关系表示出与，已知等式变形后代入计算即可求出的值． 此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解本题的关键． 【详解】解：、是关于的方程的两个不相等的实数根， ，，， 解得：， 代入得：， 即， 分解因式得：， 解得：不符合题意或， 则的值为． 故选：C． 2、 填空题 6.已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，列出关于的一元二次方程和一元一次不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：，， ， 解得：， 即， 故答案为：． 7.若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义、代数式求值，根据方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得出，整理为，整体代入计算即可，熟练掌握方程的解的定义、代数式求值是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴ ， 故答案为：． 8.若一元二次方程 有实数根，则m 的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义得出，根据一元二次方程有实根，得出，解不等式即可求解．本题考查了一元二次方程，，，为常数）的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：一元二次方程有实数根， ，且， 解得：且， 故答案为：且． 9.关于的方程有两个实数根，则的取值范围为________ 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程根与判别式的关系等知识点，掌握一元二次方根的判别式点是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和一元二次方程根情况可得且，然后解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得：解得：且． 10．已知关于y的分式方程有整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为 ． 【答案】8 【详解】解：去分母得，， 整理得，， ， 关于y的分式方程有整数解， ，， 或3或或5， 当时，， 解得， 但是分母，即， ， 或3或5， 关于x的一元二次方程有实数根， ，且， 解得，且， 或5， 所有整数a的值之和为． 故答案为：8． 11.关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解一元二次方程的定义，将代入方程，结合一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：1． 12.若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义； 把代入方程求出m可能的值，然后根据一元二次方程的定义进一步得出答案． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∵方程是一元二次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．若关于x的方程无实根，则m取值范围是 ． 【答案】或 【分析】将分式方程转化为整式方程，分两种情况，整式方程无解和分式方程有增根，进行求解即可． 【解析】解：将分式方程转化为整式方程为：， 整理得：， ∵分式方程无实数根， ①整式方程无实数根，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：， ∴， 当时：，解得：， 当时：，解得：， 综上：m取值范围是或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查分式方程解的情况求参数的取值范围．解题的关键是熟练掌握分式方程无实数根的两种情况，正确的计算． 三、解答题 14.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系，掌握根的判别式，韦达定理是解题的关键． （1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于零，由此即可求解； （2）根据韦达定理，通过配方法，用含的式子表示出两个的和，解参数方程并结合k的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，，， ∴， ∴，整理得，， ∴， 故实数的取值范围为． （2）解：∵方程的两个根分别为， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ 解得，， ∵， ∴． 15.已知关于的方程． (1)当取何值时，方程有两个不相等的实数根； (2)若、为方程的两个不等实数根，且满足，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）结合题意可得该方程为一元二次方程，故，根据一元二次方程根的判别式可得，即可列出关于列出关于的不等式，求解即可得出的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，代入方程得出关于的方程，求出的值，注意结合题意，取符合要求的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，， 整理得：， 解得：； ∴当且时，方程有两个不相等的实数根． （2）解：、为方程的两个不等实数根， ∴，， ∵， 整理得：， 将，代入，得： ， 解得：，， 经检验均为方程的解， ∵，故不符合题意，舍去； ∴的值为． 16.已知关于x的方程． (1)求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由． (3)当等腰三角形的边长，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)能找到， (3)9 【分析】（1）根据方程列出判别式化简即可解题； （2）设两根分别为，，根据题意可得，又根据根与系数的关系可得，即可求得k的值； （3）根据题意考虑和时两种情况，结合根的判别式，方程的解，等腰三角形性质，三角形三边关系即可解题． 【详解】（1）证明：方程表达式为， 又                   无论k取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）解：能找到，            设两根分别为，， 由题意要使方程的两实数根互为相反数，则， ，                ； （3）解：当时，则，即，则， 此时方程为，解得， 则等腰三角形三边分别为4，1 ，1， ，不能构成三角形， 故舍去；     当时，假设或，由题意可知4是原方程的解， ， ，                  原方程为，解得，，         则等腰三角形三边分别，4，4，1，能构成三角形， 所以三角形的周长为． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，等腰三角形性质，方程的解，三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 17.如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”． (2)若一元二次方程是“倍根方程”，则__________． (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则，，之间的关系为__________． 【答案】(1)不是 (2)2 (3) 【分析】（1）根据“倍根方程”的定义即可得出结论； （2）根据倍根方程的定义以及根与系数的关系即可求出答案； （3）设与是方程的解，然后根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1），， 解得和， 故一元二次方程不是“倍根方程”． （2）由题意可设：与是方程的两个根， ∴，， ∴，； （3）设与是方程的解， ∴，， ∴消去得：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义． 18.定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断方程是否为“差积方程”？并验证； (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系． 【答案】(1)是，证明见解析 (2)或 (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得，；根据新定义列出方程即可求解． 【详解】（1）方程是“差积方程”， 证明：， 即， 解得，， ， 是差积方程； （2）解：， 解得方程的解为：，， 是差积方程， ， 即：或． 解得：或， （3）解： ， 解得，， 是差积方程， ， 即， 即． 19.阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程． (1)问题解决：请你判断方程是否是连根方程； (2)问题拓展：若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值； (3)方法总结：如果关于x的一元二次方程（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式． 【答案】(1)方程是连根方程 (2) (3) 【分析】本题考查解一元二次方程、根与系数之间的关系等知识点，掌握“连根方程”的定义是解题的关键． （1）先用因式分解法解方程，再根据“连根方程”的定义进行判断即可； （2）根据方程为“连根方程”，设其中一个根为a，则另一个根为，再根据根与系数的关系进行求解即可； （3）根据“连根方程”的定义和根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， ∵， ∴是连根方程． （2） 解：∵方程（是常数）是“连根方程”， 设的两个根为， ∴， ∴， ∴， 解得：． （3）解：方程（b、c是常数）是“连根方程”， 设方程的两个根为：，且， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴． 20.阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数，满足：，，且，则_____，______； (2)间接应用：在（1）条件下，求的值； (3)拓展应用：已知实数，满足：，且，则______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用韦达定理直接求解； （2）对进行通分，然后利用韦达定理求解； （3）令，则由题得，，且，利用韦达定理可求的值，进而求解． 【详解】（1）解：，，且， ，是方程的两个不相等的实数根， ，． 故答案为：7，1； （2）解：，， ． （3）解：由，得． 令，则由，得． 由，得，即． ，，且， ，是方程的两个不相等的实数根， ，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，韦达定理的应用，熟练掌握韦达定理的原理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点06 一元二次方程的六类参数问题 题型一、由一元二次方程的定义求参数 【例1】若方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【例2】某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题： （1）是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值； （2）是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程． 【跟踪训练】 1．关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 2．关于x的方程是一元二次方程，则 ． 3．关于x的方程是一元二次方程，则 ． 题型二、由一元二次方程的根求参数或代数式值 【例3】已知关于x的方程的一个根为0，则m的值为（　　） A．1 B． C．1或 D．0 【例4】若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 【例5】如果a，b，k均为整数，则满足下面等式的所有k的取值有( ) A．2个 B．3个 C．6个 D．8个 【例6】若关于的方程满足，称此方程为“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，求的值为（      ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是（   ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 2．关于的方程的两个实数根为，，若，，满足和，则方程的根是（    ） A．0 B．1， C．2， D．无法确定 3．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于 ． 4.若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 5.已知是方程的一个根，求的值． 6.已知是方程的一个根．求： (1)的值． (2)代数式的值． 题型三、由一元二次方程根的判别式求参数范围 【例7】若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 【例8】如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【跟踪训练】 1.已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围是 ． 2.已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 3.已知关于的方程有两个不相等的实数根，则可取的最大整数是 ． 4.对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当时， 方程一定没有实数根 ②当时，方程一定有实数根 ③当时， 方程一定没有实数根 ④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型四、由一元二次方程根与系数的关系求参数 【例9】已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是(    ) A． B． C．或 D．或 【例10】若实数a，b（a≠b）分别满足方程a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，则的值为（ ）． A． B． C．或2 D．或2 【例11】已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个根为，且，求的值． 【跟踪训练】 1.已知，是关于的一元二次方程的两实数根，且满足，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 2.已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ． 3.实数x、y分别满足99x2+2021x＝﹣1，y2+2021y＝﹣99，且xy≠1，则＝ ． 3.已知关于的一元二次方程 (1)若方程有实数根，求实数 的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足， 求实数的值． 4.已知关于的一元二次方程． (1)若方程的一个根是，求方程的另一个根； (2)若该一元二次方程的两个根分别为，，当时，求的值． 题型五、可化为一元二次方程的分式方程参数问题 【例12】已知关于的方程有增根，则的值是 ． 【例13】若关于x的一元二次方程有两个不相等实数解，且关于y的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数m的和为 ． 【例14】关于的分式方程无解，则的值为 ． 【跟踪训练】 1．若关于的分式方程有增根，则的值为 2．若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ． 3．若关于x的分式方程无解，则k的值是 ． 4．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 5．若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 题型六、一元二次方程新定义问题 【例15】如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于x的一元二次方程（a是常数，且）是“差1方程”，则a的值为 ． 【例16】定义新运算“※”：对于实数m、n、p、q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【跟踪训练】 1．对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为快乐数”、例如，，因为，所以是“快乐数”．则最大的“快乐数”是 ：若一个“快乐数”（、b、，a、b、c为自然数），且使关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且，则k的值为 ． 2．【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 3.定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 一、选择题 1．关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A．2或 B．2 C． D．0 2．关于x的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．若方程中，满足和，则方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．或 4．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知、是关于的方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ） A．或 B．或 C． D． 2、 填空题 6.已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是 ． 7.若是关于的方程的解，则的值为 ． 8.若一元二次方程 有实数根，则m 的取值范围是 ． 9.关于的方程有两个实数根，则的取值范围为________ 10．已知关于y的分式方程有整数解，且关于x的一元二次方程有实数根的所有整数a的值之和为 ． 11.关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是 ． 12.若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 13．若关于x的方程无实根，则m取值范围是 ． 三、解答题 14.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 15.已知关于的方程． (1)当取何值时，方程有两个不相等的实数根； (2)若、为方程的两个不等实数根，且满足，求的值． 16.已知关于x的方程． (1)求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由． (3)当等腰三角形的边长，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求的周长． 17.如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”． (2)若一元二次方程是“倍根方程”，则__________． (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则，，之间的关系为__________． 18.定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断方程是否为“差积方程”？并验证； (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系． 19.阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程． (1)问题解决：请你判断方程是否是连根方程； (2)问题拓展：若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值； (3)方法总结：如果关于x的一元二次方程（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式． 20.阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：已知实数，满足：，，且，则_____，______； (2)间接应用：在（1）条件下，求的值； (3)拓展应用：已知实数，满足：，且，则______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $