第03讲 分式（复习讲义，3考点11题型3重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“分式”专题，覆盖分式的有关概念、基本性质、运算及化简求值等中考核心考点，按“考情剖析-知识导航-考点解析-命题洞悉-分层训练”系统架构，通过考点梳理、真题精讲、方法归纳帮助学生突破分式有意义条件、混合运算等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“重难突破”模块设计，如分式求值的整体代入法、规律探究题的归纳训练，培养学生运算能力与推理意识。特设“基础巩固-能力提升-全国新趋势”分层练习，配合中考真题即时反馈，助力学生高效掌握分式核心技能，教师可据此精准把控复习节奏，提升应考实效。

第一章 数与式 第03讲 分式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 分式的有关概念 题型01 分式的辨别 题型02 分式有无意义的条件 题型03 分式值为正、负数或0的条件 命题点二 分式的基本性质 题型01 利用分式的基本性质进行变形 题型02 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型03 约分与最简公式 题型04 通分与最简公分母 命题点三 分式的运算 题型01 分式的加、减、乘、除法与分式的乘方 题型02 分式的混合运算 题型03 分式的化简求值 题型04 零指数幂与负整数指数幂 05·重难突破·思维进阶难 28 突破一 分式求值的几种特殊方法 突破二 与分式有关的规律题 突破三 与分式运算有关的新定义问题 06·优题精选·练能提分 45 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 分式的有关概念 / 长沙卷T13 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件；理解分式值为零的条件。 分式的基本性质 湖南卷T14 / 掌握分式的基本性质，并能运用其进行分式的约分与通分。 分式的运算 / 湖南卷T20 能进行简单的分式加、减、乘、除运算。 分式的化简求值 / 湖南卷T20 能对分式进行化简，并能代入适当的数值进行求值；在化简过程中，体会数与式、运算与推理的逻辑关系。 命题预测 结合分式的基本概念、性质、运算及化简求值等核心知识进行考查，题型覆盖选择题、填空题和解答题。分式的基本概念考点中，主要考查分式有意义的条件（分母不为零）和值为零的条件；分式的基本性质考点中，常以约分形式出现；分式的运算考点中，重点是分式的加减乘除混合运算；分式的化简求值考点中，常作为解答题出现，综合性强，常与整式运算、因式分解等结合，考查学生对运算律的掌握和逻辑推理能力。预计2026年将继续重视分式运算的规范性和化简求值的综合性，紧密联系实际情境，考查学生的数学运算和逻辑推理核心素养。 考点一 分式的有关概念 分式的有关概念 分式 一般地，如果 f,g表示两个整式，并且g中含有字母，那么式子 叫做分式 分式 有无意义的条件 (1) 分式 有意义的条件为 g≠0； (2) 分式 无意义的条件为 g=0； 分式 的值为0的条件 (1)g≠0 ；(2)f=0 ​ 分式 的值为正数或分数的条件 若>0，则f、g同号; 若<0，则f、g异号. 1.(2024·湖南长沙·中考真题)要使分式有意义，则x需满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得， 故答案为：． 2.（2025·湖南怀化·一模）代数式的值为0，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，二次根式有意义的条件；掌握“分式的值为0，则分子为0，分母不为0”是解本题的关键．根据题意可得且，即可求解． 【详解】解：分式形式的代数式的值为0，即分子为0，分母不为0． 则有且， 解得且． 故． 故答案为： 3.（2025·湖南衡阳·模拟预测）代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且； ∴且； 故答案为：且． 考点二 分式的基本性质 1.分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中f，g，b是整式且g•h≠0. 2.分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 3.分式的约分 (1)分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.【分式乘除运算的关键是约分，约分的关键是确定公因式，约分时分子、分母出现多项式，应先将多项式分解因式再约分】 (2)确定公因式的方法： ①取分子、分母系数的最大公因数作为公因式的系数；②取相同因式的最低次幂作为公因式的因式. (3)最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 4.分式的通分 (1)分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 【分式加减运算的关键是通分，通分的关键是寻找最简公分母】 (2)确定最简公分母的方法：【通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母】 类型 方法步骤 分母为单项式 1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; 2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 分母为多项式 1）对每个分母因式分解; 2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母; 3) 若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 5.约分与通分的联系与区别： 联系 都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值. 区别 1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单. 2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式. 1.(2025·湖南省卷·中考真题)约分： ； 【答案】 【分析】此题考查约分的定义，熟记定义、正确确定分子与分母的公因式是解题的关键． 直接约去分子与分母的公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2.（2025·湖南长沙·模拟预测）化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解以及约分，先运用提公因式以及平方差公式分解原式，再化简，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 考点三 分式的运算 1.分式的加减法 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 2.分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 3.分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 1.(2024·湖南省卷·中考真题)先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先计算乘法，再计算加法，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 2.（2025·湖南长沙·模拟预测）化简： 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简运算，解题关键是熟练掌握分式的通分、因式分解以及分式的乘除法法则．先算括号里的加减，再算乘除进行化简即可． 【详解】解：原式 ． 3.（2025·湖南长沙·模拟预测）计算：下面是甲同学的部分计算过程： 解：原式 (1)甲同学解法的依据是 ；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请写出完整的解答过程，并选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】(1)③ (2)见解析 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，注意根据分式有意义的条件解题是关键． （1）根据第一步的步骤可得出运用的是乘法分配律； （2）先进行因式分解，在约分化简，然后选择一个使分式有意义的未知数的值代入计算即可． 【详解】（1）根据第一步的步骤可得出运用的是乘法分配律， 故选③． （2）原式 ， 当时，原式． 命题点一 分式的有关概念 ►题型01 分式的辨别 判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件（分子、分母都是整式，分母中含有字母，且分母≠0。），若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：就是分式. 【典例】（2025·湖南衡阳衡南·模拟）下列各式中，分式的个数为（    ） ，，，，，，， A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据分式的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：分式有，，，共4个． 故选B． 【点睛】本题考查了分式的定义，如果A、B都是整式，式子中分母B中含有字母，那么叫分式． 【变式1-1-1】（2025·湖南永州·中考模拟）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可． 【详解】分母中含有字母的是，，， ∴分式有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键． 【变式1-1-2】（2024 ·湖南邵阳·一模）下列各式中，是分式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：根据分式的概念，分母中含有字母的式子，形如（B≠0，B中含有字母），逐一判断即可. 详解：A是分式，B、C、D不是分式. 故选A. 点睛：此题主要考查了分式的识别，关键是看分母中是否含有字母. ►题型02 分式有无意义的条件 1.分式有意义的条件：分式的分母不等于0. 2.分式无意义的条件：分式的分母等于0. 【典例】（2025·湖南长沙长郡·二模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键．根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，， ∴且， 解得． 故选：C． 【变式1-2-1】（2025·湖南长沙·模拟）当x 时，分式无意义. 【答案】= 【分析】分母为零，分式无意义． 【详解】依题意得，当分母x-2=0即x=2时，分式无意义. 故答案是：=2． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为0的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零； （3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 【变式1-2-2】（2025·湖南长沙·中考模拟密卷）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式和二次根式有无意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得且． 故答案为：且． 【变式1-2-3】（2024·湖南·模拟预测）已知分式（a，b，c，d为常数）满足下面表格中的信息： x值 0 1 分式值 c 无意义 d 0 下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值、分式无意义的条件，分式值为0的条件，解决本题的关键是掌握分式相关知识． 先根据分式无意义的条件和分式值为0的条件求出，即可得到该分式，再代入数据求出． 【详解】解：当时，分式无意义，则， ∴，故B正确，不符合题意； 当时，分式值为0，则， ∴，故A正确，不符合题意； 所以该分式为， 当时，，故C正确，不符合题意； 当时，，故D错误，符合题意 故选：D． ►题型03 分式的值为正、负数或0的条件 分式值为0的条件：分式的分子等于0且分母不等于0，这两个条件必须同时考虑，进而求解问题. 分式的值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义. 【典例】（2024·湖南·模拟预测）当时，分式的值为0，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了分式值为零的知识，熟练掌握分式为零的特征是解题关键．若分式值为0，则有分母不为0，分子为0，据此即可获得答案． 【详解】解：当时，若分式的值为0， 则有，， 解得． 故答案为：3． 【变式1-3-1】（2025·湖南武冈·模拟）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴， ∴， ∴满足题意的x的值可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 【变式1-3-2】（2024·湖南常德·三模）若分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握分式的值为零的条件是解题关键． 直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故答案为：． 【变式1-3-3】（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知分式的值为整数，则满足条件的整数值有 个． 【答案】4 【分析】将化为，根据题意得出的值为整数，即可得解． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∵x为整数， ∴，共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握同分母分式的加法：分母不变，只把分子相加． 命题点二 分式的基本性质 ►题型01 利用分式的基本性质进行变形 分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键，利用分式的基本性质可将分式恒等变形，从而达到化简的分式，简化计算的目的. 运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 【典例】（2025·湖南长沙·二模）下列分式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查判断分式变形是否正确，根据分式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，变形错误，不符合题意； B、，变形错误，不符合题意； C、，变形错误，不符合题意； D、，变形正确，符合题意； 故选D． 【变式2-1-1】（2025·湖南郴州·一模）下列等式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为的整式，分式的值不变，解决即可． 【详解】、，此变形错误，不符合题意； 、，此变形正确，符合题意； 、，此变形错误，不符合题意； 、，此变形错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质及其应用． 【变式2-1-2】（2024·湖南湘潭·模拟预测）下列各式从左到右的变形，是分式化简的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简．根据分式的基本性质解答即可． 【详解】解：A、是分式化简，故本选项符合题意； B、从左到右的变形不一定成立，不是分式化简，故本选项不符合题意； C、从左到右的变形不一定成立，不是分式化简，故本选项不符合题意； D、，不是分式化简，故本选项不符合题意； 故选：A ►题型02 利用分式的基本性质判断分式值的变化 分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键，利用分式的基本性质可将分式恒等变形，从而达到化简的分式，简化计算的目的. 【典例】（2025·湖南益阳沅江·二模）若把分式中的x与y都扩大2倍，则所得分式的值（ ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，利用分式的性质进行判断即可． 【详解】解：把分式中的x与y都扩大2倍得， 则所得分式的值扩大为原来的2倍， 故选：B． 【变式2-2-1】（2025·湖南岳阳·一模）若将分式中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值（    ）． A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．变为原来的 D．不变 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，将m和n替换为和，重新计算分式的值，比较即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：， 故分式的值变为原来的2倍， 故选：A． 【变式2-2-2】（2024·湖南株洲·预测模拟）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题．根据分式的基本性质，即可求解． 【详解】解：． 故选：D ►题型03 约分与最简公式 分式的约分子和分母必须都是乘积的形式才能进行约分，约分要彻底，使分子、分母没有公因式.确定分子、分母的公因式的方法: 分子、分母类型 具体方法 单项式 1）系数取各系数的最大公约数;2）相同字母取字母的最低次幂. 多项式 先把分子、分母进行因式分解,再确定公因式 【典例】（2025·湖南益阳·二模）下列各式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的定义，将分式的分子、分母进行因式分解，根据最简分式的定义逐一判断，即可求解；理解“分子分母不含有除1以外的公因式的分式叫最简分式”是解题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A. ，分子分母含有公因式2，不是最简分式，故不符合题意； B. ，分子分母含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； C. 分子分母含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； D. 是最简分式，故符合题意； 故选：D． 【变式2-3-1】（2025·湖南郴州·模拟预测）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查分式的约分化简，将分子分解因式，约去相同因式即可化简，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 【变式2-3-2】（2025·湖南永州·模拟）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（   ） 姓名：李明班级：八班得分： 判断题（每小题分．共分），对的打“√”，错的打“×”． ①代数式，是分式 ②当时，分式有意义 ③若分式的值为，则 ④式子从左到右变形正确 ⑤分式是最简分式 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的概念、分式有意义的条件、分式的基本性质、最简分式，掌握相关的概念和性质是解题的关键．根据分式的概念、分式有意义的条件、分式的基本性质、最简分式判断． 【详解】解：①代数式是整式，是分式，本小题判断正确，分； ②当时，，则分式有意义，本小题判断正确，分； ③若分式的值为，则，故本小题判断错误，不得分； ④式子从左到右变形错误，故本小题判断错误，不得分； ⑤分式是最简分式，本小题判断正确，分； 则他的得分应是分， 故选：B． 【变式2-3-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）小明和小强一起做游戏，他们面前有大小相同的三张写着分式的卡片，要求组成，或的形式，再进行化简，然后两人均取一个相同的，代入计算分式的值． A．    B．    C． (1)小明发现其中有一个分式还可以进行约分，这个分式是______，约分的依据为______． (2)请你帮他们在两个形式中选择一个进行化简求值． 【答案】(1)C，分式的分子和分母同除以同一个非零数时，这个分式的大小不会改变 (2)， 【分析】本题考查了约分以及分式混合运算，注意计算的准确性即可． （1）C可进一步约分； （2）利用分式的混合运算法则即可求解； 【详解】（1）解：∵ 故答案为：C，分式的分子和分母同除以同一个非零数时，这个分式的大小不会改变 （2）解： ►题型04 通分与最简公分母 确定最简公分母的方法： 类型 方法步骤 分母为单项式 1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; 2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 分母为多项式 1）对每个分母因式分解; 2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母; 3) 若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 【典例】（2025·湖南长沙·模拟）下列说法中正确的是（    ） A．8的立方根是 B．的最简公分母为 C．函数的自变量x的取值范围是 D．在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称 【答案】D 【分析】根据求一个数的立方根，最简公分母的定义，求函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，关于轴对称的点的坐标特征，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 8的立方根是，故该选项不正确，不符合题意； B. 的最简公分母为，故该选项不正确，不符合题意； C. 函数的自变量x的取值范围是，故该选项不正确，不符合题意； D. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了求一个数的立方根，最简公分母的定义，求函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，关于轴对称的点的坐标特征，掌握以上知识是解题的关键． 【变式2-4-1】（2024·湖南衡阳·三模）分式 ，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的最简公分母，掌握最简公分母的确定方法是解题的关键． 最简公分母通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，由此即可求解． 【详解】解：， ∴最简公分母为：， 故答案为：． 【变式2-4-2】（2024·湖南怀化·模拟）分式和的最简公分母为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】∵和中，字母a的最高次幂是2，字母b的最高次幂是1， ∴分式与的最简公分母为． 故答案为：． 命题点三 分式的运算 ►题型01 分式的加、减、乘、除法与乘方 1.分式与分式相乘, ①若分子、分母是单项式,则先将分子、分母分别相乘,然后约去公因式,化为最简分式或整式; ②若分子、分母是多项式,则先把分子、分母分解因式,看能否约分,再相乘. 2.当分式与整式相乘时,要把整式与分子相乘作为积的分子,分母不变. 3.异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母． 4.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的代数式． 5.乘方时,一定要把分式加上括号,并且一定要把分子、分母分别乘方. 6.分式乘方时,确定乘方结果的符号与有理数乘方相同,即： ①正分式的任何次幂都为正; ②负分式的偶次幂为正,奇次幂为负. 7.分式乘方时,分式的分子或分母是多项式时,应把分子、分母分别看作一个整体. 如： 【典例】（2025·湖南张家界桑植县·二模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的除法运算，熟知运算法则是正确解决本题的关键． 把除法转化成乘法再约分即可． 【详解】解： 故答案为：B． 【变式3-1-1】（2025·湖南长沙·三模）计算： ． 【答案】2 【分析】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2． 【变式3-1-2】（2025·湖南长沙·模拟）计算 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，解题关键是将异分母化成同分母，先将异分母化成同分母，再计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3-1-3】（2025·湖南永州·一模）已知等式“”被墨迹覆盖了一部分，则被覆盖的部分是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减运算，熟练掌握分式加减运算法则，是解题的关键．根据被减数、减数和差的关系，列出算式，进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 即被覆盖的部分是． 故答案为：． ►题型02 分式的混合运算 分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）化简： 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简运算，解题关键是熟练掌握分式的通分、因式分解以及分式的乘除法法则．先算括号里的加减，再算乘除进行化简即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3-2-1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，平方差公式的运用，先将括号里的式子通分，再将除法变为乘法约分即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3-2-2】（2024·湖南长沙岳麓区·中考模拟）分式化简： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把除法变成乘法然后约分，再计算分式减法即可． 【详解】解： 【变式3-2-3】（2025·湖南娄底冷江·三模）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；根据分式的运算可进行求解． 【详解】解：原式 ． ►题型03 分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 【典例】（2025·湖南湘潭·模拟预测）先化简：，再选取一个你喜欢的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再取一个合适的a的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴且， ∴当时，． 【变式3-3-1】（2025·湖南长沙·一模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，由已知得，再根据分式的性质和运算法则对代数式进行化简，最后把代入化简后的结果中即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式 ． 【变式3-3-2】（2025·湖南长沙·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值等知识， 先计算括号内的加减法，再计算除法即可得到化简结果，再根据特殊角的三角函数值求出，代入化简结果求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式3-3-3】（2025·湖南张家界·模拟预测）某同学在解分式的化简求值题时，发现所得答案与参考答案不同．下面是他所解的题目和解答过程： 先化简（1），再将x＝5代入求值． 解：原式1……第1步 第2步 第3步 第4步 第5步 第6步 当x＝5时，原式第7步 (1)以上步骤中，第 　 　步出现了错误，导致结果与答案不同，错误的原因是 　 　； (2)请你把正确的解答过程写出来； (3)请你提出一条解答这类题目的建议． 【答案】(1)一、没按照正确的运算顺序计算 (2) ，当x＝5时，原式 (3)要正确应用运算律 【分析】（1）根据分式混合运算法则分析解答； （2）根据分式混合运算法则计算即可； （3）根据错误的原因提出建议即可． 【详解】（1）解：第一步出现了错误，没按照正确的运算顺序计算， 故答案为：一、没按照正确的运算顺序计算； （2）原式[1] （） • ， 当x＝5时，原式； （3）解题反思（不唯一）：要正确应用运算律． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，正确掌握分式混合运算法则及运算顺序是解题的关键． ►题型04 零次幂与负整数指数幂 【典例】（2024·湖南娄底·三模）若，下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了零指数与负整数指数幂，同底数幂的除法运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用零指数与负整数指数幂运算法则，同底数幂的除法法则运算以及合并同类项法则分别化简，进而得出答案． 【详解】解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．与无法合并，故此选项不合题意． 故选：A． 【变式3-4-1】（2025·湖南·模拟预测）若（），则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据同底数幂的乘法和负整数指数幂法则得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故选：A． 【变式3-4-2】（2025·湖南长沙·二模）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 【变式3-4-3】（2025·湖南娄底·模拟预测）计算：． 【答案】1 【分析】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果． 【详解】解： ． 突破一 分式求值的几种特殊方法 【典例1】（2025·湖南娄底·模拟预测）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，先计算括号内分式加法运算，然后将除法转换成乘法进行约分化简，然后解方程，再根据分式有意义的条件选取符合题意的代入求值即可，熟练掌握运算顺序，运算法则，解一元二次方程的方法步骤是解题得关键． 【详解】解： ， 由，解得：，， ∵，即 ∴， ∴原式 ． 【变式1】（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，运用整体思想是解题的关键；根据分式的运算法则先化简，由已知求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式 ． 【变式2】知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)已知，求的值； (3)计算：_____________．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算． （1）仿照例1，整体设元，分解因式； （2）仿照例2，整体代入化简求值； （3）仿照例1，令，，分解因式，代入化简结果求值即可． 【详解】（1）解：设， 原式 ， ； （2）解：， ； （3）解：令，， ， 原式 ， 故答案为：． 【典例2】阅读材料，解决问题：在解决某些代数式运算问题，特别是单项式除以多项式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即先求其倒数，再对结果求倒数，进而求得原式，以达到计算目的． 【问题解决】已知，求下列代数式的值． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求值： （1）根据进行求解即可； （2）先利用完全平方公式得到，则，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【变式1】（2025-2026·湖南岳阳·模拟）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想及“倒数法”解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)计算： (3)已知，，，求的值．（可用“倒数法”求解） 【答案】(1) (2)2024 (3) 【分析】（1）令，代入计算即可； （2）令，，代入计算即可； （3）首先求出，然后求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：令， ∴ ； 故答案为：； （2）解：令，， ∴ ； 故答案为：2024； （3）解：∵，，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了因式分解，有理数的混合运算，分式的求值，整体思想的应用，解题的关键是掌握整体思想． 【变式2】阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ∴ ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． （1）仿照例题先求倒数可得：，根据即可解答； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （3）已知三等式变形后相加求出的值，原式变形后代入计算即可得出答案 【详解】（1）解：∵，可知， ∴， ∴， ∴； （2）由， ∴，即， 则 ； （3）解：依题意，∵，，， ∴ ∴，即 ∵ ∴． 【典例3】观察下列各等式，并回答问题：，，，…（n是正整数）． (1)填空： ； (2)计算： ； (3)若与互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的裂项，绝对值的性质及有理数的运算． （1）通过观察已知等式可发现规律：（n为正整数），当时即可得出答案； （2）根据上述观察到的规律，可得（n为正整数）； （3）先根据绝对值的性质求出a，b的值，再将a，b的值代入原式并裂项，最后化简计算原式的值即可． 【详解】（1）解：根据题中所给出的式子表示规律可得，． 故答案为：． （2）解：由（1）及题中式子表示规律可得：． 故答案为： （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，，即，， ∴原式 ． 【变式】（阅读材料） 在进行计算或化简时，可以根据题目特点，将一个分数或分式变成两部分之差，如：；；等． （问题解决） 利用上述材料中的方法，解决下列问题： （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据运算式的特点把原式化为：，再计算即可； （2）根据运算式的特点把原式化为：，再结合（1）问的规律进行计算即可. 【详解】解：（1） ； （2） ； 【点睛】本题考查利用分数或分式的自身特点总结其规律，再利用规律进行分数或分式的简便运算，发现并利用规律是解题的关键. 突破二 与分式有关的规律题 【典例】（2025·湖南永州·一模）已知函数，其中表示当时对应的函数值，如，，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查分式中的规律类题型，解题的关键是发现规律，进行简便求解．根据函数的特点写出所求的式子，根据规律进行化简求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ， 故答案为：． 【变式1】观察下列不等式： ①；②；③；④；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第8个不等式： ； (2)写出你猜想的第n个不等式： （n是正整数）；并说明你猜想的合理性． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查分式找规律，以及分式的减法运算，解题的关键在于读懂题意，找出已知不等式的规律． （1）根据题干所给规律进行求解，即可解题； （2）根据题干所给规律写出第n个不等式，再利用作差法说明该猜想，即可解题． 【详解】（1）解：由题干规律可知，第8个不等式为； 故答案为：． （2）解：由题干规律可知，第n个不等式为， 故答案为：． 理由如下： ， n是正整数， ， ． 【变式2】一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是 ，第n个式子是 (用含的n式子表示，n为正整数)． 【答案】 【分析】分母中a的次数等于分式的序次，分子为序次的平方加1，当分式的序次为奇数时，分式符号为正，当分式的序次为偶数时，分式的符号为负，根据这个规律可得第7个式子是，第n个式子是． 【详解】这列分式中的第7个式子是，第n个式子是． 故答案为；． 【变式3】观察下面的一列数：，，，… (1)尝试：；__________；__________． (2)归纳：__________． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 【答案】(1)； (2) (3)见解析 【分析】此题考查了分式的加减混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据题意代数求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可． （3）首先根据分式的加减运算求出，，然后代入求解即可； 【详解】（1）； ； （2）； （3） ∴． 突破三 与分式运算有关的新定义问题 【典例】（2025·湖南湘潭·模拟预测）设都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个等式： ①；②；③；④；成立的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了分式的化简，各式左右分别利用题中的新定义化简，判断即可． 【详解】解：①根据新定义得，，， ∵， ∴， 即， 故①不成立； ②，， ∵， ∴， 故②不成立； ③，， ∴， 故③成立； ④，， ∵， ∴． 综上，成立的有③． 故选：A． 【变式1】（2024·湖南永州·一模）对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 【答案】1012 【分析】根据定义新运算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答．本题考查了分式的化简求值，理解定义的新运算是解题的关键． 【详解】解：， ，（不为0） ， ∴ 故答案为：1012． 【变式2】对于代数式，，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义，分式的混合运算，由 可得答案，解题的关键是掌握分式的加减混合运算顺序和运算法则. 【详解】解： 根据题意得： ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】阅读材料： 在小学数学中我们知道，假分数可以化成带分数，例如：； 类似的，在分式中也可以将一些分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式，我们称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是和谐分式． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； ①    ②    ③    ④ (2)分别将下列分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式： ①    ②； (3)若为整数，求使分式的值为整数的的值． 【答案】(1)①③④ (2)①② (3)0，2，3 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值，分式化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据“和谐分式”定义，对所给的式子，逐一分析，再作判断； （2）①根据“和谐分式”定义求解； ②根据“和谐分式”定义求解； （3）先根据“和谐分式”定义求解，化为整式与分子为有理数的分式的和的形式，再根据化的结果，分情况讨论，分别求出相应的的值． 【详解】（1）解：∵， ∴属于“和谐分式”， 故①符合； 不属于“和谐分式”， 故②不符合； ∵， ∴属于“和谐分式”， 故③符合； ∵， ∴属于“和谐分式”， 故④符合； 综上所述，①③④属于“和谐分式”， 故答案为：①③④； （2）① ； ② ； （3） ∵， ∴，解得：且， ∵为整数，分式的值为整数， ∴的值为整数， 当时， ， 此时，符合； 当时， ， 此时，符合； 当时， ， 此时，符合； 当时， ，原分式的分母为0，无意义，不符合， 综上所述，使分式的值为整数的的值为0，2，3． 1.（2025·湖南岳阳·模拟预测）要使式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，解题的关键是掌握：分式有意义，则分母不为；二次根式的被开方数是非负数．据此列式解答即可． 【详解】解：要使式子有意义， 则：且， 解得：且． 故选：D． 2.（2024·湖南常德·一模）若分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．扩大4倍 【答案】A 【分析】根据题意及分式的性质可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴分式的值比原分式扩大了2倍； 故选A． 【点睛】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 3.（2024·湖南长沙·模拟预测）下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加法和减法的运算．根据分式的加减法运算法则分别计算，即可求解． 【详解】解：A、，原算式计算错误； B、，原算式计算错误； C、，原算式计算正确； D、，原算式计算错误； 故选：C． 4.（2025·湖南永州·模拟）下列代数式中计算的结果等于a的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化除为乘，按照运算顺序计算解答即可． 本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键． 【详解】解：A. ，符合题意； B. ，不符合题意；     C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：A． 5.（2025·湖南湘西·一模）已知某船从甲港口到乙港口的距离为千米， 船速为千米/时， 返回时的速度是去时的2倍，则船往返的总时间为 小时． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、分式的加减运算等知识点，理解题意正确的列出代数式成为解题的关键． 先根据时间、路程、速度的关系分别求出去时和返回所用的时间，然后把往返的时间分别相加，再化简即可解答． 【详解】解：∵船去时所用时间为：（小时）， ∵船返回时所用时间为：（小时​​​​）， 则船往返的总时间为（小时）． 故答案为：． 6.（2025·湖南常德·二模）若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查分式的求值，完全平方公式的应用，利用完全平方公式可得，即可求解． 【详解】解：， ，即， ． 故答案为：． 7.（2025·湖南岳阳·二模）已知，则代数式的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据得，再化简代数式，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：5． 8.（2025·湖南衡阳·二模）先化简，再从，0，3这三个数中取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，原式． 9.（2025·湖南衡阳·模拟预测）先化简再求值 ，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，分式的加减乘除混合运算，平方差公式，完全平方公式，零指数幂，负整数指数幂，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，继而计算出字母的值，代入求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，原式． 10.先化简，再求值：，其中． 【答案】，原式= 【分析】本题考查分式的化简求值，零指数幂，根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，分式的混合运算法则，进行化简，根据绝对值的意义，零指数幂求出的值，再把的值代入化简后的式子中进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 11.已知，若计算的结果为整式，则“”表示的式子不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘除法和整式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．将分式除法转化为乘法，约分后分析分母是否被完全约去，从而判断结果是否为整式． 【详解】解：原式化简为： 结果为整式时，分母必须能被分子整除， A：，则，为整式，可能； B：，则，为整式，可能； C：，则无法约分，结果非整式，不可能； D：，则，为整式，可能； 综上，“○”表示的式子不可能是C． 故选：C． 12.（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，关键是把a、b看作是方程的解，然后根据根与系数的关系解题．分两种情况：当时，直接计算表达式；当时，将a和b视为方程的两个根，利用根与系数关系求和，再化简表达式即可． 【详解】解：①当时： ∵a和b满足，且（因为代入得）， ∴原式； ②当时： ∵a和b是方程的两个根， ∴，， 原式， ∵， ∴分子，分母， ∴原式， 综上所述，原式的值为2或． 故选：C． 13.（2024·湖南湘潭·模拟预测）先化简，再求值：，其中是一个两边分别为的等腰三角形第三边的长度． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，等腰三角形的定义． 先化简原分式，根据等腰三角形的定义求出第三边长，舍去不合要求的长度，再代入化简结果计算即可． 【详解】 ， ∵是一个两边分别为的等腰三角形第三边的长度， ∴或， ∵当时原分式无意义， ∴， ∴原式． 1.（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 2.（2025·河北·中考真题）若，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式化简后代入求值，即可求解． 【详解】解： 当时，原式 故选：B． 3.（2025·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，同底数幂除法计算，分式的乘除法计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4.（2025·山东潍坊·中考真题）计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加法运算，将分母化为同分母，再根据同分母分式的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 5.（2025·甘肃甘南·中考真题）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件．已知分式的值为零，可得分子为零，分母不为零，即可求解． 【详解】解：分式的值为， ， 解得：， 故答案为：． 6.（2025·湖北·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的加减运算，先通分，再计算即可. 【详解】解：； 故答案为： 7.（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 8.（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到，，进而得到，进而得到关于的一元一次方程，求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 当时，方程无解， 当时，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 9.（2025·四川攀枝花·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 10.（2025·江西·中考真题）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 11.（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则，二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 12.（2025·云南·中考真题）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与的大小． 【答案】(1)的值为； (2)当时，；当时，． 【分析】本题考查了分式求值，等式的性质，函数求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把，代入函数即可求解； （）将，代入函数整理得，然后分当时，即和当时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把，代入函数得， ， ∴的值为； （2）解：将，代入函数得， ， 整理得：， 当时，即， ∴， 当时，， 则有，， ， ∴ ， 综上可知：当时，；当时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第03讲 分式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 7 命题点一 分式的有关概念 题型01 分式的辨别 题型02 分式有无意义的条件 题型03 分式值为正、负数或0的条件 命题点二 分式的基本性质 题型01 利用分式的基本性质进行变形 题型02 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型03 约分与最简公式 题型04 通分与最简公分母 命题点三 分式的运算 题型01 分式的加、减、乘、除法与分式的乘方 题型02 分式的混合运算 题型03 分式的化简求值 题型04 零指数幂与负整数指数幂 05·重难突破·思维进阶难 15 突破一 分式求值的几种特殊方法 突破二 与分式有关的规律题 突破三 与分式运算有关的新定义问题 06·优题精选·练能提分 19 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 分式的有关概念 / 长沙卷T13 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件；理解分式值为零的条件。 分式的基本性质 湖南卷T14 / 掌握分式的基本性质，并能运用其进行分式的约分与通分。 分式的运算 / 湖南卷T20 能进行简单的分式加、减、乘、除运算。 分式的化简求值 / 湖南卷T20 能对分式进行化简，并能代入适当的数值进行求值；在化简过程中，体会数与式、运算与推理的逻辑关系。 命题预测 结合分式的基本概念、性质、运算及化简求值等核心知识进行考查，题型覆盖选择题、填空题和解答题。分式的基本概念考点中，主要考查分式有意义的条件（分母不为零）和值为零的条件；分式的基本性质考点中，常以约分形式出现；分式的运算考点中，重点是分式的加减乘除混合运算；分式的化简求值考点中，常作为解答题出现，综合性强，常与整式运算、因式分解等结合，考查学生对运算律的掌握和逻辑推理能力。预计2026年将继续重视分式运算的规范性和化简求值的综合性，紧密联系实际情境，考查学生的数学运算和逻辑推理核心素养。 考点一 分式的有关概念 分式的有关概念 分式 一般地，如果 f,g表示两个整式，并且g中含有字母，那么式子 叫做分式 分式 有无意义的条件 (1) 分式 有意义的条件为 g≠0； (2) 分式 无意义的条件为 g=0； 分式 的值为0的条件 (1)g≠0 ；(2)f=0 ​ 分式 的值为正数或分数的条件 若>0，则f、g同号; 若<0，则f、g异号. 1.(2024·湖南长沙·中考真题)要使分式有意义，则x需满足的条件是 ． 2.（2025·湖南怀化·一模）代数式的值为0，则的值是 ． 3.（2025·湖南衡阳·模拟预测）代数式有意义，则x的取值范围是 ． 考点二 分式的基本性质 1.分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中f，g，b是整式且g•h≠0. 2.分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 3.分式的约分 (1)分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.【分式乘除运算的关键是约分，约分的关键是确定公因式，约分时分子、分母出现多项式，应先将多项式分解因式再约分】 (2)确定公因式的方法： ①取分子、分母系数的最大公因数作为公因式的系数；②取相同因式的最低次幂作为公因式的因式. (3)最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 4.分式的通分 (1)分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 【分式加减运算的关键是通分，通分的关键是寻找最简公分母】 (2)确定最简公分母的方法：【通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母】 类型 方法步骤 分母为单项式 1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; 2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 分母为多项式 1）对每个分母因式分解; 2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母; 3) 若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 5.约分与通分的联系与区别： 联系 都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值. 区别 1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单. 2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式. 1.(2025·湖南省卷·中考真题)约分： ； 2.（2025·湖南长沙·模拟预测）化简 ． 考点三 分式的运算 1.分式的加减法 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 2.分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 3.分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 1.(2024·湖南省卷·中考真题)先化简，再求值：，其中． 2.（2025·湖南长沙·模拟预测）化简： 3.（2025·湖南长沙·模拟预测）计算：下面是甲同学的部分计算过程： 解：原式 (1)甲同学解法的依据是 ；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请写出完整的解答过程，并选择一个合适的数作为的值代入求值． 命题点一 分式的有关概念 ►题型01 分式的辨别 判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件（分子、分母都是整式，分母中含有字母，且分母≠0。），若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：就是分式. 【典例】（2025·湖南衡阳衡南·模拟）下列各式中，分式的个数为（    ） ，，，，，，， A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1-1】（2025·湖南永州·中考模拟）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1-2】（2024 ·湖南邵阳·一模）下列各式中，是分式的是（ ） A． B． C． D． ►题型02 分式有无意义的条件 1.分式有意义的条件：分式的分母不等于0. 2.分式无意义的条件：分式的分母等于0. 【典例】（2025·湖南长沙长郡·二模）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2-1】（2025·湖南长沙·模拟）当x 时，分式无意义. 【变式1-2-2】（2025·湖南长沙·中考模拟密卷）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【变式1-2-3】（2024·湖南·模拟预测）已知分式（a，b，c，d为常数）满足下面表格中的信息： x值 0 1 分式值 c 无意义 d 0 下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． ►题型03 分式的值为正、负数或0的条件 分式值为0的条件：分式的分子等于0且分母不等于0，这两个条件必须同时考虑，进而求解问题. 分式的值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义. 【典例】（2024·湖南·模拟预测）当时，分式的值为0，则的值为 ． 【变式1-3-1】（2025·湖南武冈·模拟）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ． 【变式1-3-2】（2024·湖南常德·三模）若分式的值为0，则 ． 【变式1-3-3】（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知分式的值为整数，则满足条件的整数值有 个． 命题点二 分式的基本性质 ►题型01 利用分式的基本性质进行变形 分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键，利用分式的基本性质可将分式恒等变形，从而达到化简的分式，简化计算的目的. 运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 【典例】（2025·湖南长沙·二模）下列分式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1-1】（2025·湖南郴州·一模）下列等式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1-2】（2024·湖南湘潭·模拟预测）下列各式从左到右的变形，是分式化简的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 利用分式的基本性质判断分式值的变化 分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键，利用分式的基本性质可将分式恒等变形，从而达到化简的分式，简化计算的目的. 【典例】（2025·湖南益阳沅江·二模）若把分式中的x与y都扩大2倍，则所得分式的值（ ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 【变式2-2-1】（2025·湖南岳阳·一模）若将分式中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值（    ）． A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．变为原来的 D．不变 【变式2-2-2】（2024·湖南株洲·预测模拟）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． ►题型03 约分与最简公式 分式的约分子和分母必须都是乘积的形式才能进行约分，约分要彻底，使分子、分母没有公因式.确定分子、分母的公因式的方法: 分子、分母类型 具体方法 单项式 1）系数取各系数的最大公约数;2）相同字母取字母的最低次幂. 多项式 先把分子、分母进行因式分解,再确定公因式 【典例】（2025·湖南益阳·二模）下列各式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3-1】（2025·湖南郴州·模拟预测）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3-2】（2025·湖南永州·模拟）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（   ） 姓名：李明班级：八班得分： 判断题（每小题分．共分），对的打“√”，错的打“×”． ①代数式，是分式 ②当时，分式有意义 ③若分式的值为，则 ④式子从左到右变形正确 ⑤分式是最简分式 A． B． C． D． 【变式2-3-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）小明和小强一起做游戏，他们面前有大小相同的三张写着分式的卡片，要求组成，或的形式，再进行化简，然后两人均取一个相同的，代入计算分式的值． A．    B．    C． (1)小明发现其中有一个分式还可以进行约分，这个分式是______，约分的依据为______． (2)请你帮他们在两个形式中选择一个进行化简求值． ►题型04 通分与最简公分母 确定最简公分母的方法： 类型 方法步骤 分母为单项式 1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; 2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 分母为多项式 1）对每个分母因式分解; 2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母; 3) 若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 【典例】（2025·湖南长沙·模拟）下列说法中正确的是（    ） A．8的立方根是 B．的最简公分母为 C．函数的自变量x的取值范围是 D．在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称 【变式2-4-1】（2024·湖南衡阳·三模）分式 ，的最简公分母是 ． 【变式2-4-2】（2024·湖南怀化·模拟）分式和的最简公分母为 ． 命题点三 分式的运算 ►题型01 分式的加、减、乘、除法与乘方 1.分式与分式相乘, ①若分子、分母是单项式,则先将分子、分母分别相乘,然后约去公因式,化为最简分式或整式; ②若分子、分母是多项式,则先把分子、分母分解因式,看能否约分,再相乘. 2.当分式与整式相乘时,要把整式与分子相乘作为积的分子,分母不变. 3.异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母． 4.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的代数式． 5.乘方时,一定要把分式加上括号,并且一定要把分子、分母分别乘方. 6.分式乘方时,确定乘方结果的符号与有理数乘方相同,即： ①正分式的任何次幂都为正; ②负分式的偶次幂为正,奇次幂为负. 7.分式乘方时,分式的分子或分母是多项式时,应把分子、分母分别看作一个整体. 如： 【典例】（2025·湖南张家界桑植县·二模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1-1】（2025·湖南长沙·三模）计算： ． 【变式3-1-2】（2025·湖南长沙·模拟）计算 的值为 ． 【变式3-1-3】（2025·湖南永州·一模）已知等式“”被墨迹覆盖了一部分，则被覆盖的部分是 ． ►题型02 分式的混合运算 分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）化简： 【变式3-2-1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）化简的结果为 ． 【变式3-2-2】（2024·湖南长沙岳麓区·中考模拟）分式化简： 【变式3-2-3】（2025·湖南娄底冷江·三模）计算： ►题型03 分式的化简求值 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 【典例】（2025·湖南湘潭·模拟预测）先化简：，再选取一个你喜欢的值代入求值． 【变式3-3-1】（2025·湖南长沙·一模）已知，求代数式的值． 【变式3-3-2】（2025·湖南长沙·三模）先化简，再求值：，其中． 【变式3-3-3】（2025·湖南张家界·模拟预测）某同学在解分式的化简求值题时，发现所得答案与参考答案不同．下面是他所解的题目和解答过程： 先化简（1），再将x＝5代入求值． 解：原式1……第1步 第2步 第3步 第4步 第5步 第6步 当x＝5时，原式第7步 (1)以上步骤中，第 　 　步出现了错误，导致结果与答案不同，错误的原因是 　 　； (2)请你把正确的解答过程写出来； (3)请你提出一条解答这类题目的建议． ►题型04 零次幂与负整数指数幂 【典例】（2024·湖南娄底·三模）若，下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式3-4-1】（2025·湖南·模拟预测）若（），则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-4-2】（2025·湖南长沙·二模）计算：． 【变式3-4-3】（2025·湖南娄底·模拟预测）计算：． 突破一 分式求值的几种特殊方法 【典例1】（2025·湖南娄底·模拟预测）先化简，再求值：，其中满足． 【变式1】（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 【变式2】知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)已知，求的值； (3)计算：_____________．（直接写出结果） 【典例2】阅读材料，解决问题：在解决某些代数式运算问题，特别是单项式除以多项式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即先求其倒数，再对结果求倒数，进而求得原式，以达到计算目的． 【问题解决】已知，求下列代数式的值． (1)求的值． (2)求的值． 【变式1】（2025-2026·湖南岳阳·模拟）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想及“倒数法”解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)计算： (3)已知，，，求的值．（可用“倒数法”求解） 【变式2】阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ∴ ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． (3)已知，，，求的值． 【典例3】观察下列各等式，并回答问题：，，，…（n是正整数）． (1)填空： ； (2)计算： ； (3)若与互为相反数，求的值． 【变式】（阅读材料） 在进行计算或化简时，可以根据题目特点，将一个分数或分式变成两部分之差，如：；；等． （问题解决） 利用上述材料中的方法，解决下列问题： （1）求的值； （2）求的值． 突破二 与分式有关的规律题 【典例】（2025·湖南永州·一模）已知函数，其中表示当时对应的函数值，如，，，则 ． 【变式1】观察下列不等式： ①；②；③；④；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第8个不等式： ； (2)写出你猜想的第n个不等式： （n是正整数）；并说明你猜想的合理性． 【变式2】一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是 ，第n个式子是 (用含的n式子表示，n为正整数)． 【变式3】观察下面的一列数：，，，… (1)尝试：；__________；__________． (2)归纳：__________． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 突破三 与分式运算有关的新定义问题 【典例】（2025·湖南湘潭·模拟预测）设都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个等式： ①；②；③；④；成立的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（2024·湖南永州·一模）对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 【变式2】对于代数式，，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【变式3】阅读材料： 在小学数学中我们知道，假分数可以化成带分数，例如：； 类似的，在分式中也可以将一些分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式，我们称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是和谐分式． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； ①    ②    ③    ④ (2)分别将下列分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式： ①    ②； (3)若为整数，求使分式的值为整数的的值． 1.（2025·湖南岳阳·模拟预测）要使式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 2.（2024·湖南常德·一模）若分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．扩大4倍 3.（2024·湖南长沙·模拟预测）下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 4.（2025·湖南永州·模拟）下列代数式中计算的结果等于a的是（   ） A． B． C． D． 5.（2025·湖南湘西·一模）已知某船从甲港口到乙港口的距离为千米， 船速为千米/时， 返回时的速度是去时的2倍，则船往返的总时间为 小时． 6.（2025·湖南常德·二模）若，则 ． 7.（2025·湖南岳阳·二模）已知，则代数式的值是 ． 8.（2025·湖南衡阳·二模）先化简，再从，0，3这三个数中取一个合适的数作为的值代入求值． 9.（2025·湖南衡阳·模拟预测）先化简再求值 ，其中 10.先化简，再求值：，其中． 11.已知，若计算的结果为整式，则“”表示的式子不可能是（    ） A． B． C． D． 12.（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 13.（2024·湖南湘潭·模拟预测）先化简，再求值：，其中是一个两边分别为的等腰三角形第三边的长度． 1.（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 2.（2025·河北·中考真题）若，则（    ） A． B． C．3 D．6 3.（2025·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4.（2025·山东潍坊·中考真题）计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 5.（2025·甘肃甘南·中考真题）若分式的值为0，则x的值为 ． 6.（2025·湖北·中考真题）计算的结果是 ． 7.（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 8.（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 9.（2025·四川攀枝花·中考真题）计算：． 10.（2025·江西·中考真题）化简： 11.（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 12.（2025·云南·中考真题）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与的大小． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $