精品解析：浙江省金华市曙光学校2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

金华市曙光学校2025-2026学年第一学期期中考试 高二年级数学试题卷 （本试卷满分共150分，考试时间：120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知空间向量与共线，则（ ） A. -1 B. C. D. 1 2. 已知分别是椭圆的左、右焦点，点Р在椭圆上，若，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 2 3. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 内切 D. 内含 4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 若方程表示的曲线是一个圆，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，为上的一动点，则点到直线距离的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、多选题（本题有3小题，每题6分，共18分.每小题中有多个符合题意的正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、有选错的得0分） 9. 已知两直线与，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线在轴上截距为1 C. 当时， D. 当时，与之间的距离为 10. 已知椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴长为10 B. 椭圆的一个顶点为 C. 椭圆的焦距为8 D. 椭圆的离心率为 11. 已知圆：，则下列说法正确是（ ） A. 点在圆内 B. 圆的圆心坐标为，半径为 C. 圆与轴交于点，则 D. 直线：与圆相切，则 三、填空题（本大题共3小题，每空5分，共15分） 12. 已知直线方程为，则直线的倾斜角为_____. 13. 为使椭圆的离心率为，正数m的值为________． 14. 已知圆：与圆关于直线：对称，且圆上任一点与圆上任一点之间距离最小值为，则实数的值为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知直线经过点. （1）若与直线平行，求的方程； （2）若与直线垂直，求的方程. 16. 如图，在正方体中，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求锐二面角的余弦值. 17. 已知圆经过点和，其圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点且与圆相切，求的方程. 18. 如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. （1）求椭圆的焦距、短轴长和离心率； （2）若直线的倾斜角为，求的面积. 19. 已知椭圆过，直线交椭圆于，两点，且为线段中点，设直线和直线（为坐标原点）的斜率分别为和． （1）求椭圆的标准方程； （2）当直线和直线斜率分别为和都存在时，证明：为定值； （3）若关于的对称点在椭圆上，证明：的面积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金华市曙光学校2025-2026学年第一学期期中考试 高二年级数学试题卷 （本试卷满分共150分，考试时间：120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知空间向量与共线，则（ ） A. -1 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共线的条件即可得出答案. 【详解】因为空间向量与共线， 所以，解得，所以. 故选：C 2. 已知分别是椭圆的左、右焦点，点Р在椭圆上，若，则（ ） A. 6 B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆定义列式即可求解 【详解】依题意，，则. 故选：B. 3. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 内切 D. 内含 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，由圆心距与半径和差关系判断位置关系. 【详解】由的圆心为，半径为， 由的圆心为，半径为3， 所以圆心距为，即两圆外切. 故选：B 4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】A. 若，，，则与相交，平行，故A错误； B. 若，，则或，故B错误； C. 若，，则，且，则，故C正确； D. 若，，，但没注明，所以与不一定垂直，故D错误. 故选：C 5. 若方程表示的曲线是一个圆，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的曲线表示圆的充要条件列式求解. 【详解】由方程表示的曲线是一个圆，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 6. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 7. 已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，易知当直线过点且与垂直时，弦长最小，结合两点间距离及弦长公式可得解. 【详解】圆化为， 所以圆心坐标为，半径为， 设，当过点的直线和直线垂直时， 圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短， 此时圆心到直线的距离， 此时弦长为， 故选：B． 8. 已知椭圆，为上的一动点，则点到直线距离的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意设，利用点到直线的距离、辅助角公式及余弦函数的性质求出最大值. 【详解】椭圆，即，又为上的一动点， 设， 则点到直线距离， 又， 所以当时有最大值， 即点到直线距离的最大值为． 故选： D． 二、多选题（本题有3小题，每题6分，共18分.每小题中有多个符合题意的正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选、有选错的得0分） 9. 已知两直线与，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线在轴上的截距为1 C. 当时， D. 当时，与之间的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，运用消去参数，对于B，运用截距概念；对于C，运用两直线垂直时，斜率之积为；对于D，两直线平行时，斜率相等，结合平行线距离公式计算.我们将根据这些性质来逐一分析每个选项. 【详解】对于选项A，对于直线，当时，，解得. 所以直线过定点，选项A正确. 对于选项B，对于直线，令，则，解得. 所以直线在轴上的截距为，选项B错误. 对于选项C，直线，其斜率；直线，其斜率.当时，，即， ，解得，选项C正确. 对于选项D，当时，，解得. 此时，即. 两平行直线与之间的距离公式为. 对于与，距离，选项D错误 故选；AC. 10. 已知椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴长为10 B. 椭圆的一个顶点为 C. 椭圆焦距为8 D. 椭圆的离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆的长轴长、顶点、焦距、离心率的定义逐一判断即可. 【详解】由题意可得， 对于A，椭圆的长轴长为10，故A正确； 对于B，椭圆的顶点为或，故B错误； 对于C，椭圆的焦距为8，故C正确； 对于D，椭圆的离心率为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆内 B. 圆的圆心坐标为，半径为 C. 圆与轴交于点，则 D. 直线：与圆相切，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，直接利用点与圆的位置关系判断即可；对于B，将圆的一般式方程化为标准式方程即可；对于C，将点表示出来，利用三角形面积公式求解即可；对于D，根据直线与圆相切表示出圆心到直线的距离，利用直线与圆的位置关系判断即可. 【详解】对于A，根据点与圆的位置关系， 将点代入圆方程，得， 所以点在圆内，选项A正确； 对于B，因为圆：， 所以圆的标准式为，圆心为，半径为2，选项B正确； 对于C，令，则，得， 所以， 因为圆心到轴的距离为1，所以，选项C正确； 对于D，因为直线：与圆相切， 所以，解得，所以D错误. 故选：ABC 三、填空题（本大题共3小题，每空5分，共15分） 12. 已知直线方程为，则直线的倾斜角为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方程求出斜率，由求出倾斜角. 【详解】，，设直线的倾斜角为， ，，，. 故答案：. 13. 为使椭圆离心率为，正数m的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据椭圆的性质，结合离心率，分焦点在轴和焦点在轴两种情况讨论求出相应的正数m的值． 【详解】椭圆方程为，，， 当焦点位于轴时，，则，解得； 当焦点位于轴时，，则，解得， 正数m的值为或． 故答案为：或． 14. 已知圆：与圆关于直线：对称，且圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为，则实数的值为__________． 【答案】2或6. 【解析】 【详解】分析：由两圆对称可得到圆的圆心坐标，然后根据圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为两圆的圆心距减去两半径可得实数的值． 详解：设圆的圆心为， ∵圆和圆关于直线对称， ∴，解得， ∴圆的圆心为． ∴． ∵圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为为， ∴， 解得或． 点睛：解答本题的关键是得到圆N的圆心坐标，然后根据几何图形间的关系求解．解答直线和圆、圆和圆的位置关系问题时，可充分考虑几何图形的性质，将问题转化为两点间的距离或点到直线的距离求解． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知直线经过点. （1）若与直线平行，求的方程； （2）若与直线垂直，求的方程. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据直线平行的斜率关系，再由直线的点斜式方程直接求解即可； （2）由两直线垂直求得的斜率，再由点斜式方程求解即可； 【小问1详解】 由题意知斜率为1， 又由，则直线的斜率为1， 又由过，故直线的方程为，即 【小问2详解】 由（1）及，则直线的斜率为， 又由过，故直线的方程为，即. 16. 如图，在正方体中，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）可借助线面垂直的判定定理与性质定理得到、，再利用线面垂直的判定定理即可得证；也可建立适当空间直角坐标系，求出平面法向量后利用空间向量计算； （2）可借助二面角定义找到其平面角，再借助三角函数求解；也可求出平面与平面法向量后借助空间向量夹角公式求解. 【小问1详解】 方法一（几何法） 连接， 因为四边形为正方形，为的中点，所以为的中点， ，分别是，中点，， ，，，、平面， 平面，平面，， 连接，则，由正方体性质可得平面， 又平面，， 又，、平面， 平面，平面，， 又，、平面， 平面，，平面； 方法二（向量法） 如图，以为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则可得，，，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则有，令，则，，则， 由，则，则，则平面； 【小问2详解】 方法一（几何法） 连接交于，连接，则，为的中点， 又，则， 即二面角的补角， 由， 故锐二面角的余弦值为； 方法二（向量法） 由轴垂直平面，故平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 故锐二面角的余弦值为. 17. 已知圆经过点和，其圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点且与圆相切，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，代入点的坐标，解方程即可求得圆的标准方程. （2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 所以， 解得， 故圆的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）可知圆心为． ①当直线的斜率不存在时，易得直线的方程为，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 由题意，圆心到直线的距离等于半径2，即，解得， 此时直线的方程为． 综上，所求直线的方程为或． 18. 如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. （1）求椭圆的焦距、短轴长和离心率； （2）若直线的倾斜角为，求的面积. 【答案】（1）焦距为，短轴长为6，离心率为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，，根据焦距，短轴长和离心率的定义求出答案； （2）求出直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由求出面积. 【小问1详解】 由已知方程得到，所以，， 由得， 故焦距为，短轴长为，离心率. 【小问2详解】 由（1）知焦点坐标为，设， 由已知得直线的方程为，即， 与联立消去得， 则， 故， 所以的面积为. 19. 已知椭圆过，直线交椭圆于，两点，且为线段中点，设直线和直线（为坐标原点）的斜率分别为和． （1）求椭圆的标准方程； （2）当直线和直线的斜率分别为和都存在时，证明：为定值； （3）若关于的对称点在椭圆上，证明：的面积为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，列方程组求解即可； （2）设，，利用点差法可证得为定值； （3）当斜率不存在时，，当斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合根与系数的关系、三角形面积公式证明. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为：过 ； 【小问2详解】 设，则，， 则， 两式作差可得， 所以； 【小问3详解】 ①当直线斜率不存在时，则直线的方程为， 根据对称性，取直线的方程为， 则，解得，即， 此时； ②当直线斜率不存在时，直线的方程为， 同理可得； ③当直线斜率存在时，设直线的方程为， ， 因为 所以， 在椭圆上， 所以，即， 设到直线的距离为，则， ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $