第06讲 三角形的内切圆（知识详解+2典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年浙教版数学九年级下册重难点讲义与测试

第06讲 三角形的内切圆（知识详解+2典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：三角形的内切圆 典例分析 （举三反三） 考点1：三角形内切圆的有关计算与证明 考点2：三角的外接圆与内切圆 习题巩固 一、单选题（8） 二、填空题（8） 三、解答题（6） 【知识点01】三角形的内切圆 1.定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形. 注意 一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆. 2.三角形内心的性质 三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点. 三角形的内心到三角形三边的距离相等. 三角形外心、内心的区别 名称 三角形的外心 三角形的内心 形成 三角形的外接圆圆心，即三角形 三边垂直平分线的交点. 三角形的内切圆圆心，即三角形三 条角平分线的交点. 图形 性质 外心到三角形三个顶点的距离相 等，即 𝑶𝑨=𝑶𝑩=𝑶𝑪 . 内心到三角形三条边的距离相等，即 .内心与顶点连线平分三角形的内角 位置 外心不一定在三角形的内部. 内心一定在三角形的内部. 角度关系 ∠𝑩𝑶𝑪=𝟐∠𝑩𝑨𝑪 . ∠𝑩𝑰𝑪= 拓展 三角形的四心：外心、内心、重心（三角形三边中线的交点）、垂心（三角形三条高的交点）.当三角形是等边三角形时，这四心合一，称为等边三角形的中心 3.三角形内切圆的作法 作三角形内切圆的步骤 图示 ①作三角形任意两个内角的平分线: 如右图，作 ， 的平分线 ， . ②定圆心：以 ， 的交点 为圆心. ③定半径：以点 到 （或 或 ）的距离为半径 . ④作圆：以定点 为圆心，定长 为半径， 旋转一周作圆. 即为 的内切圆. 【题型一】三角形内切圆的有关计算与证明 【典例1-1】（2025九年级下·浙江·专题练习）等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（　　） A． B． C． D． 【典例1-2】（22-23九年级上·浙江台州·阶段练习）的三边分别为6，8，10，则内切圆的半径为 ． 【典例1-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）若三角形的三边长分别为，求三角形内切圆的半径． 【变式1-1】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 【变式1-2】（22-23九年级下·浙江杭州·阶段练习）随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其半径为的内切圆（阴影）区域的概率为 ． 【变式1-3】（2022九年级·浙江·专题练习）如图，在中，是斜边上的高，，分别是的内心，直线，分别交于点E、F． (1)求； (2)求的面积． 【题型二】三角形的外接圆与内切圆 【典例2-1】（22-23九年级上·浙江宁波·期末）正三角形的内切圆半径为1，则该正三角形的外接圆半径是（    ） A． B． C．2 D．2.5 【典例2-2】（2025九年级下·浙江·专题练习）已知两直角边的长分别为和，则其内心与外心的距离为 ． 【典例2-3】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，内接于，是的直径，点D是的中点，连接交于点E． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【变式2-1】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 【变式2-2】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形和等边都内接于圆O，与分别相交于点G，H．若，则的长为 ． 【变式2-3】（23-24九年级下·浙江·自主招生）直角的两直角边． (1)分别求的外接圆半径R与内切圆半径r； (2)斜边上的动点M作，垂足为H，求的最小值． 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）下列关于“三角形内心”的说法错误的是（   ） A．三角形的内心是三角形两内角平分线的交点 B．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 C．三角形的内心到三角形的三边距离相等 D．三角形的内心是三角形内切圆的圆心 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，等边的内切圆的半径长为，则它的边长为（    ）    A．12 B．24 C． D． 3．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图所示，已知是的内切圆，、、是切点，，，则为（　　） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，点为的内心，连接并延长交的外接圆于点，交于点，若，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 5．（2025九年级下·浙江·专题练习）等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于 ． 6．（22-23九年级上·浙江台州·期中）边长为的等边的内切圆的半径为 ． 7．（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，，，，直线l经过的内心O，过点C作，垂足为D，连接，则的最小值是 ． 8．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，截三条边所得的弦长相等，连结，，则 ． 9．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，内接于，，，D是的中点，则的半径为 ，的长度的最小值是 ． 三、解答题 10．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）用直尺和圆规作出的内切圆．（不写作法，保留作图㢃迹） 11．（24-25九年级上·浙江·期中）已知：在中，， (1)利用直尺和圆规作的外接圆； (2)若，求的半径． 12．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在中， ，以为直径的与交于点D，与边交于点E，过点D作的垂线，垂足为F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 三角形的内切圆（知识详解+2典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：三角形的内切圆 典例分析 （举三反三） 考点1：三角形内切圆的有关计算与证明 考点2：三角的外接圆与内切圆 习题巩固 一、单选题（8） 二、填空题（8） 三、解答题（6） 【知识点01】三角形的内切圆 1.定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形. 注意 一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆. 2.三角形内心的性质 三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点. 三角形的内心到三角形三边的距离相等. 三角形外心、内心的区别 名称 三角形的外心 三角形的内心 形成 三角形的外接圆圆心，即三角形 三边垂直平分线的交点. 三角形的内切圆圆心，即三角形三 条角平分线的交点. 图形 性质 外心到三角形三个顶点的距离相 等，即 𝑶𝑨=𝑶𝑩=𝑶𝑪 . 内心到三角形三条边的距离相等，即 .内心与顶点连线平分三角形的内角 位置 外心不一定在三角形的内部. 内心一定在三角形的内部. 角度关系 ∠𝑩𝑶𝑪=𝟐∠𝑩𝑨𝑪 . ∠𝑩𝑰𝑪= 拓展 三角形的四心：外心、内心、重心（三角形三边中线的交点）、垂心（三角形三条高的交点）.当三角形是等边三角形时，这四心合一，称为等边三角形的中心 3.三角形内切圆的作法 作三角形内切圆的步骤 图示 ①作三角形任意两个内角的平分线: 如右图，作 ， 的平分线 ， . ②定圆心：以 ， 的交点 为圆心. ③定半径：以点 到 （或 或 ）的距离为半径 . ④作圆：以定点 为圆心，定长 为半径， 旋转一周作圆. 即为 的内切圆. 【题型一】三角形内切圆的有关计算与证明 【典例1-1】（2025九年级下·浙江·专题练习）等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出等边与内切圆，首先根据三角形面积计算公式求出，再观察发现的内切圆半径，恰好是内三个三角形的高，因而可以通过面积来计算半径，根据面积公式计算即可． 本题考查了三角形的内切圆和内心，等边三角形的性质，三角形的面积，正确的画出图形是解题的关键． 【详解】解：设与相切于D，E，F，连接， ∵是等边三角形， ∴过点O，， ∴， ∴， 设内切圆半径为r， ∴， ∴， ∴内切圆面积． 故选：B． 【典例1-2】（22-23九年级上·浙江台州·阶段练习）的三边分别为6，8，10，则内切圆的半径为 ． 【答案】2 【分析】找到内切圆与的切点，连接，得到正方形，求出的长即为圆的半径． 【详解】解：如图， 圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F，连接， 则，，． 由切线长定理，可知， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、勾股定理的逆定理，构造正方形是解题的关键． 【典例1-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）若三角形的三边长分别为，求三角形内切圆的半径． 【答案】三角形内切圆的半径为． 【分析】本题考查了三角形的内切圆与圆心，勾股定理，三角形面积等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 先画出图形，过点作交于点，作交于点，连接，由等腰三角形的性质得出，，故点为三角形内切圆的圆心，设内切圆的半径为，由勾股定理求出，再由得出，从而求解． 【详解】解：如图，设，， 过点作交于点，作交于点，交于点，连接， ∵，， ∴，， ∴点为三角形内切圆的圆心，设内切圆的半径为， 根据题意可知：周长为， 在中，， ∴， 由， ， ∴， ∴三角形内切圆的半径为． 【变式1-1】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；根据三角形面积三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半．进行列式计算即可． 【详解】解：∵ 是的内切圆且半径为2，，， ， ， 则的面积为26， 故选：C 【变式1-2】（22-23九年级下·浙江杭州·阶段练习）随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其半径为的内切圆（阴影）区域的概率为 ． 【答案】 【分析】针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与正三角形面积的比． 【详解】解：如图，是等边三角形，是的内切圆，且半径为， ，，，，， ， ，， ， 则所求的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何概率、正三角形的内切圆，熟练掌握几何概率的求解方法是解题关键． 【变式1-3】（2022九年级·浙江·专题练习）如图，在中，是斜边上的高，，分别是的内心，直线，分别交于点E、F． (1)求； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意易得：，过点作点G，所以是直角三角形内切圆半径，，再利用三角函数分别计算出，即可解答； （2）利用三角形面积计算的面积，再利用即可解答． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵三角形内心是三条角平分线的交点，且分别是的内心，是斜边上的高， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 过点作于点G， 则是内切圆半径， ∴， 则， 同理：，     则； （2）解：∵， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， 过点作于K，则， 又∵ ∴， ∴， 同理可得， 故 =． 故面积为． 【点睛】本题考查三角形内切圆的性质、三角形的面积计算、三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题关键是熟练掌握以上性质． 【题型二】三角形的外接圆与内切圆 【典例2-1】（22-23九年级上·浙江宁波·期末）正三角形的内切圆半径为1，则该正三角形的外接圆半径是（    ） A． B． C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】由正三角形外接圆的半径和它的内切圆的数量关系直接得到． 【详解】解：∵正三角形的内切圆与外接圆的圆心重合， 由三角形的重心可知：等边三角形的外接圆半径是它的内切圆半径的2倍， 所以当正三角形内切圆的半径为1时，它的外接圆的半径为2． 故选：C． 【点睛】熟练掌握等边三角形的有关性质．特别记住等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和它的高的比（）． 【典例2-2】（2025九年级下·浙江·专题练习）已知两直角边的长分别为和，则其内心与外心的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内心与外心，勾股定理，得出三角形的内心与外心的位置是解题的关键．先根据题意画出图形，的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点，求出，根据面积法求出，进而得出，在求出，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：如图所示：的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点， 设，， ， ∵的内心是三角形角平分线的交点，外心是斜边的中点， ， 根据三角形的面积可得：， ，即， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ， ， ， ， 内心与外心的距离为， 故答案为：． 【典例2-3】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，内接于，是的直径，点D是的中点，连接交于点E． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）证出，则可得出结论； （2）设，则，由可得出答案． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，点D是的中点， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的半径为5． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【变式2-1】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题． 【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，， 在中，，，内心为I， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∵I是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得是等边三角形是解题的关键． 【变式2-2】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形和等边都内接于圆O，与分别相交于点G，H．若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】连接与交于P点，则它们的交点为O点，如图，利用正方形和等边三角形的性质得到，，，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，从而得到，然后利用为等腰直角三角形得到，，从而得到． 【详解】解：连接与交于P点，则它们的交点为O点， 如图， ∵正方形和等边都内接于圆O， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外心与外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形和正方形的性质． 【变式2-3】（23-24九年级下·浙江·自主招生）直角的两直角边． (1)分别求的外接圆半径R与内切圆半径r； (2)斜边上的动点M作，垂足为H，求的最小值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据勾股定理求出，可求出R，设的内切圆圆心为O，过点O作，垂足分别为E，F，则，，根据三角形内切圆的性质可得四边形是正方形，从而得到，可求出r，即可； （2）作点H关于的对称点，连接，过点D作于点E，交于点F，过点E作于点G，则，，可得的最小值为的长，当时，最小，此时当点M与点E重合，即的最小值为的长，再根据直角三角形的性质可得，设，则，可得，在中，，可求出x的值，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴的外接圆半径； 如图，设的内切圆圆心为O，过点O作，垂足分别为E，F，则，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：如图，作点H关于的对称点，连接，过点D作于点E，交于点F，过点E作于点G，则，， ∴， ∴的最小值为的长， 当时，最小，此时当点M与点E重合，即的最小值为的长， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 即的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆与内切圆的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握三角形外接圆与内切圆的性质，解直角三角形等知识是解题的关键． 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）下列关于“三角形内心”的说法错误的是（   ） A．三角形的内心是三角形两内角平分线的交点 B．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 C．三角形的内心到三角形的三边距离相等 D．三角形的内心是三角形内切圆的圆心 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内心的定义及其性质，根据三角形内心的定义及其性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、三角形的内心是三角形两内角平分线的交点，故原说法正确，不符合题意； B、三角形的内心到三角形三个顶点的距离不一定相等，故原说法错误，符合题意； C、三角形的内心到三角形的三边距离相等，故原说法正确，不符合题意； D、三角形的内心是三角形内切圆的圆心，故原说法正确，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，等边的内切圆的半径长为，则它的边长为（    ）    A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】过内心向正三角形的一边作垂线，连接顶点与内切圆心，构造直角三角形求解即可． 【详解】解：过点作，则；    ∵是正的内切圆， ∴O是正的内心， ； 在中，，， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质．解决本题的关键是将正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形． 3．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图所示，已知是的内切圆，、、是切点，，，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握内心定义．先利用切线的性质得，则根据四边形的内角和得到，然后利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵圆是的内切圆， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 4．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，点为的内心，连接并延长交的外接圆于点，交于点，若，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据三角形的内心性质，证明，得到，则，进而得到，代入即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为的内心，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 二、填空题 5．（2025九年级下·浙江·专题练习）等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆和内心，等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握其性质并能正确的画出图形是解决此题的关键．根据题意画出等边三角形与内切圆，首先根据三角形面积计算公式求出，再观察发现三角形的内切圆半径，恰好是三角形内三个小三角形的高，因而可以通过面积来计算半径，再根据面积公式计算即可得解． 【详解】解：如图，设与相切于，，，连接， 三角形是等边三角形， 过点，， 由勾股定理得，， ，设内切圆半径为， ， ， 内切圆面积， 故答案为：． 6．（22-23九年级上·浙江台州·期中）边长为的等边的内切圆的半径为 ． 【答案】 【分析】等边的内切圆既是等边角平分线的交点，进而即可求解； 【详解】解：如图，等边的内切圆既是等边角平分线的交点， 根据等边三角形可知，， ∵， ∴，即， ∴， ∴等边的内切圆的半径为． 故答案为： ．    【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理、圆的性质，掌握相关知识解题的关键． 7．（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，，，，直线l经过的内心O，过点C作，垂足为D，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】圆O与三边的切点分别为E，F，G，连接，，，先根据圆O是的内切圆，，，，求出正方形的边长为x，根据勾股定理可得，连接，过点Q作于点P，当点D运动到线段上时，取得最小值，再利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：如图，圆O与三边的切点分别为E，F，G，连接，，， ∵圆O是的内切圆，，，， ∴，，，， ∴四边形是正方形， 设正方形的边长为x， 则，， 根据题意，得， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴点D在以为直径的圆Q上，如图， 连接，过点Q作于点P， 当点D运动到线段上时，取得最小值， ∴， ∴，圆Q的半径， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，切线长定理，正方形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心． 8．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，截三条边所得的弦长相等，连结，，则 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查的是垂径定理，三角形的内心及三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些内容． 先利用截的三条边所得的弦长相等，得出即O是的内心，从而，进一步求出的度数． 【详解】解：如图， ∵在中，，截的三条边所得的弦长相等， ∴O到三角形三条边的距离相等，则O是的三条角平分线的交点，即O是的内心， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，内接于，，，D是的中点，则的半径为 ，的长度的最小值是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，求线段长的最大值，圆周角定理，勾股定理，关键是延长到使，连接构造△的中位线，并应用相关定理，结合题目条件即可求得长的最小值． 连接并延长交于E，连接，则，，得到延长到E，使，作于H，连接，，，根据三角形的中位线定理得到，当长最小时，长最小，当的延长线过圆心O时，长最小，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接并延长交于E，连接， 则，， ∵， ， 即的半径为6， 当时，的长度的最小， ∵D是的中点， 延长到，使，作于H，连接，，， D是的中点， 是△的中位线， ， 当长最小时，长最小，当的延长线过圆心O时，长最小， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长度的最小值是， 故答案为：6，． 三、解答题 10．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）用直尺和圆规作出的内切圆．（不写作法，保留作图㢃迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了复杂作图、三角形的内切圆与内心等知识点，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图是解答本题的关键．作和的平分线，它们相交于点，过点作于点，再以点为圆心，为半径作圆，则为的内切圆． 【详解】解：作和的平分线，它们相交于点，过点作于点，再以点为圆心，为半径作圆，如图，则为所作． 11．（24-25九年级上·浙江·期中）已知：在中，， (1)利用直尺和圆规作的外接圆； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）分别作的垂直平分线，二者的交点为圆心，以为半径作圆，即可求解； （2）连接，，根据圆周角定理得出，证出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图即为所作． （2）解：如图，连接，， 则：， ， ， 是等边三角形， ， 即：的半径为6． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的性质，三角形的外接圆，圆周角定理，等边三角形的性质和判定等，掌握作法及相关的定理是解题的关键． 12．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在中， ，以为直径的与交于点D，与边交于点E，过点D作的垂线，垂足为F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，得，即可得，故，而，有，即知为的切线； （2）连接，证，，故是的中线，可得，，即得，即可求出半径． 【详解】（1）证明：连接，， ∵是的直径， ， ∵， 点D是的中点， ∵点O是的中点， 是的中位线， ， ． ∵ ， ， ， 是的切线； （2）解：连接， ∵四边形是的内接四边形， ， ∵， ． ∵， ， ， ， ∵， ， ， ， 的半径是． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，涉及圆的切线的判定，圆内接四边形，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，根据题意作辅助线，构造直角三角形求解是解答此题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $