专题3.2 简单几何体的表面展开图（高效培优讲义）数学浙教版九年级下册

本初中数学讲义聚焦简单几何体表面展开图核心知识点，从定义出发，系统梳理正方体、长方体、圆柱、圆锥等展开图特征，强调展开图与原几何体双向转化及表面积计算，构建从概念识别到绘制应用的学习支架。 资料特色在于结合口诀分类记忆正方体展开图，通过即学即练和题型分层（如圆锥侧面积、最短路径问题），培养空间观念与几何直观。课中辅助教师突破重难点，课后变式练习助力学生巩固推理意识，提升应用能力。

专题3.2 简单几何体的表面展开图 教学目标 1.理解简单几何体表面展开图的定义，明确展开图是 “将几何体表面沿棱剪开后平铺得到的平面图形”。 2.掌握正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱（三棱柱、四棱柱）等常见几何体的表面展开图形状，能识别给定展开图对应的原几何体。 3.能准确画出正方体、长方体、圆柱、圆锥的表面展开图，掌握圆柱（侧面展开为矩形）、圆锥（侧面展开为扇形）的展开图特征。 4.会利用表面展开图计算简单几何体的表面积（如正方体、长方体的棱长总和相关表面积，圆柱侧面积与全面积），能解决展开图中的简单计算问题（如边长、弧长） 教学重难点 1.重点 （1）简单几何体（正方体、长方体、圆柱、圆锥）表面展开图的概念理解与形状识别。 （2）正方体、长方体、圆柱、圆锥的表面展开图绘制。 （3）展开图与原几何体的双向转化（识别展开图对应几何体、由几何体画展开图）。 （4）利用表面展开图计算简单几何体的表面积 2.难点 （1）正方体11 种表面展开图的识别与记忆，尤其是区分 “有效展开图” 与 “不能折叠成正方体的图形”。 （2）绘制展开图时，保持原几何体各面的位置关系与边长对应，避免出现 “边长不匹配”“面的顺序混乱” 等错误。 （3）复杂展开图与原几何体的双向转化，需要较强的逆向空间想象能力。 （4）利用展开图解决立体图形表面最短路径问题，难以快速建立 “平面上两点之间线段最短” 与立体展开的关联。 知识点01 常见几何体展开图 立体图形的展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为立体图形的展开图。 1.正方体的展开图有如下几种情况： 中间四个面，上下各一面: 中间三个面，一二隔河见: 中间两个面，楼梯天天见: 中间没有面，两两连成线: 2.长方体的展开图 3.圆柱的展开图 （1）圆柱侧面展开图 = （2） 圆柱的体积： 4.圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（ 【即学即练】 1．如图所示为一几何体的三种视图（单位：）通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，得这个几何体的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求几何体的侧面积以及几何体的三视图，先由三视图得出这个几何体是正三棱柱，结合侧面积等于三个长方形的面积之和，即，据此作答． 【详解】解：依题意，这个几何体是正三棱柱 ∴ ∴这个几何体的侧面积是 故答案为： 2．一个几何体的主视图和左视图都是边长为 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积求法以及由三视图判断几何体的形状，要注意圆锥的侧面积的计算公式是．根据三视图的知识可知该几何体为一个圆锥．根据已知条件可得圆锥底面半径和母线长，即可求得圆锥的侧面积． 【详解】解：∵一个几何体的主视图和左视图都是边长为 的正三角形，俯视图是一个圆， ∴这个几何体是圆锥，且底面圆的半径为1，母线长为2， 因此圆锥的侧面积为． 故选：B． 3．已知圆锥的侧面积为，母线长为4，那么这个圆锥的底面半径为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查圆锥，根据圆锥的侧面弧长等于底面圆周长，以及侧面扇形公式列方程求解即可． 【详解】解：设底面半径为r，圆锥的侧面展开图扇形圆心角为， ∵圆锥的侧面积为，母线长为4， ∴侧面弧长为：，整理得， 圆锥的侧面积为， 解得：， 故选：A． 4．如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥的计算、弧长的计算，根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，由弧长公式求出圆锥的母线，再由勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为， 圆锥的母线为 ∴ 故选：C． 5．圆锥的母线长为，底面圆的半径，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 度． 【答案】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面展开图的圆心角；根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵圆锥母线长，底面圆半径，， ∴， 故答案为：． 6．《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．    【答案】22 【分析】根据米堆的底部的弧度即底面圆周的四分之一为8尺，可求出圆锥的底面半径，从而计算出米堆的体积，用体积除以每斛的体积即可求得斛数． 【详解】解：设米堆所在圆锥的底面半径为尺，由题意，得：， ∴， ∴米堆的体积为：， ∴米堆的斛数为：； 故答案为：22． 【点睛】本题考查了圆锥的计算及弧长的计算，解题的关键是从实际问题中抽象出圆锥的知识，难度不大． 7．如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 【答案】/ 【分析】先画出圆锥侧面展开图（见解析），再利用弧长公式求出圆心角的度数，然后利用等边三角形的判定与性质、勾股定理可得，最后根据两点之间线段最短即可得． 【详解】画出圆锥侧面展开图如下： 如图，连接、， 设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为， 因为圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于母线长， 所以， 解得， 则， 又， 是等边三角形， 点为的中点， ，， 在中，， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键． 题型01 已知三视图求侧面积或表面积 【典例1】如图所示为一个上、下底密封纸盒的三视图，请描述图中所表示的几何体．并根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积． 【答案】(75+360)cm2 【分析】根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱，其表面积是六个面的面积加上两个底的面积． 【详解】解：根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱， 设正六边形的中心为O，连接OA、OB，作OD⊥AB于D， 由图可知其高为12cm，底面半径为5cm， ∴侧面积为6×5×12=360cm2， ∵∠AOB=360°÷6=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=5cm，OD=sin60°×OA=cm， ∴密封纸盒2个底面的面积为： cm2， ∴其全面积为：(75+360)cm2． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，等边三角形的判定与性质，正六边形的性质，以及解直角三角形的知识，解题的关键是正确的判定几何体． 【变式1】下图是一个长方体的三视图（单位：cm），其中俯视图为正方形，求这个长方体的表面积． 【答案】 【分析】根据三视图图形得出AC=BC=3，EC=4，然后求出这个长方体的表面积． 【详解】解：如图所示：AB=3， ∵AC2+BC2=AB2， ∴AC=BC=3， ∴正方形ACBD面积为：3×3=9， 侧面积为：4AC×CE=3×4×4=48， 故这个长方体的表面积为：48+9+9=． 【点睛】此题主要考查了利用三视图求长方体的表面积，得出长方体各部分的边长是解决问题的关键． 【变式2】根据所给立体图形的三视图． (1)写出这个立体图形的名称：________； (2)求出这个立体图形的表面积． 【答案】(1)圆锥 (2) 【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的表面积．熟练掌握圆锥的表面积=侧面积+底面积，由三视图确定几何体时要遵从“主、俯视图长对正， 主、左视图高平齐， 俯、左视图宽相等”的特点，确定几何体的尺寸． （1）从主视图以及左视图都为一个三角形，俯视图为一个圆形看，可以确定这个几何体为一个圆锥； （2）由三视图可知圆锥的底面半径为3，高为4，故母线长为5；利用圆锥表面积=侧面积+底面积即可求出. 【详解】（1）解：这是一个圆锥， 故答案为：圆锥. （2）解：母线长：， 底面圆周长：， 侧面积：， 底面积：， 表面积： 故这个圆锥的表面积为 【变式2】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 【答案】/ 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先根据三视图得到几何体的形状，难度不大． 首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可． 【详解】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱， 半圆柱的直径为6，高为6， 故其表面积为：． 故答案为：． 题型02 求圆锥侧面积 【典例2】已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的侧面积的计算，牢记圆锥的侧面积公式是解答本题的关键．如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么圆锥的侧面积等于． 【详解】解：这个圆锥的侧面积． 故选：A． 【变式1】已知圆锥的底圆半径为，侧面积是，则圆锥的母线长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式． 根据圆锥的侧面积公式可知，进而计算即可． 【详解】 故答案为： 【变式2】已知圆锥的底面直径为6，母线长为4，则它的侧面积等于 ． 【答案】 【分析】先根据圆锥底面直径求出底面半径，再明确圆锥侧面积公式为（是底面半径，是母线长 ），最后代入数据计算．本题主要考查了圆锥侧面积的计算，熟练掌握圆锥侧面积公式（为底面半径，为母线长 ）是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥底面直径为， ∴底面半径， ∴侧面积， 故答案为：． 【变式3】某单位需要在如图的雪糕筒路障侧面贴上彩纸进行装饰，若该路障可以近似看做圆锥，其主视图的边，，则彩纸的面积是（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、扇形面积公式，首先根据，可以求出圆锥底面圆的周长为，即圆锥侧面展开得到的扇形的弧长为，半径为，根据扇形的面积公式是计算即可求出彩纸的面积． 【详解】解：如下图所示，过点作， ， 以为直径的圆的周长是， 圆锥的侧面展开图的面积是， 故选：D． 题型03 求圆锥底面半径 【典例3】如图，一块扇形铁皮的弧长为，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），则这个圆锥形容器的底面半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面弧长等于底面圆的周长计算解答． 【详解】解：设这个圆锥形容器的底面半径为， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式1】如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形．则将这个扇形做成圆锥的底面半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥底面半径，先求出弧长为，再根据圆的周长公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，弧长， ∴这个扇形做成圆锥的底面半径为， 故答案为：． 【变式2】如图，小东用半径，圆心角为的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是 ． 【答案】12 【分析】本题考查求圆锥底面圆的半径，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：设底面半径是， 由题意，得：， 解得：； 故答案为：12． 【变式3】在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点O、A、B都是格点，若图中扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 先利用勾股定理的逆定理证明为等腰直角三角形，，再设该圆锥底面圆的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则利用弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：∵， ， ∴为等腰直角三角形，， 设该圆锥底面圆的半径为， 根据题意得， 解得：， 即该圆锥底面圆的半径为． 题型04 求圆锥的高 【典例4】已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的弧长； (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了弧长公式、圆锥的计算，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解题关键． （1）根据弧长公式计算即可； （2）设这个圆锥的半径是，根据题意列方程，求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：扇形的圆心角是，半径是， 这个扇形的弧长为； （2）解：设这个圆锥的半径是， 则， 解得：， 这个圆锥的高是． 【变式1】已知圆锥的侧面积为，底面半径为，则圆锥的高是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是旋转体，需熟练掌握圆锥的侧面积公式及圆锥的几何特征，由圆锥的侧面积公式，先求出圆锥的母线长，进而可得圆锥的高． 【详解】解：解：∵圆锥的侧面积为，底面半径为, ∴圆锥的母线长满足：，解得：, ∴圆锥的高h＝, 故选：B． 【变式2】如图，已知圆锥的底面半径为5，侧面积为65π，则圆锥的高 ． 【答案】12 【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求得母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高． 【详解】解：根据题意得，解得， 所以圆锥的高． 故答案为12． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为——扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 题型05 求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例5】已知圆锥的底面半径为2，母线为5，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的有关计算和弧长公式，根据底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长以及弧长公式求解即可，正确理解圆锥的母线是圆锥侧面展开图的扇形半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解决本题的关键． 【详解】设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， 根据题意，得， ， 圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， 故选：C． 【变式1】如图，是一个圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 ． 【答案】216 【分析】本题考查了圆锥侧展开图的圆心角的计算，熟知圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，半径等于圆锥的母线长是解题的关键．根据主视图得到圆锥的母线长和底面圆的直径，可得底面周长，再由扇形弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得可知：圆锥的母线长为5， 圆锥的底面直径为6，则圆锥的底面周长为， 由圆锥的侧面展开图的弧长可得：． ∴ 故答案为：216． 【变式2】为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：； 设扇形圆心角度数为n度，则， 解得：， 即扇形圆心角为； 故选：B． 【变式3】若一个圆锥的底面圆的半径是，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：， 设圆心角的度数是度．则， 解得：． 故选：C． 题型06 圆锥侧面上最短路径问题 【典例6】如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1) (2)这根绳子的最短长度为 【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离． 本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题． 【详解】（1）解： 设的度数为， 底面圆的周长等于， 解得． （2）解：连接，过作于， ∴， ∵由（1）得 ∴ ∵ 则 由， ∴， ∴， ∴， 即这根绳子的最短长度是． 【变式1】如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．    【答案】 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形．扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解． 连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵为底面圆的直径，， 设半径为r, ∴底面周长， 设圆锥的侧面展开后的圆心角为， ∵圆锥母线， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：， 解得：， ∴， ∵半径， ∴是等边三角形， ∵点C为圆锥母线的中点， ∴， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 【变式2】【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据扇形的两个面积公式可得，再代入求解即可； （2）连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，根据等腰三角形性质及解直角三角形即可求解． 【详解】（1），， ， ， 扇形纸板的圆心角度数为； （2）如图所示．连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值， 由（1）得， , 彩带长度的最小值为． 一、选择题 1．一个圆锥的底面直径是8，母线长是7，则圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 首先求得圆锥的底面周长，即侧面的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：底面周长是， 则侧面积是：． 故选：B． 2．若圆锥的底面半径长为6，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（   ） A．3 B．12 C．6 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 侧面展开后得到一个半圆，半圆的弧长就是底面圆的周长，依此列出方程即可． 【详解】解：设母线长为， 根据题意得，， 解得， 该圆锥的母线长为12． 故选：B． 3.下列图形中可以折成正方体的是（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，只要有“田”“凹”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 由平面图形的折叠及正方体的展开图对选项进行分析，即可得到答案． 【详解】解：A，C，D围成几何体时，有两个面重合，故不能围成正方体；只有B能围成正方体． 故选B． 4．如图，根据一个几何体的三视图，求这个几何体的表面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由三视图还原立体图形并求组合体的表面积，涉及圆柱的表面积求法，根据三视图准确得到立体图形，熟练掌握圆柱表面积求法列式求解即可得到答案，发挥空间想象能力，熟记圆柱表面积计算方法是解决问题的关键． 【详解】解：由这个几何体的三视图可知，几何体是两个圆柱的组合体，上层是直径较小的圆柱、下层是直径较大的圆柱， 这个几何体的表面积是两个圆柱的表面积减去上层圆柱底面圆面积的2倍，则； ； 这个几何体的表面积是， 故选：C． 5．如图，把个棱长为1厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，则这个立体图形的表面积为（　　）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体表面积．掌握立体图形的三视图是解题的关键．由立体图形可知，上表面共有8个正方形，下表面共有8个正方形，前表面共有7个正方形，后表面共有7个正方形，右表面共有8个正方形，左表面共有8个正方形，将各面积相加即可求解． 【详解】解：图中每一个正方形面积， ， 故选：D． 6．已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆锥的三视图，求圆锥的侧面积，勾股定理，先由三视图得到该圆锥的高为，底面圆半径为，则由勾股定理可得母线长为，再根据圆锥侧面积底面周长母线长进行求解即可． 【详解】解：由三视图可知，该圆锥的高为，底面圆半径为， ∴母线长为， ∴这个圆锥的侧面积为， 故选：B． 7．如图是某几何体的三视图，则这个几何体的表面积（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，判断出几何体的形状，再根据三视图的数据，求出几何体的表面积即可． 【详解】解：根据三视图可得这个几何体下部是高为20，底面半径为的圆柱，上部是高为的圆锥， ∴圆锥的母线长为 ∴表面积为， 故选：A． 8．如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 设圆锥的底面的半径为，则，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出r，然后求得直径即可． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为，则， 根据题意得：， 解得：， 侧面积为：， 底面积为： 所以圆锥的表面积为：， 故选：B． 9．如图，在中，，，将绕直线旋转一周得到的几何体的侧面积为 （结果保留π）． 【答案】 【分析】根据题意，得将绕直线旋转一周，会得到一个底面半径为3，母线长为5的圆锥，解答即可． 本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵将绕直线旋转一周，会得到一个底面半径为3，母线长为5的圆锥， ∴这个几何体的侧面积等于． 10．若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据勾股定理求出母线长，再根据侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4， ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥侧面展开图的面积为； 故答案为：． 11．用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长． 圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的高跟底面圆半径以及母线构成直角三角形，即可求解． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为，依题意，得 ， 解得， 圆锥的母线长为， 圆锥的高为． 故答案为：． 12．如图，一个圆锥及其侧面展开图，则该圆锥的底面半径长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：5 13．如图，已知的，，以点A为圆心，作弧与相切于点E，交于点D，交于点F．若扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的母线长是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了切线性质以及解直角三角形的相关性质，圆锥的母线长，先求出，结合切线性质，得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图： ∵，， ∴ ∵作弧与相切于点E，交于点D，交于点F． ∴， 即 ∵扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图， ∴该圆锥的母线长是 故答案为：4． 14．如图，是由个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为厘米． (1)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）： ； (2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． 【答案】(1) (2)见解析． 【分析】本题考查的是从不同方向看组合图形，求组合图的表面积． （1）由不同方向看到的小正方形的数量乘以小正方形的面积即可得到答案； （2）分别画出从三个方向看到的平面图形即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：根据三视图的画法，画出相应的图形如下： 15．（1）已知圆锥的底面半径为，母线长为，求圆锥的表面积； （2）用圆心角为，半径为的扇形做成一个无底的圆锥侧面，求圆锥的侧面积； （3）如图，圆锥的侧面积为，底面半径为3，求圆锥的高． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【分析】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （1）先利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算出侧面积，然后加上底面积即可得到圆锥的表面积； （2）利用圆锥的侧面展开图为一扇形，所以扇形面积公式计算即可得到圆锥的侧面积； （3）设圆锥的母线长为R，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得•2π•3•R＝15π，解得R＝5，然后利用勾股定理计算圆锥的高． 【详解】解：（1）圆锥的表面积； （2）圆锥的侧面积； （3）设圆锥的母线长为R， 根据题意得， 解得， 所以圆锥的高． 16．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线（）长为． (1)求圆锥形纸杯的侧面积． (2)若在母线上的点A处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，求此蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】(1)平方厘米 (2) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． （1）根据圆锥侧面积公式计算即可得到结果； （2）要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，求出长即可，在中，，，根据勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：（平方厘米）； （2）解：圆锥侧面沿母线展开可得下图： 则圆锥底面周长的一半， ∴，即， 在中，， 根据勾股定理可得：， 所以蚂蚁爬行的最短距离为． 17．如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒侧面展开图． (1)请写出这个食品包装盒的几何体名称______． (2)如果用一个平面去截这个几何体，那么截面有哪些形状？（写出2种即可） (3)若，，，，求这个几何体的侧面积． 【答案】(1)三棱柱 (2)三角形、四边形（长方形、梯形）、五边形（任选2种即可） (3) 【分析】本题主要考查了三棱柱的展开图与几何体之间的联系和体积的求法，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （1）根据图示可知有个长方形和个三角形组成，故可知是三棱柱； （2）根据三棱柱所截面即可求解； （3）根据多面体侧面积公式计算即可； 【详解】（1）解：由图形可知，共有个长方形组成侧面， 个三角形组成底面，即组成几何体三棱柱， 故答案为：三棱柱； （2）解：根据题意，用一个平面去截这个几何体，那么截面有三角形、四边形（长方形、梯形）和五边形； （3）解： ，，，， ，，， ， 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 简单几何体的表面展开图 教学目标 1.理解简单几何体表面展开图的定义，明确展开图是 “将几何体表面沿棱剪开后平铺得到的平面图形”。 2.掌握正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱（三棱柱、四棱柱）等常见几何体的表面展开图形状，能识别给定展开图对应的原几何体。 3.能准确画出正方体、长方体、圆柱、圆锥的表面展开图，掌握圆柱（侧面展开为矩形）、圆锥（侧面展开为扇形）的展开图特征。 4.会利用表面展开图计算简单几何体的表面积（如正方体、长方体的棱长总和相关表面积，圆柱侧面积与全面积），能解决展开图中的简单计算问题（如边长、弧长） 教学重难点 1.重点 （1）简单几何体（正方体、长方体、圆柱、圆锥）表面展开图的概念理解与形状识别。 （2）正方体、长方体、圆柱、圆锥的表面展开图绘制。 （3）展开图与原几何体的双向转化（识别展开图对应几何体、由几何体画展开图）。 （4）利用表面展开图计算简单几何体的表面积 2.难点 （1）正方体11 种表面展开图的识别与记忆，尤其是区分 “有效展开图” 与 “不能折叠成正方体的图形”。 （2）绘制展开图时，保持原几何体各面的位置关系与边长对应，避免出现 “边长不匹配”“面的顺序混乱” 等错误。 （3）复杂展开图与原几何体的双向转化，需要较强的逆向空间想象能力。 （4）利用展开图解决立体图形表面最短路径问题，难以快速建立 “平面上两点之间线段最短” 与立体展开的关联。 知识点01 常见几何体展开图 立体图形的展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为立体图形的展开图。 1.正方体的展开图有如下几种情况： 中间四个面，上下各一面: 中间三个面，一二隔河见: 中间两个面，楼梯天天见: 中间没有面，两两连成线: 2.长方体的展开图 3.圆柱的展开图 （1）圆柱侧面展开图 = （2） 圆柱的体积： 4.圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（ 【即学即练】 1．如图所示为一几何体的三种视图（单位：）通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，得这个几何体的侧面积是 ． 2．一个几何体的主视图和左视图都是边长为 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积是 （    ） A． B． C． D． 3．已知圆锥的侧面积为，母线长为4，那么这个圆锥的底面半径为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（   ） A．9 B． C． D． 5．圆锥的母线长为，底面圆的半径，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 度． 6．《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．    7．如图，是圆锥底面的直径，，母线．点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 题型01 已知三视图求侧面积或表面积 【典例1】如图所示为一个上、下底密封纸盒的三视图，请描述图中所表示的几何体．并根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积． 【变式1】下图是一个长方体的三视图（单位：cm），其中俯视图为正方形，求这个长方体的表面积． 【变式2】根据所给立体图形的三视图． (1)写出这个立体图形的名称：________； (2)求出这个立体图形的表面积． 【变式2】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 题型02 求圆锥侧面积 【典例2】已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆锥的底圆半径为，侧面积是，则圆锥的母线长是 ． 【变式2】已知圆锥的底面直径为6，母线长为4，则它的侧面积等于 ． 【变式3】某单位需要在如图的雪糕筒路障侧面贴上彩纸进行装饰，若该路障可以近似看做圆锥，其主视图的边，，则彩纸的面积是（　　）． A． B． C． D． 题型03 求圆锥底面半径 【典例3】如图，一块扇形铁皮的弧长为，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），则这个圆锥形容器的底面半径为 ． 【变式1】如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形．则将这个扇形做成圆锥的底面半径为 ． 【变式2】如图，小东用半径，圆心角为的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是 ． 【变式3】在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点O、A、B都是格点，若图中扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径． 题型04 求圆锥的高 【典例4】已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的弧长； (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是多少？ 【变式1】已知圆锥的侧面积为，底面半径为，则圆锥的高是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知圆锥的底面半径为5，侧面积为65π，则圆锥的高 ． 题型05 求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例5】已知圆锥的底面半径为2，母线为5，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，是一个圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 ． 【变式2】为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【变式3】若一个圆锥的底面圆的半径是，母线长是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 题型06 圆锥侧面上最短路径问题 【典例6】如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【变式1】如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．    【变式2】【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 一、选择题 1．一个圆锥的底面直径是8，母线长是7，则圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 2．若圆锥的底面半径长为6，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（   ） A．3 B．12 C．6 D．18 3.下列图形中可以折成正方体的是（   ） A．  B．  C．   D．   4．如图，根据一个几何体的三视图，求这个几何体的表面积（    ） A． B． C． D． 5．如图，把个棱长为1厘米的正方体重叠起来拼成一个立体图形，则这个立体图形的表面积为（　　）平方厘米． A． B． C． D． 6．已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 7．如图是某几何体的三视图，则这个几何体的表面积（    ）    A．B． C． D． 8．如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，将绕直线旋转一周得到的几何体的侧面积为 （结果保留π）． 10．若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为 ． 11．用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ． 12．如图，一个圆锥及其侧面展开图，则该圆锥的底面半径长为 ． 13．如图，已知的，，以点A为圆心，作弧与相切于点E，交于点D，交于点F．若扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的母线长是 ． 14．如图，是由个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为厘米． (1)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）： ； (2)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． 15．（1）已知圆锥的底面半径为，母线长为，求圆锥的表面积； （2）用圆心角为，半径为的扇形做成一个无底的圆锥侧面，求圆锥的侧面积； （3）如图，圆锥的侧面积为，底面半径为3，求圆锥的高． 16．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线（）长为． (1)求圆锥形纸杯的侧面积． (2)若在母线上的点A处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，求此蚂蚁爬行的最短距离． 17．如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒侧面展开图． (1)请写出这个食品包装盒的几何体名称______． (2)如果用一个平面去截这个几何体，那么截面有哪些形状？（写出2种即可） (3)若，，，，求这个几何体的侧面积． 1 / 17 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