专题3.1 投影与视图（高效培优讲义）数学浙教版九年级下册

本讲义聚焦投影与视图核心知识点，系统梳理平行投影、中心投影、正投影的定义与特征，递进至三视图的概念、投影规则（长对正、高平齐、宽相等）、绘制方法及几何体还原，构建从基础到应用的学习支架。 资料亮点在于分层设计知识点，每个概念配“即学即练”，题型含典例与变式，强化空间观念与几何直观。结合生活实例（如路灯影子、旗杆测量），助力学生用数学眼光观察现实，用思维分析投影规律，提升教学效率与课后巩固效果。

专题3.1 投影与视图 教学目标 1.理解投影的定义，能区分平行投影（如太阳光照射）和中心投影（如灯光照射）的概念及特征，能识别生活中的两类投影实例。 2.掌握三视图（主视图、俯视图、左视图）的定义，明确三视图的投影规则。 3.能画出正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱等简单几何体的三视图，能根据三视图描述或还原简单几何体的形状。 4.初步学会利用三视图解决简单的实际问题 教学重难点 1.重点 （1）平行投影与中心投影的概念区分及实例识别。 （2）三视图的投影规则（长对正、高平齐、宽相等）的理解与应用。 （3）简单几何体（正方体、长方体、圆柱、圆锥等）的三视图绘制。 （4）根据三视图还原简单几何体的形状。 2.难点 （1）准确区分平行投影与中心投影的特征，尤其是在复杂场景中（如多个光源照射）的判断。 （2）绘制三视图时，轮廓线的虚实处理，容易出现漏画、错画虚线的问题。 （3）根据三视图还原复杂组合体的形状，需要逆向思维和较强的空间想象能力，学生易出现 “还原形状与三视图不匹配” 的错误。 （4）理解三视图 “宽相等” 的具体含义，容易因投影方向混淆导致尺寸对应错误。 知识点01 平行投影 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 注意： 1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻. 2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线. 【即学即练】 1．下列哪种影子是平行投影（   ） A．皮影戏中的影子 B．太阳光下房屋的影子 C．路灯下行人的影子 D．在手电筒照射下纸片的影子 知识点02 中心投影 　若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1) 等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 注意： 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 【即学即练】 1．如图，在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为．则木杆在x轴上的投影长为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 知识点03 正投影 正投影投影 　正投影的定义： 　　　　　　　　　　　 　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. (1)线段的正投影分为三种情况.如图所示. 　　　　　　　　　　　　　 　　 ①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； 　　 ②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 　　 ③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点. 　(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示. 　　　　　　　　　　　　 ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分. (3)立体图形的正投影. 　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等. 注意： (1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影. (2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影. (3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物 【即学即练】 1．一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（    ） A． B． C． D． 知识点04 三视图的 1.三视图的概念 （1） 视图 　　从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. （2）正面、水平面和侧面 　用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水 平面，右边的面叫做侧面. （3）三视图 　一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 知识点5 三视图之间的关系 （1） 位置关系 　三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边， 如图(1)所示. 　　　　　　　　　　　　　 （2）大小关系 　三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示. 注意： 　物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础. 2. 画几何体的三视图 画图方法： 　画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： 　(1)确定主视图的位置，画出主视图； 　(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 　(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 　几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线. 注意： 　画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用 线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图. 3.由三视图想象几何体的形状 　由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 注意： 　由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法. 【即学即练】 1．如图是由6个相同的长方体堆成的物体．每个小长方体的长为2，宽与高均为1．请在所给方格图中画出这个物体的三视图．（小正方形的边长为1） 题型01平行投影 【典例1】如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（   ） A．B．C．D． 【变式1】下面是在同一时刻的太阳光下两棵树产生的影子，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为10米，则这棵树的高度为（　　） A．3米 B．4.6米 C．6.4米 D．7.8米 【变式3】如图，公路上有一个10米高的路灯．晚上小红站在位置A的影子和站在位置B的影子相比（　　） A．在位置A的影子长些B．一样长 C．在位置B的影子长些 D．无法确定 题型02中心投影 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的影长为（　　） A．5 B．8 C．10 D．12 【变式1】下列光源所形成的投影不是中心投影的是（    ） A．手电筒 B．蜡烛 C．太阳 D．台灯 【变式2】如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（   ） A．越来越大 B．影子不是直角三角形 C．影子越来越小 D．影子越来越大 【变式3】如图，方桌正上方的灯泡发出的光线照射方桌后（方桌可看成正方形），在地面上形成阴影，已知方桌的边长为，桌面距离地面，灯泡距离地面，则地面上阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 题型03正投影 【典例3】如图，是线段在投影面上的正投影，已知，则投影的长为（   ）    A． B． C． D． 【变式1】物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是（    ） A．一条线段 B．一个与原正方形全等的正方形 C．一个邻边不等的平行四边形 D．一个等腰梯形 【变式2】物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个三角板的正投影不可能是（     ） A．一条线段 B．一个与原三角板全等的三角形 C．一个等腰三角形 D．一个小圆点 题型04简单几何体的三视图 【典例4】为了扳手操作方便，通常将螺母设计成如图所示几何体形状，该几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图是一个空心圆柱，该几何体的主视图是（   ） A．B． C． D． 题型05简单组合体的三视图 【典例5】如图，该几何体的主视图是（   ） A．B． C． D． 【变式1】如图是一个水平放置的由圆柱体和正方体组成的几何体，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，由四个相同正方体搭成的几何体的俯视图为（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列几何体是由5个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（    ） A． B． C． D． 题型06由三视图判断几何体 【典例6】如图所示的三视图所对应的几何体是（    ） A．B．C． D． 【变式1】从三个方向看一个几何体得到的平面图形如图所示，则这个几何体摆放的位置是（　　） A．B．C．D． 【变式2】某几何体的三视图如图所示，该几何体是（   ） A．B．C．D． 【变式3】某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（    ） A． B． C． D． 题型07作图-三视图 【典例7】如图1，在平整的地面上，请在图2中画出从正面、左面和上面看到的这个几何体的形状图． 【变式1】在如图的方格图中画出如图所示（图中单位：）的几何体的主视图、左视图和俯视图，每个小方格的边长代表．          【变式2】画出如图所示组合体的三视图 【变式3】画出如图所示几何体的三种视图． 题型08求三视图体的体积 【典例8】如图，这是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题． (1)直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少； (2)求这个立体图形的体积． 【变式1】一个“粮仓”的三视图如图所示（单位：），请求出它的体积． 【变式2】张师傅根据某直三棱柱零件（如图1），按的比例画出准确的三视图如图2．已知中，，，，．      (1)求的长． (2)求出这个直三棱柱的体积． 【变式3】一个几何体的三视图如图（其俯视图是等边），请解答下列问题： (1)这个几何体的名称是 ； (2)根据图中标注的尺寸，求这个几何体的体积． 1．如图所示的几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 2．如图是一个几何体的三种视图，选项中箭头方向为主视方向，则这个几何体是（　　） A．B． C． D． 3．下列投影现象属于中心投影的是（   ） A．陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在日光下的影子 B．苏轼“把酒问青天”时，酒杯在月光下的影子 C．王维“大漠孤烟直”时，归雁在落日下的影子D．匡衡“凿壁偷光”时，书卷在灯光下的影子 4．如图是我国北方一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，按时间先后顺序排列正确的是（　　）. A．③④①② B．②①④③ C．③①④② D．②④①③ 5．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈尺；1尺寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进3米到达B处时，测得影子长为1米，已知小明身高米，他若继续往前走6米到达D处，此时影子长为（   ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 7．“月壤砖”是模拟月壤原料制成的一种建筑材料．如图是一种“月壤砖”的示意图，其左视图为（    ） A． B． C． D． 8．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体从左面和上面看到的形状图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 二、填空题 9．如图所示的是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中，完全相同的是 视图和 视图． 10．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为的等边三角形，主视图的长为的矩形，则该几何体的左视图的面积为 ． 11．一个几何体是由大小相同的小立方块摆成的，从正面、左面和上面看到的形状图如图所示，摆成这个几何体用到了 个小立方块． 12．如图是一个底面为正方形的长方体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个长方体的体积为 ． 三、解答题 13．某糖果厂想要为儿童设计一种新型的装糖果的不倒翁，请你根据包装厂设计好的三视图（如图）的尺寸计算其体积．（球的体积公式：其中r为球的半径） 14．如图，一路灯距地面米，身高米的小方在距离灯的底部（点）米的处，请画出小方的影子，并求小方的影长． 15．如图所示的几何体是有9块大小相同的小正方体搭成，在网格中画出从不同方向看到的图形． 16．如图是一个几何体的三视图 （俯视图是等边三角形），求这个几何体体积． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 投影与视图 教学目标 1.理解投影的定义，能区分平行投影（如太阳光照射）和中心投影（如灯光照射）的概念及特征，能识别生活中的两类投影实例。 2.掌握三视图（主视图、俯视图、左视图）的定义，明确三视图的投影规则。 3.能画出正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱等简单几何体的三视图，能根据三视图描述或还原简单几何体的形状。 4.初步学会利用三视图解决简单的实际问题 教学重难点 1.重点 （1）平行投影与中心投影的概念区分及实例识别。 （2）三视图的投影规则（长对正、高平齐、宽相等）的理解与应用。 （3）简单几何体（正方体、长方体、圆柱、圆锥等）的三视图绘制。 （4）根据三视图还原简单几何体的形状。 2.难点 （1）准确区分平行投影与中心投影的特征，尤其是在复杂场景中（如多个光源照射）的判断。 （2）绘制三视图时，轮廓线的虚实处理，容易出现漏画、错画虚线的问题。 （3）根据三视图还原复杂组合体的形状，需要逆向思维和较强的空间想象能力，学生易出现 “还原形状与三视图不匹配” 的错误。 （4）理解三视图 “宽相等” 的具体含义，容易因投影方向混淆导致尺寸对应错误。 知识点01 平行投影 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 注意： 1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻. 2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线. 【即学即练】 1．下列哪种影子是平行投影（   ） A．皮影戏中的影子 B．太阳光下房屋的影子 C．路灯下行人的影子 D．在手电筒照射下纸片的影子 【答案】B 【分析】此题主要考查了中心投影、平行投影的性质，解决本题的关键是理解平行投影的形成光源为太阳光．根据中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光，找到是太阳光的光源即可． 【详解】解：A．皮影戏中的影子是中心投影； B．太阳光下房屋的影子是是平行投影； C．路灯下行人的影子是中心投影； D．在手电筒照射下纸片的影子是中心投影； 故选B． 知识点02 中心投影 　若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1) 等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 注意： 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 【即学即练】 1．如图，在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为．则木杆在x轴上的投影长为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、中心投影；利用中心投影，延长、分别交轴于，作轴于，交延长线于，如图，证明，然后利用相似比等于高之比可求出的长． 【详解】解：延长 分别交x轴于 ，作轴于，交延长线于，如图 ∵， ∴，，，， ∴， ∵轴，， ∴， ∴，即 ∴， 故选：B． 知识点03 正投影 正投影投影 　正投影的定义： 　　　　　　　　　　　 　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. (1)线段的正投影分为三种情况.如图所示. 　　　　　　　　　　　　　 　　 ①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； 　　 ②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 　　 ③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点. 　(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示. 　　　　　　　　　　　　 ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分. (3)立体图形的正投影. 　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等. 注意： (1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影. (2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影. (3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物 【即学即练】 1．一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可． 【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是 故选：B． 【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同． 知识点04 三视图的 1.三视图的概念 （1） 视图 　　从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. （2）正面、水平面和侧面 　用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水 平面，右边的面叫做侧面. （3）三视图 　一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 知识点5 三视图之间的关系 （1） 位置关系 　三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边， 如图(1)所示. 　　　　　　　　　　　　　 （2）大小关系 　三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示. 注意： 　物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础. 2. 画几何体的三视图 画图方法： 　画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： 　(1)确定主视图的位置，画出主视图； 　(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 　(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 　几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线. 注意： 　画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用 线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图. 3.由三视图想象几何体的形状 　由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形. 注意： 　由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法. 【即学即练】 1．如图是由6个相同的长方体堆成的物体．每个小长方体的长为2，宽与高均为1．请在所给方格图中画出这个物体的三视图．（小正方形的边长为1） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．根据三视图的作法，画图即可． 【详解】解：这个物体的三视图，如图所示： 题型01平行投影 【典例1】如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查平行投影的意义．根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上可知，选项D中的图形比较符合题意． 故选：D． 【变式1】下面是在同一时刻的太阳光下两棵树产生的影子，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． 根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、C进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对B、D进行判断． 【详解】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误； B、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以B选项错误； C、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以C选项错误． D、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项正确； 故选：D． 【变式2】在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为10米，则这棵树的高度为（　　） A．3米 B．4.6米 C．6.4米 D．7.8米 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用， 熟练掌握同时同地物高与影长的比相等列出比例式是解题的关键．根据同时同地物高与影长的比相等列出比例式， 然后求解即可 【详解】解：设树高为x米，由题意得 ， 米， 故选C． 【变式3】如图，公路上有一个10米高的路灯．晚上小红站在位置A的影子和站在位置B的影子相比（　　） A．在位置A的影子长些B．一样长 C．在位置B的影子长些 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查投影．根据同一物体，离光源越远，影子越长，进行判断即可． 【详解】解：因为同一物体，离光源越远，影子越长， 由图可知：位置B离比位置离路灯远， 所以在位置B的影子长些； 故选C． 题型02中心投影 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的影长为（　　） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影、坐标与图形、相似三角形的判定和性质，利用中心投影，过作轴于，交于，证明，然后利用相似三角形的对应边成比例可求出结果．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：过作轴于，交于，如图，    ∵，A，B． ∴，，，轴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】下列光源所形成的投影不是中心投影的是（    ） A．手电筒 B．蜡烛 C．太阳 D．台灯 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影的定义，解题的关键是理解中心投影的形成光源是灯光．利用中心投影和平行投影的定义判断即可． 【详解】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光， 在各选项中只有C选项得到的投影为平行投影． 故选：C． 【变式2】如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（   ） A．越来越大 B．影子不是直角三角形 C．影子越来越小 D．影子越来越大 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质． 利用位似图形的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、根据位似图形的性质可得，，大小始终保持不变，该选项错误，故不符合题意； B、根据位似图形的性质可得，影子是直角三角形，该选项错误，故不符合题意； C、 根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项错误，故不符合题意； D、根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项正确，故符合题意； 故选：D． 【变式3】如图，方桌正上方的灯泡发出的光线照射方桌后（方桌可看成正方形），在地面上形成阴影，已知方桌的边长为，桌面距离地面，灯泡距离地面，则地面上阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影、位似图形的性质，解答此题要根据相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 根据中心投影的图形性质，将图形中高的比转化为相似比解答． 【详解】解：如图所示，垂直于水平面，依题意得： ，， 正方形与阴影相似，相似比为：． 由于面积比等于相似比的平方， 故地面上阴影部分的面积为． 故选A． 题型03正投影 【典例3】如图，是线段在投影面上的正投影，已知，则投影的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正投影，解直角三角形，过点作，利用锐角三角函数求出的长即可． 【详解】解：过点作，    ∵是线段在投影面上的正投影， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【变式1】物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是（    ） A．一条线段 B．一个与原正方形全等的正方形 C．一个邻边不等的平行四边形 D．一个等腰梯形 【答案】D 【分析】本题考查了投影，根据投影的含义进行判断即可； 【详解】解：当正方形纸板所在平面与光线平行时，得到的正投影是一条线段；正方形纸板所在平面与光线垂直时，得到一个与原正方形全等的正方形；正方形纸板所在平面与光线不垂直也不平行时，得到一个平行四边形；正投影不可能得到等腰梯形； 故选：D． 【变式2】物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个三角板的正投影不可能是（     ） A．一条线段 B．一个与原三角板全等的三角形 C．一个等腰三角形 D．一个小圆点 【答案】D 【分析】由三角板所在的平面与投影光线的关系逐一分析可得答案． 【详解】解：当三角板所在的平面与投影光线平行时，可得投影是一条线段，故A不符合题意； 当三角板所在的平面与投影光线垂直时，可得投影是一个与原三角板全等的三角板，故B不符合题意； 当三角板所在的平面与投影光线成一定的角度时，可得投影是一个变形的三角板，可能为等腰三角形，不可能是一个点，故C不符合题意；D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是投影的含义，理解物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关是解本题的关键． 题型04简单几何体的三视图 【典例4】为了扳手操作方便，通常将螺母设计成如图所示几何体形状，该几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确掌握观察角度是解题关键． 根据左视图是从左面看到的图形则可． 【详解】解：从左边看，是一个长方形，长方形的中间有一条横向的实线． 故选：C． 【变式1】如图所示，几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三视图．根据几何体，俯视图为矩形中间有一条实线，找出对应选项即可． 【详解】解：由几何体可知，俯视图为矩形中间有一条实线， 只有选项B符合题意， 故选：B． 【变式2】如图所示几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键；因此此题可根据几何体的特征进行求解． 【详解】解：由图可知：该几何体的俯视图为 故选D． 【变式3】如图是一个空心圆柱，该几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据主视图是从几何体的正面看到的图形进行分析，即可作答． 【详解】 解：观察题干的空心圆柱，该几何体的主视图是， 故选：B 题型05简单组合体的三视图 【典例5】如图，该几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的三视图．解题的关键在于明确主视图是从正面看到的图形． 根据主视图是从正面看到的图形，看得到的是实线，看不到的是虚线，可知从正面看到两个长方形，进而可得答案． 【详解】解：由题意知，该几何体的主视图如下图， 故选C． 【变式1】如图是一个水平放置的由圆柱体和正方体组成的几何体，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是简单几何体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形． 根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可． 【详解】解：根据主视图的定义可知，此几何体的主视图的上方是一个小矩形，下方是一个大矩形，A中的图形符合题意， 故选：A． 【变式2】如图，由四个相同正方体搭成的几何体的俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查简单组合体的三视图．俯视图是从物体的上面向下看得到的视图，据此作答即可． 【详解】 解：从上面向下看，从左到右有两排，且其正方形的个数分别为2、1，且为 故选：B． 【变式3】下列几何体是由5个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三视图的相关知识，分别画出四个选项中几何体的主视图和左视图，通过比较即可得出答案． 【详解】 解：A选项中几何体的主视图为：左视图为：，相同，符合题意； B选项中几何体的主视图为：，左视图为：，不相同，不符合题意； C选项中几何体的主视图为：左视图为：，不相同，不符合题意； D选项中几何体的主视图为：左视图为：，不相同，不符合题意； 故选：A． 题型06由三视图判断几何体 【典例6】如图所示的三视图所对应的几何体是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】对照给出的俯视图，用排除法找出正确的答案． 【详解】解：根据俯视图是一个长方形的轮廓，内部有一个比较大的圆可知，B，C，D均不正确，只有A符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图，掌握三视图的画法是解题的关键． 【变式1】从三个方向看一个几何体得到的平面图形如图所示，则这个几何体摆放的位置是（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，解决本题的关键是熟练掌握几何体的三视图；根据三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状． 【详解】解：由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是三角形可判断出此几何体为三棱柱． ∵主视图和左视图都是长方形， ∴此几何体为柱体， ∵俯视图是一个三角形， ∴此几何体为三棱柱， 根据主视图中间是虚线可知其中一条棱看不见； 故选：A． 【变式2】某几何体的三视图如图所示，该几何体是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查由三视图还原几何体；由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． 对四个选项中的几何体的三视图进行判断即可作答． 【详解】解：A、几何体的俯视图是一个长方形，故选项A不符合题意； B、几何体的俯视图和主视图一个三角形，故选项B不符合题意； C、几何体无论俯视图、主视图还是左视图，均符合题意； D、几何体主视图上面的长方形在中间不在右边，故选项D不符合题意； 故选：C． 【变式3】某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三视图的定义：主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形，掌握三视图的定义是解题关键． 根据三视图进行判断即可解题． 【详解】解：由几何体的三视图看，主视图是三角形，左视图是矩形，俯视图是矩形（中间有竖线，代表该几何体的棱）， ∴这个几何体是A选项中的三棱柱． 故选A． 题型07作图-三视图 【典例7】如图1，在平整的地面上，请在图2中画出从正面、左面和上面看到的这个几何体的形状图． 【答案】见详解 【分析】本题考查了立体图形，三视图，理解三视图的定义是解题的关键．从三种图形的几何特征画图即可． 【详解】解：如图所示， 【变式1】在如图的方格图中画出如图所示（图中单位：）的几何体的主视图、左视图和俯视图，每个小方格的边长代表．          【答案】画图见解析 【分析】本题考查了画三视图，根据图形画出三视图即可，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：画三视图如下： 【变式2】画出如图所示组合体的三视图 【答案】画图见解析． 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据三视图的定义即可求解，熟练掌握三视图的定义，会看得出三视图是解题的关键． 【详解】如图， 【变式3】画出如图所示几何体的三种视图． 【答案】见解析 【分析】根据三视图的定义，画出图形即可． 【详解】 解： 【点睛】本题考查作图-三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型． 题型08求三视图体的体积 【典例8】如图，这是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题． (1)直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少； (2)求这个立体图形的体积． 【答案】(1)上面的长方体长，宽，高，下面的长方体长，宽，高 (2)这个立体图形的体积 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图： （1）根据组合图形的主视图和左视图解答即可； （2）用上面长方体的体积加上下面长方体的体积，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：上面的长方体长，宽，高，下面的长方体长，宽，高； （2）解：此立体图形的体积是． 【变式1】一个“粮仓”的三视图如图所示（单位：），请求出它的体积． 【答案】 【分析】本题考查了根据三视图计算几何体的体积，由三视图还原几何体是解题的关键． 根据三视图可知该几何体为圆锥和圆柱的结合体，进而根据三视图中的数据计算体积即可． 【详解】解：观察发现该几何体为圆锥和圆柱的结合体， 其体积为： ． 【变式2】张师傅根据某直三棱柱零件（如图1），按的比例画出准确的三视图如图2．已知中，，，，．      (1)求的长． (2)求出这个直三棱柱的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三棱柱的三视图及三棱柱的体积计算： （1）过点E作于点H，则根据题意可得出，然后由勾股定理计算即可得出答案； （2）根据三棱柱的体积等于底面积乘以棱柱的高进行计算即可． 【详解】（1）解：过点E作于点H，如图． 在中，，， 所以可设． 根据勾股定理，得，解得， ∴， 由三视图，可知． （2）解：直三棱柱的体积为． 【变式3】一个几何体的三视图如图（其俯视图是等边），请解答下列问题： (1)这个几何体的名称是 ； (2)根据图中标注的尺寸，求这个几何体的体积． 【答案】(1)三棱柱 (2)这个几何体的体积 【分析】此题考查了由三视图判断几何体和几何体的体积求法，正确判断出几何体的形状是解题关键． （1）利用主视图以及俯视图即可得出该几何体是三棱柱，进而得出答案； （2）由三视图知，三棱柱的底面是高为的等边三角形，三棱柱的高为，再用底面积乘高即可求解． 【详解】（1）解：根据三视图可得这个几何体的名称是三棱柱； 故答案为：三棱柱； （2）解：如图，作于点D，则题意，， 是等边三角形 ， 在中， 这个几何体的体积 1．如图所示的几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三视图，正确根据组合体判断三视图的形状是解决本题的关键． 根据组合体的形状判断选项即可． 【详解】解：根据几何体的形状可得，只有D选项符合题意． 故选：D． 2．如图是一个几何体的三种视图，选项中箭头方向为主视方向，则这个几何体是（　　） A．B． C． D． 【答案】B 【详解】此题考查了简单几何体的三视图，根据三视图还原几何体的形状即可． 解：这个几何体是： ． 故选：B． 3．下列投影现象属于中心投影的是（   ） A．陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在日光下的影子 B．苏轼“把酒问青天”时，酒杯在月光下的影子 C．王维“大漠孤烟直”时，归雁在落日下的影子 D．匡衡“凿壁偷光”时，书卷在灯光下的影子 【答案】D 【分析】本题考查投影，中心投影的光线从一点（投影中心）发出，平行投影的光线互相平行．根据选项描述的光源类型判断是否为中心投影即可．区分中心投影和平行投影的关键是看光源：点光源产生中心投影，平行光源产生平行投影． 【详解】解：∵ 日光、月光、落日阳光均为平行光，其投影为平行投影； ∵ 灯光为点光源，其投影为中心投影； ∴ 选项D中灯光下的影子属于中心投影． 故选：D． 4．如图是我国北方一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，按时间先后顺序排列正确的是（　　）. A．③④①② B．②①④③ C．③①④② D．②④①③ 【答案】A 【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．太阳从东边升起，西边落下，则建筑物的影子先向西，再向北偏西、北偏东，最后向东，于是根据此变换规律可对各选项进行判断． 【详解】解：按时间先后顺序排列为③④①②． 故选：A． 5．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈尺；1尺寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，列出方程即可． 【详解】解：一丈五尺尺，一尺五寸尺，五寸尺， 由题意，可列方程为：； 故选A． 6．如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进3米到达B处时，测得影子长为1米，已知小明身高米，他若继续往前走6米到达D处，此时影子长为（   ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】C 【分析】此题考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度． 依据，即可得到，再依据，即可得到长． 【详解】解：， ， ，即， 解得， ， ， ，即， 解得． 故答案为：C． 7．“月壤砖”是模拟月壤原料制成的一种建筑材料．如图是一种“月壤砖”的示意图，其左视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题关键是正确理解左视图．注意看不见的线用虚线表示. 根据左视图是从左边看得到的图形解答即可． 【详解】解：从左边看是矩形，两条看不见的线把矩形分成三个相邻的矩形． 故选：D． 8．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体从左面和上面看到的形状图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】该题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查；如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案； 根据从上面看到的图形确定第一层的个数，然后根据从左面看到的图形确定最多的小正方体的个数即可； 【详解】解：从上面看，第一层有3个小正方体， 从左面看第二层最多有3个小正方体， 故最多有个小立方体， 故选：C． 二、填空题 9．如图所示的是由4个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中，完全相同的是 视图和 视图． 【答案】 主 左 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图中左视图、主视图的定义解题即可． 【详解】解：主视图：从正面观察，有两层，底层两个小正方形，上层左边一个小正方形； 左视图：从左面观察，有两层，底层两个小正方形，上层左边一个小正方形； 俯视图：从上面观察，有两行，第一行两个小正方形，第二行左边一个小正方形． 故答案为：①主②左． 10．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为的等边三角形，主视图的长为的矩形，则该几何体的左视图的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查三视图，等边三角形的性质以及勾股定理．掌握常见几何体的三视图是解答本题的关键．由三视图可知该几何体为三棱柱，三棱柱的高为，底面是边长为的等边三角形，再求出该几何体底面三角形的高，即可求出左视图的面积． 【详解】解：由图可知，该几何体是一个三棱柱，三棱柱的高为，底面是边长为的等边三角形， 该几何体底面三角形的高为， 该几何体的左视图的面积为， 故答案为：． 11．一个几何体是由大小相同的小立方块摆成的，从正面、左面和上面看到的形状图如图所示，摆成这个几何体用到了 个小立方块． 【答案】8 【分析】本题考查从不同方向看，掌握相关知识是解决问题的关键．从上面看的图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从正面看的图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从左面看的图可看出每一行小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 【详解】解：由俯视图易得最底层小正方体的个数为6，由其它视图可知第二行第2列和第三列第二层各有一个正方体，那么共有（个正方体． 故答案为：8． 12．如图是一个底面为正方形的长方体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个长方体的体积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查三视图，由三视图可得该长方体的底面正方形的对角线长为，高为，根据长方体的体积公式计算即可． 【详解】解：该长方体的底面正方形的面积为， 长方体的体积为． 故答案为：4． 三、解答题 13．某糖果厂想要为儿童设计一种新型的装糖果的不倒翁，请你根据包装厂设计好的三视图（如图）的尺寸计算其体积．（球的体积公式：其中r为球的半径） 【答案】不倒翁的体积为： 【分析】由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的形状为：下部是底面半径为的半球，上部为底面半径为，母线长13cm的圆锥组成的组成体，代入圆锥体积公式和球的体积公式，即可得到答案． 【详解】解：此几何体是圆锥和半球的组合体， 如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴上面圆锥的体积为：， 下面半球体积为： ∴该几何体的容积为：． 【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体、几何体体积的计算，正确得出几何体的组成是解题关键． 14．如图，一路灯距地面米，身高米的小方在距离灯的底部（点）米的处，请画出小方的影子，并求小方的影长． 【答案】图见解析，小方的影长为米． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形，然后证明，则，设，则，代入得，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示，为所要求的图形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， 设，则， ∴， 解得， 经检验：是原方程的解， 答：小方的影长为米． 15．如图所示的几何体是有9块大小相同的小正方体搭成，在网格中画出从不同方向看到的图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了从三个方向观察几何体，良好的空间想象力是解题的关键； 分别从正面、左面和上面观察所给几何体，根据看到的形状作图即可． 【详解】解：从正面看，从左面看，从上面看的图形如下： 16．如图是一个几何体的三视图 （俯视图是等边三角形），求这个几何体体积． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，根据三视图求几何体的体积；根据俯视图求得底面积，进而根据底面积乘以高，即可求解． 【详解】解：根据俯视图， 依题意，是等边三角形，， ∴； 如图，过点作， ∴， ∴， ∴； 根据主视图可得这个三棱柱的高为：, ∴这个几何体体积为． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $