专题02 一元一次方程的应用（11大题型）（高效培优专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题02 一元一次方程的应用 题型一：和差倍分问题 题型二：行程问题 题型三：电费和水费问题 题型四：日历问题 题型五：销售盈亏问题 题型六：方案选择问题 题型七：用一元一次方程解决数字规律 题型八：用一元一次方程解决图形规律 题型九：方程的应用与绝对值的几何意义 题型十：方程的应用与数轴上两点之间的距离 题型十一：方程的应用与数轴上动点问题 题型一：和差倍分问题 1．（25-26七年级上·安徽六安·开学考试）果园里有梨树和桃树共2800棵，其中桃树的棵数是梨树的，果园里有桃树和梨树各多少棵？（列方程求解） 【答案】梨树 1680 棵，桃树 1120 棵 【分析】本题考查方程的应用，根据题意，可得到等量关系式：桃树的棵数+梨树的棵数=2800，可设梨树有x棵，那么桃树有棵，把未知数代入等量关系式进行解答即可． 【详解】解：设梨树有棵，则桃树有棵，根据题意得： 解得， 所以， 答：梨树 1680 棵，桃树 1120 棵 2．（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）在某届科技大赛中，甲团队在机器人竞赛与编程竞赛项目中共获得个奖项，且编程竞赛获得的奖项比机器人竞赛获得奖项的2倍少4个．分别求编程竞赛与机器人竞赛获得奖项的个数． 【答案】编程竞赛获得个奖项，机器人竞赛获得个奖项 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设编程竞赛获得个奖项，则机器人竞赛获得个奖项，根据编程竞赛获得的奖项比机器人竞赛获得奖项的2倍少4个列方程求解即可． 【详解】解：设编程竞赛获得个奖项，则机器人竞赛获得个奖项． 可得． 解得， 所以． 答：编程竞赛获得个奖项，机器人竞赛获得个奖项． 题型二：行程问题 3．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）某游客乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上回到甲地，顺流行驶了2小时50分，逆流行驶了3小时，水流速度为2千米/小时，求甲乙两地间的距离． 【答案】甲乙两地间的距离为204千米． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用．设船在静水中的速度为千米小时，先根据路程相等，列方程，得到船的静水速度，继而求出甲、乙两地的距离． 【详解】解：设船在静水中的速度为千米小时， 依题意，得：， 解得：， 故甲、乙两地的距离为：（千米）． 答：甲乙两地间的距离为204千米． 4．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）（利用方程解决问题） 据了解，火车票价按“”的方法来确定已知A站至H站总里程数为1500km全程参考价为180元，下表是沿途各站至H站的里程数： 车站名 A B C D E F G H 各站至H站的里程数（单位：km） 1500 1130 910 622 402 210 70 0 例如：要确定从A站至E站火车票价，其票价为元 (1)求C站至G站的火车票价（结果精确到1元）； (2)王大妈乘由A站驶往H站的火车去女儿家上车过两站后拿着火车票问乘务员：“我快到站了吗？”乘务员看到王大妈手中票价是84元，马上说“下一站就到了”请问王大妈是在哪一站上车的，要在哪一站下车. 【答案】(1)101元 (2)王大妈是从C站上车，到F站下车 【分析】本题考查了近似计算，一元一次方程的应用. （1）根据计算公式，得(元) . （2）设王大妈乘车站与到达站的距离为x千米，根据题意，得，根据站表计算即可. 【详解】（1）根据题意，得C站至G站的火车票价为(元). （2）设王大妈乘车站与到达站的距离为x千米，根据题意，得，解方程，得. 根据站表，得， 故王大妈是从C站上车，到F站下车. 5．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．11月中旬七年级的学生开启了以“溯源千年座谯城・浸润万缕药香”为主题的亳州研学之旅．已知①号车和②号车同时从合肥出发沿同一路线开往亳州，①号车的行驶速度是80千米/时，②号车的行驶速度是72千米/时，①号车比②号车早到小时，求合肥与亳州相距多少千米？ 【答案】合肥与亳州相距320千米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 设合肥与亳州相距x千米，根据①号车比②号车早到小时列方程求解即可． 【详解】设合肥与亳州相距x千米， 根据题意得， 解得， ∴合肥与亳州相距320千米． 题型三：电费和水费问题 6．（22-23七年级上·安徽合肥·期中）下表为某市居民每月用水收费标准（单位：元/立方米），设用户用水量为立方米． 用水量/立方米 单价/（元/立方米） 超出30的部分 (1)某用户用水10立方米，共交水费29.8元，求的值． (2)在（1）的前提下，该用户10月份交水费109.4元，请问该用户用水多少立方米？ 【答案】(1)的值为； (2)该用户用水35立方米． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用． （1）根据题意列出关于a的方程，解方程即可； （2）先判断用水量超过30立方米，然后列出关于x方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意，得，解得． 答：的值为； （2）解：∵用水30立方米时，水费为， ∴， ∴， 解得． 答：该用户用水35立方米． 7．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）移动公司推出A，B两种话费与流量套餐，详情如下表： 月基本费（元） 主叫限定时长 主叫超时费（元） 被叫 免费数据流量 流量超额费（元） 套餐A 79 200 0.15 免费 15 3 套餐B 99 300 0.15 免费 20 2 补充说明： ①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费 ②流量超额费以为单位计费（例如：套餐A流量超额，需另付（元） (1)若小花的爸爸使用套餐A，11月份主叫时长为300分钟，使用的流量为，求他11月的月结话费是多少元？ (2)若小花的爸爸12月份主叫时长为350分钟，使用流量为，小花通过计算发现，按套餐A比按套餐B的月结话费刚好多1元，求的值． (3)若小花的爸爸12月主叫时长不足200分钟，请你根据流量的使用情况分析说明使用哪种套餐更省钱．（只需写出分析得到的结论） 【答案】(1)他11月的月结话费是90元 (2) (3)当使用流量低于时，套餐A更省钱；当使用流量等于时，两种套餐花费一样；当使用流量超过时，套餐B更省钱． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据套餐A的收费方案列式求解； （2）根据“套餐A比按套餐B的月结话费刚好多1元”列方程求解； （3）根据使用流量的多少，计算比较大小． 【详解】（1）解： = （元） 答：他的月结话费为90元． （2）解：根据题意得： 解得， 答：x的值是17； （3）解：设他使用的流量为， 当时，选择A套餐； 当时，使用A套餐需要付费：，使用B套餐需要99元，故选择A套餐， 当时，使用A套餐需要付费：元，使用B套餐需要付费：元， 当，解得：， 即当时，选A套餐，当时，选B套餐； 综上所述：当使用流量低于时，套餐A更省钱；当使用流量等于时，两种套餐花费一样；当使用流量超过时，套餐B更省钱． 8．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）“绿色环保，人人有责；节水用水，共创美好明天”，某市为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，采用价格调控的手段以达到节水的目的，经物价部门审核，该市2023年自来水收费的价目表如下，请根据表中的信息解答下列问题： 每月用水量 价格 价目表 不超过 3元/ 超出不超出的部分 4元/ 超出的部分 6元/ (1)若某用户5月份用水，则应交水费__________元； (2)若该用户7月份应收水费77元，则用水__________； (3)若该用户9、10两个月共用水，共收水费93元（9月份用水量超过了10月份），求9月份用水量． 【答案】(1)36 (2)22 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用 （1）根据不超过部分，价格为3元/，据此计算即可得出答案； （2）设该用户7月份用水，根据“该用户7月份应收水费77元”列出一元一次方程求解即可得出答案； （3）设9月份用水，则10月份用水，分两种情况：当时，当时，列出方程求解即可得出答案． 【详解】（1）不超过，价格为3元/ 应交水费元 故答案为：； （2）解：设该用户7月份用水， 根据题意得， 解得： 故答案为：； （3）解：设9月份用水，则10月份用水 因为9月份用水量超过了10月份 所以9月份用水量大于 因此10月份用水量小于 ① 当时 9月份水费： 10月份水费： ② 当时 9月份水费： 10月份水费： 解得 因为 所以不合题意，舍去 综上所述， 答：9月份用水量是18． 9．（22-23七年级上·安徽宣城·期中）电信公司推出两种移动电话计费方法： 方法：免收月租费，按每分钟0.5元收通话费； 方法：每月收取月租费30元，再按每分钟0.2元收通话费． 现在设通话时间是分钟． (1)请分别用含的代数式表示计费方法、的通话费用． (2)用计费方法的用户一个月累计通话150分钟所需的话费，若改用计费方法，则可通话多少分钟？ (3)当通话多少分钟时，两种计费方法产生的费用相差15元？ 【答案】(1)方法通话分钟的费用为元；方法通话分钟的费用为元 (2)改用计费方法，可通话分钟 (3)150分或50分 【分析】（1）根据计费方法A、B表示出通话费用即可； （2）根据计费方法A、B列方程求出出通话费用即可； （3）根据题意，分两种情况列出方程，求出方程的解即可得到结果； 【详解】（1）解：由题意可得： 方法A：，方法B：； （2）方法A通话150分钟所需的话费=， 依题意得：， 解得：， 答：改用计费方法B，则可通话分钟； （3）由题意得，， 解得：或 答：当通话时间150分或50分时，两种计费方法产生的费用相差15元． 10．（22-23七年级上·安徽六安·阶段练习）为鼓励人们节约用水，某地实行阶梯式计量水价（如下表）． 级别 月用水量 水价 第1级 20吨以下（含20吨） 1.6元/吨 第2级 20~30吨（含30吨） 超过20吨部分按2.4元/吨 第3级 30吨以上 超过30吨部分按4.8元/吨 (1)若张红家5月份用水量为15吨，则该月需缴纳水费________元； (2)若张红家6月份缴纳水费44元，则该月用水量为________吨； (3)若张红家7月份用水量为a吨（a＞30），则该月需缴纳水费多少元？（用含a的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)该月需缴水费元 【分析】（1）判断得到15吨为20吨以下，由表格中的水价计算即可得到结果； （2）判断得到6月份用水量在20吨到30吨之间，设为吨，根据水费列出方程，求出方程的解即可得到结果； （3）根据的范围，按照第3级收费方式，计算即可得到结果． 【详解】（1） 该月需缴纳水费为（元） 故答案为：； （2）设该月用水量为吨，经判断 根据题意得： 解得： 故答案为：； （3） 答：该月需缴水费元． 11．（22-23七年级上·安徽宣城·阶段练习）“若要电费缴得少，节约用电要做好”，某市居民生活用电试行“阶梯电价”收费，标准如下： 居民月用电量千瓦时 单价元 不超过210千瓦时      超过210千瓦时但不超过400千瓦时的部分     0.6 超过400千瓦时的部分     0.9 已知小丽家七月份用电千瓦时，电费为元． (1)则上表中______． (2)若小明家八月份用电千瓦时，小亮家八月份用电千瓦时，这两家八月份电费分别是多少元？ (3)若小刚家八月份电费为元，求小刚家八月份的用电量． 【答案】(1)0.55 (2)133.5元和238.5元 (3)420千瓦时 【分析】（1）根据题意，得，解出即可； （2）根据阶梯收费分别求出这两家八月份电费； （3）设小刚家八月份的用电量千瓦时，根据，得知，再根据阶梯收费列方程． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 故答案为：； （2）解：小明家：（元）， 小亮家：（元）， 答：这两家八月份电费分别是：元和元； （3）解：设小刚家八月份的用电量千瓦时， ． ， ， ， ， 答：小刚家八月份的用电量：千瓦时． 题型四：日历问题 12．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）如表是2023年12月的月历表，用如图所示的L形框去框其中的四个数．    (1)设被框住的四个数中从上往下数第二个数为，用含的代数式表示出被框住的这四个数的和； (2)被框住的四个数的和能等于72吗？如果能，求出这四个数；如果不能，说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析． 【分析】本题考查了数字变化类，一元一次方程的应用，列代数式，解决本题的关键是寻找题目中隐含的规律． （1）根据表中的数据规律即可得出答案； （2）利用第一问的结果列出方程求解，在结合图中L形的规律解答即可． 【详解】（1）解：从上往下数第二个数为， 第一个数为，第三个数为，最右边的数为， 这四个数的和为：． （2）若这四个数的和是72，则有，解得， 则这四个数分别是：9，16，23，24． 但是从图中观察发现，要框住这4个数，无法用图中的L形框，故框柱的四个数的和不能等于72． 13．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）下表是2023年12月的日历，用如图所示的L形框去框其中的4个数． 2023年12月 (1)设被框住的最小的数为x，用含x的代数式表示出被框住的这4个数的和为________； (2)被框住的4个数的和能等于100吗？如果能，求出这4个数；如果不能，说明理由． 【答案】(1) (2)被框住的4个数的和能等于100，则四个数分别为 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，正确表示出对应的4个数是解题的关键． （1）根据日历的特点分别表示出其他三个数，然后求和即可； （2）设被框住的最小的数为x，假设被框住的4个数的和能等于100，则，解方程求出x的值，进而求出其他三个数，看是否符合日历的特点即可． 【详解】（1）解：被框住的最小的数为x，则其他三个数分别为， ∴被框住的这4个数的和为， 故答案为：； （2）解：设被框住的最小的数为x， 假设被框住的4个数的和能等于100， ∴， 解得， ∵， ∴符合题意， ∴被框住的4个数的和能等于100，则四个数分别为． 14．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图为2024年1月的日历，其中有一个“”形框，希望我们在新的一年“”（开心学习，热爱生活）．“”形框内包含7个数．    (1)将“”形框上下左右平移，但一定要框住2024年1月的日历中的7个数，若设“”形框内的7个数中，从小到大排列第个数为，用含的式子表示形框内的个数字的和为________； (2)将“”形框上下左右平移，设“”形框内的个数字之和为．请求出此时“”形框中的7个数中最小的数； (3)若某两次在不同位置框住的数之和分别为，（），且，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)8 (3)70 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式的加法计算，有理数的加法计算，正确理解题意列出式子和方程是解题的关键． （1）分别表示出其余6个数，然后根据整式的加法计算法则求解即可； （2）设“H”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a，由（1）的结论列方程求解可得到答案； （3）设7数之和为m时，从小到大排第4个数为，设7数之和为n时，从小到大排第4个数为，根据题意得到，再由可知当有最大值时，则有最大值，则只需要满足最大，最小时即可，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，其他6个数分别为， ∴这7个数的和为． 故答案为：； （2）设“H”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a， 由题意得，， 解得， ∴， ∴最小的数是8； （3）设7数之和为m时，从小到大排第4个数为，设7数之和为n时，从小到大排第4个数为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当有最大值时，则有最大值， ∴只需要满足最大，最小时即可， ∵，即， ∴当最大时，最小， 由日历表可知， 当取23，取7时，由日历表可知不符合题意； 当取20，取10，由日历表可知符合题意， ∴的最大值为 题型五：销售盈亏问题 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）“元旦”期间，某超市购进一批苹果，根据以往经验可知，这批苹果在运输和仓储过程中，其损耗率为，为保证这批苹果售完后的利润率能达到，求售价相对进价应提高的增长率． 【答案】售价相对进价应提高的增长率为 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设这批苹果的进价为a元/千克，增长率为，售价为元/千克，这批苹果共b千克，利用总利润销售单价销售数量进货单价购进数量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这批苹果的进价为a元/千克，增长率为，售价为元/千克， 根据题意得：， 即， 解得：． 答：售价相对进价应提高的增长率为． 16．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）晨光文具店一支自动铅笔的售价为1.4元，一支签字笔的售价为3.2元，该店在元旦假期举行了文具优惠售卖活动，自动铅笔按原价打8折出售，签字笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出50支，卖得金额91.2元，求自动铅笔、签字笔各卖出多少支？ 【答案】自动铅笔卖出30支，签字笔卖出20支． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，依题意，因为两种笔共卖出50支，故设自动铅笔卖出支，则签字笔卖出支，结合“自动铅笔按原价打8折出售，签字笔按原价打9折出售”，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设自动铅笔卖出支，则签字笔卖出支， 列式得， 解得， 则（支）， ∴自动铅笔卖出30支，签字笔卖出20支． 17．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）综合应用：某商场计划购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品每件进价50元，售价80元；乙种商品每件进价70元，售价110元． (1)若全部售出后获利3600元，求甲、乙两种商品分别有多少件？ (2)在第（1）题结论的条件下，该商场开展让利促销活动，若甲种商品每件售价60元，要使得这100件商品利润率为，乙种商品每件售价多少元？（商品销售总价商品总进价（利润率） 【答案】(1)甲40件，乙60件 (2)乙种商品每件售价84元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设甲种商品的数量为，列方程求出甲商品的数量，再求出乙商品的数量即可； （2）先算出100件商品的总进价，根据利润率求出总售价，再用总售价减去甲商品总售价，最后除以乙商品数量得到乙商品每件售价． 【详解】（1）解：设甲商品件，则乙商品件， 则乙商品数量为（件） 答：甲商品40件，乙商品60件． （2）解：总进价元 总售价元 甲总售价元 乙每件售价元 答：乙种商品每件售价84元． 18．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）某商场销售A，B两种品牌的营养早餐牛奶，其中A品牌牛奶的售价为50元/箱，B品牌牛奶的售价为70元/箱．某校决定在该商场购进A，B两种品牌牛奶共100．箱，恰逢商场对两种品牌牛奶的售价进行调整：A品牌牛奶每箱的售价比原售价减少了5元，B品牌牛奶每箱按原售价的八折出售．设学校购进A品牌牛奶x箱． (1)请直接在表格中填写结果： 品牌 购买价格/（元/箱） 购买量/箱 购买总价/元 A 45 B ______ ______ (2)如果该校此次购买A，B两种品牌牛奶的总费用为4940元，那么该校此次购买了多少箱A品牌牛奶和B品牌牛奶？ 【答案】(1)见解析 (2)该校此次购买了箱品牌牛奶和40箱品牌牛奶 【分析】本题考查了有理数乘法的应用、列代数式、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据品牌牛奶按原售价的八折出售可得品牌牛奶的购买价格，再利用购买价格乘以购买量可得购买总价； （2）根据总费用为4940元建立关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵品牌牛奶的原售价为70元/箱，现按原售价的八折出售， ∴品牌牛奶的购买价格为（元/箱）， 品牌牛奶的购买总价为元． 在表格中填写结果如下： 品牌 购买价格/（元/箱） 购买量/箱 购买总价/元 45 （2）解：由题意得：， 解得， ∴， 答：该校此次购买了箱品牌牛奶和40箱品牌牛奶． 19．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）小王是某服装店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打9折（原价的90%）．元旦期间，他去服装店，发现店内正在举办元旦特惠活动：任选两件衣服，第二件打8折，如果两件衣服不同价，则按低价商品的价格打折，并且特惠活动不能使用会员卡．小王打算在该店同时购买两件衣服． (1)若小王按会员价需花费元，比参加特惠活动少花10元，则两件衣服的原价为多少元？ (2)若小王计算后发现使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差20元，则两件衣服的原价相差多少元？ 【答案】(1)两件衣服的原价分别为元，元； (2)两件衣服原价相差元 【分析】此题考查了一元一次方程的应用． （1）设低价衣服的原价为元，则高价衣服原价为元，小王按会员价需花费元，比参加特惠活动少花10元，据此列方程，解方程即可得到答案； （2）设两件衣服原价相差元，低价衣服原价为元，则高价衣服原价为元，小王计算后发现使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差20元，据此列方程解方程即可． 【详解】（1）解：设低价衣服的原价为元，则高价衣服原价为元， 则 解得 ∴（元） 答：两件衣服的原价分别为元，元； （2）设两件衣服原价相差元，低价衣服原价为元，则高价衣服原价为元， 根据题意得到， 解得 解得 答：两件衣服原价相差元 20．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）某天，一蔬菜经营户用288元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共到菜市场上去卖，黄瓜和茄子这天的每千克的批发价与零售价如下表所示． 品名 黄瓜 茄子 批发价/元 零售价/元 (1)该经营户当天购进黄瓜和茄子各多少千克？ (2)如果黄瓜和茄子全部卖完，共赚多少钱？ 【答案】(1)购进黄瓜30千克，茄子10千克 (2)134元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算，准确弄清题意找出等量关系，列出一元一次方程是解题的关键； （1）设该经营户当天购进黄瓜x千克，则茄子千克，根据黄瓜批发价为元，茄子批发价为元，共花了288元，列出一元一次方程，解方程即可； （2）算成每斤黄瓜和茄子各赚多少钱，然后成乘以购进斤数，即可求出总的赚的钱数． 【详解】（1）解：设该经营户当天购进黄瓜x千克，则茄子千克，根据题意得： 解得：， 则茄子千克， 答：该经营户当天购进黄瓜30千克，茄子10千克； （2）解： 元， 答：黄瓜和茄子全部卖完，共赚134元． 21．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）春节前某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多10元，购进甲种商品4件与购进乙种商品9件的进价相同． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共件，所用资金恰好为元，出售时，甲种商品在标价的基础上打九折出售；乙种商品出售每件可获利，若两种商品全部售出后获利一样多，请求出甲种商品的标价？ 【答案】(1)甲种商品每件的进价是元，乙种商品每件的进价是元； (2)甲种商品标价为元． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是元，购进甲种商品4件与购进乙种商品9件的进价相同，据此列出一元一次方程，解方程即可； （2）可设该商场从厂家购进了甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据所用资金恰好为元的等量关系列出方程可求该商场从厂家购进了甲种商品的件数，乙种商品的件数，设甲种商品标价为元，根据两种商品全部售出后获利一样多列方程并解方程即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是元， 依题意得：， 解得：， 则， 答：甲种商品每件的进价是元，乙种商品每件的进价是元； （2）解：设该商场从厂家购进了甲种商品m件，则购进乙种商品件， 依题意得：， 解得：， 则， 设甲种商品标价为元， ， 解得， 答：甲种商品标价为元． 22．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）某商场用2500元购进、两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示． 类型价格 型 型 进价（元/盏） 40 65 标价（元/盏） 60 100 (1)这两种台灯各购进多少盏？ (2)若型台灯按标价的9折出售，型台灯也打折出售，那么这批台灯全部售出后，要使商场获利率为，型台灯打几折出售？ 【答案】(1)A灯10盏，B灯30盏 (2)折 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量列方程是解题的关键． （1）根据两个等量关系：A型灯盏数B型灯盏数，购买A型灯钱数购买B型灯钱数列方程解题即可； （2）根据利润售价进价，知商场共获利A型灯利润型灯利润列方程解题即可． 【详解】（1）解：设A型台灯购进x盏，B型台灯购进盏，可得： ， 解得：， ∴B型台灯购进盏， 答：A灯10盏，B灯30盏． （2）解：设型台灯打折出售， ， 解得：， 答：型台灯打折出售． 23．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）潜山市某商场经销的、两种商品，种商品每件售价为60元，利润率为；种商品每件进价为50元，售价为80元． (1)种商品每件进价为______元，每件种商品利润率为______． (2)若该商场同时购进、两种商品共70件，售完之后恰好总利润为1580元，求购进种商品多少件？ (3)在“春节”期间，该商场只对、两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分打八折优惠，超过600元的部分打七五折优惠 按上述优惠条件，若小明一次性购买商品、优惠后付款总额为531元，若没有优惠促销，小明在该商场购买同样商品要付多少元？ 【答案】(1) (2)购进种商品52件 (3)小明在该商场购买同样商品要付590元或668元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设种商品每件售价为元，根据的利润率为，列出方程求出的值，根据利润率利润成本计算可求每件种商品利润率； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，再由总利润为1580元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过400元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可． 【详解】（1）设种商品每件进价为元， 则， 解得：． 故种商品每件售价为40元； 每件种商品利润率为． 故答案为：40；； （2）设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得： 解得 答：购进种商品52件． （3）设若没有优惠促销，小明在该商场购买同样商品要付元，当打折前一次性购物总金额超过400元，但不超过600元时， ，解得． 当打折前一次性购物总金额超过600元时， ，解得． 答：小明在该商场购买同样商品要付590元或668元． 24．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）某社区超市销售甲、乙两种生活用品，甲种生活用品每件售价为60元，利润率为；乙种生活用品每件进价为50元，售价为80元． (1)甲种生活用品每件进价为________元，每件乙种生活用品利润率为________； (2)若社区超市同时购进甲、乙两种生活用品共50件，恰好总进价为2100元，求社区超市购进甲、乙两种生活用品各多少件？ (3)若社区超市在“元旦”期间进行如下表所示的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明只购买甲种生活用品，实际付款432元，求小明在该社区超市购买甲种生活用品多少件？ 【答案】(1)甲种生活用品每件进价元，乙种商品利润率为 (2)购进甲种生活用品件，则乙种生活用品件 (3)件或件 【分析】本题考查一元一次方程实际应用． （1）根据题意设甲种生活用品每件进价元，列方程计算即可求出，再利用利润率公式即可求出乙商品利润率； （2）设购进甲种生活用品件，则乙种生活用品件，列方程即可得到本题答案； （3）根据题意设在该社区超市购买甲种生活用品件，分类讨论，列方程即可求出本题答案． 【详解】（1）解：设甲种生活用品每件进价元， ∵甲种生活用品每件售价为60元，利润率为， ∴，解得：， ∵乙种生活用品每件进价为50元，售价为80元， ∴乙商品利润率为：； 综上所述：甲种生活用品每件进价元，乙种商品利润率为； （2）解：设购进甲种生活用品件，则乙种生活用品件， ∵恰好总进价为2100元， ∴由（1）知可列式为：， 解得：， 即：（件）， 综上所述：购进甲种生活用品件，则乙种生活用品件； （3）解：设在该社区超市购买甲种生活用品件， ∵小明只购买甲种生活用品，实际付款432元， ∵甲种生活用品每件售价为60元， ①不超过380元，不符合题意； ②超过380元，但不超过500元， ∴，解得：， ③超过500元， ∴，解得：， 综上所述：在该社区超市购买甲种生活用品件或件． 25．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）2023年12月18日，甘肃地震牵动着全国人民的心．我校微尘爱心社的同学第一时间组织了爱心义卖活动：他们用240元钱从批发市场批发了卡套和小挂件共50个，他们会把活动的盈利全部捐出，卡套和小挂件当天每个的批发价与零售价如下表所示： 品名 卡套 小挂件 批发价（元/个） 6 3 零售价（元/个） 9 5 (1)求同学们批发卡套和小挂件各多少个？ (2)如果当天卡套和小挂件共卖出25个后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天共捐出了89元． ①设打折的商品中有x个卡套，则：打折售出的小挂件有______个，原价售出的小挂件有______个． ②求打折后卖出的卡套和小挂件各多少个？ 【答案】(1)卡套30个，小挂件20个 (2)①，，②卡套20个，小挂件5个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题，正确理解题意，找出等量关系是解题的关键； （1）根据批发了卡套和小挂件共50个，设出未知数，然后根据卡套个数卡套批发价小挂件个数小挂件批发价，列出一元一次方程，计算即可； （2）设打折后卖出的卡套有x个，根据一共有50个，共卖出25个，则小挂件有个，表示出打折前卖出卡套和小挂件获得的利润，然后加上打折后的即为捐出的总钱数，列方程解答； 【详解】（1）设批发卡套x个，则小挂件个，根据题意得： ， 解得：， 则（个） 答：批发卡套30个、小挂件20个； （2）（个） 设打折后卖出的卡套有x个，小挂件有个， 打折前卖卡套有个，小挂件有个，即个， 故①答案为：， ②打折前的利润为， 根据题意得： ， 解得：， 则（个）， 答：打折后卖出的卡套20个，小挂件5个． 26．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）春节期间，小华看到芜湖两个超市的促销信息： 甲超市促销信息栏：全场8.8折． 乙超市促销信息栏：不超过200元，不给予优惠；超过200元而不超过500元，全部打9折；超过500元，其中500元的那部分打9折，超过500元的那部分打8折．（注：假设两个超市相同商品的标价都一样） (1)当一次性购买商品的标价总额是元时，甲、乙两超市实际付款分别是多少元？（用含有的式子表示） (2)当标价总额是多少元时，甲、乙两超市实付款一样？ (3)小华想购买标价分别是170元的足球和540元的电饭煲（这两种商品在两家超市都有销售），请你帮他设计出最省钱的购买方案，最少要花费多少元？ 【答案】(1)甲超市实际付款是元，乙超市实际付款是元 (2)625元 (3)最省钱的购买方案为足球和电饭煲均在乙超市购买，最少要花费618元 【分析】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用以及有理数混合运算，正确理解题目中两超市的促销方案是解题关键． （1）根据两超市的促销方案，分别列式即可； （2）当标价总额是元时，甲、乙两超市实付款一样，结合（1）可知只有当一次性购买商品的标价总额元时，才有可能甲、乙两超市实付款一样，然后列出方程并求解即可； （3）分“足球和电饭煲均在甲超市购买；足球和电饭煲均在乙超市购买；足球在甲超市购买，电饭煲在乙超市购买；足球在乙超市购买，电饭煲在甲超市购买”几种情况讨论，分别求解并比较，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，当一次性购买商品的标价总额是元时， 甲超市实际付款是元，乙超市实际付款是元； （2）当标价总额是元时，甲、乙两超市实付款一样， 结合（1）可知，只有当一次性购买商品的标价总额元时，才有可能甲、乙两超市实付款一样， 此时可有， 解得元， 答：当标价总额是625元时，甲、乙两超市实付款一样； （3）若足球和电饭煲均在甲超市购买，实付款为：元； 若足球和电饭煲均在乙超市购买，实付款为：元； 若足球在甲超市购买，电饭煲在乙超市购买，实付款为：元； 若足球在乙超市购买，电饭煲在甲超市购买，实付款为：元， 因为， 所以，最省钱的购买方案为足球和电饭煲均在乙超市购买，最少要花费618元． 27．（23-24七年级上·安徽六安·期末）某书店预购进A、B两类学生书刊．若购买300本A书刊和200本B书刊共需要4400元，其中A、B两类书刊的进价和售价如下表： A B 进价（元/本） x 售价（元/本） 15 20 (1)求A、B两类书刊的进价各是多少元？ (2)若书店第一次购进A、B两类书刊共600本，全部售完后总利润（利润＝售价进价）为4950元，求该书店第一次分别购进A、B两类书刊各多少本？ (3)若第二次购进时两类书刊的进价都比上次优惠了10%，购进同样数量的两类书刊，再次销售时书店对A类书刊售价不变，B类书刊进行打折出售，全部售完后总利润比上次还多30元，求B类书刊打了几折？ 【答案】(1)A类书刊的进价是8元，B类书刊的进价是10元 (2)A类书刊购进350本，B类书刊购进250本 (3)B类书刊打了9折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和找等量关系，找出等量关系，列方程求解是解题的关键． （1）根据购买300本A书刊和200本B书刊共需要4400元，列方程即可求解． （2）设A类书刊购进m本，则B类书刊购进本，由全部售完后总利润（利润=售价-进价）4950元可列方程，列方程即可求解． （3）设B类书刊打了a折，分别求解600本书的进价和售价，根据600本书的利润列方程，即可求解． 【详解】（1）由题意得：， 解得：． ∴（元）． 答：A类书刊的进价是8元，B类书刊的进价是10元． （2）设A类书刊购进m本，则B类书刊购进本， 由题意得：， 解得：． ∴（本）． 答：A类书刊购进350本，B类书刊购进250本． （3）设B类书刊打了a折， 600本书的售价为：． 进价为：（元）． 利润为：． 解得：． 答：B类书刊打了9折． 28．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某花店分别以22元/盆和30元/盆的价格两次购进甲、乙两种绿植．花店第一次购进两种绿植共花费4600元，其中甲种绿植盆数的2倍比乙种绿植盆数的3倍少40盆． (1)请计算该花店第一次分别购进甲、乙两种绿植各多少盆． (2)该花店将第一次购进的甲、乙两种绿植分别以28元/盆和40元/盆的价格全部售出，则卖出后一共可获得利润________元． (3)该花店第二次购买这两种绿植时进价不变，其中甲种绿植盆数是第一次的2倍，乙种绿植盆数不变．甲种绿植仍按原售价销售，乙种绿植打折销售．第二次甲、乙两种绿植销售完以后获得的利润比第一次获得的利润多280元，则第二次乙种绿植是按原售价打几折销售的？ 【答案】(1)该花店第一次分别购进甲、乙两种绿植各100盆、80盆 (2) (3)第二次乙种绿植是按原售价打九折销售的 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和算式是解题的关键． （1）设该花店第一次购进乙种绿植x盆，则购进甲种绿植盆，根据购买两种绿植一共花费4600元建立方程求解即可； （2）根据总利润（甲的售价甲的进价）甲的销售量（乙的售价乙的进价）乙的销售量计算求解即可； （3）设第二次乙种绿植是按原售价打m折销售的，先求出第二次甲种绿植的数量，再根据总利润（甲的售价甲的进价）甲的销售量（乙的售价乙的进价）乙的销售量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设该花店第一次购进乙种绿植x盆，则购进甲种绿植盆， 由题意得，， 解得， ∴ ， 答：该花店第一次分别购进甲、乙两种绿植各100盆、80盆； （2）解： 元， ∴卖出后一共可获得利润元， 故答案为：； （3）解：设第二次乙种绿植是按原售价打m折销售的， 由题意得，第二次购进甲种绿植盆， ∴， 解得， ∴第二次乙种绿植是按原售价打九折销售的． 29．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）某商场购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4600元．甲商品每件的进价比乙商品多20元，购进4件甲商品与购进5件乙商品的价格相同． (1)问甲，乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)甲商品在进价的基础上加价40%进行标价：而当乙商品按标价出售时，每件可获利30元． ①问购进甲商品和乙商品各多少件？ ②若甲商品按标价的九折出售，乙商品按标价出售一部分商品后进行促销，剩余商品按标价打九折后再降价4元出售，当甲，乙两种商品全部售出时，共获利1200元，则乙商品按标价售出了多少件？ 【答案】(1)甲种商品每件的进价是100元，乙种商品每件的进价是80元 (2)①购进甲商品和乙商品各件和件  ②乙商品按标价售出件 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． （1）可设乙种商品每件的进价是x元，则甲种商品每件的进价是元，根据购进甲种商品件与购进乙种商品件的进价相同的等量关系列出方程即可求解； （2）①可设该商场从厂家购进了甲种商品y件，则乙种商品件，根据所用资金恰好为元的等量关系列出方程可求该商场从厂家购进了甲种商品的件数，乙种商品的件数；②可设乙商品按标价售出z件，则乙商品按促销价售出件，根据获利1200元列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙种商品每件的进价是x元，则甲种商品每件的进价是元，依题意有：， 解得， 则． 答：甲种商品每件的进价是100元，乙种商品每件的进价是80元； （2）①设该商场从厂家购进了甲种商品y件，则乙种商品件，依题意有， 解得， 则， 答：购进甲商品和乙商品各件和件； ②设乙商品按标价售出件，则乙商品按促销价售出件，依题意有： ， 解得． 答：乙商品按标价售出件． 题型六：方案选择问题 30．（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）某校校长将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受6折（即全票价的）优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的7折优惠．”若全票价为480元． (1)设学生数为x名，分别计算甲、乙两旅行社的收费（用含x的式子表示）； (2)当学生有多少名时，两家旅行社收费一样？ 【答案】(1)甲旅行社的收费为元；乙旅行社的收费为元 (2)3名 【分析】（1）根据题意可得，甲旅行社收费等于一个全额票+学生人数×价票，乙旅行社收费等于（1+学生人数），然后列出代数式即可； （2）由甲旅行社收费等于乙旅行社收费得到方程，求解即可． 【详解】（1）因为全价票为480元， 所以6折票价为（元）， 这样甲旅行社的收费为元； 全票价的7折为（元）， 这样乙旅行社的收费为元． （2）当两家旅行社的收费一样时， ， 解得， 答：当有3名学生时，两家旅行社的收费一样． 31．（23-24七年级上·安徽池州·期中）池州市红星家具厂生产一种课桌和椅子课桌每张定价200元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子： 方案二：课桌和椅子都按定价的80%付款． 某校计划添置100张课桌和x把椅子． (1)用含x的代数式分别表示方案一与方案二各需付款多少元？ (2)当时，通过计算说明该校选择上面的两种购买方案哪种更省钱？ 【答案】(1)方案一：，方案二： (2)方案二，见解析 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值等知识， （1）根据各自的优惠方案，用代数式表示所需费用； （2）当时，分别求出（1）中两个代数式的值，通过比较即可求解； 理解两种优惠方案从而正确写出代数式是解决问题的关键． 【详解】（1）方案一：， （元）， 方案二：， （元）， （2）当时， 元， 元， ∵ ∴方案二省钱，       答：方案二比较省钱． 32．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）某超市为了吸引顾客，制定了以下两种优惠方案：①甲超市：累计购买商品价格超过200元，超出的部分按原价8折优惠；②乙超市：累计购买商品价格超过100元，超出部分按原价折优惠．设顾客购物的原费用是x（）元． (1)用含x的式子分别表示出两种优惠方案实际支付的费用．（结果需化简） (2)小林准备购买300元的商品，你认为他应该选择哪种优惠方案？请说明理由． (3)当顾客购买多少元的商品时，使用两种优惠方案购物所付的费用一样？ 【答案】(1)①；② (2)当购买300元的商品，应去乙超市购买；理由见解析 (3)当购买500元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样 【分析】（1）根据题意分别列式表示甲、乙两家超市的费用即可； （2）将分别代入（1）的结果中，再比较大小即可得到答案； （3）列出方程计算即可． 【详解】（1）解：①甲超市的费用：， ②乙超市的费用：； （2）解：当购买300元的商品，应去乙超市购买，理由如下： 当时， 甲超市的费用为：（元）， 乙超市的费用为： （元）， ∵， ∴应去乙超市购买． （3）解：， 解得：， ∴当购买500元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样． 33．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）无为市某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭会员证游泳每次付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元，设小明计划今年夏季游泳次数为（为正整数） (1)根据题意，方式一的总费用为______元，方式二的总费用为______元． (2)若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，则选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？ (3)如果两种方式总费用一样多，则他的游泳次数是多少次？ 【答案】(1)， (2)选择第一种付费方式，理由见解析 (3)25次时，两种方式总费用一样多 【分析】（1）分式一的费用等于每张会员证100元加上次的游泳费用，分式二的费用等于次的游泳费用，再列代数式即可； （2）根据（1）的付费分式，列方程分别求解游泳次数，再比较即可； （3）根据（1）的付费分式，列方程解得即可． 【详解】（1）解：据题意，方式一的总费用为元，方式二的总费用为元； （2）设小明游泳次数为 如果选择方式一：， 解得：， 如果选择方式二：， 解得：， ∴小明选择第一种付费方式，他游泳的次数比较多． （3）设当小明游泳次数为时，两种方式总费用一样多． 则， 解得：， ∴当他的游泳次数是25次时，两种方式总费用一样多． 题型七：用一元一次方程解决数字规律 34．（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段练习）有一列单项式，按一定规律排列成：，，，，，…．根据其中的规律，回答问题． (1)第8个单项式是______，第，（，且为正整数）个单项式是______． (2)若某三个相邻的单项式的系数之和是，则这三个单项式分别是多少？ 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查的是单项式的规律探究，一元一次方程的应用，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键． （1）观察单项式发现，系数的绝对值为，字母指数为序数，据此即可求解． （2）设所求的三个单项式的系数分别为，，，根据单项式的系数之和是，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，… ∴第8个单项式是， 第，（，且为正整数）个单项式是； 故答案为：；． （2）解：设所求的三个单项式的系数分别为，，， 由题意得：， 解得：，   ∵，，， ∴这三个单项式分别是，，． 35．（22-23七年级上·安徽淮南·期末）观察下面三行数． ，4，，16，，… ，5，，17，，… ，8，，32，，… (1)求第一行的第n个数；（n为正整数） (2)求第二行的第6个数、第三行的第7个数； (3)取每一行的第k个数，这三个数的和能否是？若能，求出k的值，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的乘方运算，以及规律型：数字的变化类，根据已知得出规律，运用规律是解答此题的关键． （1）根据题意得到第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的倍，即可解题； （2）根据题意得到第二行数的规律是：第二行的第n个数是，第三行数的规律是：第三行的第n个数是，即可解题； （3）设第一行的第k个数为x，则第二行的第k个数为，第三行的第k个数为，根据题意建立方程求解，得到的值，再根据，求解即可解题； 【详解】（1）解：第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的倍，即，，，…， 所以第一行的第n个数是． （2）解：同位置的第二行数比第一行数大1，同位置的第三行数是第一行数的2倍， 第二行的第n个数是，第三行的第n个数是； 第二行的第6个数是，第三行的第7个数是； （3）解：能，设第一行的第k个数为x，则第二行的第k个数为，第三行的第k个数为， 根据题意有， 解得， ， ， k的值为5． 36．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）观察以下按一定规律排列的数： 第1行：． 第2行：，． 第3行：，，． 第4行，，，，． … 按照以上规律，解决下列问题： (1)第6行左起第3个数为________． (2)求第行左起前2个数以及其前面所有的数（包括前面行中所有的数）的积． (3)若某一行未经约分且分母为2的数为，且与它后面一个数之和恰好为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字规律的探索，有理数的运算，一元一次方程的应用． （1）根据题中给出的前几行找到规律进行计算即可； （2）根据题中给出的前几行找到规律可知第行左起前个数，前99行所有数字的积为1，再进行计算即可； （3）设，则它后面一个数为，根据这两个数和为，进行求解即可； 根据题意找到每行数字的规律是解题关键． 【详解】（1）解：由题意可知： 每一行分子从1开始，连续整数增大到行号应的数， 分母从行号对应的数开始，连续整数减小到1， 第6行前3个数依次是：，，， 故答案为：； （2）由题意可知： 每一行分子从1开始，连续整数增大到行号应的数， 分母从行号对应的数开始，连续整数减小到1， 第行左起前个数为：，， 前面行中所有的数乘积为1， 第行左起前2个数以及其前面所有的数（包括前面行中所有的数）的积为； （3）设，则它后面一个数为． 由题意得， 解得，所以． 37．（22-23七年级上·安徽合肥·期中）小铭同学问数学老师家的电话号码是多少，老师说：“想知道我家的电话号码，得动点脑筋，”接着又说：“我家的电话号码是八位数，且符合①前四位数字相同，后面四位数字是连续的自然数，②全部数字之和恰好等于号码的最后两位数，③巧的是，这个号码的后面五位数字也是连续自然数．” 请你根据上述条件解答下列问题： (1)请写一个符合①的电话号码 ． (2)请写一个同时符合①③的电话号码 ． (3)请用学过的一元一次方程的知识帮助小铭得到数学老师家的电话号码． 【答案】(1)66662345(答案不唯一) (2)22223456(答案不唯一) (3)88887654 【分析】（1）根据前四位数字相同，后面四位数字是连续的自然数，写出答案即可； （2）根据前四位数字相同，后面五位数字是连续的自然数，写出答案即可； （3）分两种情况进行讨论，①后五位数是依次增加的数，②后五位数是依次减小的数，然后根据题意列出方程即可求出结果． 【详解】（1）解：如66662345(答案不唯一)； （2）解：22223456 (答案不唯一)； （3） 解：①后五位数是依次增加的数． 设前四位数字均为，则后四位数字依次为，，， 根据题意，得： 解得： 不符合实际意义． ②后五位数是依次减小的数． 设前四位数字均为，则后四位数字依次为，，，， 根据题意得： 解得：． 所以后四位数为7654，因此老师家的电话号码为：88887654． 答：小王得到仇老师家的电话号码是88887654． 38．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）把从1开始的连续的奇数排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列、… (1)①数阵中排在第7行第1列的数是_______； ②2025在数阵中排在第_______列，数阵中排在第行第5列的数可用表示为_______ (2)按如图所示的方式，用一个“”形框框住四个数，设被框的四个数中最小的数为，是否存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)数阵中用一个“”形框框住的四个数的和记为“”，直接写出的最大值与最小值的差是_______． 【答案】(1)①97；②5； (2)不存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948，理由见解析 (3) 【分析】本题考查的是数字类的规律探索，一元一次方程的应用，解题的关键是能观察出数阵中每行的数依次增加2，每列的数依次增加16． （1）①依据每行的数依次增加2，每列的数依次增加16，据此解答即可；②先求出数的总个数，进而确定2025所在的列数即可；再根据同列上下两个数依次增加16，求出第n行第一个数，进而求出第n行第5个数即可； （2）通过假设存在这样的，则可列出方程：，解方程求解即可； （3）要使S的值最小，则框住的是第一、二行前面较小的数，要使S的值最大，则框住的是数阵中后面的大数，据此解答即可． 【详解】（1）解：①通过观察可知，第五行最后一个数为79，则第6行第1列的数是，又通过观察可知，同一列的数依次往下加16，则第7行第1列的数是， 故答案为：97； ②数阵中的数共有：（个）， 数阵中一共有1013个数，每行有8个数，， ∴2025在数阵中排在第5列； 通过观察数阵可知：相邻两个数依次增加2，同列上下两个数依次增加16， ∴第行的第一个数为：， ∴数阵中排在第行第5列的数可用表示为：， 故答案为：； （2）解：不存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948，理由如下： 假设存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948， 依题意，可列方程：， 解得：． ∵479是第240个奇数，， ∴479位于第30行第8个数， ∵479右边的数481位于第31行第1个数， ∴假设不成立， ∴不存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948． （3）解：通过观察可知： 框住的最小值为：， 要使框住的值最大，则最后一个数2025必然在平行四边形中， 则框住的最大值为：， 则两者的差为：， 故S的最大值与最小值的差为：． 39．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）将1到2025之间的所有奇数按顺序排成下图： 记表示第行第个数，如表示第2行第3个数是17，即． (1)______； (2)若，则______，______； (3)将表格中的4个阴影格子看成一个整体（“T”字）并平移，所覆盖的4个数之和能否等于200？若能，求出这4个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)41 (2)169；5 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数字的变化类． （1）根据题意可知，然后即可计算出相应的值； （2）根据规律可得是第个奇数，是第行，第5个数，可得到m、n的值； （3）设“”字第一行中间数为，由题意得，然后求解即可说明理由． 【详解】（1）解：由题意可得，每一行6个奇数，左右差2，上下两行同一列数字差12， 由表格可得 ∴， 故答案为：41； （2）解：由表格可得发现规律：每一行6个奇数，左右差2，上下两行同一列数字差12， ∵， ∴是第个奇数， ∵， ∴是第行，第5个数， ∵， ∴，， 故答案为：169，5； （3）解：所覆盖的4个数之和不能等于200，理由如下： 设“”字第一行中间数为， 由题意得， 解得， ∵47位于第4行最后一个数，所以不能与其他数构成“”字状， ∴所覆盖的4个数之不和能等于200． 40．（22-23七年级上·安徽六安·期末）把这九个数填入方格中，使其每一横行，每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和都相等（记这个和为a），这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”，图1是仅可以看到部分数值的“九宫格”，我们尝试完成下列问题： (1)这九个数的和是______，所以每一横行的3个数之和a等于______； (2)如图2，一般地，由，，，，将4式相加后代入的值，可求得_____，结合（1）的结论可依次填满其余空格，故图1中_____； (3)如图3，将改为其它9个整数，其余要求不变，请求出图中． 【答案】(1)45，15； (2)5，9； (3)1011 【分析】（1）将共九个数字相加，再除以3可得结果； （2）将4式相加，结合（1）中结论可得，解之即可； （3）根据九宫格的特征列出方程，得到，从而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴每一横行的3个数之和a等于， 故答案为：45，15； （2）由题意可得： ∴ ∴，故图1中填空如下： 则 （3）如图，由， 得， ∴． 2023 41．（22-23七年级上·安徽亳州·期中）请阅读下列材料，并解答相应的问题：将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等（这个和叫幻和），则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等，例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． 4 9 2 6 7 2 6 1 8 3 5 7 1 5 9 7 5 3 8 1 6 8 3 4 2 9 4 图1 图2 图3 图4 2 a b c y 8 10 5 x d e f 2 4 g h i (1)请你将下列九个数：、、、、、0、2、4、6，分别填入图1方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等； (2)在图2的三阶幻方中，的值为 ； (3)在图3的三阶幻方中，该幻方的幻和可用表示为 ；进而可得该幻方中9个数的和可用表示为 ；之间的数量关系为 ； (4)图4的三阶幻方中，的值为 ． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 (3)，， (4)21 【分析】（1）根据题意，由幻方规则求解即可得到答案； （2）根据幻方规则列方程求解即可得到答案； （3）根据幻方规则列方程组求解即可得到答案； （4）根据幻方规则列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，三阶幻方如图所示：（答案不唯一） 2 0 6 4 （2）解：设表格第一列中间数为，如下表格： 2 5 4 ，即，解得， 故答案为：1； （3）解：如下表格： a b c d e f g h i 设该幻方的幻和为， ，则 ， ； ； ， ，则， ， ， ； 故答案为：，，； （4）解：如下表格： 8 10 2 根据幻方规则，该幻方幻和为，则第一列第三个数为，第二列中间的数为， 由（3）中可知幻和为中间数的3倍，即，解得， 故答案为：． 42．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）综合与实践 【项目背景】 干支纪年是中国传统的纪年方法，由十个天干和十二个地支搭配而成(如下图)． 十个天干与十二个地支中的前十个分别按顺序搭配，例如天干之“甲”与地支之“子”相搭配，便形成了干支纪年的第一个组合“甲子”，然后“乙”与“丑”搭配，形成“乙丑”，等等，第一个十年如下： 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 甲子 乙丑 丙寅 丁卯 戊辰 己巳 庚午 辛未 壬申 癸酉 第二个十年是把前一个十年未参与的“戌”和“亥”排在地支最前面，后面依次是“子、丑、寅、……”，天干和地支仍按顺序搭配，得到组合如下： 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 甲戌 乙亥 丙子 丁丑 戊寅 己卯 庚辰 辛巳 壬午 癸未 第三个十年从“甲申”开始，依此类推，周而复始． 【内容理解】 （1）干支纪年中， “甲丑”年(填“有”或“没有”)；干支纪年的一个周期为 年； 【问题探究】 （2）中国人民解放军诞生于丁卯年，建军70周年是 年(填干支组合)；在一个周期内，“甲子”年是第1年，“戊戌”年是第 年(填序号)． 【知识运用】 （3）小红是七年级学生，她的弟弟比她小5岁，甲辰年小红和弟弟的年龄之和刚好是爸爸年龄的一半，20年以后，小红和弟弟年龄之和比爸爸的年龄大1岁．用干支纪年表示，小红是哪一年出生的？ 【答案】（1）没有，（2）丁丑，（3）壬辰年 【分析】本题考查考查了规律型：数字的变化类，一元一次方程的应用，读懂题目介绍的干支纪年法是解题的关键． （1）根据干支纪年表即可得到答案； （2）由干支纪年表中的信息即可得到答案； （3）设甲辰年小红的年龄为，则弟弟的年龄为，爸爸的年龄为，根据题意列方程，解方程，再根据干支纪年表中的信息，即可得到答案． 【详解】解：（1）如干支纪年表所示， 干支纪年中没有甲丑年，干支纪年的一个周期为年， 故答案为：没有，； （2）如干支纪年表所示，中国人民解放军诞生于丁卯年，建军70周年是丁丑年，在一个周期内，“甲子”年是第1年，“戊戌”年是第年， 故答案为：丁丑，； （3）设甲辰年小红的年龄为，则弟弟的年龄为，爸爸的年龄为，根据题意列方程得， 解得：， 如干支纪年表所示年之前为壬辰年， 小红是壬辰年出生的． 题型八：用一元一次方程解决图形规律 43．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图：搭1个正六边形需要6条线段，组成6个顶点；搭2个正六边形，需要11条线段，组成10个顶点；搭3个正六边形，需要16条线段，组成14个顶点……，根据这个规律回答下列问题： (1)搭5个正六边形，需要 条线段，组成 个顶点． (2)搭个正六边形，需要 条线段，组成 个顶点． (3)10121条线段可以搭多少个正六边形，组成的顶点个数是多少？ 【答案】(1)， (2)， (3)10121条线段可以搭个正六边形，组成的顶点个数是． 【分析】本题考查的是图形类的规律探究，一元一次方程的应用； （1）先计算前几个图形的线段的数量，顶点的数量可得答案； （2）由（1）归纳可得规律； （3）由（2）的规律建立方程求解，并进一步计算即可． 【详解】（1）解：一个六边形有6条线段，有个顶点， 第2个图形有条线段，有个顶点， 第3个图形有条线段，有个顶点， …． ∴第5个图形有条线段；有个顶点， （2）解：归纳可得，第n个图形有条线段， 有个顶点． （3）解：由题意可得：， 解得：， ∴， ∴10121条线段可以搭个正六边形，组成的顶点个数是． 44．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长为1的小正方形组成，其中部分小正方形有阴影，按照这样的规律； (1)第4个图案中涂有阴影的小正方形的个数是________；第n个图案中涂有阴影的小正方形的个数是________；（用含n的代数式表示并写成最简形式） (2)第n个图形中，边长为1的小正方形总数是否可以为2026个？若可以，求出n的值；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)17， (2)不可以，理由见解析 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元一次方程的应用等知识点，根据所给图形发现阴影小正方形个数及小正方形总数的变化规律是解题的关键． （1）根据所给图形，依次求出图形中阴影小正方形的个数，发现规律即可解答； （2）根据所给图形，依次求出图形中小正方形的个数，发现规律即可解答． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1个图案中，阴影小正方形的个数为：； 第2个图案中，阴影小正方形的个数为：； 第3个图案中，阴影小正方形的个数为：； …， 所以第n个图案中，阴影小正方形的个数为个． 当时，（个）． 所以第4个图案中，阴影小正方形的个数为17个． 故答案为：17，． （2）解：不可以，理由如下： 由所给图形可知， 第1个图案中，小正方形的总数是：； 第2个图案中，小正方形的总数是：； 第3个图案中，小正方形的总数是：； …， 所以第n个图案中，小正方形的总数是个． 令，解得：， 因为不是整数， 所以边长为1的小正方形总数不可以为个． 45．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第（1）个图案中有两个正方形，第（2）个图案中有5个正方形，第（3）个图案中有8个正方形，以此类推… 根据上面规律， (1)第（5）个图案中有______个正方形； (2)第个图案中有______个正方形； (3)小明同学说他搭成的图案中，得到了2025个正方形，你认为他的结论正确吗？说明理由． 【答案】(1)14 (2) (3)不正确．理由见解析 【分析】本题考查图形变化中规律型问题，用代数式表示出图形变化规律是解题的关键． （1）根据已有图形找出规律，根据规律求解； （2）根据图形变化规律列代数式即可； （3）令（2）中代数式的值为2025，看方程的解是否是整数即可． 【详解】（1）解：第（1）个图案中有2个正方形，， 第（2）个图案中有5个正方形，， 第（3）个图案中有8个正方形，， 以此类推， 第（5）个图案中正方形个数为：， 故答案为：14； （2）解：由（1）知，第个图案中正方形个数为：， 故答案为：； （3）解：不正确， 理由：由， 解得， 因为n的值不是整数，所以不正确． 46．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）用火柴棒按图中的方式搭图形： (1)按图示规律填空： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒根数 7 12 ______ ______ ______ (2)按照这种方式搭下去，请写出搭第n个图形需要的火柴棒根数； (3)小明发现：按照这种方式搭图形会产生若干个正方形，若图中产生2024个正方形，则需用多少根火柴棒搭图形？ 【答案】(1)17，22，27 (2) (3)3377根 【分析】本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形得到后一个图形比前一个图形多5根火柴棒是解题的关键． （1）由已知图形中火柴棒的根数是序数的5倍与2的和，据此可补全表格； （2）根据以上所得规律可得答案； （3）先根据使图中产生2024个正方形得出图形序号，再求用多少根火柴搭图形可得答案． 【详解】（1）解：图①中火柴棒的根数，图②中火柴棒的根数，图③中火柴棒的根数，图④中火柴棒的根数，图⑤中火柴棒的根数， 故答案为：依次为17，22，27； （2）解：由（1）中的规律可得，搭第n个图形需要的火柴根数为：； （3）解：观察图形知：第n个图形会产生个正方形， ， 解得：， ， 答：需用3377根火柴棒搭图形． 47．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）小茗同学用小木棍按如图方式进行排列．回答下列问题： (1)第4个图形用__________根小木棍； (2)第个图形需要多少根小木棍？ (3)第几个图形需要2027根小木棍？ 【答案】(1)22 (2) (3)第405个图形需要2027根小木棍 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需小木棍的根数依次增加5是解题的关键． （1）根据所给图形，依次求出图形中小木棍的根数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1个图形用的小木棍根数为：； 第2个图形用的小木棍根数为：； 第3个图形用的小木棍根数为：； 第4个图形用的小木棍根数为：； 即第4个图形用的小木棍根数为22根． 故答案为：22． （2）解：由所给图形可知， 第1个图形用的小木棍根数为：； 第2个图形用的小木棍根数为：； 第3个图形用的小木棍根数为：； 第4个图形用的小木棍根数为：； …， 所以第个图形用的小木棍根数为根． （3）解：令， 解得， 所以第405个图形需要2027根小木棍． 题型九：一元一次方程的应用与绝对值的几何意义 48．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）阅读下面的材料，完成有关问题． 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；对于，表示5，-3在数轴上对应的两点之间的距离；，表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． 已知数轴上两点对应的数分别为-2、4，点为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点、点的距离相等，求点P对应的数为_____． (2)若点P在点、之间，且到点的距离是到点B的距离的2倍，求的值； (3)数轴上是否存在点，使点到点的距离是到点的距离的3倍？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题考查数轴上的距离与绝对值的几何意义，解题的关键是结合绝对值的几何意义，根据点的位置合理去掉绝对值符号． （1）利用中点公式求中点对应数； （2）根据点的位置去绝对值，列方程求解； （3）分点在右侧、与之间、左侧三种位置讨论，去绝对值列方程并验证合理性． 【详解】（1）点P到点、点的距离相等 是中点 ， 故答案为：1 （2）在、之间，到的距离是到点的距离的2倍， 且 解得： （3）①当在右侧 解得： ②当在、之间， 解得： ③当在左侧 解得：与矛盾 故舍去， 综上，存在点，值为或 49．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）我们都知道，表示6与之差的绝对值，实际上也可理解为6与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求_____． (2)类似的表示数轴上有理数所对应点到和2所对应的两点距离之和，请你借助数轴找出所有符合条件的正整数，使得，这样的正整数是_____． (3)思考当为何值时，数轴上有理数所对应点到所对点的距离是有理数所对应点到所对应点的距离的3倍，请写出符合条件的的值．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)1，2 (3)或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离． （1）根据6与两数在数轴上的距离为作答即可； （2）根据和2两数在数轴上的距离为得到在和2之间，进而作答即可； （3）分两种情况作答即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵表示数轴上有理数所对应点到和2所对应的两点距离之和，和2两数在数轴上的距离为， ∴在和2之间， ∴正整数是1，2， 故答案为：1，2； （3）解：当在左侧时，，解得：； 当在和之间时，，解得：； ∴的值为或． 50．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上，若点，分别对应有理数，，则称为点，两点之间的距离．请根据定义解决下列问题： (1)已知，，求的值________； (2)已知点对应数，点对应数，且，两点之间的距离为5，求的值； (3)在数轴上有一点，对应数为，点到表示的点的距离是到表示3的点的距离的2倍，求的值． 【答案】(1)4 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用． （1）把，代入计算即可； （2）根据，两点之间的距离为5，分2种情况列式求解即可； （3）根据点到表示的点的距离是到表示3的点的距离的2倍列方程求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴． 故答案为：4； （2）当点A在点B右边时，， 当点A在点B左边时，， 综上可知，或； （3）∵点到表示的点的距离是到表示3的点的距离的2倍， ∴， ∴， ∴或， 解得或． 题型十：一元一次方程的应用与数轴上两点之间的距离 51．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）两个完全相同的长方形、，如图所示放置在数轴上． (1)求长方形的面积． (2)若点在线段上，且，求点在数轴上表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，根据题意得出两点之间的距离是解题的关键． （1）先求出再根据长方形面积公式计算即可； （2）设点表示的数为，得出，，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∵两个长方形完全一样， ∴两个长方形的长和宽分别是， ∴长方形的面积为：； （2）解：设点表示的数为， ，， ∵， ∴， ∴ ∴点表示的数为 52．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）已知数轴上两点，，其中表示的数为，表示的数为2．给出如下定义：若在数轴上存在一点，使得，则称点叫做点，的“和距离点”．如图，若点表示的数为0，有，则称点为点，的“5和距离点” (1)已知点为点，的“和距离点”，若点在数轴上表示的数为1，那么的值是______；若点在数轴上表示的数为，那么的值是______； (2)如果点是数轴上点，的“7和距离点”，那么点表示的数为______； (3)动点从点出发，以每秒3个单位的速度向右运动，当点运动多少时间时，、、三点中的其中一点是另外两个点的“8和距离点”？请写出计算过程． 【答案】(1)5；7 (2)点D表示的数为或3 (3)当点运动1秒或0.5秒时，、、三点中的其中一点是另外两个点的“8和距离点” 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，分类列出方程． （1）计算出、，根据“和距离点”定义求解即可； （2）设点D表示的数为x，根据题意得，解方程可得的值，从而可得结论； （3）设P运动的时间为t秒，此时P表示的数为，，分是的“8和距离点”、 是的“8和距离点”、 是的“8和距离点”三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵表示的数为，表示的数为2．点在数轴上表示的数为1， ∴，， ∴； 当点在数轴上表示的数为时， ∴，， ∴； 故答案为：5；7； （2）解：设点D表示的数为x，根据题意得， 即： 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得； 综上，点D表示的数为或3； （3）解：设P运动的时间为t秒，此时P表示的数为，， 当是的“8和距离点”时、则， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（不合题意，舍去）； 当是的“8和距离点”时，则, ∵，， ∴， 解得； 当是的“8和距离点”时，， ∵， ， 又，， ∴， 解得： 综上，当点运动1秒或0.5秒时，、、三点中的其中一点是另外两个点的“8和距离点”． 53．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）【操作感知】如图，长方形透明纸上有一条数轴，是周长为的圆的直径，点与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动周，点落在数轴上的点处；圆从原点出发沿数轴负方向滚动半周，点落在数轴上的点处， （1）此时点和点分别表示的数为________，________，折叠长方形透明纸，使数轴上的点与点重合，此时数轴上折痕表示的数为________． 【建立模型】（2）折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数的点与表示数的点重合，此时数轴上折痕表示的数为________．（用含，的代数式表示）． 【问题解决】（3）若，，为数轴上不同的三点，点表示的数为，点表示的数为，如果，，三点中的一点到其余两点的距离相等，求点表示的数． 【答案】（），，；（）；（）点表示的数为或或． 【分析】本题考查了数轴上点表示的数，解一元一次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据中点坐标公式解答即可； （）根据中点坐标公式解答即可； （）分当到距离相等，即是中点时，当到距离相等，即是中点时，当是距离相等，即是中点时三种情况分析即可． 【详解】解：（）由题意得，此时点和点分别表示的数为，，折叠长方形透明纸，使数轴上的点与点重合，此时数轴上折痕表示的数为， 故答案为：，，； （）由题意得，数轴上折痕表示的数为， 故答案为：； （）设点表示的数是， 当到距离相等，即是中点时，， 当到距离相等，即是中点时，，解得， 当是距离相等，即是中点时，，解得， 综上所述，点表示的数为或或． 54．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，已知数轴上三点，，对应的数分别为，，，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)的长为________； (2)当点到点、点的距离相等时，求的值； (3)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值是或 【分析】（）根据两点间距离公式计算即可； （）根据两点间距离公式列出方程即可求解； （）分点在点的左侧、点在点和点之间、点在点的右侧三种情况，根据两点间距离公式分别列出方程解答即可求解； 本题考查了数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得； （3）解：存在，理由如下： ①当点在点的左侧时， 由题意得，． 解得； ②当点在点和点之间时，则， 方程无解，即点不可能在点和点之间； ③点在点的右侧时，， 解得； ∴的值是或． 55．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）对于数轴上不同的三个点，，，若满足，则称点是点关于点的“倍分点”．例如：如图1，在数轴上，点，表示的数分别是2，，满足，则原点是点关于点的“2倍分点”，又，则原点也是点关于点的“倍分点”．如图2，在数轴上，已知点表示的数是4，点表示的数是． (1)若点在线段上，且点是点关于点的“5倍分点”，则点表示的数是________； (2)若点在数轴上，，且点是点关于点的“倍分点”，求的值； (3)点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动．当点运动秒时，在，，三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍分点”，直接写出的值． 【答案】(1) (2)的值为或2 (3)，，，3 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用，理解“k倍分点”的定义，是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求出，根据新定义得到，进而得到，求出的长，进而求出点表示的数即可； （2）分点在点的左侧和右侧两种情况求出点表示的数，进而求出，再根据新定义进行求解即可； （3）求出，分四种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点C是点A关于点B的“5倍分点”， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴点C表示的数； 故答案为：； （2）①当点D在点B左边时， ∵点B表示的数是，点A表示的数是4，， ∴点D表示的数为， ∴， ∴； ②当点D在点B右边时， ∵点B表示的数是，点A表示的数是4，， ∴点D表示的数为10， ∴， ∴； 综上，k的值为或2； （3）∵点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动， ∴，， ①当时，，解得：； ②当时，，解得：； ③当时，，解得：； ④当时，，解得：； 综上：，，，3． 题型十一：方程的应用与数轴上动点问题 56．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知：线段．，，，动点C从点P出发，绕着点O以60度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线自B点向A点运动，假若C、Q两点能相遇． （1） ； （2）动点Q的速度可以是 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． （1）根据得，代入即可求解； （2）由于点P，Q只能在直线上相遇，而点P旋转到直线上的时间分两种情况，先求出点P旋转到线段上的时间，设点Q的速度为，然后根据速度、路程、时间的关系列出方程，解方程即得答案． 【详解】（1），， ， ， 故答案为： （2）初始位置， ∴初始位置， 点P旋转到直线上的时间为或； 设点Q的速度为， 点P，Q只能在直线上相遇， 当点P第一次到达直线上时， 即当2秒时P、Q相遇，依题意得， ， 解得； 当5秒时相遇，依题意得 解得． 所以点Q的速度为或． 57．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）已知数轴上原点为，点对应的数为，点在数轴上位于点的左边，且，动点从点出发，沿着数轴下正方向匀速运动，同时动点从点出发，沿着数轴负方向向点匀速运动，、相遇后，点立即返回，点继续沿原方向向点运动，到达点后即停止，当点返回到点时，点恰好到达数轴上的中点．求： (1)、相遇点所表示的数； (2)当时，求点在数轴上所表示的数． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（）设相遇时点运动路程为，点运动路程为，根据题意列出方程即可求解； （）由（）得点与点的路程之比为，可设点走了个单位长度，点走了个单位长度，然后分在点与点相遇前，在点与点相遇后两个情况即可求解； 本题考查了列代数式及方程，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 【详解】（1）设相遇时点运动路程为，点运动路程为， 由题意可得， 解得， 则， ， 答：、相遇点所表示的数为； （2）由（）得点与点的路程之比为， 可设点走了个单位长度，点走了个单位长度， 在点与点相遇前，时， 则有， 解得， 此时点表示的数为； 在点与点相遇后，时， ， 解得， 此时点表示的数为， 答：当时，点在数轴上所表示的数为或． 58．（23-24七年级上·安徽·期末）在数轴上点A表示的数是6，点B位于点A的左侧，与点A的距离是12个单位长度． (1)点B表示的数是 ． (2)动点P从点B出发，沿着数轴向右以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒，点P到两点的距离相等． (3)在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q也从点A出发，沿着数轴向左，以每秒1个单位长度的速度运动．经过多少秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍？ 【答案】(1) (2)3秒 (3)4或秒 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用，理解题意，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据两点间的距离进行计算即可得到答案； （2）设经过t秒，点P到的距离相等，根据题意得出一元一次方程，解方程即可得到答案； （3）设经过t秒，点到点的距离是点到点距离的2倍，分两种情况：当点P在点A的左侧时，当点P在点A的右侧时，分别得出一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：因为在数轴上点A表示的数是6， 所以点A到原点的距离为6， 因为点B位于点A的左侧，与点A的距离是12个单位长度． 所以点B到原点的距离为6， 所以点B表示的数为． 故答案为：； （2）解：设经过t秒，点P到两点的距离相等，由题意： ， 解得：． 答：经过3秒，点P到的距离相等； （3）解：经过t秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍．由题意得： 当点P在点A的左侧时， ， 解得： 当点P在点A的右侧时， ， 解得：． 答：经过4或秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍． 59．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）数轴如图所示，请回答以下问题： (1)A、B两点之间的距离为________； (2)数轴上到点A的距离为4的点为________； (3)数轴上一点P从点A出发，向右以每秒3个单位的速度匀速移动： ①问需要几秒点P运动到B处？ ②几秒后，点B与P之间的距离为2？ 【答案】(1) (2)或 (3)①；②或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴的知识，解题的关键是掌握数轴的知识，一元一次方程的应用． （1）利用数轴的知识即可求解； （2）利用数轴的知识即可求解； （3）设点的运动时间为，则点表示的数为：，应用一元一次方程方程，即可求解． 【详解】（1）解：由数轴可知，点表示的数为，点表示的数为4， ∴、两点之间的距离为， 故答案为：6； （2）解：数轴上到点的距离为4的点为 或， 故答案为：或； （3）解：设点的运动时间为，则点表示的数为：， ①当点运动到处时，，解得：， 即：需要点运动到处； ②当点与之间的距离为2时，或，解得：或， 即：或后，点与之间的距离为2． 60．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图, 数轴上的点A, B, C分别表示，点P是数轴上一动点． (1)若动点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，经过5秒后，点P到点A，B，C的距离之和为多少? (2)若点P先向左平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，平移后点P与点A之间的距离和点B，C之间的距离相等，则平移前点P表示的数是多少? (3)若动点M以每秒1个单位长度的速度从点A出发，动点N以每秒2个单位长度的速度从点C同时出发且与点M相向而行，多少秒后动点M与N重合，重合时的点到点B的距离是多少? 【答案】(1)点P到点A，B，C的距离之和为44 (2)平移前点P表示的数为或 (3)秒后动点M与N重合，重合时的点到点B的距离是 【分析】本题主要考查数轴上的两点距离及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点距离及行程问题是解题的关键； （1）根据数轴上两点距离及路程=速度×时间可进行求解； （2）设平移前点P表示的数是x，然后根据题意可列方程进行求解； （3）根据相遇路程=速度和×相遇时间及数轴上两点距离可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：点P经过运动后所表示的数是， ∴点P到点A、B、C的距离之和为； （2）解：设平移前点P表示的数是x，由题意得： 解得：或， 即平移前点P表示的数为或； （3）解：设t秒后动点M与N重合，由题意可得： ， 解得：， ∴此时动点M所表示的数为， ∴此时该点与点B之间的距离为． 61．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离． 【问题情境】如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒3个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒2个单位长度的速度从点向右运动（点、点同时出发）． 【综合运用】 (1)数轴上点对应的数是 ； (2)经过几秒，点，点重合？ (3)经过几秒，恰好使？ 【答案】(1)30 (2)经过15秒，点、点重合 (3)经过或，恰好使 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离及一元一次方程的知识，掌握一元一次方程的解法是关键． （1）根据点表示的数为，，可得点对应的数； （2）根据题意列出方程即可； （3）①点在点左侧；②点在点右侧两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：30； （2）解：设经过秒，两点重合， ， ． 经过15秒，点、点重合； （3）解：设经过秒，恰好使， ①若点在点左侧，， ； ②若点在点右侧， ， ， 综上所述，经过或，恰好使． 62．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）在数轴上，通常用“两数的差”来表示“数轴上两点的距离”；如图中三条线段的长度可表示为：，，，…结论：数轴上任意两点表示的数分别为，，则这两个点间的距离为（即：用较大的数去减较小的数） 【理解运用】 根据阅读材料完成下列各题： (1)如图，，分别表示数，7，求线段的长； (2)若在直线上存在点，使得，求点对应的数值． (3)，两点分别从，同时出发以每秒3个单位、每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，求当点，重合时，它们运动的时间． 【答案】(1)8 (2)5或9 (3)运动时间为8秒时，，重合 【分析】本题考查一元一次方程的实际运用，利用数形结合的思想和数轴上求两点之间距离的方法解决问题． （1）用“用较大的数去减较小的数”即可求解； （2）分点在点左侧和点在点右侧时，两种情况讨论，，列式计算即可求解； （3）根据题意得到点对应数值表示为，点对应数值表示为，根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，线段的长为：； （2）解：设点对应的数值为， （ⅰ）当点在点左侧时，， 因为， ， 则， （ⅱ）当点在点右侧时， 因为， 所以，解得， 答：时，点对应的数值为5或9； （3）解：设运动时间为秒时，，重合， 点对应数值表示为，点对应数值表示为， 由题意得， 解得， 答：运动时间为8秒时，，重合． 63．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知：数轴上点、对应的数分别为、，点对应的数为，是最小的正整数，，且， (1)求和的值； (2)若动点、分别从、同时出发向右运动，点的速度为每秒3个单位长度；点的速度为每秒1个单位长度，求经过多长时间，两点相遇． (3)在（2）的条件下，另一点与点、同时出发，点从点向左运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t．当点运动到点立即停止运动，点仍以原速度、原方向继续运动，同时点速度变为每秒4个单位，运动方向不变，在整个运动过程中，当为何值时，点，之间的距离等于点、之间距离．（直接写出答案） 【答案】(1)，； (2)经过，两点相遇； (3)当或或时，点之间的距离等于点之间的距离． 【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意，正确的建立方程求解是关键． （1）先求解，再利用，且，得到； （2）先表示：，对应的数分别为，，，再利用相遇建立方程求解即可； （3）分两种情况讨论：当时，对应的数为，，对应的数分别为，，当时，为，，对应的数分别为，，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点对应的数分别为，是最小的正整数，，且， ∴，， ∴； （2）由题意可得：，对应的数分别为，， 当两点相遇时，， 解得：； 即经过，两点相遇． （3）当时，由题意可得：，对应的数分别为，， 对应的数为， ∵点之间的距离等于点之间的距离， ∴，即， ∴或， 解得：或； 当时，为，，对应的数分别为，， ∴， 解得：； 综上：当或或时，点之间的距离等于点之间的距离． 64．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上，点M和点N分别表示数和，可以用绝对值表示点M、N两点间的距离，即． (1)在数轴上，点A、B、C分别表示数、2、x，解答下列问题： ①______； ②若，则x的值为______； ③若，且x为整数，则x的取值有______个； (2)在数轴上，点D、E、F分别表示数、4、6． ①动点P在数轴运动．动点P在数轴上表示的数是x，则的最小值为______； ②动点P沿数轴从点D开始运动，到达F点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P从点D到点E的运动速度为每秒2个单位长度．从点E到点F再回到点D的运动速度为每秒4个单位长度，当点P的运动时间为 秒时，． 【答案】(1)①3；②1或；③4 (2)①8；②或 【分析】本题考查了数轴的动点问题，熟练掌握新定义两点间的距离是解题的关键． （1）①根据新定义运算计算即可． ②根据新定义建立含有x的绝对值方程求解即可． ③根据新定义建立含有x绝对值方程，分类化简求解即可． （2）①的最小值即x与、4、6之间距离和最小，据此求解即可； ②根据运动的特点，分类计算即可． 【详解】（1）解：①由题意得：； 故答案为：3； ②由题意得：， ， ， 或， 解得：或， 故答案为：1或； ③由题意得：，且x为整数， 当时，， 解得：，符合题意； 当时，， 解得：，符合题意； 当时，，是定值； 此时或； 的取值有4个， 故答案为：4； （2）解：①的最小值即x与、4、6之间距离和最小， 这个最小值为， 故答案为：8； ②当点P未到达点F时，当点P从D到E用时秒，从E到F用时秒，到达F点用时为秒， ， ∴此时点P在上， 则， 解得（负值舍去）； 当点P到达点F返回时，返回到D点用时为秒， 则， 解得或（不合题意，舍去）； 综上，点P的运动时间为或秒时，． 故答案为：或． 65．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）【知识拓展】 学习绝对值的定义后我们知道，的意义是数轴上表示数a的点与原点的距离．由于原点表示的数是0，因此可以看作，那么的意义可以看作数轴上表示数a与0两点之间的距离．这个结论还可以推广为的意义是数轴上表示数a与数b两点之间的距离． 对于数轴上的点P，Q，我们把点P与点Q两点之间的距离记作．例如，若表示数a的点是点P，表示数b的点是点Q，则． 【知识应用】 （1）若，则x的值为______． 【拓展延伸】 （2）如图，在数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是8，若点B以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时点C以1个单位长度/秒的速度也向右匀速运动，设运动时间为t（）秒． ①当时，求t的值； ②当时，求t的值．    【答案】（1）2或4；（2）①t的值为9或17；②t的值为4． 【分析】本题考查的知识点是数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意，得出各点表示的数是解题关键． （1）根据题意理解的实际意义即可得解； （2）①先表示出运动时间为秒时，点和点在数轴上表示的数，再根据题意表示出，由题意得到一元一次方程，求解后即可得到值； ②先表示出运动时间为秒时，点和点在数轴上表示的数，再根据题意表示出、，由题意得到一元一次方程后求解即可． 【详解】解：（1）∵的意义为数轴上表示数与3的两点间的距离是， ∴或4； 故答案为：2或4； ①运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， 由题意得， 整理得，， 解得：或， ∴t的值为9或17； ②运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， 由题意得， 解得：或（舍去）， ∴t的值为4． 66．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知，点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．如数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是．假设在一条东西方向的数轴上，点和点分别表示数和8．两只电子蚂蚁甲和乙分别从两点同时出发，沿着数轴爬行，蚂蚁甲从点出发，以每秒3个单位长度的速度向正方向东爬行；蚂蚁乙从点出发，以每秒2个单位长度的速度向负方向西爬行．点表示数轴上的原点．设两只蚂蚁运动的时间为． 请回答下列问题： 【初始位置与距离】 （1）当时，点到点的距离是_________个单位长度，点到点的距离是_________个单位长度． 【位置表示与化简】 （1）运动秒后，两只蚂蚁之间的距离（用含的代数式表示）是_________； （2）化简你在（1）中得到的代数式． 【相遇与终点】 （1）请求出两只蚂蚁在运动过程中相遇的时间和相遇点在数轴上表示的数； （2）在相遇后，两只蚂蚁继续按原速度和方向爬行，请问当蚂蚁甲爬到点时，蚂蚁乙在数轴上表示的数是多少？ 【答案】[初始位置与距离]（1）10，8； [位置表示与化简]（1）；（2）见解析 [相遇与终点]（1）相遇时间为3.6秒，相遇点在数轴上表示的数是0.8；（2） 【分析】本题考查两点间的距离，列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： 【初始位置与距离】（1）根据两点间的距离即可得出结果； 【位置表示与化简】（1）求出运动后两只蚂蚁的位置，根据两点间距离公式列出代数式即可； （2）令，求得（秒），分2种情况化简绝对值即可； 【相遇与终点】（1）设相遇时间为秒，此时距离为0，列出方程进行求解，进而求出相遇点表示的数即可； （2）求出蚂蚁甲从相遇点爬到点所需时间，进而求出蚂蚁乙爬行的距离，进行求解即可； 【详解】解：【初始位置与距离】（1）由题意，点到点的距离是10个单位长度，点到点的距离是8个单位长度； 【位置表示与化简】（1）运动秒后，蚂蚁甲位置为，蚂蚁乙位置为， 距离为； （2）令，解得（秒）． 当时，，则． 当时，，则． 【相遇与终点】（1）设相遇时间为秒，此时距离为0． ，即，解得（秒），相遇点在数轴上表示的数为， 答：相遇时间为3.6秒，相遇点在数轴上表示的数是0.8． （2）相遇点到点的距离为， 蚂蚁甲从相遇点爬到点所需时间为（秒）， 在这2.4秒内，蚂蚁乙继续以每秒2个单位长度的速度向西爬行（负方向）， 蚂蚁乙爬行的距离为， 蚂蚁乙最终位置：从相遇点向西爬行4.8，即． 答：当蚂蚁甲爬到点时，蚂蚁乙在数轴上表示的数是． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次方程的应用 题型一：和差倍分问题 题型二：行程问题 题型三：电费和水费问题 题型四：日历问题 题型五：销售盈亏问题 题型六：方案选择问题 题型七：用一元一次方程解决数字规律 题型八：用一元一次方程解决图形规律 题型九：方程的应用与绝对值的几何意义 题型十：方程的应用与数轴上两点之间的距离 题型十一：方程的应用与数轴上动点问题 题型一：和差倍分问题 1．（25-26七年级上·安徽六安·开学考试）果园里有梨树和桃树共2800棵，其中桃树的棵数是梨树的，果园里有桃树和梨树各多少棵？（列方程求解） 2．（24-25七年级上·安徽芜湖·阶段练习）在某届科技大赛中，甲团队在机器人竞赛与编程竞赛项目中共获得个奖项，且编程竞赛获得的奖项比机器人竞赛获得奖项的2倍少4个．分别求编程竞赛与机器人竞赛获得奖项的个数． 题型二：行程问题 3．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）某游客乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上回到甲地，顺流行驶了2小时50分，逆流行驶了3小时，水流速度为2千米/小时，求甲乙两地间的距离． 4．（23-24七年级上·安徽宿州·期末）（利用方程解决问题） 据了解，火车票价按“”的方法来确定已知A站至H站总里程数为1500km全程参考价为180元，下表是沿途各站至H站的里程数： 车站名 A B C D E F G H 各站至H站的里程数（单位：km） 1500 1130 910 622 402 210 70 0 例如：要确定从A站至E站火车票价，其票价为元 (1)求C站至G站的火车票价（结果精确到1元）； (2)王大妈乘由A站驶往H站的火车去女儿家上车过两站后拿着火车票问乘务员：“我快到站了吗？”乘务员看到王大妈手中票价是84元，马上说“下一站就到了”请问王大妈是在哪一站上车的，要在哪一站下车. 5．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．11月中旬七年级的学生开启了以“溯源千年座谯城・浸润万缕药香”为主题的亳州研学之旅．已知①号车和②号车同时从合肥出发沿同一路线开往亳州，①号车的行驶速度是80千米/时，②号车的行驶速度是72千米/时，①号车比②号车早到小时，求合肥与亳州相距多少千米？ 题型三：电费和水费问题 6．（22-23七年级上·安徽合肥·期中）下表为某市居民每月用水收费标准（单位：元/立方米），设用户用水量为立方米． 用水量/立方米 单价/（元/立方米） 超出30的部分 (1)某用户用水10立方米，共交水费29.8元，求的值． (2)在（1）的前提下，该用户10月份交水费109.4元，请问该用户用水多少立方米？ 7．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）移动公司推出A，B两种话费与流量套餐，详情如下表： 月基本费（元） 主叫限定时长 主叫超时费（元） 被叫 免费数据流量 流量超额费（元） 套餐A 79 200 0.15 免费 15 3 套餐B 99 300 0.15 免费 20 2 补充说明： ①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费 ②流量超额费以为单位计费（例如：套餐A流量超额，需另付（元） (1)若小花的爸爸使用套餐A，11月份主叫时长为300分钟，使用的流量为，求他11月的月结话费是多少元？ (2)若小花的爸爸12月份主叫时长为350分钟，使用流量为，小花通过计算发现，按套餐A比按套餐B的月结话费刚好多1元，求的值． (3)若小花的爸爸12月主叫时长不足200分钟，请你根据流量的使用情况分析说明使用哪种套餐更省钱．（只需写出分析得到的结论） 8．（23-24七年级上·安徽黄山·期末）“绿色环保，人人有责；节水用水，共创美好明天”，某市为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，采用价格调控的手段以达到节水的目的，经物价部门审核，该市2023年自来水收费的价目表如下，请根据表中的信息解答下列问题： 每月用水量 价格 价目表 不超过 3元/ 超出不超出的部分 4元/ 超出的部分 6元/ (1)若某用户5月份用水，则应交水费__________元； (2)若该用户7月份应收水费77元，则用水__________； (3)若该用户9、10两个月共用水，共收水费93元（9月份用水量超过了10月份），求9月份用水量． 9．（22-23七年级上·安徽宣城·期中）电信公司推出两种移动电话计费方法： 方法：免收月租费，按每分钟0.5元收通话费； 方法：每月收取月租费30元，再按每分钟0.2元收通话费． 现在设通话时间是分钟． (1)请分别用含的代数式表示计费方法、的通话费用． (2)用计费方法的用户一个月累计通话150分钟所需的话费，若改用计费方法，则可通话多少分钟？ (3)当通话多少分钟时，两种计费方法产生的费用相差15元？ 10．（22-23七年级上·安徽六安·阶段练习）为鼓励人们节约用水，某地实行阶梯式计量水价（如下表）． 级别 月用水量 水价 第1级 20吨以下（含20吨） 1.6元/吨 第2级 20~30吨（含30吨） 超过20吨部分按2.4元/吨 第3级 30吨以上 超过30吨部分按4.8元/吨 (1)若张红家5月份用水量为15吨，则该月需缴纳水费________元； (2)若张红家6月份缴纳水费44元，则该月用水量为________吨； (3)若张红家7月份用水量为a吨（a＞30），则该月需缴纳水费多少元？（用含a的代数式表示） 11．（22-23七年级上·安徽宣城·阶段练习）“若要电费缴得少，节约用电要做好”，某市居民生活用电试行“阶梯电价”收费，标准如下： 居民月用电量千瓦时 单价元 不超过210千瓦时      超过210千瓦时但不超过400千瓦时的部分     0.6 超过400千瓦时的部分     0.9 已知小丽家七月份用电千瓦时，电费为元． (1)则上表中______． (2)若小明家八月份用电千瓦时，小亮家八月份用电千瓦时，这两家八月份电费分别是多少元？ (3)若小刚家八月份电费为元，求小刚家八月份的用电量． 题型四：日历问题 12．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）如表是2023年12月的月历表，用如图所示的L形框去框其中的四个数．    (1)设被框住的四个数中从上往下数第二个数为，用含的代数式表示出被框住的这四个数的和； (2)被框住的四个数的和能等于72吗？如果能，求出这四个数；如果不能，说明理由． 13．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）下表是2023年12月的日历，用如图所示的L形框去框其中的4个数． 2023年12月 (1)设被框住的最小的数为x，用含x的代数式表示出被框住的这4个数的和为________； (2)被框住的4个数的和能等于100吗？如果能，求出这4个数；如果不能，说明理由． 14．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图为2024年1月的日历，其中有一个“”形框，希望我们在新的一年“”（开心学习，热爱生活）．“”形框内包含7个数．    (1)将“”形框上下左右平移，但一定要框住2024年1月的日历中的7个数，若设“”形框内的7个数中，从小到大排列第个数为，用含的式子表示形框内的个数字的和为________； (2)将“”形框上下左右平移，设“”形框内的个数字之和为．请求出此时“”形框中的7个数中最小的数； (3)若某两次在不同位置框住的数之和分别为，（），且，直接写出的最大值． 题型五：销售盈亏问题 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）“元旦”期间，某超市购进一批苹果，根据以往经验可知，这批苹果在运输和仓储过程中，其损耗率为，为保证这批苹果售完后的利润率能达到，求售价相对进价应提高的增长率． 16．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）晨光文具店一支自动铅笔的售价为1.4元，一支签字笔的售价为3.2元，该店在元旦假期举行了文具优惠售卖活动，自动铅笔按原价打8折出售，签字笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出50支，卖得金额91.2元，求自动铅笔、签字笔各卖出多少支？ 17．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）综合应用：某商场计划购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品每件进价50元，售价80元；乙种商品每件进价70元，售价110元． (1)若全部售出后获利3600元，求甲、乙两种商品分别有多少件？ (2)在第（1）题结论的条件下，该商场开展让利促销活动，若甲种商品每件售价60元，要使得这100件商品利润率为，乙种商品每件售价多少元？（商品销售总价商品总进价（利润率） 18．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）某商场销售A，B两种品牌的营养早餐牛奶，其中A品牌牛奶的售价为50元/箱，B品牌牛奶的售价为70元/箱．某校决定在该商场购进A，B两种品牌牛奶共100．箱，恰逢商场对两种品牌牛奶的售价进行调整：A品牌牛奶每箱的售价比原售价减少了5元，B品牌牛奶每箱按原售价的八折出售．设学校购进A品牌牛奶x箱． (1)请直接在表格中填写结果： 品牌 购买价格/（元/箱） 购买量/箱 购买总价/元 A 45 B ______ ______ (2)如果该校此次购买A，B两种品牌牛奶的总费用为4940元，那么该校此次购买了多少箱A品牌牛奶和B品牌牛奶？ 19．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）小王是某服装店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打9折（原价的90%）．元旦期间，他去服装店，发现店内正在举办元旦特惠活动：任选两件衣服，第二件打8折，如果两件衣服不同价，则按低价商品的价格打折，并且特惠活动不能使用会员卡．小王打算在该店同时购买两件衣服． (1)若小王按会员价需花费元，比参加特惠活动少花10元，则两件衣服的原价为多少元？ (2)若小王计算后发现使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差20元，则两件衣服的原价相差多少元？ 20．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）某天，一蔬菜经营户用288元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共到菜市场上去卖，黄瓜和茄子这天的每千克的批发价与零售价如下表所示． 品名 黄瓜 茄子 批发价/元 零售价/元 (1)该经营户当天购进黄瓜和茄子各多少千克？ (2)如果黄瓜和茄子全部卖完，共赚多少钱？ 21．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）春节前某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多10元，购进甲种商品4件与购进乙种商品9件的进价相同． (1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共件，所用资金恰好为元，出售时，甲种商品在标价的基础上打九折出售；乙种商品出售每件可获利，若两种商品全部售出后获利一样多，请求出甲种商品的标价？ 22．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）某商场用2500元购进、两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示． 类型价格 型 型 进价（元/盏） 40 65 标价（元/盏） 60 100 (1)这两种台灯各购进多少盏？ (2)若型台灯按标价的9折出售，型台灯也打折出售，那么这批台灯全部售出后，要使商场获利率为，型台灯打几折出售？ 23．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）潜山市某商场经销的、两种商品，种商品每件售价为60元，利润率为；种商品每件进价为50元，售价为80元． (1)种商品每件进价为______元，每件种商品利润率为______． (2)若该商场同时购进、两种商品共70件，售完之后恰好总利润为1580元，求购进种商品多少件？ (3)在“春节”期间，该商场只对、两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分打八折优惠，超过600元的部分打七五折优惠 按上述优惠条件，若小明一次性购买商品、优惠后付款总额为531元，若没有优惠促销，小明在该商场购买同样商品要付多少元？ 24．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）某社区超市销售甲、乙两种生活用品，甲种生活用品每件售价为60元，利润率为；乙种生活用品每件进价为50元，售价为80元． (1)甲种生活用品每件进价为________元，每件乙种生活用品利润率为________； (2)若社区超市同时购进甲、乙两种生活用品共50件，恰好总进价为2100元，求社区超市购进甲、乙两种生活用品各多少件？ (3)若社区超市在“元旦”期间进行如下表所示的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明只购买甲种生活用品，实际付款432元，求小明在该社区超市购买甲种生活用品多少件？ 25．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）2023年12月18日，甘肃地震牵动着全国人民的心．我校微尘爱心社的同学第一时间组织了爱心义卖活动：他们用240元钱从批发市场批发了卡套和小挂件共50个，他们会把活动的盈利全部捐出，卡套和小挂件当天每个的批发价与零售价如下表所示： 品名 卡套 小挂件 批发价（元/个） 6 3 零售价（元/个） 9 5 (1)求同学们批发卡套和小挂件各多少个？ (2)如果当天卡套和小挂件共卖出25个后，剩下的按零售价打八折出售，最终当天共捐出了89元． ①设打折的商品中有x个卡套，则：打折售出的小挂件有______个，原价售出的小挂件有______个． ②求打折后卖出的卡套和小挂件各多少个？ 26．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）春节期间，小华看到芜湖两个超市的促销信息： 甲超市促销信息栏：全场8.8折． 乙超市促销信息栏：不超过200元，不给予优惠；超过200元而不超过500元，全部打9折；超过500元，其中500元的那部分打9折，超过500元的那部分打8折．（注：假设两个超市相同商品的标价都一样） (1)当一次性购买商品的标价总额是元时，甲、乙两超市实际付款分别是多少元？（用含有的式子表示） (2)当标价总额是多少元时，甲、乙两超市实付款一样？ (3)小华想购买标价分别是170元的足球和540元的电饭煲（这两种商品在两家超市都有销售），请你帮他设计出最省钱的购买方案，最少要花费多少元？ 27．（23-24七年级上·安徽六安·期末）某书店预购进A、B两类学生书刊．若购买300本A书刊和200本B书刊共需要4400元，其中A、B两类书刊的进价和售价如下表： A B 进价（元/本） x 售价（元/本） 15 20 (1)求A、B两类书刊的进价各是多少元？ (2)若书店第一次购进A、B两类书刊共600本，全部售完后总利润（利润＝售价进价）为4950元，求该书店第一次分别购进A、B两类书刊各多少本？ (3)若第二次购进时两类书刊的进价都比上次优惠了10%，购进同样数量的两类书刊，再次销售时书店对A类书刊售价不变，B类书刊进行打折出售，全部售完后总利润比上次还多30元，求B类书刊打了几折？ 28．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某花店分别以22元/盆和30元/盆的价格两次购进甲、乙两种绿植．花店第一次购进两种绿植共花费4600元，其中甲种绿植盆数的2倍比乙种绿植盆数的3倍少40盆． (1)请计算该花店第一次分别购进甲、乙两种绿植各多少盆． (2)该花店将第一次购进的甲、乙两种绿植分别以28元/盆和40元/盆的价格全部售出，则卖出后一共可获得利润________元． (3)该花店第二次购买这两种绿植时进价不变，其中甲种绿植盆数是第一次的2倍，乙种绿植盆数不变．甲种绿植仍按原售价销售，乙种绿植打折销售．第二次甲、乙两种绿植销售完以后获得的利润比第一次获得的利润多280元，则第二次乙种绿植是按原售价打几折销售的？ 29．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）某商场购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4600元．甲商品每件的进价比乙商品多20元，购进4件甲商品与购进5件乙商品的价格相同． (1)问甲，乙两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)甲商品在进价的基础上加价40%进行标价：而当乙商品按标价出售时，每件可获利30元． ①问购进甲商品和乙商品各多少件？ ②若甲商品按标价的九折出售，乙商品按标价出售一部分商品后进行促销，剩余商品按标价打九折后再降价4元出售，当甲，乙两种商品全部售出时，共获利1200元，则乙商品按标价售出了多少件？ 题型六：方案选择问题 30．（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）某校校长将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受6折（即全票价的）优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的7折优惠．”若全票价为480元． (1)设学生数为x名，分别计算甲、乙两旅行社的收费（用含x的式子表示）； (2)当学生有多少名时，两家旅行社收费一样？ 31．（23-24七年级上·安徽池州·期中）池州市红星家具厂生产一种课桌和椅子课桌每张定价200元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子： 方案二：课桌和椅子都按定价的80%付款． 某校计划添置100张课桌和x把椅子． (1)用含x的代数式分别表示方案一与方案二各需付款多少元？ (2)当时，通过计算说明该校选择上面的两种购买方案哪种更省钱？ 32．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）某超市为了吸引顾客，制定了以下两种优惠方案：①甲超市：累计购买商品价格超过200元，超出的部分按原价8折优惠；②乙超市：累计购买商品价格超过100元，超出部分按原价折优惠．设顾客购物的原费用是x（）元． (1)用含x的式子分别表示出两种优惠方案实际支付的费用．（结果需化简） (2)小林准备购买300元的商品，你认为他应该选择哪种优惠方案？请说明理由． (3)当顾客购买多少元的商品时，使用两种优惠方案购物所付的费用一样？ 33．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）无为市某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭会员证游泳每次付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元，设小明计划今年夏季游泳次数为（为正整数） (1)根据题意，方式一的总费用为______元，方式二的总费用为______元． (2)若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，则选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？ (3)如果两种方式总费用一样多，则他的游泳次数是多少次？ 题型七：用一元一次方程解决数字规律 34．（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段练习）有一列单项式，按一定规律排列成：，，，，，…．根据其中的规律，回答问题． (1)第8个单项式是______，第，（，且为正整数）个单项式是______． (2)若某三个相邻的单项式的系数之和是，则这三个单项式分别是多少？ 35．（22-23七年级上·安徽淮南·期末）观察下面三行数． ，4，，16，，… ，5，，17，，… ，8，，32，，… (1)求第一行的第n个数；（n为正整数） (2)求第二行的第6个数、第三行的第7个数； (3)取每一行的第k个数，这三个数的和能否是？若能，求出k的值，若不能，请说明理由． 36．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）观察以下按一定规律排列的数： 第1行：． 第2行：，． 第3行：，，． 第4行，，，，． … 按照以上规律，解决下列问题： (1)第6行左起第3个数为________． (2)求第行左起前2个数以及其前面所有的数（包括前面行中所有的数）的积． (3)若某一行未经约分且分母为2的数为，且与它后面一个数之和恰好为，求的值． 37．（22-23七年级上·安徽合肥·期中）小铭同学问数学老师家的电话号码是多少，老师说：“想知道我家的电话号码，得动点脑筋，”接着又说：“我家的电话号码是八位数，且符合①前四位数字相同，后面四位数字是连续的自然数，②全部数字之和恰好等于号码的最后两位数，③巧的是，这个号码的后面五位数字也是连续自然数．” 请你根据上述条件解答下列问题： (1)请写一个符合①的电话号码 ． (2)请写一个同时符合①③的电话号码 ． (3)请用学过的一元一次方程的知识帮助小铭得到数学老师家的电话号码． 38．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）把从1开始的连续的奇数排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1列、第2列、第3列、… (1)①数阵中排在第7行第1列的数是_______； ②2025在数阵中排在第_______列，数阵中排在第行第5列的数可用表示为_______ (2)按如图所示的方式，用一个“”形框框住四个数，设被框的四个数中最小的数为，是否存在这样的，使得被框住的四个数的和为1948？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)数阵中用一个“”形框框住的四个数的和记为“”，直接写出的最大值与最小值的差是_______． 39．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）将1到2025之间的所有奇数按顺序排成下图： 记表示第行第个数，如表示第2行第3个数是17，即． (1)______； (2)若，则______，______； (3)将表格中的4个阴影格子看成一个整体（“T”字）并平移，所覆盖的4个数之和能否等于200？若能，求出这4个数；若不能，请说明理由． 40．（22-23七年级上·安徽六安·期末）把这九个数填入方格中，使其每一横行，每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和都相等（记这个和为a），这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”，图1是仅可以看到部分数值的“九宫格”，我们尝试完成下列问题： (1)这九个数的和是______，所以每一横行的3个数之和a等于______； (2)如图2，一般地，由，，，，将4式相加后代入的值，可求得_____，结合（1）的结论可依次填满其余空格，故图1中_____； (3)如图3，将改为其它9个整数，其余要求不变，请求出图中． 41．（22-23七年级上·安徽亳州·期中）请阅读下列材料，并解答相应的问题：将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等（这个和叫幻和），则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等，例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． 4 9 2 6 7 2 6 1 8 3 5 7 1 5 9 7 5 3 8 1 6 8 3 4 2 9 4 图1 图2 图3 图4 2 a b c y 8 10 5 x d e f 2 4 g h i (1)请你将下列九个数：、、、、、0、2、4、6，分别填入图1方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等； (2)在图2的三阶幻方中，的值为 ； (3)在图3的三阶幻方中，该幻方的幻和可用表示为 ；进而可得该幻方中9个数的和可用表示为 ；之间的数量关系为 ； (4)图4的三阶幻方中，的值为 ． 42．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）综合与实践 【项目背景】 干支纪年是中国传统的纪年方法，由十个天干和十二个地支搭配而成(如下图)． 十个天干与十二个地支中的前十个分别按顺序搭配，例如天干之“甲”与地支之“子”相搭配，便形成了干支纪年的第一个组合“甲子”，然后“乙”与“丑”搭配，形成“乙丑”，等等，第一个十年如下： 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 甲子 乙丑 丙寅 丁卯 戊辰 己巳 庚午 辛未 壬申 癸酉 第二个十年是把前一个十年未参与的“戌”和“亥”排在地支最前面，后面依次是“子、丑、寅、……”，天干和地支仍按顺序搭配，得到组合如下： 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 甲戌 乙亥 丙子 丁丑 戊寅 己卯 庚辰 辛巳 壬午 癸未 第三个十年从“甲申”开始，依此类推，周而复始． 【内容理解】 （1）干支纪年中， “甲丑”年(填“有”或“没有”)；干支纪年的一个周期为 年； 【问题探究】 （2）中国人民解放军诞生于丁卯年，建军70周年是 年(填干支组合)；在一个周期内，“甲子”年是第1年，“戊戌”年是第 年(填序号)． 【知识运用】 （3）小红是七年级学生，她的弟弟比她小5岁，甲辰年小红和弟弟的年龄之和刚好是爸爸年龄的一半，20年以后，小红和弟弟年龄之和比爸爸的年龄大1岁．用干支纪年表示，小红是哪一年出生的？ 题型八：用一元一次方程解决图形规律 43．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图：搭1个正六边形需要6条线段，组成6个顶点；搭2个正六边形，需要11条线段，组成10个顶点；搭3个正六边形，需要16条线段，组成14个顶点……，根据这个规律回答下列问题： (1)搭5个正六边形，需要 条线段，组成 个顶点． (2)搭个正六边形，需要 条线段，组成 个顶点． (3)10121条线段可以搭多少个正六边形，组成的顶点个数是多少？ 44．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）如图，是一组有规律的图案，它们是由边长为1的小正方形组成，其中部分小正方形有阴影，按照这样的规律； (1)第4个图案中涂有阴影的小正方形的个数是________；第n个图案中涂有阴影的小正方形的个数是________；（用含n的代数式表示并写成最简形式） (2)第n个图形中，边长为1的小正方形总数是否可以为2026个？若可以，求出n的值；若不可以，请说明理由． 45．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第（1）个图案中有两个正方形，第（2）个图案中有5个正方形，第（3）个图案中有8个正方形，以此类推… 根据上面规律， (1)第（5）个图案中有______个正方形； (2)第个图案中有______个正方形； (3)小明同学说他搭成的图案中，得到了2025个正方形，你认为他的结论正确吗？说明理由． 46．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）用火柴棒按图中的方式搭图形： (1)按图示规律填空： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒根数 7 12 ______ ______ ______ (2)按照这种方式搭下去，请写出搭第n个图形需要的火柴棒根数； (3)小明发现：按照这种方式搭图形会产生若干个正方形，若图中产生2024个正方形，则需用多少根火柴棒搭图形？ 47．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）小茗同学用小木棍按如图方式进行排列．回答下列问题： (1)第4个图形用__________根小木棍； (2)第个图形需要多少根小木棍？ (3)第几个图形需要2027根小木棍？ 题型九：一元一次方程的应用与绝对值的几何意义 48．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）阅读下面的材料，完成有关问题． 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；对于，表示5，-3在数轴上对应的两点之间的距离；，表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． 已知数轴上两点对应的数分别为-2、4，点为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点、点的距离相等，求点P对应的数为_____． (2)若点P在点、之间，且到点的距离是到点B的距离的2倍，求的值； (3)数轴上是否存在点，使点到点的距离是到点的距离的3倍？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 49．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）我们都知道，表示6与之差的绝对值，实际上也可理解为6与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求_____． (2)类似的表示数轴上有理数所对应点到和2所对应的两点距离之和，请你借助数轴找出所有符合条件的正整数，使得，这样的正整数是_____． (3)思考当为何值时，数轴上有理数所对应点到所对点的距离是有理数所对应点到所对应点的距离的3倍，请写出符合条件的的值．（直接写出结果） 50．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上，若点，分别对应有理数，，则称为点，两点之间的距离．请根据定义解决下列问题： (1)已知，，求的值________； (2)已知点对应数，点对应数，且，两点之间的距离为5，求的值； (3)在数轴上有一点，对应数为，点到表示的点的距离是到表示3的点的距离的2倍，求的值． 题型十：一元一次方程的应用与数轴上两点之间的距离 51．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）两个完全相同的长方形、，如图所示放置在数轴上． (1)求长方形的面积． (2)若点在线段上，且，求点在数轴上表示的数． 52．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）已知数轴上两点，，其中表示的数为，表示的数为2．给出如下定义：若在数轴上存在一点，使得，则称点叫做点，的“和距离点”．如图，若点表示的数为0，有，则称点为点，的“5和距离点” (1)已知点为点，的“和距离点”，若点在数轴上表示的数为1，那么的值是______；若点在数轴上表示的数为，那么的值是______； (2)如果点是数轴上点，的“7和距离点”，那么点表示的数为______； (3)动点从点出发，以每秒3个单位的速度向右运动，当点运动多少时间时，、、三点中的其中一点是另外两个点的“8和距离点”？请写出计算过程． 53．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）【操作感知】如图，长方形透明纸上有一条数轴，是周长为的圆的直径，点与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动周，点落在数轴上的点处；圆从原点出发沿数轴负方向滚动半周，点落在数轴上的点处， （1）此时点和点分别表示的数为________，________，折叠长方形透明纸，使数轴上的点与点重合，此时数轴上折痕表示的数为________． 【建立模型】（2）折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数的点与表示数的点重合，此时数轴上折痕表示的数为________．（用含，的代数式表示）． 【问题解决】（3）若，，为数轴上不同的三点，点表示的数为，点表示的数为，如果，，三点中的一点到其余两点的距离相等，求点表示的数． 54．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，已知数轴上三点，，对应的数分别为，，，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)的长为________； (2)当点到点、点的距离相等时，求的值； (3)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 55．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）对于数轴上不同的三个点，，，若满足，则称点是点关于点的“倍分点”．例如：如图1，在数轴上，点，表示的数分别是2，，满足，则原点是点关于点的“2倍分点”，又，则原点也是点关于点的“倍分点”．如图2，在数轴上，已知点表示的数是4，点表示的数是． (1)若点在线段上，且点是点关于点的“5倍分点”，则点表示的数是________； (2)若点在数轴上，，且点是点关于点的“倍分点”，求的值； (3)点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动．当点运动秒时，在，，三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍分点”，直接写出的值． 题型十一：方程的应用与数轴上动点问题 56．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知：线段．，，，动点C从点P出发，绕着点O以60度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线自B点向A点运动，假若C、Q两点能相遇． （1） ； （2）动点Q的速度可以是 ． 57．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）已知数轴上原点为，点对应的数为，点在数轴上位于点的左边，且，动点从点出发，沿着数轴下正方向匀速运动，同时动点从点出发，沿着数轴负方向向点匀速运动，、相遇后，点立即返回，点继续沿原方向向点运动，到达点后即停止，当点返回到点时，点恰好到达数轴上的中点．求： (1)、相遇点所表示的数； (2)当时，求点在数轴上所表示的数． 58．（23-24七年级上·安徽·期末）在数轴上点A表示的数是6，点B位于点A的左侧，与点A的距离是12个单位长度． (1)点B表示的数是 ． (2)动点P从点B出发，沿着数轴向右以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒，点P到两点的距离相等． (3)在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q也从点A出发，沿着数轴向左，以每秒1个单位长度的速度运动．经过多少秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍？ 59．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）数轴如图所示，请回答以下问题： (1)A、B两点之间的距离为________； (2)数轴上到点A的距离为4的点为________； (3)数轴上一点P从点A出发，向右以每秒3个单位的速度匀速移动： ①问需要几秒点P运动到B处？ ②几秒后，点B与P之间的距离为2？ 60．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图, 数轴上的点A, B, C分别表示，点P是数轴上一动点． (1)若动点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，经过5秒后，点P到点A，B，C的距离之和为多少? (2)若点P先向左平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，平移后点P与点A之间的距离和点B，C之间的距离相等，则平移前点P表示的数是多少? (3)若动点M以每秒1个单位长度的速度从点A出发，动点N以每秒2个单位长度的速度从点C同时出发且与点M相向而行，多少秒后动点M与N重合，重合时的点到点B的距离是多少? 61．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离． 【问题情境】如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒3个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒2个单位长度的速度从点向右运动（点、点同时出发）． 【综合运用】 (1)数轴上点对应的数是 ； (2)经过几秒，点，点重合？ (3)经过几秒，恰好使？ 62．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）在数轴上，通常用“两数的差”来表示“数轴上两点的距离”；如图中三条线段的长度可表示为：，，，…结论：数轴上任意两点表示的数分别为，，则这两个点间的距离为（即：用较大的数去减较小的数） 【理解运用】 根据阅读材料完成下列各题： (1)如图，，分别表示数，7，求线段的长； (2)若在直线上存在点，使得，求点对应的数值． (3)，两点分别从，同时出发以每秒3个单位、每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，求当点，重合时，它们运动的时间． 63．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知：数轴上点、对应的数分别为、，点对应的数为，是最小的正整数，，且， (1)求和的值； (2)若动点、分别从、同时出发向右运动，点的速度为每秒3个单位长度；点的速度为每秒1个单位长度，求经过多长时间，两点相遇． (3)在（2）的条件下，另一点与点、同时出发，点从点向左运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t．当点运动到点立即停止运动，点仍以原速度、原方向继续运动，同时点速度变为每秒4个单位，运动方向不变，在整个运动过程中，当为何值时，点，之间的距离等于点、之间距离．（直接写出答案） 64．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上，点M和点N分别表示数和，可以用绝对值表示点M、N两点间的距离，即． (1)在数轴上，点A、B、C分别表示数、2、x，解答下列问题： ①______； ②若，则x的值为______； ③若，且x为整数，则x的取值有______个； (2)在数轴上，点D、E、F分别表示数、4、6． ①动点P在数轴运动．动点P在数轴上表示的数是x，则的最小值为______； ②动点P沿数轴从点D开始运动，到达F点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P从点D到点E的运动速度为每秒2个单位长度．从点E到点F再回到点D的运动速度为每秒4个单位长度，当点P的运动时间为 秒时，． 65．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）【知识拓展】 学习绝对值的定义后我们知道，的意义是数轴上表示数a的点与原点的距离．由于原点表示的数是0，因此可以看作，那么的意义可以看作数轴上表示数a与0两点之间的距离．这个结论还可以推广为的意义是数轴上表示数a与数b两点之间的距离． 对于数轴上的点P，Q，我们把点P与点Q两点之间的距离记作．例如，若表示数a的点是点P，表示数b的点是点Q，则． 【知识应用】 （1）若，则x的值为______． 【拓展延伸】 （2）如图，在数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是8，若点B以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时点C以1个单位长度/秒的速度也向右匀速运动，设运动时间为t（）秒． ①当时，求t的值； ②当时，求t的值．    66．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知，点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．如数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是．假设在一条东西方向的数轴上，点和点分别表示数和8．两只电子蚂蚁甲和乙分别从两点同时出发，沿着数轴爬行，蚂蚁甲从点出发，以每秒3个单位长度的速度向正方向东爬行；蚂蚁乙从点出发，以每秒2个单位长度的速度向负方向西爬行．点表示数轴上的原点．设两只蚂蚁运动的时间为． 请回答下列问题： 【初始位置与距离】 （1）当时，点到点的距离是_________个单位长度，点到点的距离是_________个单位长度． 【位置表示与化简】 （1）运动秒后，两只蚂蚁之间的距离（用含的代数式表示）是_________； （2）化简你在（1）中得到的代数式． 【相遇与终点】 （1）请求出两只蚂蚁在运动过程中相遇的时间和相遇点在数轴上表示的数； （2）在相遇后，两只蚂蚁继续按原速度和方向爬行，请问当蚂蚁甲爬到点时，蚂蚁乙在数轴上表示的数是多少？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $