11.1.3积的乘方 课件 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版（2024）版数学8年级上册 第11章 整式的乘除 11.1.3积的乘方 1．理解并掌握积的乘方的运算法则； 2．熟练运用积的乘方运算法则进行计算； # 幻灯片分页内容：11.1.3 积的乘方 ## 第1页：课题引入——从乘法运算到积的乘方 - 复习回顾： 1. 同底数幂的乘法法则：\(a^m×a^n=a^{m + n}\)（底数不变，指数相加）； 2. 幂的乘方法则：\((a^m)^n=a^{m×n}\)（底数不变，指数相乘）； 3. 提问：如果是“积的乘方”，比如\((ab)^3\)，该如何计算？它和前两种幂运算有什么区别？ - 情境问题： 一个长方体的长、宽、高分别为\(2a\)、\(3b\)、\(4c\)，求它的体积（体积公式\(V = 长×宽×高\)），列式为\((2a)×(3b)×(4c)\)，若将其看作\((2×3×4)×(a×b×c)\)，那如果是\((abc)^n\)这种积的乘方形式，运算规律是什么？ - 课题：今天我们学习——11.1.3 积的乘方，探索积的乘方的运算法则和应用。 ## 第2页：核心法则——积的乘方法则推导 - 推导过程（从具体到一般）： 1. 实例拆解： - 计算\((ab)^3\)：表示3个\(ab\)相乘，即\((ab)^3=ab×ab×ab\)，根据乘法交换律和结合律，分组为\((a×a×a)×(b×b×b)=a^3×b^3\)； - 计算\((2x)^4\)：表示4个\(2x\)相乘，即\((2x)^4=2x×2x×2x×2x=(2×2×2×2)×(x×x×x×x)=2^4×x^4=16x^4\)。 2. 归纳法则：对于正整数\(n\)，\((ab)^n=\underbrace{(ab)×(ab)×…×(ab)}_{n个ab}\)，分组后得\((\underbrace{a×a×…×a}_{n个a})×(\underbrace{b×b×…×b}_{n个b})=a^n×b^n\)。 - 法则总结：**积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘**（字母表示：\((ab)^n=a^n×b^n\)，其中\(n\)为正整数）。 ## 第3页：法则拓展与基础例题 - 法则拓展： 多个因式的积的乘方，法则同样适用。即\((abc)^n=a^n×b^n×c^n\)（\(n\)为正整数）； 常数因式的乘方需单独计算，如\((kab)^n=k^n×a^n×b^n\)（\(k\)为常数）。 - 基础例题解析： 1. 例1：计算\((xy)^5\) 解：每个因式分别乘方，再相乘，原式\(=x^5×y^5=x^5y^5\)； 2. 例2：计算\((-3a)^2\) 解：常数项\(-3\)和字母\(a\)分别乘方，原式\(=(-3)^2×a^2=9a^2\)； 3. 例3：计算\((2xyz)^3\) 解：三个因式分别乘方，原式\(=2^3×x^3×y^3×z^3=8x^3y^3z^3\)。 ## 第4页：进阶例题——含符号与混合运算 - 解题关键：含负号的积的乘方，先判断符号（负数的偶次幂为正，奇次幂为负），再对每个因式分别乘方；混合运算时，先算积的乘方，再算幂的乘方或同底数幂乘法。 - 进阶例题解析： 1. 例1：计算\((-2x^2y)^3\) 解：先算符号（奇次幂为负），再分别乘方，原式\(=- (2^3×(x^2)^3×y^3)=-8x^6y^3\)； 2. 例2：计算\((3a^2)^3×(-2a)^2\) 解：先算两个积的乘方，再算同底数幂乘法， 原式\(=(3^3×(a^2)^3)×((-2)^2×a^2)=(27a^6)×(4a^2)=108a^{6 + 2}=108a^8\)； 3. 例3：计算\((-\frac{1}{2}mn^2)^4\) 解：分数因式的分子分母分别乘方，原式\(=(-\frac{1}{2})^4×m^4×(n^2)^4=\frac{1}{16}m^4n^8\)。 ## 第5页：法则逆用——简化运算技巧 - 逆用公式推导： 由\((ab)^n=a^n×b^n\)，可逆推出\(a^n×b^n=(ab)^n\)（\(n\)为正整数），常用于将两个幂的乘积转化为积的乘方，简化计算。 - 逆用例题解析： 1. 例1：计算\(2^3×5^3\) 解：逆用公式，原式\(=(2×5)^3=10^3=1000\)； 2. 例2：计算\((-4)^8×0.25^8\) 解：逆用公式，原式\(=(-4×0.25)^8=(-1)^8=1\)； 3. 例3：计算\(3^2×(-\frac{1}{3})^2×2^3\) 解：分组逆用公式，原式\(=(3×(-\frac{1}{3}))^2×2^3=(-1)^2×8=1×8=8\)。 ## 第6页：易错点辨析与纠正 - 易错点1：漏算积中某个因式的乘方 错误：\((ab)^2=a^2×b=a^2b\)（漏算\(b\)的乘方）； 纠正：积的每个因式都要乘方，原式\(=a^2×b^2=a^2b^2\)。 - 易错点2：常数项乘方计算错误 错误：\((3a)^3=3a^3\)（漏算常数3的乘方）； 纠正：常数项需单独乘方，原式\(=3^3×a^3=27a^3\)。 - 易错点3：符号判断错误 错误：\((-2xy)^2=-4x^2y^2\)（负数的偶次幂符号错误）； 纠正：负数的偶次幂为正，原式\(=(-2)^2×x^2×y^2=4x^2y^2\)。 - 易错点4：混淆三种幂运算 错误：\((a^2×b^3)^2=a^4 + b^6\)（将积的乘方与加法混淆）； 纠正：积的乘方是各因式乘方后相乘，不是相加，原式\(=(a^2)^2×(b^3)^2=a^4b^6\)。 ## 第7页：课堂练习——分层巩固 - 基础题（巩固法则）： 1. 计算\((ab^2)^3\)； 2. 计算\((-5x^3)^2\)； 3. 计算\((\frac{2}{3}mn)^4\)。 - 提高题（混合运算）： 1. 计算\((2a^2)^3×(-3a)^2\)； 2. 计算\((-x^2y)^4×(xy^2)^3\)。 - 拓展题（逆用法则）： 1. 计算\(4^{10}×0.25^{10}\)； 2. 已知\(a^n=2\)，\(b^n=3\)，求\((ab)^n\)和\((a^2b)^n\)的值。 ## 第8页：课堂小结与知识梳理 - 课堂小结： 1. 一个核心法则：积的乘方\((ab)^n=a^n×b^n\)（\(n\)为正整数），多个因式同理； 2. 两个关键技巧：含负号时先判断符号；逆用法则可简化幂的乘积运算； 3. 三种幂运算对比（表格梳理）： | 运算类型 | 法则关键词 | 字母表示 | |----------------|------------------|------------------------| | 同底数幂乘法 | 底数不变，指数相加 | \(a^m×a^n=a^{m + n}\) | | 幂的乘方 | 底数不变，指数相乘 | \((a^m)^n=a^{m×n}\) | | 积的乘方 | 各因式分别乘方，再相乘 | \((ab)^n=a^n×b^n\) | - 课后作业： 1. 计算教材对应练习题； 2. 计算\((-2x^3y^2)^3×(3xy)^2\)； 3. 比较\(2^{20}×3^{10}\)和\(2^{10}×3^{20}\)的大小（提示：逆用积的乘方转化为同指数幂）。 学习目标 温故知新 幂的乘方 法则 （am）n=amn (m,n都是正整数） 注意 幂的乘方，底数不变，指数相乘 幂的乘方与同底数幂的乘法的区别：(am)n=amn;am ﹒an=am+n 幂的乘方法则的逆用： amn=(am)n=(an)m 情景导入 　 计算小能手 （1）（x）3 （2）a3·a5 （3）x7· x9（x2）3 =x·x·x=x3 =a3+5 =a8 =x7· x9·x2×3 =x7· x9·x6 =x7+9+6 =x22 计算： 探究新知 知识点一 积的乘方运算法则 自主探究 试一试 根据乘方的意义和乘法运算律填空： （1）（ab）²=（ab）·（ab） =（aa）·（bb） =a2b2 （2）（ab）3=（ab）·（ab）·（ab） =（aaa）·（bbb） =a3b3 2个ab 2个a 2个b 3个ab 3个a 3个b 探究新知 （3）（ab）4=（ab）·（ab）·（ab） ·（ab） =（aaaa）·（bbbb） =a4b4 观察这几道题的计算结果，你能发现什么规律？设n为正整数，(ab)n等于什么？ 4个ab 4个a 4个b 探究新知 =（ab）·（ab）·…·（ab） =（a·a·…·a ）·（b·b·…·b） =anbn 可得 （ab）n=anbn（n为正整数）. 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. （ab）n n个ab n个a n个b 探究新知 积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. (ab)n = anbn （n为正整数） 想一想：三个或三个以上的积的乘方等于什么？ (abc)n = anbncn （n为正整数） 知识要点 积的乘方法则 探究新知 典例精析 【例1】计算：(-2x3y)3=（    ） A．-8x9y3 B．8x9y3 C．-6x6y3 D．6x6y3 【详解】解：(-2x3y)3=(-2)3(x3)3y3=-8x9y3， 故选：A． 探究新知 练一练 1．计算：(-a2)3+(-2a3)2-a2·a3． 【详解】解：原式=-a6+4a6-a5=3a6-a5. 探究新知 知识点二 积的乘方的逆用 an·bn = (ab)n am+n =am·an amn =(am)n 作用： 使运算更加简便快捷！ 探究新知 典例精析 【例3】计算()2025×32024的值是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：( )2025×32024=( )2024×32024×( )= ， 故选：B. 探究新知 【例4】已知|a-2024|+(b-2025)2=0，则(-0.125)a×8b= ． 【详解】解：∵|a-2024|+(b-2025)2=0， ∴a=2024，b=2025 ∴(-0.125)a×8b=(-0.125)2024×82025 =（-0.125×8)2024×8 =(-1)2024×8 =8， 故答案为：8． 探究新知 练一练 1．已知：5m=a,2m=b,5n=p（m,n都是正整数），用含a,b或p的式子表示下列各式： (1)10m； (2)52m+3n． 【详解】（1）∵5m=a,2m=b， ∴10m=2m×5m=ab． （2）∵5m=a,5n=p， ∴52m+3n=52m·53n=(5m)2·(5n)3=a2p3. 课堂练习 1．下列运算正确的是（　　） A．a+2a2=3a2 B．a3·a2=a6 C．(-x3)2=x6 D．(x2)3=x3 【详解】解：A、a与2a2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意； B、a3·a2=a5，故B不符合题意； C、(-x3)2=x6，故C符合题意； D、(x2)3=x6，故D不符合题意. 故选：C． 课堂练习 1. 计算 的结果是( ) A. B. C. D. 2. 下列各图中，能直观解释“ ” 的是( ) A. B. C. D. √ √ 返回 考试考法 16 3. 下列各式计算正确的有( ) ； ； ； . A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③④ 4.已知，，，则 的值为___. 5.已知，，，则，， 之间的关系为 ________. 9 √ 返回 考试考法 17 6.（1）已知，则 的值为___. 7 【点拨】 ， ，解 得 . 考试考法 18 （2）已知，则 的值为__. 【点拨】由 ，得 ，即 ，所以 .所以 .所以 .所以.所以 . 返回 考试考法 19 7.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 考试考法 20 幂的运算性质 性质 am·an=am+n (am)n=amn (ab)n=anbn ( m，n都是正整数) 反向运用 am · an =am+n、 (am)n =amn an·bn = (ab)n 可使某些计算简捷 注意 运用积的乘方法则时要注意： 公式中的a，b代表任何代数式；每一个因式都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆向运用（混合运算要注意运算顺序） 课堂小结 谢谢观看！ $