精品解析：广东省中山市广东博文学校2024-2025学年高二上学期第三次段考数学试卷

2024-2025年广东省中山市中山市广东博文学校高二上学期 第三次段考 一、单选题 1. 设直线过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，考虑截距为0和不为0两类，分别求解． 【详解】若截距为0，则斜率，直线方程为， 若截距不为0，设直线在轴上截距为，直线方程为或， ∵直线过，则或，解得或， ∴直线方程为或，即或， 共有3条． 故选：C． 【点睛】本题考查直线的截距式方程，解题时注意截距相等，截距的绝对值相等时要讨论截距为0的情形，否则易出错． 2. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则= A. B. C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】作轴于点,根据可求得进而求得的横坐标,等于的横坐标再利用公式即可算得. 【详解】 由题,设在第一象限,则作轴于点,设准线交轴于,因为, ∥,故,又,故,所以的横坐标也为1. 利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离有 故选：C 【点睛】遇到线段有比例关系，如时,将线段的比例关系转换为或者的比值问题是常见做法. 本题也考查了抛物线上的点到焦点的距离这一知识点. 3. 若构成空间的一组基底，则（ ） A. ，，不共面 B. ，，不共面 C. ，，不共面 D. ，，不共面 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理逐项判断即可． 【详解】对于A，假设，，共面，则存在不全为零的实数，使， 即，则共面与构成空间的一组基底矛盾， 因此，，不共面，故A正确； 对于B，因为，所以，，共面，故B不正确； 对于C，因为，所以，，共面，故C不正确； 对于D，因为，所以，，共面，故D不正确； 故选：A． 4. 圆关于直线：对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出已知圆的圆心坐标和半径，求出圆心坐标关于直线的对称点的坐标，然后代入圆的标准方程得答案． 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2， 设关于直线：的对称点为， 则，解得． 所以，则圆关于直线对称的圆的方程为． 故选：C． 【点睛】本题考查圆的标准方程，考查了点关于直线的对称点的求法，属于基础题． 5. 在空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，根据向量的坐标表示求出坐标，进而确定E，F坐标，最后求的坐标即可. 【详解】令，则， 所以， 所以. 故选：D 6. 已知椭圆：（）的右焦点为，过点的直线交椭圆交于，两点，若的中点，且直线的倾斜角为，则此椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线的斜率和倾斜角的对应关系列方程，求得的值.利用点差法求得的关系式，结合求得的值，进而求得椭圆方程. 【详解】∵，∴，令，，则， ∴，，∴，.故选A. 【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆标准方程的求法，以及有关点差法的运用.题目给出直线和椭圆相交所得所得弦的中点坐标，还有直线的倾斜角，这里可以根据焦点的坐标列方程求得的值.点差法主要用在有关直线和圆锥曲线相交，所得弦的中点有关的题目.属于中档题. 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线定义结合已知得，进一步由余弦定理列方程，结合离心率公式即可求解. 【详解】不妨设内切圆与三边切点分别为P，Q，R，所以， 点A在双曲线上， ， 又， ，， 点B在双曲线上， ， ， ， 设内切圆圆心为I，连接，如图所示， ， ， 即， 为等边三角形，， 在由余弦定理得：， 即：， . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是得到，由此即可顺利得解. 8. 在长方体中，，，点，分别是，的中点，则点到直线的距离为（ ）. A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，根据空间中点到直线的距离公式计算出结果即可. 【详解】以为原点，建立空间直角坐标系，则，，， 所以，， 所以点到直线的距离为：， 即点到直线的距离为， 故答案为：D. 二、多选题 9. 已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 和夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量共线定理可判断A；根据单位向量的概念可判断B；由向量夹角的余弦公式可判断C；根据法向量的特征可判断D. 【详解】因为，，， 所以，，， 对于A：若存在实数使得，则，显然方程组无解，所以不存在使得， 即与不共线，故A错误； 对于B：因为，所以与同向的单位向量，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：设平面的法向量， 则，取，得，故D正确； 故选：BD 10. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，如图，已知椭圆C：，，分别为左、右顶点，，分别为上、 下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ） A. B. C. 轴，且 D. 四边形的内切圆过焦点 【答案】BD 【解析】 【分析】结合椭圆的定义、几何性质等知识对选项的条件逐一分析，结合椭圆的离心率为确定正确答案. 【详解】由椭圆， 可得，， 对于A，，即，化简得，即， 不符合题意，故A错误； 对于B，，则，即， 化简得，即有， 解得（舍去），符合题意，故B正确； 对于C，轴，且， 由，解得， 不妨设，由，可得， 解得，又，所以，不符合题意，故C错误； 对于D，四边形的内切圆过焦点，，即四边形的内切圆的半径为c， 则，结合，即， 解得（舍去）或即，符合题意，故D正确； 故选：BD 【点睛】本题的难点是在各种情况下求椭圆的离心率，主要的思路是求得的关系式，然后转化为.也即是找到的一个等量关系式（齐次式），通过转为后解方程来求得离心率. 11. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，，交于点，是棱上的动点，则（ ） A. 存在点，使平面 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 点到平面的距离与点到平面的距离之和为定值2 D. 存在点，使直线与所成的角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，利用向量法判断CD，根据底面积不变，高最大时，锥体体积最大，判断B选项.根据线面平行的判定定理判断A. 【详解】解：根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则, 由是棱上的动点，设， ,其中为到平面的距离， 因为底面为正方形，故, 又底面底面 所以, 又,平面， 所以底面, 所以当与D重合时，三棱锥体积的最大且为，故B错误； 当为中点时，是的中位线，所以，又平面， 平面，所以平面，故A正确； 点到平面的距离， 点到平面的距离, 所以，故C正确. ,, 若存在点，使直线与所成的角为 则，化简得，解得， 所以，当时，满足直线与所成角为，故D正确； 故选：ACD 三、填空题 12. 设圆的圆心为A，点P在圆上，则线段PA的中点M的轨迹方程是__________________. 【答案】x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 【解析】 【详解】设PA的中点M的坐标为， ，圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A坐标为，由已知有 ，则，又P点在圆上，所以，所以，即． 13. 在空间直角坐标系中，已知点，，，若、、三点共线，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】， 、、三点共线， ，可知 ，解得 ，解得 则 点睛：本题考查的是空间直角坐标系和三点共线的知识点，要掌握三点共线的特点，由含有公共点的向量结合共线定理可以先求出的值，然后计算求得、，从而求得结果 14. 已知圆，圆，直线上存在点，过点向圆引两条切线和，切点是和，再过点向圆引两条切线和，切点是和，若，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出图形，结合图象转化得，从而利用两点距离公式求得点的轨迹方程，进而得到直线与圆有交点，由此得解. 【详解】连接圆心和切点，如图所示，则有， 易知， 故，， 不妨设，，， ，化简得， P的轨迹为以圆心，为半径的圆， 又P在直线上，直线与圆有交点， ，故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将题设条件转化得，从而利用阿氏圆的相关知识可知点的轨迹方程为圆，进而得解. 四、解答题 15. 已知抛物线的焦点与曲线的右焦点重合. （1）求抛物线的标准方程； （2）若抛物线上的点满足，求点的坐标. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】 （1）求出双曲线的右焦点坐标，可求出的值，即可得出抛物线的标准方程； （2）设点，由抛物线的定义求出的值，代入抛物线的方程可求得的值，即可得出点的坐标. 【详解】（1）由双曲线方程可得，， 所以，解得. 则曲线的右焦点为，所以，. 因此，抛物线的标准方程为； （2）设，由抛物线的定义及已知可得，解得. 代入抛物线方程可得，解得， 所以点的坐标为或. 16. 如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，. （1）求证：平面平面； （2）点为棱的中点，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接， ∵为正三角形，，∴且. ∵，为的中点，∴， 又∵底面为直角梯形，即，故四边形为平行四边形， 而，所以四边形为矩形，∴. 平面，∴平面. ∵平面，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，可证平面，根据判定定理可证平面平面； （2）以为坐标原点所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，由（1）又可得， 如图，以为坐标原点所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，， . 设平面的法向量为， 由，得，令，则，， 设与平面所成的角为，则 ， ∴与平面所成角的正弦值为 17. 已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直． （1）求直线l的方程； （2）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得直线和直线的交点坐标，再用点斜式求得直线的方程. （2）设圆的标准方程为，根据已知条件列方程组，求得，由此求得圆的标准方程. 【小问1详解】 . 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 设圆的标准方程为， 则， 所以圆的标准方程为. 18. 如图，在直角梯形中，平面，，． （1）求证：； （2）在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：如图，作，连接，，， ∵且，，即点G在平面内， 所以四边形为平行四边形，四边形为平行四边形. 又，， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，∴平面， 因为平面，． ，所以平行四边形为矩形， 又因为，所以矩形为正方形，所以， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）不存在，理由为： 由（1）知，，为三条两两互相垂直的直线，所以以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 设， ∴，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得， 所以平面的法向量为， 又平面，即平面， 为平面的一个法向量， 所以， 解得，又因为， 故在上不存在点M，使平面与平面的夹角大小为. 【解析】 【分析】（1）作，通过证明，来证明平面，从而证得； （2）建立空间直角坐标系，并设，通过计算两个平面的法向量得到，解出的值，再根据的取值范围判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 设圆的圆心为，点，点为圆上动点，线段的垂直平分线与线段交于点，设点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若直线与曲线交于点，，与圆：切于点，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由. 【答案】（1）；（2）是定值，定值为2. 【解析】 【分析】 (1)由垂直平分线的定义知，证明为定值即可根据椭圆的定义写出点E的轨迹方程；（2）分类讨论，当直线斜率不存在时，求出直线方程及其与椭圆的交点，利用向量证明，则；当直线斜率存在时，设出直线方程并与椭圆联立，利用直线与圆相切的性质、韦达定理及向量证明，则. 【详解】（1）由条件可得，半径. 又线段的垂直平分线与线段交于点，所以. 则有. 所以点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的椭圆， 其方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为. 由椭圆的方程可知，， 解法1：则，，.即. 从而在中，. 解法2：则. 解法3：因为切点为，所以. ②当直线的斜率存在时，设的方程为，，. 因为直线与圆相切，所以，即. 联立和椭圆方程，得. 则， ，. 解法1：则 所以. 从而在中，. 所以为定值2. 解法2：所以 又因为，在椭圆上， 所以上式 所以为定值2. 解法3：设切点，联立， 得. 所以，. 此时，有 所以为定值2. 【点睛】解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路是：定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，从而找出这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个值。 1、从特殊入手，求出定值，再证明 圆锥曲线中的定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的实虚轴，抛物线的焦参数等，在求定值之前，要大胆设参，运算推理，到最后消除参数求出定值； 2、直接推理计算，通过消参得到定值 直接推理计算，通过消参得到定值的关键在于引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式得恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年广东省中山市中山市广东博文学校高二上学期 第三次段考 一、单选题 1. 设直线过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则= A. B. C. 3 D. 2 3. 若构成空间的一组基底，则（ ） A. ，，不共面 B. ，，不共面 C. ，，不共面 D. ，，不共面 4. 圆关于直线：对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　 ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆：（）的右焦点为，过点的直线交椭圆交于，两点，若的中点，且直线的倾斜角为，则此椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在长方体中，，，点，分别是，的中点，则点到直线的距离为（ ）. A. B. 3 C. D. 二、多选题 9. 已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 和夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 10. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”，如图，已知椭圆C：，，分别为左、右顶点，，分别为上、 下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ） A. B. C. 轴，且 D. 四边形的内切圆过焦点 11. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，，交于点，是棱上的动点，则（ ） A. 存在点，使平面 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 点到平面的距离与点到平面的距离之和为定值2 D. 存在点，使直线与所成的角为 三、填空题 12. 设圆的圆心为A，点P在圆上，则线段PA的中点M的轨迹方程是__________________. 13. 在空间直角坐标系中，已知点，，，若、、三点共线，则__________． 14. 已知圆，圆，直线上存在点，过点向圆引两条切线和，切点是和，再过点向圆引两条切线和，切点是和，若，则实数的取值范围为_________. 四、解答题 15. 已知抛物线的焦点与曲线的右焦点重合. （1）求抛物线的标准方程； （2）若抛物线上的点满足，求点的坐标. 16. 如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，. （1）求证：平面平面； （2）点为棱的中点，求与平面所成角的正弦值. 17. 已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直． （1）求直线l的方程； （2）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程． 18. 如图，在直角梯形中，平面，，． （1）求证：； （2）在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 19. 设圆的圆心为，点，点为圆上动点，线段的垂直平分线与线段交于点，设点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若直线与曲线交于点，，与圆：切于点，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $